2018年江苏省南通市中考数学试卷（含解析版）

2018年江苏省南通市中考数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题所给出的四

个选项中，恰有一项是符合题要求的）

1.（3分）6的相反数为（）

A._6B.6C.--D.1

66

2.（3分）计算/结果是（）

A.2X5B.x5C.x6D./

3.（3分）若代数式后在实数范围内有意义，则x的取值范围是（)

A.x<lB.xWlC.x>lD.

4.（3分）2017年国内生产总值达到827000亿元，稳居世界第二.将数827000

用科学记数法表示为（）

A.82.7X104B.8.27X103C.0.827X106D.8.27X106

5.（3分）下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（）

A.3,4,5B.2,3,4C.4,6,7D.5,11,12

6.（3分）如图，数轴上的点A,B,O,C,。分别表示数-2,-1,0,1,2,

则表示数2-泥的点P应落在（）

CD

15345>

A.线段A3上B.线段80上C.线段。。上D.线段CD上

7.（3分）若一个凸多边形的内角和为720°,则这个多边形的边数为（）

A.4B.5C.6D.7

8.（3分）一个圆锥的主视图是边长为4cm的正三角形，则这个圆锥的侧面积等

于（）

A.1（mcnrB.1271c”aC.SncnrD.4TIC/?Z2

9.（3分）如图，Rt^ABC中，ZACB=90°,CO平分NACB交AB于点。，

按下列步骤作图：

步骤1：分别以点C和点。为圆心，大于Lc。的长为半径作弧，两弧相交于M,

2

N两点；

步骤2：作直线MN,分别交AC,BC于点、E,F-,

步骤3：连接。E,DF.

若AC=4,BC=2,则线段0E的长为（）

323

10.（3分）如图，矩形ABC。中，E是的中点，将aBCE沿CE翻折，点B

落在点尸处，tanNOCE=&.设A8=尤，ZSABF的面积为y,则y与x的函数

3

二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，不需写出解答过程）

11.（3分）计算：3a2人-.

12.（3分）某校学生来自甲、乙、丙三个地区，其人数比为2：7：3,绘制成如

图所示的扇形统计图，则甲地区所在扇形的圆心角度数为度.

甲

丙

\乙

13.（3分）一个等腰三角形的两边长分别为4c机和9c"?,则它的周长为cm.

14.（3分）如图，NAOB=40°,OP平分NA08,点C为射线OP上一点，作

CD±OA于点D,在NPOB的内部作CEHOB,则NOCE=度.

15.（3分）古代名著《算学启蒙》中有一题：良马日行二百四十里.鸳马日行

一百五十里.鸳马先行一十二日，问良马几何追及之.意思是：跑得快的马

每天走240里，跑得慢的马每天走150里.慢马先走12天，快马几天可追上

慢马？若设快马九天可追上慢马，则由题意，可列方程为.

16.（3分）如图，在△ABC中，AD,CO分别平分NBAC和NAC8,AE//CD,

CE//AD.若从三个条件：@AB=AC-,@AB=BC；（3）AC=BC中，选择一

个作为已知条件，则能使四边形AOCE为菱形的是（填序号）.

17.（3分）若关于x的一元二次方程」2-2nvc-4m+l=0有两个相等的实数根,

2

则Cm-2）2-2m（m-1）的值为.

18.（3分）在平面直角坐标系xOy中，已知A（230）,B（0,-2力，C（2n

4t）三点，其中r>0,函数y=匚的图象分别与线段BC,AC交于点P,Q.若

X

S/^PAB-SAPQB=3则t的值为.

三、解答题（本大题共10小题，共96分.解答时应写出文字说明、证明过程或

演算步骤）

19.（10分）计算:

（1）（-2）2-洞+（-3）°-（1）3

3

（2）a2-9+白.

0

a+6a+9a

20.（8分）解方程:-----=-------+1-

x+13x+3

21.（8分）一个不透明的口袋中有三个完全相同的小球，把他们分别标号为1,

2,3.随机摸取一个小球然后放回，再随机摸出一个小球.用列表或画树状

图的方法，求两次取出的小球标号相同的概率.

