2021-2022学年北京市昌平区高二（上）期末数学试卷（附答案详解）

2021-2022学年北京市昌平区高二(±)期末数学试卷

一、单选题(本大题共22小题，共110.0分)

1.设集合A=<1｝,B=｛x\x>3｝,则AUB=()

A.(0,+a>)B.(3,10)C.(一%+8)D.(3,+8)

2.已知i为虚数单位，且复数a?—l+(a—l)i是纯虚数，则实数a的值为()

A.1或—1B.1C.-1D.0

3.已知向量五=(2,3),B=(x,2)，则“为与方的夹角为锐角”是“x>—3”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

4.铸于明嘉靖十二年的泰山岱庙铁塔，造型质朴雄伟，原有十三级，抗日战争中被日

军飞机炸毁，现仅存三级，它的底座是近似圆形的，如图1.我国古代工匠已经知道，

将长方体砖块以某个固定的角度相接就可砌出近似圆形的建筑，现存铁塔的底座是

用10块一样的长方体砖块砌成的近似圆形的墙面，每块长方体砖块底面较长的边长

为1个单位，相邻两块砖之间的夹角固定为36。，如图2,则此近似圆形墙面内部所

能容纳最大圆的半径是()

5.已知二项式(2x-l)"的展开式中仅有第4项的二项式系数最大，则展开式中二项的

系数为()

A.-80B.80C.-160D.-120

6.已知数列｛即｝的前n项和%=2"-1,则数列｛1。82即｝的前1。项和等于()

A.1023B.55C.45D.35

lO9i5

7.已知a=2/ogJ,b=ilog37,c=2,贝Ua,b,c的大小关系()

A.a>c>bB.b>a>cC.c>a>bD.c>b>a

8.在平面直角坐标系xOy中，已知圆G：x2+y2—2x+4y—4=0,圆C2：x2+y2+

2x-2y-2=0,则两圆的公切线的条数是()

A.1条B.2条C.3条D.4条

9.清明节前夕，某校团委决定举办“缅怀革命先烈，致敬时代英雄”主题演讲比赛,

经过初赛，共10人进入决赛，其中高一年级2人，高二年级3人，高三年级5人，现

采取抽签方式决定演讲顺序，则在高二年级3人相邻的前提下，高一年级2人不相邻

的概率为()

A.白B.；C.1D.；

12324

10.数列｛an｝中，的=5,=9.若数列｛厮+必｝是等差数列，则｛an｝的最大项为()

A.9B.11C.-D.12

4

11.已知曲线C上任意一点P(%y)满足J丫2+y2+2y+1++y2_2y+1=

则曲线C上到直线2x-y-4=0的距离最近的点的坐标是()

A.除—第B.(M—半)C.(|$D.(罟净

12.函数/(x)=x+*,g(x)=xa-alnx｛a<0),当x6(1,+8)时，关于x的不等式

Ng(x)恒成立，则实数a的最小值为()

A.一：B.-：C.一三D.-e

13.已知直线卜V3x-y-4=0,则直线I的倾斜角为()

B/C*D.掌

14.已知4(2,—3,—1),8(—6,5,3),则|荏|=()

A.4V6B.2V33C.12D.14

15.在(2+无产的展开式中二项式系数最大的项是()

A.第3项和第4项B.第4项和第5项C.第3项D.第4项

16.设椭圆总+?=1的两个焦点为6,F2,过点Fi的直线交椭圆于4,B两点，如果

\AB\=8,那么MF2I+IBF2I的值为()

A.2B.10C.12D.14

17.已知平行六面体4BCD-AiBiQDi中，设布=万，同=至，可=乙则项=()

A.-a-b-cB.a-b-cC.-a+b-cD.a-b+c

18.设aGR,则“a=1”是“直线小ax-卜2y-1=0与直线％：x+(a+l)y+4=0

平行”的()

第2页，共35页

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

19.第24届冬季奥林匹克运动会，即2022年北京冬季奥运会，计划于2022年2月4日（星

期五）开幕，2月20日（星期日）闭幕.北京冬季奥运会设7个大项，15个分项，109个

小项.其中七个大项分别为：滑雪、滑冰、雪车、雪橇、冰球、冰壶、冬季两项（越

野滑雪射击比赛）.现组委会将七个大项的门票各一张分给甲、乙、丙三所学校，如

果要求一个学校4张，一个学校2张，一个学校1张，则共有不同的分法数为（）

A.A^AjAlB.6底盘C.A^A\CjD.6“

20.在四棱锥P—ABCD中，底面4BCC是矩形，P41平面/BCD,E为PA中点，PA=

AD=2AB,则直线BE与PO所成角的大小为（）

A—R-f1-f）—

126J3U12

21.直线3x—4y=0与抛物线W：y2=2px（p>o）交于4,B两点，尸为抛物线W的焦

点，若|AB|=5,则△4B尸的面积为（）

A.IB.京C.JD.-

83223

22.已知正三棱锥P-ABC的底面4BC的边长为2,M是空间中任意一点，则拓？.（MB+

祝）的最小值为（）

A.—B.-1C.-遗D.

