2021-2022学年北京市门头沟区八年级（上）期末数学试卷

2021-2022学年北京市门头沟区八年级（上）期末数学试卷

一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项,符合题意的选项只有一

个.

1.（2分）焉的相反数是（）

A.V3B.-V3c.±V3D.：

2.（2分）以下四大通讯运营商的企业图标中，是轴对称图形的是（）

B,中国电信

C.中国网通D.中国联通

3.（2分）如果分式t3的值等于0,那么x的值是（）

x+1

A.x--1B.x—3C.x》-1D.xW3

4.（2分）下列事件中，属于必然事件的是（）

A.13人中至少有2个人生日在同月

B.任意掷一枚质地均匀的硬币，落地后正面朝上

C.从一副扑克牌中随机抽取一张，抽到的是红桃A

D.以长度分别是3c/〃，4cm,6c7〃的线段为三角形三边，能构成一个直角三角形

5.（2分）下列等式成立的是（)

A.曲)B-2a+l_a+l

=

b+1b,-2bb

2

CD.a=a

*bb2

6.（2分）下列计算正确的是（)

A-(-V3)2=3b-V(-3)2=-3c-=272D.372=73X2

7.（2分）如图，在△ABC中，AB=AC,NA=36°,分别以A,C为圆心，大于/AC的同

样长为半径作弧，两弧分别交于点M，N,作直线分别交AB,AC于点。，E,连

接CD.有以下四个结论：①NBCQ=NAC£>=36°；②AD=CD=CB；③△BCQ的周

长等于4C+8C；④点。是线段A8的中点.其中正确的结论是（）

C.①②③D.①②③④

8.（2分）如图，在2义2正方形网格中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称

为格点三角形，图中的△A8C为格点三角形，在图中可以画出与△ABC成轴对称的格点

三角形的个数为（）

A.2个B.3个C.4个D.5个

二、填空题（本题共16分，每小题2分）.

9.（2分）4是______的算术平方根.

10.（2分）如果二次根式>/羡有意义，那么x的取值范围是.

11.（2分）如图，已知△ABC,通过测量、计算得△ABC的面积约为cm2（结果保

留一位小数）.

12.（2分）一个转盘盘面被分成6块全等的扇形区域，其中2块是红色，4块是蓝色.用力

转动转盘，当转盘停止后，指针对准红色区域的可能性大小是.

13.（2分）一个等腰三角形的两边长分别是3。*和7cm,则它的周长是cm.

14.（2分）如图，数轴上点A,8对应的实数分别是-1,2,点C在线段AB上运动，如果

点C表示无理数，那么点C可以是（写出一个即可）.

AB

I34I▲A

-2-1012

15.（2分）如图，。为△ABC内一点，AD1.CD,AO平分NC48,且如果

48=10,AC=6,那么C£)=

16.（2分）如图，在△ABC1中，AC\=B\C\,ZCi=20°,在81cl上取一点C2,延长

到点B2,使得81B2=B1C2,在82c2上取一点C3,延长AB2到点&，使得82B3=82C3,

在53c3上取一点C4,延长A83到点以，使得23B4=B3C4,……，按此操作进行下去，

那么第2个三角形的内角/4B2C2=°；第n个三角形的内角Z4B"Cn

26题6分，第27题7分，第28题6分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（6分）计算:

（1）也上；

x+2x+2

⑵4ab2+（±）2.

a

18.（8分）计算：

(1)V8-V27+IV2-31;

⑵(2^3)(2-73)-718-^72.

19.（5分）解方程：————=1.

2

x-3（x-3）

20.（5分）如图,AD,BC相交于点。,AO=DO.

（I）如果只添加一个条件，使得△AOB丝△OOC,那么你添加的条件是

（要求：不再添加辅助线，只需填一个答案即可）；

（2）根据已知及（1）中添加的一个条件，证明：AB=DC.

21.（5分）已知/+2x-5=0,求代数式（x+l—g-）的值.

X-]X2-X

22.（5分）学习分式运算过程中，老师布置了这样一个任务：依据右侧的流程图，计算

a_2ab

a-ba2,b2

（1）依据右侧流程图计算」——也一时，需要经历的路径是_______（只填写序号）;

22

a-ba-b

（2）依据（1）中路径写出正确解答过程.