22.（8分）如图，沿AC方向开山修路.为了加快施工进度，要在小山的另一边

同时施工，从AC上的一点8取NA8O=120°,BD=520m,ZD=30°.那

么另一边开挖点E离。多远正好使A,C,E三点在一直线上（遮取1.732,

结果取整数）？

节’

0c

D

23.（9分）某商场服装部为了调动营业员的积极性，决定实行目标管理，根据

目标完成的情况对营业员进行适当的奖励.为了确定一个适当的月销售目标,

商场服装部统计了每位营业员在某月的销售额（单位：万元），数据如下：

17181613241528261819

22171619323016141526

15322317151528281619

对这30个数据按组距3进行分组，并整理、描述和分析如下.

频数分布表

组别一二三四五六七

销售额134Vl6164Vl919«22224V2525WxV2828«31314V34

频数793a2b2

数据分析表

平均数众数中位数

20.3C18

请根据以上信息解答下列问题:

（1）填空：a=,b=,c=；

（2）若将月销售额不低于25万元确定为销售目标，则有位营业员获得

奖励；

（3）若想让一半左右的营业员都能达到销售目标，你认为月销售额定为多少合

适？说明理由.

24.（8分）如图，AB为。。的直径，C为。。上一点，A。和过点C的切线互

相垂直，垂足为0,且交。。于点E.连接。C,BE,相交于点F.

（1）求证：EF=BF；

（2）若OC=4,DE=2,求直径AB的长.

25.（9分）小明购买A,B两种商品，每次购买同一种商品的单价相同，具体信

息如下表:

次数购买数量（件）购买总费用（元）

AB

第一次2155

第二次1365

根据以上信息解答下列问题：

（1）求A,B两种商品的单价；

（2）若第三次购买这两种商品共12件，且A种商品的数量不少于8种商品数

量的2倍，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由.

26.（10分）在平面直角坐标系xO），中，已知抛物线y=f-2（%-1）x+M-”攵

（左为常数）.

（1）若抛物线经过点（1,2）,求女的值；

（2）若抛物线经过点（2k,yi）和点（2,以），且“＞以，求上的取值范围；

（3）若将抛物线向右平移1个单位长度得到新抛物线，当1WXW2时，新抛物

线对应的函数有最小值-W,求攵的值.

2

27.（13分）如图，正方形A3CO中，AB=2娓,。是8C边的中点，点E是正

方形内一动点，OE=2,连接。E,将线段OE绕点。逆时针旋转90°得OF,

连接AE,CF.

（备用邺

（1）求证：Afuca

（2）若A,E,。三点共线，连接OF,求线段的长.

（3）求线段OR长的最小值.

28.(13分)【定义】如图1,A,8为直线/同侧的两点，过点A作直线1的对

称点A',连接A'8交直线/于点P,连接AP,则称点P为点A,8关于直

线/的“等角点

【运用】如图2,在平面直坐标系xOy中，已知A(2,«),B(-2,-73)

两点.

(1)C(4,立)，D(4,返)，E(4,1)三点中，点是点A,B关于

222

直线x=4的等角点；

(2)若直线/垂直于x轴，点P(利，〃)是点A,B关于直线/的等角点，其中

m>2,NAPB=a,求证：tan工■=1；

22

(3)若点尸是点A,B关于直线y=or+b(aWO)的等角点，且点尸位于直线

AB的右下方，当NAPB=60°时，求b的取值范围(直接写出结果).

图1图2(备用图)

2018年江苏省南通市中考数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题所给出的四

个选项中，恰有一项是符合题要求的）

1.（3分）6的相反数为（）

A.-6B.6C.-1D.1

66

【考点】14：相反数.

【分析】直接利用相反数的定义分析得出答案.

【解答】解：6的相反数为：-6.

故选：A.

【点评】此题主要考查了相反数的定义，正确把握相反数的定义是解题关键.

2.（3分）计算结果是（）

A.2X5B.x5C.x6D.%8

【考点】46：同底数累的乘法.

【专题】1：常规题型.

【分析】直接利用同底数募的乘法运算法则计算得出答案.

【解答】解:"・炉=1.

故选：B.

【点评】此题主要考查了同底数幕的乘法运算，正确掌握运算法则是解题关键.

3.（3分）若代数式g在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）

A.x<\B.尤C.x>\D.

【考点】72：二次根式有意义的条件.

【分析】根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即

可.