222

二、单空题（本大题共10小题，共50.0分）

23.在△ABC中，已知4B=4C,。为BC边中点，点0在直线4。上，且比.丽=3,则

BC边的长度为.

24.已知函数f（x）=Atan（<ox+w）（3>0,|如<T）,y=

的部分图象如图，则/（/）=.

25.已知随机变量f的分布列如表，D&）表示f的方差，则D（2f+1）

012

pa1—2a—

||I4

26.已知四面体ABC。的所有棱长均为企,M,N分别为棱4。，BC的中点，F为棱48上

异于4B的动点.则下列结论中正确的结论的序号为.

①线段MN的长度为1：

②若点G为线段MN上的动点，则无论点F与G如何运动，直线FG与直线CD都是异

面直线；

③ZMFN的余弦值的取值范围是［0,9)；

④△FMN周长的最小值为或+1.

27.已知五=(乂一2,6)是直线I1的方向向量，3=(1,%—3)是直线12的方向向量，若直线

，则

fi//z2x+y=.

28.在(/+6"的展开式中所有的二项式系数之和为512,贝旧=；展开式中常

数项的值为

29.双曲线C：。―t=1的渐近线方程为;若抛物线y2=2px(p>0)的焦点是

36

双曲线C的右焦点，贝l］p=

30.在空间直角坐标系中，已知点4(1,0,0),8(0,1,0),。(0,0,1),若点P(x,2,l)在平面4BC

内，则工=

31.已知圆0：x2+y2=4,直线/过点(1,1)且与圆。交于A,B两点，当△AOB面积最

大时，直线［的方程为

32.已知正方体4BCD-4B1GD1的棱长为2,E为CD的

中点，点P在正方体的表面上运动，且满足平面

AA.PL平面3殳£给出下列四个结论：

①△44止的面积的最大值为6；

②满足使4441P的面积为2的点P有且只有两个；

③点P可以是CG的中点；

④线段41P的最大值为3.

其中所有正确结论的序号是.

三、解答题(本大题共12小题，共152.0分)

第4页，共35页

33.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知△ABC的面积为迪，A=^.

23

(1)若2sinC=3sinBf求a；

(2)若。为BC边的中点，求线段长的最小值.

34.如图，直三棱柱ABC-&BiG中

分别为AB、BiG的中点.

(1)求证：MN〃平面4CC1公；

(2)若当"=3a,求二面角位一

35.如图，抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，点P(l,2)、[.

4(X1，丫1)、8。2，%)均在抛物线上.

(1)写出该抛物线的标准方程；

(2)当直线P4与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求直线的|4

斜率.

36.某机器生产商，对一次性购买两台机器的客户推出两种超过质保期后两年内的延保

维修方案：

方案一：交纳延保金6000元，在延保的两年内可免费维修2次，超过2次每次收取

维修费1500元；

方案二：交纳延保金7740元，在延保的两年内可免费维修4次，超过4次每次收取

维修费a元.

某工厂准备一次性购买两台这种机器，现需决策在购买机器时应购买哪种延保方案,

为此搜集并整理了100台这种机器超过质保期后延保两年内维修的次数，统计得如

表：

维修次数0123

机器台数20104030

以这100台机器维修次数的频率代替一台机器维修次数发生的概率.记X表示这两

台机器超过质保期后延保的两年内共需维修的次数.

(1)求X的分布列；

(2)以所需延保金与维修费用之和的期望值为决策依据，该工厂选择哪种延保方案

更合算.

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37.已知函数/(x)=x("x—1).

(1)设曲线y=f(%)在x=:处的切线方程为y=g(x),求证：/(%)>g(x)；

(2)若方程f(x)=a有两个根Xi，%2>求证：|巧一外1<2a+e+3.

38.直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲

线C的极坐标方程为p2=tand+^.

(1)曲线C与直线八e=W(peR)交于A,B两点，求|AB1；

(2)曲线G的参数方程为｛；二;:M：(r>0,a为参数)，当。€(0卷)时，若C与G有

两个交点，极坐标分别为(Pi，%),(P2，%)，求r的取值范围，并证明%+“=(

39.已知函数/(%)=|%+4|+\x\.

