2022-2023学年冀教版九年级数学下册第29章【直线与圆的位置关系】专项训练卷附答案解析

2022-2023学年九年级数学下册第29章【直线与圆的位置关系】专项训练卷

(-)

专项一与切线有关的证明与计算

类型1见半径，证垂直

1.如图,〃'是的直径，如是。。的半径，必切于点4阳与4c的延长线交于点也/COF/APB.求

证:用是的切线.

2.[2021四川南充中考]如图,46是0。上两点，且/斤的，连接阳并延长到点C使叱阳连接

(1)求证:4C是O。的切线.

⑵点D,£■分别是AC,物的中点，如所在直线交。。于点F,G,614=4,求"的长.

类型2连半径，证垂直

3.如图为。。的直径，点。在。。外，/{%的平分线与00交于点90°.

(1)切与。0有怎样的位置关系?请说明理由.

⑵若/以炉60°,49=6,求检的长.

类型3作垂直，证半径

4.[2021河北秦皇岛模拟]如图，0为正方形/时对角线上一点，回与以。为圆心、物长为半径的。。相

切于点M.

D

⑴求证：切与。。相切.

(2)若正方形/版的边长为1,求。。的半径.

专项二与圆有关的动态问题

类型1动点、动圆问题

1.如图,在平面直角坐标系中，｛点坐标为(-3,4),。｛的半径为2,。为x轴上一动点,如切。4于点B,则

当分最小时,P点的坐标为()

A.(-3,0)B.(-1,0)

C.(-5,0)D.(-4,0)或(-2,0)

2.如图,直线仍切相交于点妗30°,半径为2cm的OP的圆心-在直线加上，且与点0的距离

为6cm,如果0尸以1cm/s的速度沿直线49向右移动，那么与直线切相切时，0/运动的时间是

()

£

A.3s或10sB.3s或8s

C.2s或8sD.2s或10s

3.[2021江苏南通月考]如图,正方形如少的边长为8,M是相的中点,一是应1边上的动点,连接PM,以点

P为圆心,2V长为半径作。2当。户与正方形A?切的边相切时，鳍的长为()

A.3B.4V3C.3或4百D.不确定

4.如图1,平行四边形4?(力中9=6,/介10,点夕在边4〃上运动，以尸为圆心，必为半径的。?与

对角线“1交于两点.

⑴如图2,当0尸与边W相切于点尸时,求在的长；

(2)不难发现，当OP与边口相切时，。户与平行四边形/以a的边有三个公共点，随着/P的变化，。尸与平

行四边形4腼的边的公共点的个数也在变化,若公共点的个数为4,直接写出相对应的的值或取值范

围:.

5.[2021河北石家庄四十二中模拟]如图，在四边形46切中，46〃%N作90°,N%介

60°，叱4011,对角线1。平分/刃〃点尸是物边上一动点，它从点8出发，向点/移动，移动速度为1cm/s;

点。是“'上一动点，它从点/出发，向点。移动，移动速度为1cm/s.设点A0同时出发，移动时间为t

s(0WtW6).连接PQ,以可为直径作。0.

⑴求彼的长.

⑵当t为何值时，0。与/C相切？

(3)当t为何值时,线段4C被。。截得的线段长恰好等于。0的半径？

(4)当t为时,圆心〃到直线力的距离最短,最短距离为.(直接写出结果)

类型2折叠问题

6.如图，点M是以A?为直径的半圆。上的一点(不与点A,6重合)，小4.沿着川折叠半圆。，点A,。的对

应点分别是点，，0',设N48沪a.

⑴如图1,过点/作/W〃科当与半圆。相切时，求a的值;

(2)如图2,当点。'落在而上时,求阴影部分的面积；

⑶如图3,当物'与。。相切时,求折痕飒的长.

类型3旋转问题

7.如图，点4为半圆0的直径加•'所在直线上一点,射线垂直于M；垂足为点A,半圆绕点〃顺时针转动,

转过的角度记作/设半圆。的半径为R,4"的长度为m,回答下列问题.