【解答】解：•.•式子g在实数范围内有意义，

...尤-120,解得

故选：D.

【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，即被开方数大于等于0.

4.（3分）2017年国内生产总值达到827000亿元，稳居世界第二.将数827000

用科学记数法表示为（）

A.82.7X104B.8.27X105C.0.827X106D.8.27X106

【考点】II：科学记数法一表示较大的数.

【专题】1：常规题型.

【分析】科学记数法的表示形式为&X10"的形式，其中〃为整数.确

定〃的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，〃的绝对值与小数

点移动的位数相同.当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值VI

时，〃是负数.

【解答】解:827000=8.27X105.

故选:B.

【点评】此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为aXIO"的

形式，其中lW|a|V10,〃为整数，表示时关键要正确确定a的值以及“的值.

5.（3分）下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（）

A.3,4,5B.2,3,4C.4,6,7D.5,11,12

【考点】KS：勾股定理的逆定理.

【专题】55：几何图形.

【分析】利用勾股定理的逆定理：如果三角形两条边的平方和等于第三边的平方，

那么这个三角形就是直角三角形.最长边所对的角为直角.由此判定即可.

【解答】解：A、..FZ+dZuSZ,.•.三条线段能组成直角三角形，故A选项正确；

8、•••22+32/42,.•.三条线段不能组成直角三角形，故8选项错误；

C、•••42+62/72,.•.三条线段不能组成直角三角形，故C选项错误；

。、•••52+112/122,.•.三条线段不能组成直角三角形，故。选项错误；

故选：A.

【点评】此题考查了勾股定理逆定理的运用，判断三角形是否为直角三角形，已

知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可，注意数据的

计算.

6.（3分）如图，数轴上的点A,B,O,C,。分别表示数-2,-1,0,1,2,

则表示数2-遥的点P应落在（）

A.线段AB上B.线段8。上C.线段。。上D.线段CO上

【考点】29：实数与数轴；2B：估算无理数的大小.

【专题】11：计算题.

【分析】根据2〈遍V3,得到-1V2-遂V0,根据数轴与实数的关系解答.

【解答】解:2V巡V3,

/.-K2-75<0，

•••表示数2-旄的点P应落在线段BO上，

故选：B.

【点评】本题考查的是无理数的估算、实数与数轴，正确估算无理数的大小是解

题的关键.

7.（3分）若一个凸多边形的内角和为720°,则这个多边形的边数为（）

A.4B.5C.6D.7

【考点】L3：多边形内角与外角.

【专题】11：计算题.

【分析】设这个多边形的边数为n,根据多边形的内角和定理得到（〃-2）X180°

=720°,然后解方程即可.

【解答】解：设这个多边形的边数为〃，则

（n-2）X180°=720°,

解得"=6,

故这个多边形为六边形.

故选：C.

【点评】本题考查了多边形的内角和定理，关键是根据n边形的内角和为（〃-2）

X1800解答.

8.（3分）一个圆锥的主视图是边长为4cm的正三角形，则这个圆锥的侧面积等

于（）

A.1611cm2B.12ircm2C.8ncm2D.4iicm2

【考点】MP：圆锥的计算；U3：由三视图判断几何体.

【专题】55：几何图形.

【分析】根据视图的意义得到圆锥的母线长为4,底面圆的半径为2,然后根据

圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的

半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式求解.

【解答】解：根据题意得圆锥的母线长为4,底面圆的半径为2,

所以这个圆锥的侧面积=2*4*271*2=811（cm2）.

2

故选：C.

【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长

等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长.

9.（3分）如图，Rtz^ABC中，90°，CO平分NACB交AB于点。，

按下列步骤作图：

步骤1：分别以点C和点。为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于

2

N两点；

步骤2：作直线MN,分别交AC,BC于点E,F；

步骤3：连接。E,DF.

若AC=4,BC=2,则线段DE的长为（）

A.1B.1C.V2D.A

323

【考点】KG：线段垂直平分线的性质；KQ：勾股定理；LG：正方形的判定与

性质.

【专题】552：三角形.

【分析】由作图可知，四边形ECED是正方形，根据SMCB=SAADC+&8B，可得

1XACXBC=1XACXDE+1XBCXDF,由此即可解决问题.

