2023新高考新教材版数学高考第二轮复习-7.1 等差数列

2023新高考新教材版数学高考第二轮复习

第七章数列

7.1等差数列

三年模拟

一、选择题

1.（2022太原一模,3）设S”为等差数列｛即｝的前n项和，若ai=2,a3+a5=10,则56=（）

A.26B.27C.28D.29

答案B设等差数列an的公差为d.因为ai=2,a3+a5=10,所以ai+2d+ai+4d=1（）,解得d=l，所以

S6=6a“6x（jl）xd=27,故选B.

2.（2022银川一模,6）设工是等差数列｛%｝的前n项和，若$50川47=12,则S97X）

A.198B.388C.776D.2021

答案B由S50-S47=12得a48+a49+a5o=3a49=12,即29=4,所以$97=空竽必=97349=388.故选B.

3.（2022太原二模,6）等差数列｛%｝的前n项和为S0,若碧-瑞=2则公差d=（）

A.lB.2

C.-lD.-2

答案D$“=必昌/4所以手=al+丹约所以署-学号,所以数列图是首项为al,公差为g

的等差数列,所以碧-羽=2x殳-2,所以d=-2.故选D.

4.（2022安徽滁州二模,5）已知｛a”｝是公差不为零的等差数列，若a3+am=a4+ak,ai+a5=2ak,m,kGN*,!J!y

m+k=（）

A.7B.8C.9D.10

答案A由等差数列的性质得,3+m=4+k,l+5=2k,所以k=3,m=4,故m+k=7,故选A.

5.（2022陕西咸阳一模,8）设S”是等差数列｛加｝的前n项和.若*=［则四等于（）

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答案A根据等差数列的性质得S4,S8-S4,Si2-S8,SwSi2成等差数列...胃=数列S4,S8-S4,S12-

S8,S16-S12是以S4为首项,S4为公差的等差数列，则S8=3S4,S16=10S4,/.普=之故选A.

解题关键若数列⑶｝为等差数列，则S4,S8SS2-S8,S&S|2也成等差数列根据等差数列的性质，判断数

列S8,S16与S4的关系，是解答本题的关键.

6.(2022安徽江淮十校三模』1)已知等差数列⑸｝的首项ak1,且2a4=a3+9,正项等比数列｛b0｝的首项bg，

且32必23,若数列⑶｝的前n项和为Sn,则数列｛bnSn｝的最大项的值为()

A.28B.lC.95D.2

98

答案c设等差数列｛%｝的公差为d,由234刊+9,得2⑶+3d)f+2d+9,即2(l+3d)=l+2d+9,故d=2,则

2

an=ai+(n-1)d=2n-1,Sn=nai+—y-•d=n.

设正项等比数列｛%｝的公比为q(q>0),由32必冲3彳导32(bd)2=bd，所以32cXq37=解得q=|,

则bn=blqn-1=^7.

则设cn=5,则管=誓.

当0<nW20d-,^±1>l,BPCi<C2<c;

cn3

当n》3时，皿1<1,即c3>c4>c5>…，所以最大项为c3=b3S3==1

cn2'8

故选C.

7.(2022房山二模,9)已知数列⑶｝是公差为d的等差数列，且各项均为正整数.如果ai=3,an=45,那么n+d的

最小值为()

A.13B.14C.17D.18

答案B在等差数列｛a”｝中,a1=3,an=45,/.3+d(n-1)=45,即

d(n-1)=42=1x42=2x21=3x14=6x7=7x6=14x3=21x2=42x1,故d=l,n=43或d=2,n=22或d=3,n=15或d=6,n=8

或d=7,n=7或d=14,n=4或d=21,n=3或d=42,n=2,所以n+d的最小值为14.

8.(2022通州期中,7)已知等差数列｛a0｝的前n项和为S”,若S3=9$6=63,则a7+a8+a9^()

A.63B.71C.99D.117

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答案C由等差数列｛an｝的前n项和性质，得S3,S6$,S9-S6也成等差数列，即2（S6-S3）=S3+S9',因为

S3=9,S6=63,所以S9=162,因此a7+ag+ag=5966=162・63=99.故选C.

9.（2022西安四模,6）等差数列｛如｝的公差为2,前n项和为工若a『5,则Sm的最大值为（）

A.3B.6C.9D.12

答案C二•公差d=2,am=5,/.ai+2（m-1）=5,/.ai=7-2m,/.