探究：

(1)若庐2,犷1,如图1,当旋转30°时，圆心0'到射线四的距离是；如图2,当。=。时,

半圆。'与射线46相切.

(2)如图3,在(1)的条件下,为了使得半圆。转动30°即能与射线48相切,在保持线段4v长度不变的条件

下,调整半径的大小,请你求出满足要求的R,并说明理由.

发现：

(3)当0°＜。＜90°时，为了对任意旋转角都保证半圆。与射线能够相切，小明探究了cosa与兄拼两

个量的关系，请你帮助他直接写出这个关系:cosa=.(用含有七小的代数式表示)

拓展：

(4)如图4,若R=m,当半圆弧线与射线48有两个公共点时，a的取值范围是,并求出在这个变化

过程中阴影部分(弓形)面积的最大值(用w表示).

8.如图,在△/比'中，陷2,Z^90°,斤30°,0A=2,且OALAB,以点。为圆心、1为半径画圆，将线段

0A和。。一起绕点A按顺时针方向旋转.

⑴当点。第一次落在4C上时，旋转角为。，此时点，在0^(填写“内”“上”或

“外”)；

(2)在运动过程中，点0到直线力的距离最短为;

(3)当。。与△/回的边相切时,设切点为P,求族的长度.

（二）

专项一切线长定理

1.[2021河北石家庄二十八中月考]如图,一圆内切于四边形ABCD,且叱10,1分7,则此四边形的周长为

)

A.32B.34

2.如图1,把△4比剪成三部分,边力6,BC,〃'放在同一直线上，点。都落在直线,楙'上（如图2）,直线初V〃/16,

则点。是△4a'的（）

MaN

居

图2

A.外心D.三条高的交点

3.[2021福建中考]如图,4?为。。的直径，点一在用的延长线上，阳阳与。。相切,切点分别为C〃若

力生6,小4,则sin/。。等于（)

.3

A.-B・|D

51

4.[2021河北九市模拟]如图,在△/a1中，点。为△49C的内心，N4=60°,CD=2,除4,则的面积是

)

A.4V3B.2V3C.2D.4

5.如图，正方形力65的边长为4cm,以正方形的一边比为直径在正方形4版内作半圆，过点4作半圆

的切线，与半圆相切于点K与%相交于点七则场的面积为()

A.12cm2B.10cm2C.8cmD.6cm2

6.如图，为，如是。。的切线,46为切点,/C是。。的直径,/C必的延长线相交于点〃

⑴若Nl=20°,求NW的度数;

(2)当/I为多少度时，除切?并说明理由.

7.如图,在△胸中，内切圆。/与力0园。分别切于点£〃£连接BI,CI,FD,ED.

⑴若/4=60°,求'与/网坦的度数；

⑵若N8G。，/必伊£,试猜想"与£的关系，并证明你的结论.

专项二三角形的内心和外心

类型1三角形的内心与外心的识别

1.[2021河北唐山期中]当一个三角形的内心与外心重合时，这个三角形一定是（）

A.直角三角形B.等腰直角三角形

C.钝角三角形D.等边三角形

2.[2021河北石家庄期中]九个相同的小等边三角形如图所示，已知点。是一个三角形的外心，则这个三

角形是（）

A---------—•B

t\t\»

t\tXt

t\t\t

t\t\f

t\t\»

r*t\t\t

'-，>•、—---，•、-----，■、

，、t\•\

t\，、，、

，•\、，!\、•，\、

t\»\t、

D..................'E.....................0.................

A./XABCB.MABEC.^ABDD./XACE

3.[2021河北唐山二模]根据尺规作图的痕迹，可用直尺成功找到三角形内心的是（）

4.如图，在△/1%中，/生儿"/平分NiS4c〃是48边上一点，以点。为圆心，如为半径的。。切4/于点I,

交AB于点、F,连接BI.

（1）求证:，是△/比■的内心.

（2）连接IF,若/尸2,Z750300,求圆心。到6/的距离.

类型2利用内心的性质求角度

5.如图，四边形力腼内接于。4点/是a'的内心，乙”£124°,点后在4〃的延长线上,则NCME"的度

数为（）

6.如图,在扇形中，垂足为〃。£是4〃》的内切圆，连接班;则必的度数

为.