222

【解答】解：由作图可知，四边形ECFO是正方形，

：.DE=DF=CE=CF,NDEC=NDFC=90°,

s/\ACB=s/\ADC+SACDB，

：.LxACXBC=LxACXDE+k\BCXDF,

222

:.DE=4X2=2,

63

故选：D.

【点评】本题考查线段的垂直平分线的性质、正方形的判定和性质、勾股定理等

知识，解题的关键是学会利用面积法构建方程解决问题.

10.（3分）如图，矩形A8CO中，E是A3的中点，将aBCE沿CE翻折，点B

落在点尸处，tanZDCE=-1.设的面积为y,则y与x的函数

【考点】E7：动点问题的函数图象.

【专题】558：平移、旋转与对称；55D：图形的相似；55E：解直角三角形及其

应用.

【分析】根据折叠，可证明NAFB=90°,进而可证明△AFBsaEBC,由tan

/DCE=鱼,分别表示EB、BC、CE,根据相似三角形面积之比等于相似比

3

平方，表示△ABF的面积.

【解答】解：设则AE=E8=LX

2

由折叠，FE=EB=L

2x

则NAb3=90°

由tanZDCE=1

3

:.BC=\，EC=2Y

36

■:F、8关于EC对称

:.4FBA=/BCE

：.AAFBsAEBC

岖产

2AEBCEC

•V=12y36_62

3IX*而/x

故选：。.

【点评】本题为代数几何综合题，考查了解直角三角形、轴对称图形性质、相似

三角形的性质等知识.解答关键是做到数形结合.

二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，不需写出解答过程）

11.（3分）计算：3a2方-201b.

【考点】35：合并同类项.

【专题】11：计算题；512：整式.

【分析】根据合并同类项法则计算可得.

【解答】解:原式=（3-1）crb=2crb,

故答案为：201b.

【点评】本题主要考查合并同类项，解题的关键是掌握合并同类项的法则：把同

类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变.

12.（3分）某校学生来自甲、乙、丙三个地区，其人数比为2：7：3,绘制成如

图所示的扇形统计图，则甲地区所在扇形的圆心角度数为3度.

【考点】VB：扇形统计图.

【专题】11：计算题；542：统计的应用.

【分析】甲部分扇形圆心角的度数=部分占总体的百分比X360°.

【解答】解：甲部分圆心角度数是2x360°=60°,

2+7+3

故答案为：60.

【点评】本题考查了扇形统计图的知识，解答本题的关键是求出各地区人数所占

的比例，另外要求掌握扇形统计图的特点.

13.（3分）一个等腰三角形的两边长分别为4cm和9cm,则它的周长为22cm.

【考点】K6：三角形三边关系；KH：等腰三角形的性质.

【分析】等腰三角形两边的长为4c机和9cm,具体哪条是底边，哪条是腰没有明

确说明，因此要分两种情况讨论.

【解答】解：①当腰是4cm,底边是9c加时：不满足三角形的三边关系，因此

舍去.

②当底边是4cm,腰长是9c机时，能构成三角形，则其周长=4+9+9=22cm.

故填22.

【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和

底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能

构成三角形，这点非常重要，也是解题的关键.

14.（3分）如图I,ZAOB=40°,OP平分NAOB,点C为射线OP上一点，作

CD±OA于点D,在NP08的内部作CE//OB,则NQCE=130度.

【考点】J3：垂线；JA：平行线的性质.

【专题】551：线段、角、相交线与平行线.

【分析】依据NAO3=40°,OP平分NAOB,可得NAOC=N8OC=20°,再

根据CO_LOA于点D,CE//OB,即可得出NOCP=90°+20°=110°,Z

PCE=NPOB=20°,依据NOCE=NOCP+NPCE进行计算即可.

【解答】解：VZAOB=40°,OP平分NAOB,

/.ZAOC=ZBOC=20°,

又•.•COJ_QA于点£>,CE//OB,

.•.NOCP=90°+20°=110°,ZPCE=ZPOB=2Q°,

/.ZDCE=ZDCP+ZPCE=110°+20°=130°,

故答案为：130.

【点评】本题考查了平行线的性质和三角形的外角性质的应用，解题时注意：三

角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和.