(1)解不等式/(2%-1)W6；

(2)记函数/(x)的最小值为a,且源+於=*其中澳,n均为正实数，求证：?+^>

a

4,

40.已知过点P(0,5)的直线I被圆C：x2+y2+4%-i2y+24=0所截得的弦长为4国.

(I)写出圆C的标准方程及圆心坐标、半径；

(11)求直线1的方程.

41.如图，在四棱锥P-4BCD中，PAL^-^ABCD,ABLAD,

AD//BC,PA=AB=BC=2AD=2.

(I)求证：ZD〃平面PBC；

(口)求直线PB和平面PCD所成角的正弦值；

(HI)求二面角4-PD-C的余弦值.

42.有7个人分成两排就座，第一排3人，第二排4人.

(I)共有多少种不同的坐法？

(H)如果甲和乙都在第二排，共有多少种不同的坐法?

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(in)如果甲和乙不能坐在每排的两端，共有多少种不同的坐法?

43.如图，在棱长为1的正方体ABCO—4B1GD1中，M

是BBi的中点.

(I)求证：AiDlAC^

(II)求证：BD〃平面4MG；

(in)求点4到平面AMG的距离.

44.已知椭圆E：4+《=l(a>b>0),0(0,0),4(a,0),8(0,b),点M在线段4B上,

且丽=2AM.直线。M的斜率为"

(I)求椭圆E的离心率；

(U)若直线1与椭圆E交于C,D两点，弦CD的中点为(一2,1),且|CD|=VIU，求椭

圆E的方程.

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答案和解析

1.【答案】A

【解析】解：：集合A={x\lgx<1}={x|0<x<10},B={x\x>3},

二4UB={x\x>0}=(0,4-oo).

故选：A.

求出集合4利用并集定义能求出AU8.

本题考查并集的求法，涉及并集定义、不等式的性质等基础知识，考查运算求解能力等

数学核心素养，是基础题.

2.【答案】C

【解析】解：•.•复数(a2-1)+(a-l)i(aeR)是纯虚数，

•••产-1=。，解得Q=_I.

(a-10

故选：C.

由复数(a2—l)+(a—l)i(aeR)是纯虚数，可得{,二；。。，解得a即可.

本题考查了纯虚数的定义，属于基础题.

3.【答案】A

【解析】

【分析】

本题考查了充分条件与必要条件的判断，涉及了向量的坐标运算，向量的夹角，向量平

行的充要条件，考查了逻辑推理能力，属于基础题.

先利用向量的坐标运算求出“五与方的夹角为锐角”对应的x的范围，然后由充分条件与

必要条件的定义进行判断即可.

【解答】

解：因为苍与石的夹角为锐角，所以心另>0且五与石不平行，

所以2%+6>0且3xW4,即％>一3且lH%

所以方与冽勺夹角为锐角”可以推出“x＞—3"，但是。＞一3”不能推出“五与方的

夹角为锐角”，

故“五与石的夹角为锐角”是“》＞-3”的充分不必要条件.

故选A.

4.【答案】B

【解析】

【分析】

本题以古文化为载体考查了多边形内切圆问题，考查学生的抽象概括能力，属于基础题.

分析可知当圆与长方形砖块较长的边相切时，圆的半径最大，即可得出结果.

【解答】

解：由题意分析可知当圆与长方形砖块较长的边相切时，且切点为中点时，圆的半径最

大,

如图，设。为内切圆的圆心，r为内切圆的半径.

1

由4408=36°,AB=1,tan—=

2r

得tanl80=看解得「=焉

36°

故选：B.

5.【答案】C

【解析】

【分析】

本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属基础

题.

由题意利用二项式系数的性质求得n的值，再利用二项展开式的通项公式，求得展开式

中/项的系数.

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【解答】

解：•••二项式(2x-l)n的展开式中仅有第4项的二项式系数最大，••・n=6,

二项式(2x-1)6的通项为7；+1=q(2x)6-r(-l)r,

令6-r=3,可得r=3,则展开式中/项的系数为牖x23x(-1下=一160,

故选：C.

6.【答案】C

【解析】

【分析】

本题考查数列的通项公式的求法，同时考查对数的运算和等差数列的求和公式，考查运

算能力，属于中档题.

由数列递推式：n=l时，di=Si；当nN2时，an=Sn-Sn^,可得即，求出1。82即=

log22nr=n-l,再由等差数列的求和公式计算即可得结果.

【解答】

解：数列｛%»｝的前n项和9=2"—1,

可得a1=S]=2—1=1；

当n22时，即=Sn-Sn-i

=2n-l-(2n-1-l)=2n-1,

对n=1也成立.