A小DD

类型3三角形的内心与外心的综合

7.[2020河北石家庄三模]如图，四边形四（②中，4氏4〃,除比；N4=90°,AABC

=105°.若45=5逐，则的外心与△比。的内心的距离是（）

C

A.5B.5V3C.yD.yV3

8.[2021河北石家庄期末]如图，在△/%中，/a俣140°,/是内心，。是外心，求N8/C的度数.

A

BC

参考答案

(-)

专项一与切线有关的证明与计算

1.•.•必切于点4...N为/90°.

NBOC+NAO庐180°,且NBOONAPB,

：.ZAPB+ZAOB=180°,

，在四边形4〃即中，/曲片360°-90°-180°=90°,

：.OBLPB.

;仍是。。的半径，，如是。。的切线.

2.⑴斤如=阳.•.△力6是等边三角形.

：.NAOB=/OBA=NOAB=6Q°.

,：BOOB,：.BC=AB,：.ABAC=AC.

,：ZOBA=ZBAC+ZC=eO°,：.ZBAC=Z(=30°,

：.ZOAOZOAB+ZBAC=90Q,：.OA±AC.

•.•如是0。的半径，

.•"C是。。的切线.

⑵如图,连接OF,过点。作O/LLGF于点、〃

:.GF=2HF,NOH芹NOH呼。.

♦.•点〃,£分别是4C0的中点，

密峭呜X4=2,DE//OC,

：.ZOEH=ZAOB=60°,：.OH=OEslnNOEH=取,

，晔7OF2-OH2=，-(次产=yi3

G户2H户2A.

3.⑴口与00相切.理由如下：

如图，连接0D,

■:BD是4ABC界平令线、：.4CBD-4ABD,

"：0D=0B,：.^0l)B=AABD,

：.Z0DB=ZCBD,：.0D//CB,

.•.Z6»f=180°-/e90",...勿_L@...a)与。。相切.

(2)VZ0^=60°,：.ZODB=30°,

又，：OFOD,：.40BD=/0DB=3y,：.ZA0I>W,.

；心6,：.A0=3,，检的长为

180

4.⑴如图，连接〃叫过点。作〃吐切于点儿

与。。相切于点,%C.0MVBC.

:四边形/版是正方形，二CA平分/90M=0N.

'：0M是Q0的半径，，av是O0的半径，

...切与。。相切.

(2)...四边形力也为正方形，

：.AR-BC=\,Z5=90°,//华45°,

：.A(=y[2,乙心=乙比伏45°,

:.M0阱0A,

：.OOy/OM2+MC2=\[20^<20A.

"CAOOA+OC,：.OA+y[2OA=y[2,：.OA=2-V2,

即。。的半径为2-VI

专项二与圆有关的动态问题

1.A【解析】如图，连接仍的根据切线的性质定理，得阳.要使图最小，只需心最小.作aUx

轴于P',根据垂线段最短,知点/为所求.此时夕'点的坐标是(-3,0).

2.D【解析】如图，过点一作缪于点〃在RtA%中，/用体30°•.仍2加分两种情况:①当

点一在射线窗上，Q尸与直线切相切时，勿=2cm,则0片2P44cm,；.。尸运动的距离为6-4=2(cm),：.QP

运动的时间是2s;②当点/在射线仍上，。尸与直线切相切时,法2cm,则眦2勿=4cm,。夕运动的

3.C【解析】当。〃与切边相切时，如图1,•••四边形能力是正方形，.••/8。90°,...点C为切点.

设POP用x.在Rt△阳"中，P^=B^+P^,.,.^42+(8-%)2,：,x=5,：.PC=5,B六B。PC=8T=3*当0P与49边相

切时，如图2,设切点为K,连接PK,则PKA.AD,：.四边形PKDC是矩形，；.A和蟀办8.在Rt△阳V

中，侬府年=4百.综上所述,外的长为3或4V3.

4.(1)如图1,连接PF.在Rt△［比1中，由勾股定理得A(=\lBC2-AB2=V102-62=8.

