2021-2022学年江苏省某中学教育集团树人学校八年级（上）期末数学试卷

2021-2022学年江苏省扬州中学教育集团树人学校八年级（上）

期末数学试卷

一.选择题（共8题，每题3分，共24分）

1.（3分）（2020•新野县三模）新冠疫情发生以来，各地根据教育部“停课不停教，停课不

停学”的相关通知精神，积极开展线上教学.下列在线学习平台的图标中，是轴对称图

形的是（）

2.（3分）（2021•饶平县校级模拟）下列实数0,2,弧,71,其中，无理数共有（）

3

A.1个B.2个C.3个D.4个

3.（3分）（2018秋•淮安区期末）已知等腰三角形的两边长为4,5,则它的周长为（）

A.13B.14C.15D.13或14

4.（3分）（2020秋•蜀山区期末）平面直角坐标系中，点（/+i,2020）所在象限是（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

5.（3分）（2022•市南区校级二模）若关于x的方程-2x+8=0的解为x=2,则直线y=-

2x+b一定经过点（）

A.（2,0）B.（0,3）C.（4,0）D.（2,5）

6.（3分）（2020秋•蜀山区期末）如图，点B,C在线段AO上，AB=CD,AE//BF,添加

一个条件仍不能判定△AEC丝的是（）

A.AE=BFB.CE=DFC.ZACE=ZBDFD.NE=NF

7.（3分）（2020秋•李沧区期末）满足下列条件时，△ABC不是直角三角形的是（）

A.AB=^m^BC=4,AC=5B.AB：BC：AC=3：4：5

C.ZA：ZB：NC=3：4：5D.ZA=40°,ZB=50°

8.（3分）（2009•宁波）如图，点4,B,C在一次函数y=-Zr+"的图象上，它们的横坐

标依次为-1,1,2,分别过这些点作x轴与y轴的垂线，则图中阴影部分的面积之和是

（）

二.填空题（共10题，每题3分，共3（）分）

9.（3分）（2018•上海）-8的立方根是.

10.（3分）（2019秋•淮阴区期末）已知一次函数）=履+1的图象经过点P（-1,0）,则k

11.（3分）（2020秋•洪山区期末）如图，在x、y轴上分别截取。4、OB,使。4=08,再

分别以点A、8为圆心，以大于」X8的长度为半径画弧，两弧交于点C.若C的坐标为

2

12.（3分）（2022春•齐齐哈尔期末）已知点（-2,yi）,（2,*）都在直线y=2x-3上，

贝Uyi）2.（填或“〉"或"="）

13.（3分）（2014•永嘉县校级模拟）如图，矩形ABC。中，A8=3,AD=1,4B在数轴上,

若以点A为圆心，对角线4c的长为半径作弧交数轴的正半轴于例，则点M的表示的数

为

DC

012M

14.（3分）（2019秋•太仓市期末）若点2+M关于原点的对称点P'在第四象

限，则机的取值范围是.

15.（3分）（2020秋•济南期末）如图,将一张长方形纸片如图所示折叠后，再展开.如果

Zl=66°,那么N2=

16.（3分）（2020秋•青岛期末）如图1、2（图2为图1的平面示意图），推开双门，双门

间隙8的距离为2寸，点C和点。距离门槛AB都为1尺（1尺=10寸），则的长

门槛

图1图2

17.（3分）（2021秋•广陵区校级期末）现有甲、乙两个长方体蓄水池，将甲池中的水匀速

注入乙池，甲、乙两个蓄水池中水的深度y（米）与注水时间x（小时）之间的函数图象

如图所示，当甲、乙两池中水的深度相同时，则水的深度为m.

18.（3分）（2021秋•广陵区校级期末）已知小b,c分别是Rt^ABC的三条边长，c为斜

边长，NC=90°,我们把关于x的形如的一次函数称为“勾股一次函数”.若

CC

点P（-1,亚）在“勾股一次函数”的图象上，且RtA/lBC的面积是9,则c的值

22

是.

19.（8分）（2020秋•无锡期末）（1）计算：V4-（V3-IT）°+（A）-2；

3

（2）（2x7）3-27=0.

20.（8分）（2021秋•广陵区校级期末）已知y-3与x+4成正比例，且当x=-l时，y=-

3.求：

（1）y与x之间的函数表达式；

（2）当x=-5时，y的值.

21.（8分）（2021秋•广陵区校级期末）如图所示，在平面直角坐标系中，已知A（0,1）、

B（2,0）、C（4,3）.

（1）在平面直角坐标系中画出△ABC,则△ABC的面积是

（2）若点D与点C关于y轴对称，则点D的坐标为；

（3）已知P为x轴上一点，若AABP的面积为1,求点P的坐标.