所以an=2n-1.

11

所以10g2(ln=10g22T=n_1,

则数列｛logza"的前10项和为：

0+1+2+…+9=：x(l+9)x9=45.

故选C.

7.【答案】C

【解析】解：；a=210gl=2l09s4=log516GQ2)，

195

0<b=|log37-log3>/7<log33—1,c-2O*=V5>

c>a>b.

故选：c.

利用对数的运算性质分别比较a,b,c与1和2的大小得结论.

本题考查对数值的大小比较，考查对数的运算性质，是基础题.

8.【答案】B

【解析】

【分析】

本题考查两圆公切线条数的判断，圆与圆的位置关系，属于基础题.

根据已知，分析两个圆的位置关系，可得答案.

【解答】

解：圆G；X?+严—2x+4y-4=0的圆心坐标为(1,一2),半径为3,

圆/+丫2+2%-2丫-2=0的圆心坐标为(一1,1),半径为2,

则圆心距为：1尸+(1+2)2=g€(3—2,3+2),

故两圆相交，

故两圆的公切线的条数是2条，

故选：B.

9.【答案】D

【解析】解：清明节前夕，某校团委决定举办“缅怀革命先烈，致敬时代英雄”主题演

讲比赛，

经过初赛，共10人进入决赛，其中高一年级2人，高二年级3人，高三年级5人，

采取抽签方式决定演讲顺序，二年级3人相邻，

基本事件总数n=心鹿

在高二年级3人相邻的前提下，高一年级2人不相邻包含的基本事件个数6=用雇的，

・•.在高二年级3人相邻的前提下，高一年级2人不相邻的概率为：

p=%=:鹿屿_3

~n~&国-4'

故选：D.

基本事件总数兀=心堪在高二年级3人相邻的前提下，高一年级2人不相邻包含的基本

事件个数m=4弘言心，由此能求出在高二年级3人相邻的前提下，高一年级2人不相邻

的概率.

第14页，共35页

本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力等核心

素养，是基础题.

10.【答案】B

【解析】解：令％=斯+?12，又的=5,a2=9,

+4=13,b]=a1+1=6,

数列Sn+n2｝的公差为13-6=7,

则。„+n2=6+7(n-1)=7n—1,

22

:.an=—n+7n—1=-(n—|)+y,

又n€N*,.,.当n=3或4时，即有最大值为—：+F=

故选：B.

由已知求出等差数列的公差，进一步求其通项公式，可得｛&J的通项公式，再由配方法

求最值.

本题考查等差数列的通项公式，考查数列的函数特性，训练了利用配方法求最值，是基

础题.

11.【答案】B

【解析】解：设&(-1,0),七CL。)，则次+y2+2y+1+J/+y2-2y+1=2或,

等价于|P&|+\PF2\=2V2>正图，

曲线C为以F1，F2为焦点的椭圆，且长轴长为2鱼，焦距为2,

故曲线C的方程为:?+/=1,与直线2x-y-4=0平行的直线设为2x-y+t=0,

联立方程组消去y可得：6x2+4tx+t2-2=0,

△=16t2-24(t2-2)=0,解得t=土限当t=-V^时，x=y,y=-去

当t=时，X=--y,y=净

曲线C上到直线2x-y-4=0的距离最近的点的坐标是直，-净.

故选：B.

根据两点间的距离公式和椭圆的定义可知曲线C为椭圆，从而得出椭圆方程；联立方程

组，利用判别式为0,求解交点坐标即可.

本题考查了椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系，属于中档题.

12.【答案】D

【解析】解：由题意得%++福2无。—alnxQa<0)在x6(1,+8)上恒成立，

即仇无。-xa>lne~x—「在%E(1,+8)上恒成立，

令7n(t)=Int—t,0<t<1,

故M⑴=3一1=平>0在(0,1)上恒成立，

故?n(t)在(0,1)上单调递增，故,得出几之一%,即aN-意，

记3。)=一意(X>1),则d(x)>1)，

当xe(l,e)时，<p'(x)>0,当xe(e,+8)时，<p'[x)<0,

故函数9(x)在(l,e)递增，在9+8)递减，

故(p(x)的最大值是伊(e)=-e,故a>-e,

即实数a的最小值是-e,

故选：D.

问题转化为，nx。—xa>lne~x—e一工在xe(1,+8)上恒成立，令m(t)=Int—t,0<t<

1.根据函数的单调性得到a2一言，记9(x)=一言。>1),求出函数的最大值，求

出a的取值范围即可.