设AP=x,则DF^10-x,P广x.

：。产与边切相切于点F,：.PFVCD.

'：四边形力四9是平行四边形，.•.46〃◎

又:"bJ"阳：.ACLCD,：.PF//AC,

：./\DPF^/\DAC,：.—=—,即三=—.

ACAD810

当。尸与8C相切时,设切点为G,如图2,连接PG,则PGVBC.

"：SOABC^X6X8X2=10能二。片.

①0"与边5分别有两个公共点时,¥＜加＜总

95

即此时。户与平行四边形力时的边的公共点的个数为4;

②。一过点4G。三点，如图3,

0户与平行四边形4?（力的边的公共点的个数为4,此时力45.

5.⑴如图1,过点〃作0MU8于点M.

'：AB//DC,NB=90°,：.NDMB=4DCB=NB=90°,

，四边形〃切%'是矩形，；.〃/陷4cm,

又•；/胡仍60°,：.AD-DM=随(cm).

sin603

TAC平分/BAD,AB”D&:.NCAANCAB=/ACD,

：.DC-AD-—cm.

3

图1

(2)如图2,当。。与47相切时，QPVAC.

由题意得40游£cm.

在RtZvia1中，NBA*NBAD=30°,BC=4cm,

.'.AC=8cm,AB=4>f3cm,...仍（4仔t）cm.

缶^-AP,：.t=孚(4仔。，解得i=24-12V3,

.•.当片24-12百时，0。与4C相切.

(3)第一种情况:如图3,当/0Q沪60°时满足条件.

在△1Q0中，/力俨120°,

结合/0片30°，易得A片如t,

...4W一£=b£,解得Q6-2V5.

第二种情况:如图4,当NOQ沪60°时满足条件.

在△48中，N4俨60°,/3六30°，:.A吟t,

；.4次-呼t,解得夕16遮-24.

综上，当L6-2百或尸16百-24时，线段被。。截得的线段长恰好等于。。的半径.

如图5,过圆心。作0H1DC干点、H,则阳的长为。到小的距离,延长H0交4?于点K,过点。作QRLAB^

点七

则四边形HCBK是矩形,*tcm,

:.H器BO4cm.

•.•点。是图的中点，OKLAB,QRLAB,

线段布是△尸窈的中位线，，呜阶？cm,

0H=(4-it)cm.

0<tW6,

.•.当夕6时，阳有最小值，最小值为4'X6W(cm).

42

在；

图5

6.(1)由折叠易知，NA'BA=2NABM=2a,A'B=AB=4.

如图1,设/fW与半圆。相切于点D,连接0D,则ODVA'N,阻/庐2.过点/'作于点C,

•：A'N//AB,：.A'C=0D-2,

.•.sin“胡等=游3。。，故”15。.

⑵如图2,连接00'.由折叠的性质可知,6。'=吩2.

V00=0B,.♦.△0。'6为等边三角形，

:.N0'0B=6Q°,

S阴影=S用彩oo,ir5A<»7F~J\^—\0BXsin60°=——V3.

36023

A'

(3)如图3,连接AM,则侬90°.

当的'与0。相切时，NAST=90°,

.,.N/8沪45°,

又；心4,

:.B吟BA=2近,

即折痕8V的长为2e.

7.(1)1+7360

⑵后4+2遮.理由如下：

设切点为P,连接O'P,则O'PLAB.

过点材作,留1。字于点。，在双△0'QV中，。’30"八cos30°=Rcos30°

在四边形APQM中，N六/QPA=Z可沪90°,

所以四边形仍物是矩形,所以沪1,

所以O'P-Rcos30°+1,即能Reos300+1,

解得庐4+2次.

⑶叱

R

(4)90°<6/^120°

解法提示:如图1,因为am,所以当。=90°时,半圆与射线相切.如图2,当点N落在射线18上时,为半圆

与46有两个公共点的最后时刻，，确"=24%N"也=60°,。=120°.综上，当半圆弧线与射线46有两个公共

点时，a的取值范围是90°<aW120°.