22

Sm=mai+^y-^x2=m（7-2m）+m（m-l）=-m+6m=-（m-3）+9.

，当m=3时,Sm的最大值为9,故选C.

10.（2022河南平顶山月考,4）在等差数列⑶｝中,a3+a7=10,a8+a］（）=14,则SB=（）

A.60B.64C.78D.84

答案C*.*a3+a7=2a5=10,/.a5=5.

又as+aio=2a9=14,/.a9=7,

..53=1%詈应=13（a；+ag）=78故选c

11.（多选）（2022石家庄二中开学考试,11）设数列出｝是等差数列,又是其前n项和问>0且$6=$9,则（）

A.d>0

B.as=0

C.S7或S8为Sn的最大值

D.SS>S6

答案BC；ai>0且S6=S9,二6ai好d=9al+等d,化简得a"7d=0,可得a8=0,d<0..,.S7或Ss为S”的最

大值,S5Vs6.故选BC.

12.（多选）（2022江苏苏州调研,10）设S”是公差为d（d*0）的无穷等差数列⑶｝的前n项和，则下列命题正确

的是（）

A.若d<（）,则数列｛SJ有最大值

B.若数列｛SJ有最大项，则d<0

C.若对任意的nGN*,Sn+|>Sn恒成立，则Sn>0

D.若对任意的neN*,均有Sn>0则Sn+i>Sn恒成立

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答案ABD对于选项A,B,显然Sn对应的二次函数有最大值时d<().且若d<0,则｛S0｝有最大项,故选项

A,B正确;对于选项C,令S产/2n厕数列⑸｝递增，但Si=-l<0,故选项C错误:对于选项D,若对任意的

neN：均有SAO,则2]>0,<1>0,故0｝必为递增数列,即Se>Sn恒成立，故选项D正确.故选ABD.

二、填空题

13.(2022太原模拟,15)已知正项数列｛%、｝中,ai=l,a2=2,2成=a2i+W+i(n-2),bn=；Y—，数列｛、｝的前n项

an~^an+l

和为Sn,则S33的值是.

答案3

解析因为2a4=a3+a"i(ne2),所以数列｛成｝是首项为I,公差为2?-1=3的等差数列,所以成=1+

3(n-1)=3n-2,所以an=V3n-2,所以bn=-—=g(V3n+1-V3n-2),

an+an+1V3n-24-V3n+l3

所以数列｛bn｝的前n项和Sn=1[(V4-1)+(V7-V5)+…+(V3n+1-V3n-2)]=1(V3n+1-1),

则S33=$(1O-1)=3.

14.(2022陕西质检,16)已知等差数列｛4,｝的前n项和为S“，若S7<0,S8>0,则%的取值范围是

a4

答案(-00,-1)

解析等差数列｛踊｝中,S7=X殁也=亨=7a4<0,则a4<0,又S8=超普=4(a4+a5)>0,

则a4+a5>0,即a5>—a4,所以巴<-1.

15.(2022延庆二模,14)已知向量序列:ai,a2,a3,…,a”,…和向量d满足:|ai|=2,|d|=l,a1-d=-l.定义

am一尸d(n=2,3,4,…)厕|ad的最小值为.

答案V3

2

解析由an-an-i=d(n=2,3,4,…)，可得数列出｝为等差数列厕an=ai+(n-1)dJ!||an|=V[ai+(n-l)d]=

+(n-l)2•|d『+2al•(n-l)d=J4+(n-l)2-2(n-l)=J(n-2)2+31V5.当且仅当n=

2日增号成立，故|an|的最小值为倔

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16.（2022河南洛阳模拟,15）已知x>0,y>0,a,x,y,b成等差数列,c,x,y,d成等比数列，则曙的最小值

是-

答案4

解析由题意得a+b=x+y,cd=xy,从而喈=&=立笠=2+号，

因为x>0,y>0,所以由基本不等式得等=2+亨"噂=4,当且仅当x=y时取等号.

三、解答题

17.（2022天津五十七中线上测试,19）在数列｛a,J中,ai=l,an+i=l-4，bn=:不其中nwN*.

4即ZCln-l

⑴证明数列｛bn｝是等差数列，并写出证明过程；

（2）设品=篇，数列｛Cn｝的前n项和为Tn,求Tn；

⑶已知当neN”且n-6时,（1-悬）”毛厂,其中m=i,2,…,n,求满足等式3n+4。+…+（n+2）n=（b/3卢的所有

n的值之和.