23.（5分）下面是小丽同学设计的“作30°角”的尺规作图过程.

O~4

图1

已知：如图1,射线。A.

求作：ZAOB,使NAOB=30°.

作法：如图2,

图2

①在射线0A上任取一点C；

②分别以O,C为圆心，0C长为半径作弧，两弧在射线0人的上方交于点D,作射线

0D,并连接CD；

③以。为圆心，任意长为半径作弧，分别交射线。。于点E,F-.

④分别以E,尸为圆心，以大于/EF的同样长为半径作弧，两弧在内部交于点以

⑤作射线。8;

NA08就是所求的角.

根据小丽设计的尺规作图过程，解答下列问题：

（1）使用直尺和圆规，依作法补全图2（保留作图痕迹）；

（2）补全下面证明过程：

证明：连接BE,BF.

'：OC=OD=CD,

...△OCQ是等边三角形.

.,.ZCO£>=0.

又.：OE=OF,BE=BF,OB=OB,

：.^OEB^/\OFB（）（填推理依据）.

：.ZEOB=ZFOB（）（填推理依据）.

.-.ZAOB-1ZCOD=30°.

/AOB就是所求的角.

24.（5分）列方程解应用题：

第24届冬奥会将于2022年2月在中国北京和张家口举行.为了迎接冬奥会，某公司接

到制作12000件冬奥会纪念品的订单.为了尽快完成任务，该公司实际每天制作纪念品

的件数是原计划每天制作纪念品件数的1.2倍，结果提前10天完成任务，求原计划每天

制作多少件冬奥会纪念品？

25.(5分)已知，如图，在△ABC中，ZC=90°,A£＞平分NBAC交8c于。，过。作

:〃AC交AB于E.

(1)求证：AE=DEi

(2)如果AC=3,AD=2«，求AE的长.

26.(6分)阅读理解：

材料：小华在学习分式运算时，通过具体运算：口二，

1X222X323

■^―』二，…，发现规律：-——1——=!」一(n为正整数)，

3X4344X545nX(n+l)nn+1

并证明了此规律成立.应用规律，快速计算：

111..1.11111工J1.19

1X22X33X49X101223349101010

根据材料，回答问题：

在学习二次根式运算时，小华根据分式学习积累的活动经验，类比探究二次根式的运算

规律，并解决问题.请将下面的探究过程，补充完整.

(1)具体运算：

特例1：

特例2：

特例3：

特例4：(填写一个符合上述运算特征的例子).

(2)发现规律:.11("为正整数)，并证明了此规律成立.

n2(n+1)2

(3)应用规律:

①计算

那么n=

27.(7分)已知，在△A8C中，ZBAC=30°，点。在射线BC上，连接AO,ZCAD=a,

点D关于直线AC的对称点为E,点E关于直线AB的对称点为F,直线EF分别交直线

AC,AB于点M,N,连接AF,AE,CE.

(1)如图1,点。在线段BC上.

①根据题意补全图1:

®ZAEF=(用含有a的代数式表示),

ZAMF=

③用等式表示线段MA,ME,MF之间的数量关系，并证明.

(2)点D在线段BC的延长线上，且NC4£)<60°,直接用等式表示线段MA,ME,

M尸之间的数量关系，不证明.

图1备用图

a

28.(6分)对于任意两个非零实数小b,定义运算⑥如下：a®b=J7(a>0)

a+b(a<0)

如：2③3=2，・2)须=-2+3=1.

3

根据上述定义，解决下列问题：

(1)娓®V3=,(-而)®Vs=

(2)如果(/+1)®(x2-x)=1,那么x=

(3)如果(/-3)0x=(-2)求x的值.

2021-2022学年北京市门头沟区八年级（上）期末数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一

个.

1.（2分）料的相反数是（）

A.MB.-V3c.±V3D.近

3

【分析】根据相反数的意义，可得答案.

【解答】解：盗的相反数是

故选：B.

【点评】本题考查了实数的性质，在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数.