22.（8分）（2021秋•朝阳区期末）如图，有一张四边形纸片ABC。，ABLBC.经测得AB

—9cm,BC—\2cm,CD=8cm,AD—\lcm.

（1）求A、C两点之间的距离.

（2）求这张纸片的面积.

23.（10分）（2020秋•齐河县期末）沛沛沿一段笔直的人行道行走，边走边欣赏风景，在由

C走到。的过程中，通过隔离带的空隙P,刚好浏览完对面人行道宣传墙上的一条标语.具

体信息如下：如图，AB//PM//CD,相邻两平行线间的距离相等.AC,BD相交于P,

PCCD垂足为D已知CQ=16米.请根据上述信息求标语AB的长度.

人行道.C

_______________[“.”":一车行道

车行道一________________"隔离带一

~\B人行道

人们对美好生活的向往就是我们奋斗的目标

24.（10分）（2018•镇江）如图，△ABC中，AB=AC,点E,F在边8c上，BE=CF,点

。在AF的延长线上，AD=AC.

（1）求证：AAB£^AACF；

（2）若/BAE=30。，fJllJZADC=

25.（10分）（2021秋•广陵区校级期末）如图，在平面直角坐标系，中，过点（-6,0）

的直线/1与直线/2：y2=2x相交于点B（小，4）.

（1）求直线人的表达式；

（2）直线/1与），轴交于点求△BOM的面积.

（3）若”2yi,直接写出x的取值范围.

26.（10分）（2021秋•广陵区校级期末）甲、乙两车从A城出发匀速行驶至B城.在整个

行驶过程中，甲、乙两车离开A城的距离y（km）与甲车行驶的时间r（//）之间的函数

关系如图所示.

（1）A,B两城相距千米；

（2）当时，求乙车离开A城的距离y（km）与甲车行驶的时间，（人）之间的函

数关系式；

（3）乙车出发后小时追上甲车.

27.（12分）（2021秋•广陵区校级期末）如图1,在矩形0AC8中，点4,B分别在x轴、y

轴正半轴上，点C在第一象限，OA=8,08=6.

（1）请直接写出点C的坐标；

（2）如图②，点尸在BC上，连接AF,把沿着A尸折叠，点C刚好与线段AB上

一点C'重合，求线段CF的长度；

（3）如图3,动点尸（x,y）在第一象限，且点P在直线），=2x-4上，点。在线段4C

上，是否存在直角顶点为尸的等腰直角三角形BDP,若存在，请求出直线尸。的解析式；

28.（12分）（2021秋•广陵区校级期末）如图1,在平面直角坐标系中，直线A8与x轴交

于点A,与y轴交于点8,与直线OC：y=x交于点C.

(1)若直线AB解析式为y=-2x+12,求：

①求点C的坐标；

②求△OAC的面积.

(2)在(1)的条件下，若尸是x轴上的一个动点，直接写出当△POC是等腰三角形时

P的坐标.

(3)如图2,作/AOC的平分线。凡若ABLOF,垂足为E,0A=4,P是线段AC上

的动点，过点P作。C,0A的垂线，垂足分别为M,N,试问PM+PN的值是否变化，

若不变，求出PM+PN的值；若变化，请说明理由.

2021-2022学年江苏省扬州中学教育集团树人学校八年级（上）

期末数学试卷

参考答案与试题解析

一.选择题（共8题，每题3分，共24分）

1.【考点】轴对称图形.

【专题】平移、旋转与对称；几何直观.

【分析】根据“如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图

形叫做轴对称图形”判断即可得.

【解答】解：四个图形中是轴对称图形的只有4选项，

故选：A.

【点评】本题主要考查轴对称图形，解题的关键是掌握如果一个图形沿一条直线折叠，

直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴.

2.【考点】无理数；算术平方根.

【专题】实数.

【分析】根据无理数的定义解答即可.

【解答】解：下列实数0,2,7T,其中，无理数有我，TT,

3

故选：B.

【点评】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：TT,2n等；

开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样无限不循环小数.

3.【考点】等腰三角形的性质；三角形三边关系.

【分析】分情况考虑：当4是腰时或当5是腰时，然后分别求出两种情况下的周长.

【解答】解：当4是腰时，能组成三角形，周长为4X2+5=13；

当5是腰时，则三角形的周长是4+5X2=14.

故选：D.

【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的

题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解

答，这点非常重要，也是解题的关键.此类题不要漏掉一种情况，同时注意看是否符合

三角形的三边关系.

4.【考点】点的坐标.

【专题】平面直角坐标系；符号意识.

【分析】根据非负数的性质可得。2+1再根据各象限内点的坐标的符号解答即可.