解析(1)证明:bn+i-bn=5-工-7^7=~r占=1,.•.数列｛b“｝是公差为1的等差数列.

2azi+r12an-l2(1-喘-)

⑵：bi=y1-4=11,bn=1+(n-1)x1=n.

zai-1z-1

第=加(旷，

.*.Tn=2[lxg)+2xg)+3x6)+…+nx6)

112

齐=2[1x(I)'+2x(|)+3x⑶+...+nx(丁

两式相减图Tn=2[g)°+(3+(•+…+()]-2nx(£)n,

故T„=4x^--4nxQ)n=8一(8+4n)x条

(3)由(2)得等式3n+4"+…+(n+2)n=(bn+3)%可化为3n+4n+-+(n+2)n=(n+3)n,

即岛)”+(甘…(岩)2

)n+(l--)n+-+(l--)n=l.

\n+3/\n+3/\n+37

•..当neN*且n>6时，。-急)<(1)，其中m=l,2,…,n,

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，(i-京)<G)，(i-总)<G)，……，

(心(T

•••(1-舟n+QW)"+…(沪(沪…+()=1-(丁<1,

二当B6时,3n+4'、+…+(n+2)n<(n+3)n.

当n=1,2,3,4,5时，经验算,n=2,3时等式成立.

...满足等式3n+4'>+…+(n+2)n=(bn+3)如的所有n的值为2,3,其和为5.

思路分析(1)根据等差数列的定义进行证明；

(2)根据bn可得Cn=2nxG)”;然后利用错位相减法进行求和；

(3)先把条件3"+4"…+(n+2)三(bn+3)%转化为(]_缶丫+。_缶7+…京y=],结合题意及等比数歹I」

求和得出n>6时无解，验证前5项可得所有满足题意的n值，进而得到结果.

18.(2022天津南开中学二模,18)已知数列｛加｝的奇数项是首项为1的等差数列，偶数项是首项为2的等比

数列.数列｛an｝的前n项和为Sn,且满足S3=a4,a3+a5=2+a4.

⑴求数列｛踊｝的通项公式；

⑵求数列n｝的前2k项和S2k;

(3)在数列｛an｝中.是否存在连续的三项am,am+i,am+2,按原来的顺序成等差数列?若存在，求出所有满足条件

的正整数m的值:若不存在，说明理由.

解析⑴设等差数列的公差为d,等比数列的公比为q,则a1=l,a2=2,a3=l+d,a4=2q,a5=l+2d.

；S3=a4,二1+2+(1+d)=2q,即4+d=2q①，

又a3+a5=2+a4,二l+d+l+2d=2+2q,即3d=2q②，

由①②解得d=2,q=3.

71TL2k.i

'n'keN*.

｛2•32-1,n=2k,

(2)S2k=(ai+a3+…+a2i)+(a2+a4+…+a2k)=[l+3+…+(2k-l)]+2(l+3+32+…+3*=处学达+巴容=1?-1+3上

Z1-5

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(3)在数列｛加｝中，仅存在连续的三项小处回,按原来的顺序成等差数列，此时正整数m的值为1,下面说明

理由.

若am=a2k(keN*)厕由am+am+2=2am*i,得2x3i+2x3k=2(2k+l),化简得4•3"=2k+l,此式左边为偶数,右边为

奇数,不可能成立.

若am=a2k-i(kwN*),贝U由am+am+2=2am+i,得(2k-l)+(2k+l)=2x2x3i,化简得k=3R

令Tk备keN*),则Tk+I-Tk=^-券=噤

因此,1=「>T2>T3>…，故只有「=1,

此时,k=l,m=2xl-l=l.

综上,在数列｛加｝中，仅存在连续的三项山处团,按原来的顺序成等差数列，此时正整数m的值为1.

19.(2022天津十二区县重点学校二模,19)已知数列｛加｝是等差数列，其前n项和为人m=15,A?=63;数列｛bn｝

的前n项和为Bn,2Bn=3bn-3(neN*).

⑴求数列｛%｝,｛△｝的通项公式；

⑵求数列｛£｝的前n项和Sn;

n-

⑶求证焉新2.

解析⑴数列｛a“｝是等差数列，设公差为d,

叫&=7al+7x(严=63,化简T%+3d=9,

解得ai=3,d=2,:.an=2n+l,neN*.

V2Bn=3b„-3,

，当n=l时,2Bi=3b「3,解得bi=3.