本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，考查转化

思想，换元思想，是中档题.

13.【答案】B

【解析】解：设直线的勺倾斜角为0,

•••直线，：V3x-y-4=0.

•••tand=A/3>

6G[0,7T),•••9=；・

故选：B.

根据已知条件，结合斜率与倾斜角的关系，即可求解.

第16页，共35页

本题主要考查斜率与倾斜角的关系，属于基础题.

14.【答案】C

【解析】解：＞4(2,-3,-1),5(-6,5.3),

则|荏|=,(2+6产+(-3—53+(—1-33=12.

故选：C.

利用空间两点间的距离公式求解即可.

本题考查空间两点间的距离公式，是基础题.

15.【答案】D

【解析】解：因为71=6为偶数，

所以展开式中二项式系数最大的项只有一项，且为第T+1=4项，

故选：D.

利用求展开式中二项式系数最大项的公式即可求解.

本题考查了二项式定理的应用，考查学生的运算能力，属于基础题.

16.【答案】C

【解析】解：椭圆立+艺=1可得长轴长为：10,

259

椭圆叁+?=1的两个焦点为&，尸2,过F1的直线交椭圆于4、B两点，若网=8,

则MF2I+\BF2\=4a-\AB\=20-8=12.

故选：C.

利用椭圆的简单性质以及椭圆的定义，转化求解即可.

本题考查椭圆的简单性质的应用，考查计算能力.

17.【答案】B

【解析】解：如图,

vAB=五,AD=b，力41=c»

.一，，，—>>>>>、♦_._.—-,

D1B=AB-ADr=AB-(AD+AA^=a-(<b+c)=a-b-c.

故选：B.

由已知直接利用空间向量的线性运算求解.

本题考查空间向量的线性运算，考查数形结合思想，是基础题.

18.【答案】A

【解析】解：直线k：ax+2y-1=0与直线%：x+(a+l)y+4=0平行，

则a(a+1)=2x1,解得a=-2或a=1,

故“a=l”是“直线5ax+2y-1=0与直线，2：x+(a+l)y+4=0平行”的充分

不必要条件.

故选：A.

根据已知条件，结合两直线平行的性质，即可求解.

本题主要考查两直线平行的性质，属于基础题.

19.【答案】D

【解析】解：先将七个大项的门票分成(4,2,1),再分配到3个学校，故有第底仁质.

故选：D.

先将七个大项的门票分成(4,2,1),再分配到3个学校，根据分步计数原理可得.

本题考查了分组分配问题，属于基础题.

20.【答案】C

第18页，共35页

【解析】解：取4D中点F,连接EF,如图,

•••5是/34的中点，:2/7/「。，

•••直线BE与PD所成角（或所成角的补解）为NBEF,

设P4=4。=2AB=2,则BE=VLBF=V2,EF=V2.

：.△BEF是等边三角形，."BEF=p

故选：C.

取AD的中点尸，连接EF,f\iEF//PD,得到直线BE与P。所成角（或所成角的补解）为/BE尸,

再求出NBEF即可.

本题考查命题真假的判断和异面直线所成的角，考查运算求解能力，是中档题.

21.【答案】B

【解析】解:设4（X1，%），8（%2，丫2），

_32P

{

所以网=传记=J答+萼=J*p2

而|4B|=5,

可得」竺/竺”；=5,解得P=£即尸舄,0），

9

所以F到直线的距离d=jx.=―,

"+（-4）216x5

、」

所UU以IIC1-ci1L2727

SMBF=-/•|4B|•d=5/X5•—lOXo=—,

故选:B.

由直线4B的方程与抛物线的方程联立求出4,B的坐标，进而求出弦长|AB|的值，再由

|4B|的值可得参数p的值，可得焦点F的坐标，求出点F到直线4B的距离d,代入三角形

的面积公式可得面积的值.

本题考查直线与抛物线的综合应用即三角形的面积公式的应用，属于中档题.

22.【答案】A

【解析】解：设BC中点为。，连接0M,设0M中点为H,则|从4|=

所以码•(丽+砒)=雨・2雨=2(丽+雨)(丽+而)=B0

-->2——Q-->23

2(MH-HA)=2(MW-*,

当M与H重合时，而2取最小值0,

止匕时加•(MB+祝)有最小值一|,

故选:A.

利用转化法求向量数量积的最值即可.

本题考查平面向量数量积的运算性质，转化思想，属于中档题.

23.[答案】V6

【解析】解：在AABC中，由AB=AC,。为BC边中点，点。在直i

线4D上，且正.诙=3，/\

结合图象可得|就|.|耳51cosc前，前>=3，/]0

即:沆=3,所以|BC|=迎.|

故答案为：V6.