2.（2分）以下四大通讯运营商的企业图标中，是轴对称图形的是（）

©

A,中国移动B,中国电信

C.中国网通D.中国联通

【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做

轴对称图形，这条直线叫做对称轴，据此判断即可.

【解答】解：选项A、3、C均不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线

两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，

选项。能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合,

所以是轴对称图形，

故选：D.

【点评】本题主要考查了轴对称图形，熟记定义是解答本题的关键.

3.（2分）如果分式且二3的值等于0,那么x的值是（）

x+1

A.x=-1B.x=3C.Q-1D.xW3

【分析】根据分式的值为0的条件即可得出答案.

【解答】解：根据题意得x-3=0,x+1-0,

，x=3,

故选：B.

【点评】本题考查了分式的值为0的条件，掌握分式的值为0的条件是分子等于0且分

母不等于0是解题的关键.

4.（2分）下列事件中，属于必然事件的是（）

A.13人中至少有2个人生日在同月

B.任意掷一枚质地均匀的硬币，落地后正面朝上

C.从一副扑克牌中随机抽取一张，抽到的是红桃A

D.以长度分别是3CH,4c7”，6c，〃的线段为三角形三边，能构成一个直角三角形

【分析】根据随机事件，必然事件，不可能事件的特点判断即可.

【解答】解：A.13人中至少有2个人生日在同月，这是必然事件，故A符合题意；

艮任意掷一枚质地均匀的硬币，落地后正面朝上，这是随机事件，故3不符合题意；

C.从一副扑克牌中随机抽取一张，抽到的是红桃4,这是随机事件，故C不符合题意；

D.以长度分别是3cm,4cm,6a”的线段为三角形三边，能构成一个直角三角形，这是

不可能事件，故。不符合题意；

故选：A.

【点评】本题考查了随机事件，勾股定理的逆定理，熟练掌握随机事件，必然事件，不

可能事件的特点是解题的关键.

5.（2分）下列等式成立的是（）

A.90B-2a+l_a+l

b+1b,-2b=b

2

D.?=3—

【分析】根据分式的基本性质即可求出答案.

【解答】解：A、且不一定等于旦旦，故A不符合题意.

bb+1

B、如L不一定等于包包，故B不符合题意.

-2bb

C、"=b-a=-故c符合题意.

a-b-（b-a）

2

。、至不一定等于且一,故。不符合题意.

bb2

故选：C.

【点评】本题考查分式的基本性质，解题的关键是熟练运用分式的基本性质，本题属于

基础题型.

6.（2分）下列计算正确的是（）

A-（-V§）2=3B-V（-3）2=-3C.栏=如D.3V2=V3X2

【分析】根据二次根式的性质与二次根式的乘除法法则进行计算即可.

【解答】解：A.（-V3）2=3,故A符合题意；

8N（-3）2=3,故8不符合题意；

C.后=与故C不符合题意；

D3&=3X&,故。不符合题意；

故选：A.

【点评】本题考查了二次根式的性质与二次根式的乘除法，熟练掌握它们的运算法则是

解题的关键.

7.（2分）如图，在△ABC中，AB=AC,ZA=36°,分别以A,C为圆心，大于*AC的同

样长为半径作弧，两弧分别交于点M,N,作直线MM分别交A8,AC于点。，E,连

接CD.有以下四个结论：①N8CZ）=NACD=36°；②AO=C£）=CB；③△BCD的周

长等于AC+8C；④点。是线段A8的中点.其中正确的结论是（）

C.①②③D.①②③④

【分析】根据作图过程可得。E是AC的垂直平分线，然后根据等腰三角形的性质即可逐

一进行判断.

【解答】解：根据作图过程可知：DE是AC的垂直平分线，

：.DA^DC,

：.ZA=ZACD=36a,

"：AB=AC,ZA=36°,

AZABC=ZACB=12°,

；.NBCD=36°,

：.ZBCD=ZACD=36°；故①正确；

：.ZCDB=12°,

：.CD=CB,

：.AD=CD=CB,故②正确；

△BCD的周长等于BD+CD+BC=BD+AD+BC=AB+BC=AC+BC；故③正确；

...点。不是线段AB的中点，故④错误.

其中正确的结论是①②③.

故选：C.