15.（3分）古代名著《算学启蒙》中有一题：良马日行二百四十里.鸳马日行

一百五十里.鸳马先行一十二日，问良马几何追及之.意思是：跑得快的马

每天走240里，跑得慢的马每天走150里.慢马先走12天，快马几天可追上

慢马？若设快马x天可追上慢马，则由题意，可列方程为240x=150x+12X

150.

【考点】89：由实际问题抽象出一元一次方程.

【专题】12：应用题.

【分析】设快马九天可以追上慢马，根据快马和慢马所走的路程相等建立方程即

可.

【解答】解：设快马x天可以追上慢马，

据题题意：240%=150x4-12X150,

故答案为：240x=150x+l2X150

【点评】本题考查了一元一次方程的应用，解答本题的关键是设出未知数，挖掘

出隐含条件.

16.（3分）如图，在△ABC中，AD,CO分别平分NBAC和NAC8,AE//CD,

CE//AD.若从三个条件：①AB=AC；@AB=BC；@AC=BC中，选择一

个作为已知条件，则能使四边形ADCE为菱形的是②（填序号）.

【考点】KF：角平分线的性质；KJ：等腰三角形的判定与性质；17：平行四边

形的判定与性质；L9：菱形的判定.

【专题】556：矩形菱形正方形.

【分析】当BA=BC时，四边形AOCE是菱形.只要证明四边形AOCE是平行

四边形，D4=OC即可解决问题.

【解答】解：当区4=8C时，四边形ADCE是菱形.

理由：'.,AE//CD,CE//AD,

二四边形ADCE是平行四边形，

,:BA=BC,

：.ZBAC=ZBCA,

\'AD,CD分别平分N84C和NAC3,

：.ZDAC=ZDCA,

：.DA=DC,

...四边形ADCE是菱形.

故答案为②

【点评】本题考查菱形的判断、平行四边形的判断和性质、角平分线的定义、等

腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，

属于中考常考题型.

17.(3分)若关于x的一元二次方程L2-2m-4/72+1=0有两个相等的实数根,

2

则(.m-2)2-2m(m-1)的值为—.

~2~

【考点】AA：根的判别式.

【专题】11：计算题.

【分析】根据根的判别式即可求出答案.

【解答】解：由题意可知：△nd*-2(1-4〃z)=4m2+Sm-2=0»

/.m2+27n=—

2

(m-2)2-2mCm-1)

=-m2-2m+4

=_X+4

2

=工

~2

故答案为：1

2

【点评】本题考查根的判别式，解题的关键是正确理解根的判别式的作用，本题

属于基础题型.

18.(3分)在平面直角坐标系xOy中，已知A(230),B(0,-2/),C(2/,

2

4f)三点，其中/>0,函数)；=匚的图象分别与线段BC,AC交于点P,Q.若

X

S^PAB-S^PQB=t,则t的值为4.

【考点】G5：反比例函数系数k的几何意义；G6：反比例函数图象上点的坐标

特征.

【专题】17：推理填空题.

2

［分析］先根据题意画出，因为函数y=匚的图象分别与线段BC,AC交于点P,

x

Q.可确定尸和。在第一象限，根据Q在AC上可得Q的坐标，根据反比例

函数和直线8C的解析式列方程可得P的坐标，根据S△风B-SMQB=3列关

于f的方程可得结论.

【解答】解：如图所示，

VA(2b0),C(2340,

.,.AC_Lx轴，

当x=2r时，>=工_=主，

2t2

:.Q(2n主)，

2

\'B(0,-2力，C(27,4t),

易得直线8C的解析式为：y=3x-2t,

则3x-2f=J,

解得：x\=t,X2=-L(舍)，

3

：.P(f,f),

=

S^mBS^BAC-SMPC，SAPQB=S&BAC~S3Q~SgQC，

•：S&PAB~S/\PQB=t,

**•(S^BAC-SAAPC)-(S^BAC-S&ABQ-S&PQ。=t,

SAYIBQ+SAPQC-S/^APC=­•—w(4t^-)t=，，

22222

f=4,

【点评】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，用待定系数法求一次函

数的解析式及计算图形面积的问题.解题的关键是确定交点P的坐标.

三、解答题(本大题共10小题，共96分.解答时应写出文字说明、证明过程或

演算步骤)

19.(10分)计算：

(1)(-2)2-病+(-3)°-(1)-2；

3

(2)a2-9+白.