【解答】解:因为次+121,

所以点（J+I,2020）所在象限是第一象限.

故选：A.

【点评】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解

决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+,+）;第二象限（-,+）；第三象

限（-,-）；第四象限（+,-）.

5.【考点】一次函数与一元一次方程.

【专题】用函数的观点看方程（组）或不等式；运算能力.

【分析】根据方程可知当x=2,y=0,从而可判断直线y=-2x+b经过点（2,0）.

【解答】解：由方程的解可知：当x=2时，-2x+8=0,即当x=2,y=0,

直线y=-2x+8的图象一定经过点（2,0）,

故选：A.

【点评】本题主要考查的是一次函数与一元一次方程的关系，掌握一次函数与一元一次

方程的关系是解题的关键.

6.【考点】全等三角形的判定.

【专题】图形的全等；推理能力.

【分析】根据全等三角形的判定，一一判断即可.

【解答】解：

ZA=ZFBD,

\"AB=CD,

：.AC=BD,

当AE=B尸时，根据SAS可以判定三角形全等，

当CE=DF时，SSA不能判定三角形全等.

当NACE=N£＞时，根据ASA可以判定三角形全等.

当NE=N/时，根据AAS可以判定三角形全等，

故选：B.

【点评】本题考查全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法，

属于中考常考题型.

7.【考点】勾股定理的逆定理；三角形内角和定理.

【专题】三角形；等腰三角形与直角三角形；运算能力.

【分析】根据勾股定理的逆定理和三角形的内角和定理逐个判断即可.

【解答】解：A.；AB=E，BC=4,AC=5,

：.BC1+AC1=AB1=^\,

/.ZC=90°,

即AABC是直角三角形，故本选项不符合题意；

B.'：AB：BC：AC=3：4：5（设AB=3x,BC=4x,AC=5x）,

：.AB2+BC2=AC2,

：.ZB=90°,

...△48C是直角三角形，故本选项不符合题意；

C."：ZA：NB：ZC=3：4：5,NA+NB+NC=180°,

最大角/C=——X1800=75°,

3+4+5

...△A8C不是直角三角形，故本选项符合题意；

D.•.•/A=40°,ZB=50°,

.,.NC=180°-ZA-ZB=90°,

...△ABC是直角三角形，故本选项不符合题意；

故选：C.

【点评】本题考查了勾股定理的逆定理和三角形的内角和定理，注意：①如果一个三角

形的两边4、b的平方和等于第三边C的平方，那么这个三角形是直角三角形，②三角形

的内角和等于180°.

8.【考点】一次函数综合题；三角形的面积.

【专题】压轴题.

【分析】设轴于点。；BFLy轴于点尸；BGLCG于点G,然后求出A、B、C、

D、E、F、G各点的坐标，计算出长度，利用面积公式即可计算出.

【解答】解：由题意可得：A点坐标为（-1,2+m），8点坐标为（1,-2+m）,C点坐

标为（2,巾-4）,。点坐标为（0,2+m）,E点坐标为（0,帆），F点坐标为（0,-2+加）,

G点坐标为（1,利-4）.

所以，DE=EF=BG=2+m-m=ni-(-2+相)=-2+m-(m-4)=2,又因为A£)=

BF=GC=l,所以图中阴影部分的面积和等于工X2X1X3=3.

【点评】本题灵活考查了一次函数点的坐标的求法和三角形面积的求法.

二.填空题(共10题，每题3分，共30分)

9.【考点】立方根.

【分析】利用立方根的定义即可求解.

【解答】解：(-2)3=-8,

-8的立方根是-2.

故答案为：-2.

【点评】本题主要考查了立方根的概念.如果一个数x的立方等于。，即x的三次方等于

a(?=«),那么这个数x就叫做〃的立方根，也叫做三次方根.读作“三次根号其

中，。叫做被开方数，3叫做根指数.

10.【考点】一次函数图象上点的坐标特征.

【专题】一次函数及其应用.

【分析】将点P坐标代入解析式可求k的值.

【解答】解：•••一次函数y=fcc+l的图象经过点P(-1,0),

.•.0=-k+1

k—1

故答案为：1

【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握函数图象上的点的坐标满

足函数解析式.

11.【考点】坐标与图形性质；作图一基本作图.

【专题】平面直角坐标系；几何直观.

【分析】根据题目中尺规作图可知，点C在NA08角平分线上，所以C点的横坐标和纵

坐标相等，即可以求出。的值.

【解答】解：根据题目尺规作图可知，交点C是N40B角平分线上的一点，

•点C在第一象限，

.•.点C的横坐标和纵坐标都是正数且横坐标等于纵坐标（角平分线性质），即3a=4+10,

得a—5,

故答案为：5.