当G2时,2B*3bn“-3,

.•.2Bn-2Bn.i=(3bn-3)-(3b„.i-3)=3bn-3bn.i,nGN\

整理得bn=3bn」,・・・数列｛bn｝是首项为3,公比为3的等比数列,J£N*.

(2)由(1)可得An=三=号nj+2),MN*,.・卡=康=瑞贵).

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11111111

S=-------1---------1---------L...-|-------------1-------------------1------------=-I—•I।•••——4—^―

n1x32x43x5(n-2)n(n-l)(n+l)n(n+2)232435n-2nn-1

---1---4-,—1—11-/I.I-,4-1——1----------1--\I3——1—/I1-,|—---1--\I3——------2--n-+--3-------

n+lnn+2--------2\2n+1n+2/42\n+l--n+2/42(n+l)(n+2),

结果匡一T(左+£)或:-2(,；嘉+2)都给分■

⑶证明:由⑴可得Bn=0p=罩Nn。*,

1-OZ

可峻-24+1_22n+l

西;一3。尸)-3*3"-r

iiE)£—：,.,3n-l=3x3n-|-l=2x3nl+3n-'-l>2x3n-',

.Qn_22n+l,22n+l_2n4-l

・,WX7T=—.

令Tn=-+»+・・•++

3十32十十3n-l十3n'

贝心生出

Tn=3+3+…+—+-

人」332T33T3nI3n+1,

两式相减可得|Tn=1+2xR+5+…+-篝J

=1+2x1^^—吧=1+3x0，)—吧”

3n+1\93n+173n+133n+1)

13

.F=2一噤，

・之Qk2/2+1,4+1,6+1,,2兀+1\1。n+2。

••区黄，x(TT+mr+西+…+H)W2一百<2.

证法二:当n》20^.3n-l=(l+2)"-l=CS+C^x2+-+C«x2n-l>C°+Cix2+C2x22-l>2n+l,

根据“若a>b>0,m>0,则2<竽，，，可得猾<笔2

aa+m3n-l3n

九co

出+w…+吧W^x3,2x3,,2x(n+l)

•超房号x3-132-133-l3y32+—+-+―?r-

2x4

不丁=2|I+2x(n+D

―32十33+3n

则打=管+竽+•••+竽+十誓,

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2,2x1,2x1,,2x12x(n+l)2,记(1刀互)

两式相减可得|T=--------------L...-I---------------=L-_-一2L2x(7i+l)_72x(n-H)

33334T3n3n+131.13n+1-5-M3n+1

13

72n+5

9-3n+i'

z_廿.z

62X3….T1<6,

nQ2+14+16+12n+l28c

F=|x+++<|x=-x-<2.

TF3M3M…十3九-133

证法三:令c产黑，下面用分析法证明“2<；”.

n

3-lcn2

m；7r£n+i/2.F»fl；正(2九+3)(3.-1)2.

要正"看「(7即正(3n+i-l)(2n+l)<2'

即证(4n+6)(3%1)<(2n+1)(3用-1),

即证-2n-5<(2n-3)3n①.

当neN时①式显然成立,.•.詈4,

3,31,,3/l\n-1

L2+2X2+，-+2X(2)2

•\tS=ix(cl+c2+-+cn)=ix(l+i++X=3X

|2x3x(l4)<2.

")=3

20.(2022南开中学学情调查四,18)设｛a0｝是等差数列,｛b0｝是等比数列.公比大于0,其前n项和为Sn(neN*).

已知bi=l,b3=b3+2,b4=a3+a5,b5=a4+2a6.

⑴求｛即｝和｛bn｝的通项公式;

(2)设数列｛(-1)而｝的前n项和为Tn.记cn=号ib2n-1+学M,求cn;

n-

⑶求z」一.

i=lcn+l-i

解析(1)设等差数列｛an｝的公差为d,等比数列｛bn｝的公比为q(q>0).

因为bi=l,b3=b2+2,所以q2=q+2,解得q=2(舍负)，

所以b产2nL

因为b4=a3+a5,b5=a4+2a6,所以2a1+6d=8,3ai+l3d=16,解得a1=d=l,所以an=n.

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(2)由⑴知(-1尸"=(-1>,所以T2n=O,T2*-1.

n

所以cn=^^b2n-1+号b2n=b2n-1+|b2„=4.

⑶由⑴和⑵知氏=金,

n

iBPn=