9

a+6a+9a

【考点】2C：实数的运算；6A：分式的乘除法；6E：零指数累；6F：负整数指

数累.

【专题】11：计算题；513：分式.

【分析】(1)先计算乘方、立方根、零指数幕及负整数指数毒，再计算加减可得;

(2)先因式分解、除法转化为乘法，再约分即可得.

【解答】解：(1)原式=4-4+1-9=-8；

(2)原式=(a+3)(a-3).」_=上.

(a+3)2a-3a+3

【点评】本题主要考查分式的乘除法及实数的运算，解题的关键是掌握分式混合

运算顺序与混合运算法则及立方根、零指数累、负整数指数事的法则.

【考点】B3：解分式方程.

【专题】11：计算题.

【分析】本题的最简公分母是3(x+1),方程两边都乘最简公分母，可把分式方

程转换为整式方程求解.

【解答】解：方程两边都乘3(x+1),

得：3x-2x=3(x+1),

解得：x=-W,

经检验x=-a是方程的解,

...原方程的解为X=-W.

2

【点评】当分母是多项式，又能进行因式分解时，应先进行因式分解，再确定最

简公分母.分式方程里单独的一个数和字母也必须乘最简公分母.

21.(8分)一个不透明的口袋中有三个完全相同的小球，把他们分别标号为1,

2,3.随机摸取一个小球然后放回，再随机摸出一个小球.用列表或画树状

图的方法，求两次取出的小球标号相同的概率.

【考点】X6：列表法与树状图法.

【专题】1：常规题型；543：概率及其应用.

【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次

摸出的小球标号相同时的情况，再利用概率公式即可求得答案.

【解答】解：画树状图得：

开始

123

z1\/KZ\

12312312

则共有9种等可能的结果，两次摸出的小球标号相同时的情况有3种,

所以两次取出的小球标号相同的概率为

【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率.用到的知识点为：概率=所求情

况数与总情况数之比.

22.（8分）如图，沿AC方向开山修路.为了加快施工进度，要在小山的另一边

同时施工，从AC上的一点8取NA8O=120°,BD=520m,ZZ）=30°.那

么另一边开挖点E离。多远正好使A,C,E三点在一直线上（«取1.732,

【考点】KU：勾股定理的应用.

【专题】552：三角形.

【分析】根据三角形内角与外角的关系可求出NAE。的度数，再根据勾股定理

即可求出OE的长.

【解答】解：•♦•/•£>=120°,ZD=30°,

/.ZAED=120°-30°=90°,

在中，BD=520m,ZD=3Q°,

；.BE=LBD=260〃Z,

2

DE={BD2-BE2=260«公450（m）.

答：另一边开挖点E离。450〃z,正好使A,C,E三点在一直线上.

【点评】本题考查三角形的外角性质与勾股定理的应用.关键是从题中抽象出勾

股定理这一数学模型，画出准确的示意图，领会数形结合的思想的应用.

23.（9分）某商场服装部为了调动营业员的积极性，决定实行目标管理，根据

目标完成的情况对营业员进行适当的奖励.为了确定一个适当的月销售目标,

商场服装部统计了每位营业员在某月的销售额（单位：万元），数据如下：

17181613241528261819

22171619323016141526

15322317151528281619

对这30个数据按组距3进行分组，并整理、描述和分析如下.

频数分布表

组别二三四五六七

销售额13仝〈16WxV19&V224<25WxV28«31&V

16192225283134

频数793a2b2

数据分析表

平均数众数中位数

20.3C18

请根据以上信息解答下列问题：

（1）填空：a=3，b=4,c=15；

（2）若将月销售额不低于25万元确定为销售目标，则有8位营业员获得奖

励；

（3）若想让一半左右的营业员都能达到销售目标，你认为月销售额定为多少合

适？说明理由.

【考点】V5：用样本估计总体；V7：频数（率）分布表；W1：算术平均数；

W4：中位数；W5：众数.

【专题】31：数形结合.

【分析】（1）从表中数出落在224V25和284V31范围内的数据个数得到a、

〃的值，利用众数定义确定c的值；

（2）利用频数分布表，后面三组的频数和为获得奖励的营业员的数量；

（3）利用中位数的意义进行回答.