【点评】本题考查了角平分线尺规作图，结合直角坐标系象限符号，求解坐标，比较容

易求解.

12.【考点】一次函数的性质.

【专题】一次函数及其应用；推理能力.

【分析】由/=2>0,利用一次函数的性质可得出y随x的增大而增大，再结合-2<2

即可得出yi<y2.

【解答】解：：k=2>0,

随x的增大而增大，

又；-2<2,

."•yi<y2.

故答案为：V.

【点评】本题考查了一次函数的性质，牢记“&>0,y随尤的增大而增大；k<0,），随x

的增大而减小”是解题的关键.

13.【考点】勾股定理；实数与数轴.

【专题】数形结合.

【分析】首先根据勾股定理计算出AC的长，进而得到AM的长，再根据A点表示-1,

可得M点表示的数.

【解答】解：2KB2==32+].2=J]0，

则AM=A/10-

'-'A点表示-1,

点表示-1,

故答案为：Vio-1•

【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，关键是掌握勾股定理：在任何一个直角三角

形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边边长的平方.

14.【考点】关于原点对称的点的坐标.

【专题】平面直角坐标系；符号意识.

【分析】直接利用关于原点对称点的性质得出P(-3〃?+1,-2-〃?)，进而得出不等

式组答案.

【解答】解：..•点尸(3〃L1,2+小)关于原点的对称点P'(-3w+l,-2-,〃)在第四

象限，

.＞0

解得：-2＜加＜小.

3

故答案为：-2〈机〈工.

3

【点评】此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确掌握第四象限点的坐标特点是解

题关键.

15.【考点】平行线的性质.

【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力；应用意识.

【分析】根据折叠的性质和平行线的性质，可以得到N2的度数，从而可以解答本题.

【解答】解：由折叠的性质可知，

Z1=Z3,

VZ1=66°,

/.Z3=66°,

:长方形的两条长边平行，

.*.Z2+Z1+Z3=18O°,

；./2=48°,

故答案为：48°.

【点评】本题考查平行线的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解

答.

16.【考点】勾股定理的应用.

【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力；推理能力；应用意识.

【分析】取A8的中点0,过。作QELA8于E,根据勾股定理解答即可得到答案.

【解答】解：取的中点0,过。作。于E,如图2所示：

由题意得：0A=0B=AD^BC,

设0A=0B=AD=BC=r寸，

则AB=2r（寸），DE=10寸，0E=」CQ=l寸，

2

：.AE=0A-0E=（r-1）寸，

在RtZXADE中，由勾股定理得：AE1+DEi=Ab1,

即（r-1）2+102=r2>

解得：r=50.5,

/.AB=2r=101（寸），

故答案为：101寸.

图2

【点评】本题考查了勾股定理的应用，弄懂题意，正确作出辅助线构建直角三角形是解

题的关键.

17.【考点】一次函数的应用.

【专题】一次函数及其应用；应用意识.

【分析】根据函数图象中的数据可以求得相应的函数解析式；联立两个函数解析式，即

可求交点P的坐标，点P的纵坐标即为所求.

【解答】解：设yi为甲池中的水深度与注水时间x之间的函数表达式是）1=如什历，

.匕=4

匕+b1=0,

k[=-4

解得，

b[=4

即yi=-4x+4(0<xWl),

设”乙池中的水深度与注水时间X之间的函数表达式是y2=k2X+b2,

..,%2=2,

**k2+b2=8'

'0=6

解得1,

b2=2

即”=6x+2(OWxWl)；

令yi—y2,则-4x+4=6x+2,

解得：了=工，

5

y=6X工+2=里

55

：.p(A,li),

55

当甲、乙两池中水的深度相同时，则水的深度为西米，即3.2米.

5

故答案为：3.2.

【点评】本题考查一次函数的应用，涉及待定系数法求一次函数表达式，一次函数的交

点问题等内容；解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式，利用一次函数的

性质解答.

18.【考点】一次函数图象上点的坐标特征；勾股定理.

【专题】一次函数及其应用；等腰三角形与直角三角形；运算能力；推理能力.

【分析】由点P(-1,亚)在“勾股一次函数”的图象上将尸点坐标代入计算可得

2

b,c之间的关系a?-2"+户=1？，再根据Rt/vlBC的面积是9,可求解必=9,再由

22

勾股定理计算可求解.

【解答】解：•••点P(-1,&在“勾股一次函数”的图象上，

_2

.V2_ba

••---―,

2cc

即。-

2

/.(.a-b)2=AC2,

2

'.(?-2ab+序=L2,

2

•.•L△ABC的面积是9,

2

:.ab=9,

.'.(r+b2-_1(?=]8,

2

".'cr+b2—^,

c2-Ac-2—18,

2

解得c=6(舍去负值)，

故答案为：6.