易知当点A，落在射线48上时，阴影部分的面积最大，物=120°,

所以S弓彩=S.彩爪『一%加丁=拦itffl-ix3niX小册-与病金W虫次,

360223412

8.(1)60外

⑵2V3-2

分析可知I,当的，回时，点。到直线%的距离最短,最短距离为AOOA=2y/3-2.

⑶由(2)可知，点0到直线6c的距离最短为2次-2〉1,

直线比1与。。相离，即。〃不可能与a'边相切，

故分以下两种情况讨论：

①如图1,图2,当。。与力。边相切于点尸时,连接外

则OPLAC,：.AP-ylAO2-OP2==W,

：.华心仍2g-V3=V3,

：.B^CB2+CP2=J22+(V3)2=V7.

②如图3,图4,当。。与四边相切于点？时,连接例

则OPVAB,：.AP=\/AO2-OP2=V22-l2=V3.

又•.•力庐2陷4,...游/比力44-b.

综上可知,册夕或4-V3.

C

(-)

专项一切线长定理

1.B【解析】由题意可得/分缪=力分止7+10=17,所以此四边形的周长为34.

2.B【解析】如图2,作。〃，a1于点〃a2/c于点七a八/台于点£：仞\；〃｛氏介a斤如图

1,过点。作OD'LBC于点、D\施、」〃■于点用」四于点F'.由题意知

aD=OD',OBOE',OFOF',：.OD'=OE'=OF',：唱1中的点。是△49C三个内角平分线的交点，...点。是△

/火的内心.

0

DCEA

图2

3.D【解析】如图，连接龙;因为〃分是0。的切线，所以/笛=90°,易知/。片/日〃所以

/CAW2/CAP,因为OA=OC,所以/力所以/呼=2/00,所以NW=ACAD.在RtAC^

中，0=3,PC=4,所以0032+42=5,所以sin/。介

sinZ^££=i

4.B【解析】如图，过点6作尿工切，垂足为点笈•.,点。是的内心，切分别平分

NABC,NACB,：.NBDC=\8/二(//即/力㈤=180°-1(1800-24)=180°-60°=120°,AZfiW?=60o.

在RtZ\8庞中，/劭层60°,J30=4,Z.BE=^-BD=^,：.XCDXBE=^X2X2V3=2V3.

A

5.D【解析】易知/用切是半圆。的切线，与半圆。切于点根据切线长定理可知[六止4

cm,Ef^EC.设EF^EOxcm,贝lj畛(4-x)cm,4代(4+x)cm.在口△＜朦中，由勾股定理得(4-x)2+4、(4+x)2,解

得A=1,；.〃f=4T=3(cm),DE^X4X3=6(cmJ).

6.(1):•必，必是。。的切线，

：.PA=PB,/胡Q90°-Zl=70°,

的=/力670°,

.•./月眸180°-ZBAP-ZASP=40°.

⑵当/1=30°时，〃4M理由如下：

当Nl=30°时，由(1)知N胡4/力於60°叫60°,

氏90°-ZJ/®=90°-60°=30°.

由必,阳是00的切线，易知/例转/仍管30°,

：.ZOPB=ZD,：.OF^OD.

7.是△/a1的内切圆，

:./]B吟/ABC,NIC吟NACB,

：.ZIBaZIC吟(ZABC+ZAC&,

又；NABC+N4cB=18。°-Z^=120°,

：.ZIBC+ZICB=60°,

AZ2?/^180°-(ZIS&ZIC&=120°.

如图，连接IF,IE,

；07■是△48。的内切圆，.•./的=/曲=90°.

；//=60°，，/尸厉360°-ZIFA-ZIEA-ZA=120Q,

:.NFD/F6Q；

昌2店

A

⑵猜想：a=180°-£.证明如下：

由(1)知N/7代180°-ZA

,:NFI群2NFDE,：./后180°-2Z/7^180°-2£.

VZBIC=180°-(N/8G//⑦=180°--(ZABC+ZAC^)=18O°二(180°-N/)=90°+-ZA,

222

：.ABIC=<z=90°+1(180°-2£),

即a=180o

专项二三角形的内心和外心

1.D

2.C【