【解答】解：（1）在22WxV25范围内的数据有3个，在28WxV31范围内的数

据有4个，

15出现的次数最大，则众数为15；

（2）月销售额不低于25万元为后面三组数据，即有8位营业员获得奖励；

故答案为3,4,15；8；

（3）想让一半左右的营业员都能达到销售目标，我认为月销售额定为18万合适.

因为中位数为18,即大于18与小于18的人数一样多，

所以月销售额定为18万，有一半左右的营业员能达到销售目标.

【点评】本题考查了众数：一组数据中出现次数最多的数据叫做众数.也考查了

样本估计整体、平均数和中位数.

24.（8分）如图，为。。的直径，C为。。上一点，AO和过点。的切线互

相垂直，垂足为。，且交。。于点E.连接OC,BE,相交于点?

（1）求证：EF=BF；

（2）若。C=4,DE=2,求直径43的长.

【考点】MC：切线的性质；S9：相似三角形的判定与性质.

【专题】14：证明题.

【分析】（1）根据题意和平行线的性质、垂径定理可以证明结论成立;

（2）根据题意，利用矩形的性质和勾股定理可以解答本题.

【解答】（1）证明：•••OC_LCD,ADLCD,

：.OC//AD,NOCD=90°,

：.ZOFE=ZOCD=90°,

,:OB=OE,

：.EF=BF；

（2）•「.•AB为。。的直径，

/.ZAEB=90°,

ZOCD=ZCFE=9Q°,

四边形ER7。是矩形，

：.EF=CD,DE=CF,

\'DC=4,DE=2,

：.EF=4,CF=2,

设OO的为r,

'：ZOFB=90°,

:.OB2=OF2+BF2,

即r=（r-2）2+42,

解得，r=5,

：.AB=2r=10,

即直径AB的长是10.

【点评】本题考查切线的性质、垂径定理、矩形的判定与性质、勾股定理，解答

本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解

答.

25.（9分）小明购买A,B两种商品，每次购买同一种商品的单价相同，具体信

息如下表：

次数购买数量（件）购买总费用（元）

AB

第一次2155

第二次1365

根据以上信息解答下列问题：

（1）求A,3两种商品的单价；

（2）若第三次购买这两种商品共12件，且A种商品的数量不少于8种商品数

量的2倍，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由.

【考点】9A：二元一次方程组的应用；C9：一元一次不等式的应用.

【专题】1：常规题型.

【分析】（1）根据表格中数据进而得出等式组成方程组求出答案；

（2）利用A种商品的数量不少于8种商品数量的2倍，得出商品数量的取值范

围，进而求出答案.

【解答】解：（1）设A种商品的单价为x元，8种商品的单价为y元，根据题意

可得：

（2x+y=55

Ix+3y=65

解得：产0.

Iv=15

答：A种商品的单价为20兀，8种商品的单价为15兀；

(2)设第三次购买商品A种。件，则购买8种商品(12-a)件，根据题意可

得：

(12-a),

得：8«2,

Vm=20^+15(12-a)=5a+180

...当。=8时所花钱数最少，即购买A商品8件，8商品4件.

【点评】此题主要考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，正

确得出等量关系是解题关键.

26.(10分)在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线-2(%-1)x+M-敦

a为常数).

(1)若抛物线经过点(1,F),求％的值；

(2)若抛物线经过点(2k,yi)和点(2,”)，且?>”，求上的取值范围；

(3)若将抛物线向右平移1个单位长度得到新抛物线，当时，新抛物

线对应的函数有最小值-3,求人的值.

2

【考点】H4：二次函数图象与系数的关系；H5：二次函数图象上点的坐标特征；

H6：二次函数图象与几何变换；H7：二次函数的最值.

【专题】535：二次函数图象及其性质.

【分析】(1)把点坐标代入解析式即可；

(2)分别把点(2攵，yi)和点(2,”)代入函数解析式，表示V、”利用条件

构造关于女的不等式；

(3)根据平移得到新顶点，用女表示顶点坐标，找到最小值求％.