【点评】本题主要考查一次函数图象上点的特征，三角形的面积，勾股定理等知识，利

用一次函数图象上点的特征，求解a,b,c之间的关系式解题的关键.

三.解答题(共10小题)

19.【考点】实数的运算；零指数累；负整数指数嘉；立方根.

【专题】计算题；实数；运算能力.

【分析】(1)直接利用负整数指数幕的性质、二次根式的性质分别化简得出答案.

(2)根据立方根的含义和求法计算即可.

【解答】解：(1)原式=2-1+9

=10；

(2)(2x7)3-27=0,

/.(2x-1)3=27,

：.2x-1=3,

解得x=2.

【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键.

20.【考点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的性质.

【专题】二次函数图象及其性质；推理能力.

【分析】(1)设)-3=上(x+4),通过待定系数法求解.

(2)将x=-5代入解析式求解.

【解答】解：(1)设y-3=&(x+4),

将x=-1,y=-3代入y-3=k(x+4)得-3-3=3%,

解得k=-2,

：.y-3=-2(x+4),即y=-2x-5.

(2)把犬=-5代入y=-2x-5得丫=-2X(-5)-5=5.

【点评】本题考查待定系数法求函数解析式，解题关键是掌握一次函数与方程的关系，

由y-3与x+4成正比例设y-3=/(x+4).

21.【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标；三角形的面积.

【专题】平面直角坐标系；符号意识.

【分析】(1)直接利用△ABC所在矩形面积减去周围三角形面积进而得出答案；

(2)利用关于y轴对称点的性质得出答案；

(3)利用三角形面积求法得出符合题意的答案.

【解答】解：⑴如图所示：AABC的面积是：3X4-^-xIX2-^-x2X4-^-x2X3

=4；

故答案为：4；

(2)点。与点C关于y轴对称，则点。的坐标为：(-4,3)；

故答案为:(-4,3)；

(3)•..尸为x轴上一点，△A8P的面积为1,

：.BP=2,

.•.点P的横坐标为:2+2=4或2-2=0,

故P点坐标为：(4,0)或(0,0).

【点评】此题主要考查了三角形面积求法以及关于y轴对称点的性质，正确得出对应点

位置是解题关键.

22.【考点】勾股定理的逆定理；勾股定理.

【专题】等腰三角形与直角三角形；应用意识.

【分析】(1)由勾股定理可直接求得结论：

(2)根据勾股定理逆定理证得/ACD=90°,由于四边形纸片ABCZ)的面积=SA4BC+S

MCD,根据三角形的面积公式即可求得结论.

【解答】解：(1)连接AC,如图.

在RtZXABC中，ABA.BC,AB=9cm,BC=12cm,

-■•^C=VAB2+BC2=V92+122=15-

即A、C两点之间的距离为15c/n；

(2)•；CD2+AC2=82+152-172^AD2,

ZACD=90°,

/.四边形纸片ABCD的面积=SA4BC+SAAC。

=1AB'BC+1AC'CD

22

=AX9X12+AX15X8

22

=54+60

=114(cm2).

【点评】本题考查了勾股定理及其逆定理，三角形的面积，熟记定理是解题的关键.

23.【考点】全等三角形的应用.

【专题】图形的全等；应用意识.

【分析】由AB〃C。，利用平行线的性质可得NABP=NC£>P,利用ASA定理可得，△

ABP^ACDP,由全等三角形的性质可得结果.

【解答】解：：4B〃C£>,

：.ZABP=ZCDP,

"：PDLCD,

：.ZCDP=90°,

ZABP=90Q,即PB1AB,

:相邻两平行线间的距离相等，

:.PD=PB,

在△A8P与△<:£)「中，

，ZABP=ZCDP

<PB=PD，

ZAPB=ZCPD

A/\ABP^/\CDP(ASA),

：.CD=AB=i6米.

【点评】本题主要考查了平行线的性质和全等三角形的判定及性质定理，综合运用各定

理是解答此题的关键.

24.【考点】全等三角形的判定与性质.

【专题】证明题.

【分析】(1)要证明△ABE丝△ACB由题意可得AB=AC,NB=NACF,BE=CF,从

而可以证明结论成立；

(2)根据(1)中的结论和等腰三角形的性质可以求得NADC的度数.

【解答】(1)证明：；AB=AC,

：.ZB=ZACF,

在△A8E和△ACF中，

，AB=AC

,ZB=ZACF-

BE=CF

.「△ABEgZiACF(SAS)；

(2):△ABE四△AC凡/BAE=30°,

AZBAE=ZCAF=30°,

'：AD=AC,

：.ZADC=ZACD,

：.ZADC=180°~30°=75°,

2

故答案为：75.