【点评】本题考查了作图-基本作图，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，解

决本题的关键是掌握线段垂直平分线的作法.

8.（2分）如图，在2义2正方形网格中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称

为格点三角形，图中的△A8C为格点三角形，在图中可以画出与AABC成轴对称的格点

三角形的个数为（）

C.4个D.5个

【分析】根据网格结构分别确定出不同的对称轴，然后作出成轴对称的三角形即可得解.

【解答】解：如图所示：

故选：D.

【点评】本题考查了利用轴对称变换作图，熟练掌握网格结构并准确找出对应点的位置

是解题的关键，本题难点在于确定出不同的对称轴.

二、填空题（本题共16分，每小题2分）.

9.（2分）4是16的算术平方根.

【分析】如果一个非负数x的平方等于m那么x是。的算术平方根，由此即可求出结果.

【解答】解：•••42=16,

，4是16的算术平方根.

故答案为：16.

【点评】此题主要考查了算术平方根的概念，牢记概念是关键.

10.（2分）如果二次根式J羡有意义，那么x的取值范围是

【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数是非负数即可得出答案.

【解答】解：•.”-520,

故答案为：x》5.

【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件：被开方数是

非负数是解题的关键.

11.（2分）如图，已知△ABC,通过测量、计算得△A8C的面积约为1.2cm1（结果保

留一位小数）.

【分析】过8点作于H,如图，通过测量得到B”=0.7cm,AC=3.5cm,然后

利用三角形面积公式进行近似计算.

【解答】解：过B点作于H,如图，

量得8”=0.7tro,AC=3.5cm,

所以SAABC=」X3.5X0.7七1.2(C/M2).

2

故答案为：1.2.

【点评】本题考查了三角形的面积：三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即弘

=』X底X高.也考查了近似数.

2

12.（2分）一个转盘盘面被分成6块全等的扇形区域，其中2块是红色，4块是蓝色.用力

转动转盘，当转盘停止后，指针对准红色区域的可能性大小是1.

一3一

【分析】用红色区域的块数除以所有扇形区域总数即可求得可能性大小.

【解答】解：•••一个转盘盘面被分成6块全等的扇形区域，其中2块是红色，

指针对准红色区域的可能性大小是2=工，

63

故答案为：1.

3

【点评】本题考查了概率公式：随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数除

以所有可能出现的结果数.P（必然事件）=1;P（不可能事件）=0.

13.（2分）一个等腰三角形的两边长分别是3。*和7c/n,则它的周长是17cm.

【分析】等腰三角形两边的长为3c”和7c机，具体哪条是底边，哪条是腰没有明确说明，

因此要分两种情况讨论.

【解答】解：①当腰是3cm,底边是7c机时：不满足三角形的三边关系，因此舍去.

②当底边是3cm,腰长是7a"时，能构成三角形，则其周长=3+7+7=17c〃?.

故答案为：17.

【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；己知没有明确腰和底边的

题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解

答，这点非常重要，也是解题的关键.

14.（2分）如图，数轴上点4,8对应的实数分别是-1,2,点C在线段4B上运动，如果

点C表示无理数，那么点C可以是后（答案不唯一）（写出一个即可）.

B

IIIIIA

-2-1012

【分析】根据所写无理数的取值范围可得答案.

【解答】解：在-1和2之间的无理数可以是加、炳、ir-2等，

故答案为：近（答案不唯一）.

【点评】本题考查实数与数轴，会估算无理数的大小是解题关键.

15.（2分）如图，。为△ABC内一点，ADLCD,AD平分NC4B,且NOCB=NB.如果

AB=10,AC=6,那么CD=2.

【分析】延长CD交AB于E,证明AACE是等腰三角形，利用等腰三角形三线合一得

CD=DE,再由等角对等边得CE=BE=4,进而可得答案.

【解答】解：如图，延长CD交AB于E,

"：CDLAD,

：.ZADE=ZADC=90",

：A。平分NCAB,

J.ZEAD^ZCAD,

：.NAED=ZACD,

.\AE=AC=69

：.DE=CD,

VAB=10,

・•・"=10-6=4,

•:NB=NBCD,

：.BE=CE=4f

：.CD=1.CE=2.

2

故答案为：2.