画出图形，利用两个向量的数量积的定义求出结果.

本题考查了平面向量数量积的性质及其运算，是基础题.

24.【答案】V3

【解析】解：由题意可知7=多所以3=2,

函数的解析式为：f^x)=Atan(：a)x+(p),因为函数过(?,0)所以0=4tan(?+<p)所以

o4

(P

4

第20页，共35页

图象经过(0,1),所以，1=Ata吟所以4=1,所以/(x)=tan(2x+?)则哈)=

ta呜

故答案为：V3

根据函数的图象，求出函数的周期，然后求出3,确定A的值，根据(?,0)求出0的值,

O

图象经过(0.1)确定4的值，求出函数的解析式，然后求出/(5)即可.

本题是基础题，考查正切函数的图象的求法，确定函数的解析式的方法，求出函数值,

考查计算能力.

25.【答案】2

【解析】解：由题意可得：a+1-2a+”l,解得a=%

012

111

P424

所以E(f)=0xi+lxi+2xi=1,

222

D(O=i(0-l)+ix(l-l)+lx(2-l)=i,

D(2f+1)=22L»(f)=2.

故答案为：2.

利用分布列的性质求解p，然后求解方差即可.

本题考查离散型随机变量的分布列以及期望方程的求法，是基础题.

26.【答案】①④

【解析】解:在棱长为1的正方体上取如图所示的四个顶点，依次连接可得四面体4BCD,

则四面体4BCD的所有棱长均为近，又M,N分别为棱4D,BC的中点,

••・线段MN的长度为正方体的棱长为1,故①正确；

取AB的中点为F,G为MN的中点，/为CD的中点，由正方体的结构特征可知，F、/、G三

点共线,

此时直线FG与直线CD相交于点/,故②错误;

由已知可得，BN=*CW，BM3D2-MD2=」2十净

又MN=1,・••cos乙MBN=故尸点无限接近B点时，COSNMFN无限

接近争

•••4MFN的余弦值的取值范围为［0,错误，故③错误；

如图将等边三角形4BC与ABD铺平，放置在同一平面上，故有N'F+FM'>M'N'=夜,

当且仅当尸为4B的中点时取最小值，故在正方体中，NF+FM>V2，即三角形FMN的

最小值为企+1，

故④正确.

故选：①④.

将四面体放置在正方体中，根据M,N分别为前后面的中心判断①；取尸为AB中点，G为

MN中点，此时直线FG与直线CC相交；通过计算cos/MBN判断③；把空间问题转化为

平面问题，计算可得NF+MF之或判断④.

本题考查命题的真假判断与应用，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，

是中档题.

27.【答案】一1

【解析】解:益=(X,—2,6)是直线％的方向向量，石=(l,y,—3)是直线G的方向向量，

若直线及〃，2,则孙/方，

--2>贝阮

1y-5=-2,/y=1.

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x+y=-2+1=-1.

故答案为：-1.

由五〃石，根据向量共线的坐标运算求解x、y的值，再计算x+y即可.

本题考查向量共线的坐标表示，属于基础题.

28.【答案】984

【解析】解：由已知可得所有的二项式系数之和为2n=512,解得ri=9；

展开式的通项公式为「+1=。•Q2)9-r•©)r=Cjx】8-3r,

令18—3r=0,解得r=6,

所以展开式的常数项为。=84,

故答案为：9；84.

利用求所有二项式系数之和的公式，求出n的值，再求出展开式的通项公式，令工的指数

为0即可求解.

本题考查了二项式定理的应用，考查了学生的运算能力，属于基础题.

29.【答案】y=+y/2x6

【解析】解：双曲线C：可得a=V5,b=V6,则c=3,所以渐近线方程

为：y=土迎％;

双曲线的焦点坐标(±3,0),抛物线必=2px(p>0)的焦点是双曲线C的右焦点，

所以々=3,可得p=6,

故答案为：y=+V2x;6.

直接利用双曲线方程求出a,b,求解渐近线方程，求解c即可得到双曲线的离心率.

本题考查双曲线的简单性质的应用，抛物线的简单性质的应用，是基础题.

30.【答案】一2

【解析】解：因为4(1,0,0),5(0,1,0),C(0,0,l)，

所以而=(-1,1,0)，AC=

又点P(x,2,l)在平面4BC内，

所以05=m南+n元，其中m、neR；

由丽=(l-x,-2,-l).

1—x=­m—n

—2=m,

1—l=n

解得x=-2.

故答案为：-2.