【点评】本题考查全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问

题需要的条件，利用数形结合的思想解答.

25.【考点】待定系数法求一次函数解析式：正比例函数的性质：一次函数图象上点的坐标

特征.

【专题】一次函数及其应用；几何直观；运算能力.

【分析】(1)将8(m,4)代入y=2x可得帆=2,B(2,4),再用待定系数法即可得直

线/1的表达式为山=工+3；

2

(2)在y=L+3中，令x=0得y=3,即得0M=3,故△BOM的面积SABO“=」OM・|XB|

22

=3；

(3)根据图形即可求得.

【解答】解：(1)将8(/«,4)代入”=2x得：4=2加，

解得机=2,

：.B(2,4),

设直线/1的表达式为户=履+从将(-6,0)、(2,4)代入得：［-6k+b=0,

I2k+b=4

解得［2,

b=3

直线/i的表达式为yi=L+3；

2

(2)在yi=*x+3中，令x=0得y=3,

：.M(0,3),

：.OM=3,

：.^BOM的面积S&BOM=^-OM-PCB|=—><3X2=3；

22

(3)观察图象，当x22时，*》)“，

，若x的取值范围是x22.

【点评】本题考查待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，三

角形面积，数形结合是解题的关键.

26.【考点】一次函数的应用.

【专题】一次函数及其应用；应用意识.

【分析】(1)观察函数图象即可直接得到答案；

(2)根据图象中的信息用待定系数法解可求出乙车离开A城的距离y(km)与甲车行驶

的时间/(〃)之间的函数关系式；

(3)求出甲对应的函数解析式，列方程即可得从而可得答案.

【解答】解：(1)由图可知，A、3两城相距300千米；

故答案为：300；

(2)当1WW4时，设乙车离开A城的距离y(km)与甲车行驶的时间，(〃)之间的函

数关系式为y=mt+n,

由题意得：卜■廿°,

I4m+n=300

解得：，m=100,

ln=-100

即乙车离开A城的距离y(km)与甲车行驶的时间t(/1)之间的函数关系式为y=100f

-100(VfW4)；

(3)设甲对应的函数解析式为：y=kt,则300=5&,

解得：k=60,

即甲对应的函数解析式为：y=60f(0WW5),

由题意可得，100f-100=60r,

解得f=2.5,即甲出发2.5小时，乙追上甲，

，乙车出发后1.5小时追上甲，

故答案为：1.5.

【点评】本题考查一次函数的应用，解题的关键是将甲乙相遇的情况进行分类讨论，利

用数形结合的思想解答.

27.【考点】一次函数综合题.

【专题】一次函数及其应用；推理能力.

【分析】(1)根据矩形的性质可得答案；

(2)首先求出AB=10,再利用三角形的面积可得CF的长；

(3)设P(m2a-4),分点P在2C上方或点P在8c的下方，分别构造左型全等，可

得点尸和。的坐标，再利用待定系数法可得答案.

【解答】解：(1)•四边形O4CB是矩形，

OB=4C=6,

：.C(8,6)；

(2)；OA=8,OB=6,

由勾股定理得43=10,

・・,把△ACF沿着AF折叠，点。刚好与线段48上一点C'重合,

；・CF=CF,

：.ABXFC+ACXCF=ACXBC,

.\10FC+6CF=48,

/.CF=3；

(3)存在，设尸(o,2a-4),

当点尸在5c上方时，过点尸作E/〃3C,交y轴于E,交QC的延长线于F,

VZBPE+ZPBE=90°,ZBPE+ZDPF=90°,

・•・NPBE=ZDPF,

■:/BEP=NPFD,BP=PD,

:.ABEP*APFD(AAS),

：.BE=PF=2a-10,DF=PE=a,

：.EF=PE^PF=a+2a-10=8,

・・。=6,

：.P(6,8),D(8,2),

设直线PD的解析式为y=kx^b,

则，6k+b=8,

l8k+b=2

.fk=-3

，，ib=26，

••y—~3x+26,

当点P在BC下方时，过点尸作E尸〃8C,交y轴于E,交。C于尸,

同理可得△BEPg^.PF。（A4S）,

：.BE=PF=\O-2a,DF=PE=a,

：.EF=PE+PF=a+W-24=8,

a=2,

：.P（2,0）（舍），

综上：直线40的解析式为：y=-3x+26.

【点评】本题是一次函数综合题，主要考查了矩形的性质，翻折的性质，等腰直角三角

形的性质，全等三角形的判定与性质，待定系数法求函数解析式等知识，构造女型全等

是解题的关键.

28.【考点】一次函数综合题.

【专题】代数几何综合题；推理能力.