【点评】本题考查的是等腰三角形的性质和判定，熟练掌握等腰三角形的性质和判定是

关键.

16.(2分)如图，在△ABiCi中，AC\=B\Ci,ZCi=20°,在BiCi上取一点C2,延长ABi

到点82,使得BI82=BIC2,在82c2上取一点C3,延长A比到点83,使得8283=82C3,

在B3c3上取一点C4,延长A83到点使得B3B4=B3c4,,按此操作进行下去,

那么第2个三角形的内角NAB2c2=40°；第n个三角形的内角N4&G=

再根据三角形外角的性质及等

腰三角形的性质分别求出NA81C1,NC2B2B1及NC4B4B3的度数，找出规律即可得出答

案.

【解答】解:在△A1C1中,AC\=B\C\,NC1=2O°,

AZAB\C\=1.(1800-ZCi)=80°,

2

：BIB2=BIC2,NA81cl是△81B2C2的外角,

/.ZC2B2B\=^./AB\C\=40°；

同理可得,

ZC2B2fil=20°,ZC4fi4fi3=10o,

ZAB„Cn=——,

2小

故答案为：40,

2n-1

5

A

A,A,A3A4A„

【点评】本题考查的是等腰三角形的性质及三角形外角的性质，找出规律是解答此题的

关键.

三、解答题（本题共68分，第17题6分，第18题8分，第19〜25题，每小题6分，第

26题6分，第27题7分，第28题6分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（6分）计算：

（1）包上；

x+2x+2

⑵4ab2。（*）4

a

【分析】（1）根据分式的加法运算法则即可求出答案.

（2）根据分式的除法运算法则即可求出答案.

【解答】解：（1）原式=配电

x+2

=3（x+2）

x+2

=3.

,2

⑵原式=4ab2.与

a

2

=4ab2-^y

=4a3.

【点评】本题考查分式的混合运算，解题的关键是熟练运用分式的加法运算以及除法运

算，本题属于基础题型.

18.（8分）计算：

⑴V8-V27+IV2-3|;

（2）（2+73）（2-V3）-V184-V2.

【分析】（1）首先计算开方、开立方和绝对值，然后从左向右依次计算，求出算式的值

即可.

(2)首先应用平方差公式，计算(2+a)(2-V3)«然后计算除法，最后从左向右依

次计算即可.

【解答】解：⑴我-加7+I加-3I

=2&-3+(3-V2)

=2&-3+3-&

=V2.

⑵(2W3)(2-V3)-V184-72

=22-(炳产3

=4-3-3

=-2.

【点评】此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，

和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有

括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行.另外，有理数的运算

律在实数范围内仍然适用.

19.(5分)解方程：——?——=1.

2

x-3(x-3)

【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到X的值，经检验即可

得到分式方程的解.

【解答】解：方程两边同时乘(x-3)2得:x(x-3)-3=(X-3)2,

整理得：3x-3=/-6x+9,

移项合并得：3x=12,

解得：x—4,

检验：当x=4时，(尤-3)2/0,

；.x=4是原方程的解，

原方程的解是x=4.

【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验.

20.(5分)如图，AD,8C相交于点O,40=00.

(1)如果只添加一个条件，使得△408g△OOC,那么你添加的条件是NC=如妹(答

案不唯一•).

(要求：不再添加辅助线，只需填一个答案即可)；

(2)根据已知及(1)中添加的一个条件，证明：AB=DC.

【分析】(1)根据全等三角形的判定定理可得出答案；

(2)证明△AOBg/\OOC(AS4),由全等三角形的性质可得出结论.

【解答】(1)解：'：OA=OD,而NAOB=NOOC,

.,.当/A=N£>,或NB=NC时，

可利用“AS4”证明△ABO丝△£>C0.

...当BO=OC,可利用“SAS”证明△480名△DCO.

故答案为：ZA=Z£>(答案不唯一)；

(2)证明：在△AOB和△OOC中，

'/A=ND

<AO=DO>

ZAOB=ZDOC

.♦.△AOBdOOC(ASA),

：.AB=DC.

【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质；熟记全等三角形的判定方法是解决问题

的关键.

21.(5分)已知/+2x-5=0,求代数式(x+l—g-)的值.