【解答】解：⑴把点(1,S)代入抛物线产x2-2(…)x+lc-^k,得

庐=俨-2Ck-1)+K-为

2

解得

3

(2)把点⑵，yi)代入抛物线尸2(k-1)x+炉趣，得

yi=(2k)2-2(k-l)・2k+e-'=炉+法

22

把点(2,以)代入抛物线尸2-2(k-1)x+k2-^k,得

>2=22_2(%-1)X2+d-H女+8

22

"''y\>y2

：.^lk>k2-Hz+8

22

解得k>1

(3)抛物线y=/-2(…)x+3趣解析式配方得

y=(x-Z:+l)2+(-A-jj-p

将抛物线向右平移1个单位长度得到新解析式为

y=(x-k)2+(-A-jj-p

当ZV1时，1WXW2对应的抛物线部分位于对称轴右侧，y随光的增大而增大，

1时，y及小=(1-%)2-Lk-1=lc-工,

22

.,.lc--k=-―,解得％i=l,ki=—

222

都不合题意，舍去；

当1WkW2时，y0小=--k-1,

2

：,-Lk-1=-1

22

解得人=1;

当攵>2时，1WXW2对应的抛物线部分位于对称轴左侧，y随x的增大而减小，

.,.尤=2时，y及小=(2-%)2-2人-1=公一旦2+3,

22

：.l^-lk+3=-2

22

解得俗=3,fo=—(舍去)

2

综上，a=1或3.

【点评】本题为二次函数综合题，考查二次函数图象性质及二次函数图象平移.解

答时注意用左表示顶点.

27.(13分)如图，正方形A3C。中，AB=2加，。是8C边的中点，点E是正

方形内一动点，0E=2,连接。E,将线段OE绕点。逆时针旋转90°得OF,

连接AE,CF.

DAD

BOCBC

修用图)

(1)求证：AE=CF；

(2)若A,E,。三点共线，连接。品求线段。口的长.

(3)求线段。/长的最小值.

【考点】L0：四边形综合题.

【专题】152：几何综合题.

【分析】(1)根据旋转的性质，对应线段和对应角相等，可证明AAOE之△<?£>F,

即可得到AE=CR

(2)先利用：AADE^ACDF,求得CF的长，再利用△ABOSACPF,求得

CP、PF的长，即可求得。尸的长；

(3)当0、E、P三点共线时，PE最小，即0尸最小，根据勾股定理可得0P

的长，从而得PE的长.和0斤的最小值.

【解答】(1)证明：如图1,由旋转得：ZEDF=90°,ED=DF,

•四边形ABC。是正方形，

AZADC=90°,AD=CD,

:./ADC=NEDF,

即ZADE+ZEDC=ZEDC+ZCDF,

：.ZADE=ZCDF,

在△AOE和△CD/7中，

'AD=CD

vNADE=NCDF，

DE=DF

AADE咨LCDF,

：.AE=CF；

(2)解：如图2,过尸作。。的垂线，交8C的延长线于P,

•.•0是8C的中点，且A8=BC=2&,

VA,E,。三点共线，

••0B=

由勾股定理得：AO=5,

0E=2,

：.AE=5-2=3,

由（1）知：AADE^/\CDF,

：.ZDAE=ZDCF,CF=AE=3,

■:NBAD=ZDCP,

：.ZOAB=ZPCF,

VZABO=ZP=90°,

：.AABO^ACPF,

♦ABCP=2V5=?

*"OB^PFVT，

：.CP=2PF,

设PF=x,则CP=2x,

由勾股定理得：32=f+（2光）2,

x（舍），

55_

.,.FP=^^-,11晶,

555_______

由勾股定理得：0尸=«噜）2+（失鸟2=腐,

（3）解：如图3,由于OE=2,所以E点可以看作是以。为圆心，2为半径的

半圆上运动，

延长氏4到P点，使得AP=OC,连接PE,

"：AE=CF,NFAE=NOCF,

：./\PAE^/\OCF,

：.PE=OF,

当PE最小时，为。、E、P三点共线，

OP=V0B2+PB2=7（V5）2+（3X/5）2=5^

，PE=OF=OP-OE=5®-2,

的最小值是5立-2.

图3

图1

【点评】本题是四边形的综合题，考查了正方形的性质、三角形全等及相似的性

质和判定、勾股定理，第三问判断最值是难点，将。尸的长利用三角形全等

转化为PE的长，从而解决问题.

28.（13分）【定义】如图1,A,8为直线/同侧的两点，过点A作直线1