【分析】（1）①当-2x+12=x时，解方程即可；

②当y=0时，则-2x+12=0,得出点A的坐标，即可得出答案；

（2）首先利用勾股定理得出OC的长，再分OC=OP,CO=CP,PO=PC三种情形，

进而得出答案；

（3）首先利用ASA证明△4OE丝/XCOE,得OA=OC=4,再利用面积法可得PN+PM

=AH,再利用勾股定理求出A”的长即可.

【解答】解：（1）①当-2x+12=x时，

解得x=4,

；.y=4,

.•.点C（4,4）；

②当y=0时，-2r+12=0,

•.x=6.

AA(6,0),

・・OA.—6,

...△OAC的面积为工><6X4=12；

2

(2)VC(4,4),

OC=42+42=45/2，

当OC=OP=4&时，

点P(4近,0)或(-4弧，0),

当CO=CP时，点P(8,0),

当PO=PC时，点P（4,0）,

综上：点P（4加,0）或（-4加,0）或（8,0）或（4,0）；

（3）PM+PN的值不变，连接。P,作4”_LOC于，,

图2

。尸平分4OC,

ZAOE=ZCOE,

；OF_LAB,

：.NAEO=NCEO,

'：OE=OE,

：.^AOE^/XCOE(ASA),

：.OA=OC=4,

S^AOC=SMOP+S^COP,

・・・OCXA〃=ocxPN+OCXPM,

:.PN+PM=AH,

:直线OC的解析式为y=x,

：.ZAOC=45°,

：.AH=叵0A=25

2

:.PM+PN=2近.

；.PM+PN的值不变，为2M.

【点评】本题是一次函数综合题，主要考查了两条直线的交点问题，等腰三角形的性质,

全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，利用全等证明0A=0C=4是解题的关键.

考点卡片

1.算术平方根

(1)算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x的平方等于m即/=〃，那么这个正数

x叫做。的算术平方根.记为

(2)非负数a的算术平方根a有双重非负性：①被开方数〃是非负数；②算术平方根a本

身是非负数.

(3)求一个非负数的算术平方根与求一个数的平方互为逆运算，在求一个非负数的算术平

方根时，可以借助乘方运算来寻找.

2.立方根

(1)定义：如果一个数的立方等于“，那么这个数叫做。的立方根或三次方根.这就是说,

如果那么x叫做。的立方根.记作：我.

(2)正数的立方根是正数，0的立方根是0,负数的立方根是负数.即任意数都有立方根.

(3)求一个数a的立方根的运算叫开立方，其中“叫做被开方数.

注意：符号“3中的根指数“3”不能省略；对于立方根，被开方数没有限制，正数、零、负

数都有唯一一个立方根.

【规律方法】平方根和立方根的性质

1.平方根的性质：正数。有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方

根.

2.立方根的性质：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数,

0的立方根是0.

3.无理数

(1)、定义：无限不循环小数叫做无理数.

说明：无理数是实数中不能精确地表示为两个整数之比的数，即无限不循环小数.如圆周

率、2的平方根等.

(2)、无理数与有理数的区别：

①把有理数和无理数都写成小数形式时，有理数能写成有限小数和无限循环小数，

比如4=4.0,13=0.33333…而无理数只能写成无限不循环小数,比如2=1.41420562.

②所有的有理数都可以写成两个整数之比；而无理数不能.

（3）学习要求：会判断无理数，了解它的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小

数，③含有7T的数，如分数TT2是无理数，因为7T是无理数.

无理数常见的三种类型

（1）开不尽的方根，如73.相等.

（2）特定结构的无限不循环小数，

如0.303003000300003…（两个3之间依次多一个0）.

（3）含有n的绝大部分数，如2n.

注意：判断一个数是否为无理数，不能只看形式，要看化简结果.如J正是有理数，而不

是无理数.

4.实数与数轴

（1）实数与数轴上的点是一一对应关系.

任意一个实数都可以用数轴上的点表示；反之，数轴上的任意一个点都表示一个实数.数轴

上的任一点表示的数，不是有理数，就是无理数.

（2）在数轴上，表示相反数的两个点在原点的两旁，并且两点到原点的距离相等，实数a

的绝对值就是在数轴上这个数对应的点与原点的距离.

（3）利用数轴可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左

边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小.

5.实数的运算

（1）实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、

乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方.

（2）在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算

乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行.

另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用.

【规律方法】实数运算的“三个关键”

1.运算法则：乘方和开方运算、塞的运算、指数（特别是负整数指数，0指数）运算、根

式运算、特殊三角函数值的计算以及绝对值的化简等.

2.运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从

左到右依次运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算.

3.运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度.