X-]X2-X

【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变

形，约分得到最简结果，把已知等式变形后代入计算即可求出值.

【解答】解：原式=[(x+1)(X-1)-2]+X-2、

X-1X-1X(X-1)

=-2-1-3上x-2

x-1x(x-1)

=乂2-4二,-2

x-1x(x-1)

=(x+2)(x-2)•x(xT)

x-lx~2

—x(x+2),

=X2+2X,

当，+2工-5=0时，X2+2X=5,

・•・原式=5.

【点评】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键.

22.（5分）学习分式运算过程中，老师布置了这样一个任务：依据右侧的流程图，计算

a2ab

a-ba2_b2

（1）依据右侧流程图计算」——辿一时，需要经历的路径是②④（只填写序号）;

afa2.b2

（2）依据（1）中路径写出正确解答过程.

【分析】（1）根据分式的减法运算法则即可求出答案.

(2)根据分式的减法运算法则即可求出答案.

【解答】解：(1)②④；

(2)原式2ab

a-b(a+b)(a-b)

=a(a+b)_2ab

(a+b)(a-b)(a+b)(a-b)

=a：+ab-2ab

(a+b)(a-b)

=/-ab

(a+b)(a-b)

—a(a-b)

(a+b)(a-b)

—a

a+b

【点评】本题考查分式的减法运算，解题的关键是熟练运用分式的减法运算，本题属于

基础题型.

23.（5分）下面是小丽同学设计的“作30°角”的尺规作图过程.

0A

图1

已知：如图1,射线OA.

求作：ZAOB,使乙408=30°.

作法：如图2,

图2

①在射线OA上任取一点C；

②分别以O,C为圆心，OC长为半径作弧，两弧在射线OA的上方交于点D,作射线

OD,并连接C。；

③以。为圆心，任意长为半径作弧，分别交射线04于点E,F；

④分别以E,F为圆心，以大于*EF的同样长为半径作弧，两弧在NA。。内部交于点B；

⑤作射线OB；

...NAOB就是所求的角.

根据小丽设计的尺规作图过程，解答下列问题：

（1）使用直尺和圆规，依作法补全图2（保留作图痕迹）；

（2）补全下面证明过程：

证明：连接BE,BF.

•：OC=OD=CD,

...△OCZ）是等边三角形.

AZC0D=60°.

又,：0E=0F,BE=BF,OB=OB,

...△OEB四△0F8（SSS）（填推理依据）.

；.NEOB=/FOB（全等三角形对应角相等）（填推理依据）.

•••N40B=/NCOD=30。•

...N4OB就是所求的角.

【分析】（1）根据作图过程即可补全图形；

（2）根据等边三角形的判定和性质，全等三角形的性质即可完成证明.

【解答】解：（1）如图，即为补全的图形；

图2

（2）证明：连接BE,BF.

,:OC=OD=CD,

•**/\OCD是等边三角形.

：.ZCOD=60°.

XVOE=OF,BE=BF,OB=OB,

:.AOEB学/\OFB（SSS）,

：.NEOB=NFOB（全等三角形对应角相等），

••.NAOB=/NCOD=30°•

/.NAOB就是所求的角.

故答案为：60°,SSS,全等三角形对应角相等.

【点评】本题考查了作图-复杂作图，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性

质，等边三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握线段垂直平分线的作法.

24.（5分）列方程解应用题：

第24届冬奥会将于2022年2月在中国北京和张家口举行.为了迎接冬奥会，某公司接

到制作12000件冬奥会纪念品的订单.为了尽快完成任务，该公司实际每天制作纪念品

的件数是原计划每天制作纪念品件数的1.2倍，结果提前10天完成任务，求原计划每天

制作多少件冬奥会纪念品？

【分析】设原计划每天制作x件冬奥会纪念品，则实际每天制作1.2%件冬奥会纪念品.由

题意：某公司接到制作12000件冬奥会纪念品的订单.为了尽快完成任务，该公司实际

每天制作纪念品的件数是原计划每天制作纪念品件数的1.2倍，结果提前10天完成任务,

列出分式方程，解方程即可.