根据空间向量的坐标表示和共面定理，列方程组求出x的值.

本题考查了空间向量的坐标表示和共面定理应用问题，也考查了运算求解能力，是基础

题.

31.【答案】x+y-2=0

【解析】解:当直线I的斜率不存在时，，的方程为x=1,则48的坐标为(1，百),(1,-b),

S^oAB=3X2V3X1=V3,

当直线，的斜率存在时，设，的方程为y-l=k(x-l),(kRl)，

则圆心到直线PQ的距离为d=端詈=悬，

由平面几何知识得|4B|=2V4-d2,

•••S^OAB=\|4B|Xd=IX2V4—d2xd=y/4—d2xd<''了"-=2，

当且仅当4—d2=d2,即d2=2时，SAOAB取得最大值2，

•••V5<2,•,.SAOAB的最大值为2,

此时，由晶=夜，解得上=一1.

此时，直线，的方程为x+y-2=0.

故答案为：x+y-2=0.

当直线I的斜率不存在时，s△。加=b，当直线I的斜率存在时，设，的方程为y-i=

fc(x-l),(kRl)，圆心到直线4B的距离为d=篇，由平面几何知识得依8|=

27?^，推导出当且仅当d2=2时，SAOAB取得最大值2，由此能求出直线，的方程.

本题考查面积最大时直线，的方程的求法，解题时要认真审题，均值不等式的合理运用，

属于中档题.

第24页，共35页

32•【答案】①②④

【解析】解：连接、分别为、

AH,HG,GAr,HGBC

BiG的中点，易得AABH三ABCE,

从而知4H1BE,

又BE_L44,又=得平面44/_L平面

BB]E,

故点P在矩形4-H->G-4（除线段44加上运动，

对于①，由图可知，当P与H重合时，此时三角形面积最大，最大值为：x2xS=花,

故①对；

对于②，由图可知，当AP=1或41P=1时，△44/的面积为2,故②对；

对于③，由图易知，点P不可能在线段eq,故③错；

对于④，由图易知，当P与“重合时，此时&P长度最大，最大值为,22+（石.=3,

故④对；

故答案为：①②④；

先找出P的运动轨迹，再结合图像逐项分析，即可得解.

本题考查了立体几何中的轨迹问题，难点是确定P点的轨迹，也是解答本题的关键点,

属于中档题.

33.【答案】解：⑴因为2sinC=3sinB,

所以由正弦定理可得2c=3b,

因为4=△4BC的面积为巴--bcsinA=-xbx—x—,

322222

所以解得b=2,可得c=3,

所以由余弦定理可得Q=Vh24-c2—2bccosA=^4+9—2x2x3x1=小.

(2)因为力=p△的面积为乎=^bcsinA=

所以be=6,

因为。为BC边的中点，可得2同=通+而，

两边平方，可得2|同|2=I荏|2+|而|2+2ABAC=c2+Z?2+IbccosA=c2+

b2+be>2bc+be=3bc=18,当.且仅当b=c=历时等号成立，

可得|而|23,当且仅当b=c=历时等号成立，即线段长的最小值为3.

【解析】（1）由正弦定理化简已知等式可得2c=3b,又4=g，利用三角形的面积公式

可求b,c的值，进而根据余弦定理可得a的值.

（2）由已知利用三角形的面积公式可求比=6,由题意2而=荏+而，两边平方，利

用平面向量数量积的运算，基本不等式即可求解线段4。长的最小值.

本题主要考查了正弦定理，三角形的面积公式，余弦定理，平面向量数量积的运算以及

基本不等式在解三角形中综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题.

34.【答案】证明：（1）如图，取4c的中点0,连接0M,0C],

在△ABC中，为AB的中点，。为AC的中点，

1

•••0M//BC,S.0M=-BC,

又N为&Ci的中点，且BC=B©,

CrN//BC,且CiN=^BC,

0M〃C]N且0M=C1N,从而四边形OMNCi为平行四边形.

MN“0C[,

又MNC平面4CGA1，。6<3平面4。的人,

•••MN〃平面4CC14；

解：（2）在直三棱柱ABC—4/16中，

BBi1AB,BiM=3夜，BB1=4,

BM==V2-

故AB=2a,AC2+BC2=AB2,从而4C_LBC,

以C为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，

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则M(1,1,O)，4式2,0,4),a(0,2,4),JV(0,1,4),

MB[=(-1,1,4)-西=(1,-1,4)，MN=(-1,0,4).

设平面M&B]的法向量为若=(%y,z),

则叵匹=x-y+4z=。，取/=],得苏=(i,i,0)；

•MB1=—x+y+4z=0

设平面M&N的法向量为通=Qi，%,zi),

贝僻・西―L%+4z1=0,],得荻=(4,8,1).