6.零指数幕

零指数累：«°=1（。/0）

由""+""=1,严一"'=。°可推出『=1（。#0）

注意：O°W1.

7.负整数指数嘉

负整数指数基：a"=lap（aWO,p为正整数）

注意：①。#0；

②计算负整数指数幕时，一定要根据负整数指数累的意义计算，避免出现（-3）一2=（-3）

X（-2）的错误.

③当底数是分数时，只要把分子、分母颠倒，负指数就可变为正指数.

④在混合运算中，始终要注意运算的顺序.

8.点的坐标

（1）我们把有顺序的两个数。和力组成的数对，叫做有序数对，记作（a,b）.

（2）平面直角坐标系的相关概念

①建立平面直角坐标系的方法：在同一平面内画；两条有公共原点且垂直的数轴.

②各部分名称：水平数轴叫x轴（横轴），竖直数轴叫y轴（纵轴），x轴一般取向右为正方

向，y轴一般取象上为正方向，两轴交点叫坐标系的原点.它既属于x轴，又属于y轴.

（3）坐标平面的划分

建立了坐标系的平面叫做坐标平面，两轴把此平面分成四部分，分别叫第一象限，第二象限,

第三象限，第四象限.坐标轴上的点不属于任何一个象限.

（4）坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的关系.

9.坐标与图形性质

1、点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的，表现在两个方面：①到x轴的距离与纵

坐标有关，到），轴的距离与横坐标有关；②距离都是非负数，而坐标可以是负数，在由距离

求坐标时，需要加上恰当的符号.

2,有图形中一些点的坐标求面积时，过已知点向坐标轴作垂线，然后求出相关的线段长，

是解决这类问题的基本方法和规律.

3、若坐标系内的四边形是非规则四边形，通常用平行于坐标轴的辅助线用“割、补”法去

解决问题.

10.一次函数的性质

一次函数的性质：

k>0,y随X的增大而增大，函数从左到右上升；k<0,y随X的增大而减小，函数从左到

右下降.

由于y=Lx+6与y轴交于（0,b）,当6>0时，（0,b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交

于正半轴；当匕<0时，（0,b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴.

11.正比例函数的性质

正比例函数的性质.

12.一次函数图象上点的坐标特征

一次函数（%W0,且A,b为常数）的图象是一条直线.它与x轴的交点坐标是（-

0）；与y轴的交点坐标是（0,b）.

k

直线上任意一点的坐标都满足函数关系式

13.待定系数法求一次函数解析式

待定系数法求一次函数解析式一般步骤是：

（1）先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时，先设了=依+6

（2）将自变量x的值及与它对应的函数值y的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的

方程或方程组；

（3）解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式.

注意：求正比例函数，只要一对x,y的值就可以，因为它只有一个待定系数；而求一次函

数丫=入+8,则需要两组x,y的值.

14.一次函数与一元一次方程

一次函数与一元一次方程.

15.一次函数的应用

1、分段函数问题

分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科

学合理，又要符合实际.

2、函数的多变量问题

解决含有多变量问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中一个变量作为自变量，然后根

据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数.

3、概括整合

（1）简单的一次函数问题：①建立函数模型的方法；②分段函数思想的应用.

（2）理清题意是采用分段函数解决问题的关键.

16.一次函数综合题

（1）一次函数与几何图形的面积问题

首先要根据题意画出草图，结合图形分析其中的几何图形，再求出面积.

（2）一次函数的优化问题

通常一次函数的最值问题首先由不等式找到x的取值范围，进而利用一次函数的增减性在前

面范围内的前提下求出最值.

（3）用函数图象解决实际问题

从己知函数图象中获取信息，求出函数值、函数表达式，并解答相应的问题.

17.平行线的性质

1、平行线性质定理

定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等.简单说成：两直线平行，同位角

相等.

定理2：两条平行线被地三条直线所截，同旁内角互补..简单说成：两直线平行，同旁

内角互补.

定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等.简单说成：两直线平行，内错角

相等.

2、两条平行线之间的距离处处相等.

18.三角形的面积

（1）三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即$△=上X底X高.

2

（2）三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分.

19.三角形三边关系

（1）三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边.

（2）在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，

只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角

形.

（3）三角形的两边差小于第三边.

（4）在涉及三角形的边长或周长的计算时，注意最后要用三边关系去检验，这是一个隐藏

的定时炸弹，容易忽略.

20.三角形内角和定理

（1）三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角.每个三角形都有三个内角，且

每个内角均大于0°且小于180°.

（2）三角形内角和定理：三角形内角和是180°.

（3）三角形内角和定理的证明

证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角.在

转化中借助平行线.

（4）三角形内角和定理的应用

主要用在求三角形中角的度数.①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，

用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角.

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