【解答】解：设原计划每天制作x件冬奥会纪念品，则实际每天制作1.2x件冬奥会纪念

品，

根据题意，得：12000J200p=10>

x1.2x

解得：x=200,

经检验，x=200是原方程的解，且符合题意，

答：原计划每天制作200件冬奥会纪念品.

【点评】本题考查了分式方程的应用.找准等量关系，列出分式方程是解决问题的关键.

25.(5分)已知，如图，在△ABC中，ZC=90°,A£>平分N8AC交8c于。，过。作

M:〃AC交AB于£

(1)求证：AE=DEi

(2)如果AC=3,AD=2«，求AE的长.

【分析】(1)根据平行线的性质和角平分线的定义解答即可；

(2)过点D作DF1AB于F,根据勾股定理和全等三角形的判定和性质解答即可.

【解答】(1)证明：；DE〃AC,

：.ZCAD^ZADE,

平分/BAC,

：.ZCAD^ZEAD.

：.ZEAD=ZADE.

：.AE=DE；

(2)解：过点。作OFLA8于F.

D

AEkB

cr

：/C=90。，AC=3,AD=2«，

在RtZXACQ中，由勾股定理得AC2+OC2=AZ)2.

；•DC=V3.

,：AD平分NBAC,

:.DF=DC=M.

5L'：AD=AD,/C=/A尸£>=90°,

ARtADAC^RtADAF(HL).

；.AF=AC=3,

...RtZXOEF中，由勾股定理得E尸+。尸=£>5.

设AE=x,则DE=x,EF=3-x,

(3-x)2-f-(V3)2=x2>

；.AE=2.

【点评】本题考查勾股定理，根据勾股定理和全等三角形的判定和性质解答是解题关键.

26.（6分）阅读理解:

材料：小华在学习分式运算时，通过具体运算：-J—=1_1,

1X222X323

二一』二，」—［二，•••，发现规律：-----1--------卫」一（n为正整数）,

3X4344X545nX（n+l）nn+1

并证明了此规律成立.应用规律，快速计算：

111,十1

1X2*2X3+3X49X10本1得啥

根据材料，回答问题:

在学习二次根式运算时，小华根据分式学习积累的活动经验，类比探究二次根式的运算

规律，并解决问题.请将下面的探究过程，补充完整.

（1）具体运算:

特例1：

1X22

(填写一个符合上述运算特征的例子).

(2)发现规律：JiJ-—1二=7+「、("为正整数)，并

Vn2(n+1)2—n(n+l)nn+1-

证明了此规律成立.

(3)应用规律：

①计算

｛咔?+)噪小+一千।'2।(Ji"十小号7号蒋

那么〃=5

【分析】(1)根据特例进行分析求解;

(2)根据特例中数字变化规律进行分析求解；

(3)①应用运算规律和二次根式的性质进行化简计算;

②根据①中得结论可解答.

(2)由题意可得:L1.1.,111理由如下:

V卜产(n+1)2+n(n+1)+nn+1

11

1+

(n+l)2+n2

22

n(n+l)

2n(n+1)+1

22

n(n+l)

口"IT]?

=1+.1

n(n+1)

=c；

nn+1

故答案为：i+J、=14-1

n(n+1)nn+1

=15

=99.»

10

②

…+J1H--•<------+J1+-111

V(n-2)2(n-1)2V(n-1)2n25

An--=n-A,

n5

••〃=5.

故答案为：5.

【点评】本题是对数字变化规律的考查和二次根式的混合运算，读懂题目信息，理解各

种简便运算方法的操作是解题的关键.

27.（7分）已知，在△ABC中，/B4C=30°，点。在射线BC上，连接A。，ACAD=a,

点。关于直线AC的对称点为E,点E关于直线AB的对称点为F,直线EF分别交直线

AC,AB于点M,N,连接AF,AE,CE.

（1）如图1,点£>在线段BC上.

①根据题意补全图1:

@ZAEF^60°-a（用含有a的代数式表示），

NAMA=60°；

③用等式表示线段MA,ME,MF之间的数量关系，并证明.

（2）点D在线段BC的延长线上，且/CAO<60°,直接用等式表示线段MA,ME,

MF之间的数量关系，不证明.