I雨•MN=-xt+4zi=0

•••cos(五，布＞=|焉3=彘=享

由图可知，二面角/一41M-N为锐二面角，

则二面角B】一A.M-N的余弦值为竽.

【解析】本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用

空间向量求解空间角，是中档题.

(1)取AC的中点。，连接OM,0G，证明0M//GN且0M=CIN,从而四边形0MNQ为

平行四边形，得到MN〃0G，再由直线与平面平行的判定可得MN〃平面ACGA1；

(2)证明AC1BC,以C为坐标原点，建立空间直角坐标系，分别求出平面M&Bi与平面

M&N的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角当的余弦值.

35.【答案】解：(1)由图与题意可设抛物线的标准方程为：y2=2p“.(p>o).

把点P(l,2)代入抛物线方程可得：22=2p,解得p=2,

•••抛物线的方程为：y2=4x.

(2)••・直线P4与PB的斜率存在且倾斜角互补，

.•.自+的=2+2=穿+分=上+上=0

Xi-1X-1琏T星yi+2y+2，

2442

化简可得%+丫2=-4.

••・直线SB的斜率欧8=徐=麴=念=三=_1.

【解析】(1)由图与题意可设抛物线的标准方程为：y2=2px.(p>0).把点P(l,2)代入抛

物线方程解得p即可得出；

(2)由直线24与PB的斜率存在且倾斜角互补，可得灯+卜2=窘+窘=0,化简可得

%+九=一4.再利用直线的斜率心B=邛即可得出.

“'"JJCi-兀2

本题考查了抛物线的标准方程及其性质、斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力,

属于中档题.

36.【答案】解：(1)根据题意，随机变量X的所有取值为0,1,2,3,4,5,6

•••以这100台机器维修次数的频率代替一台机器维修次数发生的概率.

•••P(x=0)=0.2X0.2=0.04,

P(X=1)=*x0.2x0.1=0.04,

P(X=2)=0.1x0.1+©x0.2x0.4=0.17,

P(X=3)=6x0.1x0.4+6x0.2x0.3=0.2,

P(X=4)=0.4x0.4+废x0.1X0.3=0.22,

P(X=5)=废x0.4x0.3=0.24,P(X=6)=0.3X0.3=0.09.

若采用方案2,则随机变量马的分布列为:

Y27740a+77402a+7740

P0.670.240.09

二随机变量h的期望为：

E(Y2)=0.67x7740+0.24X(a+7740)+0.09x(2a+7740)=7740+0.42a元.

令7740+0.42a=8580,得a=2000元，

①若a<2000,则方案1的费用高，应选择方案2.

②若a=2000,则两种方案费用一样多，可以任选一个方案.

③若a>2000,则方案2的费用高，应选择方案1.

第28页，共35页

【解析】(1)确定随机变量X的所有的取值为0,1,2,3,4,5,6对应的概率即相应频

率，列出分布列即可.

(2)求出(1)中分布列的数学期望，即可做出判断.

本题考查了随机变量的分布列，容易错把统计的100台机器的概率分布当成购买的两台

机器的概率分布，属于难题.

37.【答案】证明：(l)/(x)=x(lnx-1),则/'(x)=Inx,

故熙)=-"(》=-1，

故切线方程是：y+|=-(x-i),即9(切=一%一%

令/i(x)=/(%)-g(%)=x(lnx-1)+x+5则=Inx+1,

令"(x)>0,解得：x>p令九'(x)VO,解得：0<%<},

故在(0彳)递减，在G，+8)递增，

故h(x)>九(})=0,即/(X)Ng(%)；

(2)不妨设<%2，直线y=一不一}与y=a相交于点(%o,a)

又由(1)知：/(%)NgQ)，则。=一&-3=/(%1)29(/)=一与一，

从而%12不0=-。一±当且仅当沏=3。=一/时取“=”，

下面证明：小工。+e，

由于Q=f(不)，故%24Q+e=不工f(%2)+e,即证f(%2)-x2+e>0,

令0(%)=f(x)—x4-e=xlnx-2x+e,则“(%)=Inx-1,

令d(%)>0,解得：x>ef令d(%)V0,解得：0<%<e,

故9(x)在(0,e)递减，在(e,+8)递增，

故@(x)>(p(e)=0,即％24Q+e成立，当且仅当外=e，Q=0时取"="，

由于等号成立的条件不同时满足，

故I%]一小1=%2-V(a+e)-(—a-1)=2a+e4-1.

【解析】(1)求