2019-2020学年江西省抚州市高二（上）期末数学试卷（理科）

2019-2020学年江西省抚州市高二（上）期末数学试卷（理科）

一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.每小题只有一个正确选项）

1.（5分）在某社区有600个家庭，其中高收入家庭120户，中等收入家庭420户，低收入

家庭60户.为调查社会购买力的某项指标，要从中抽取一个容量为100户的样本，记作

①：某学校高中二年级有15名男篮运动员，要从中选出3人调查学习负担情况，记作

②；那么完成上述两项调查应采用适合的抽样方法是（）

A.①简单随机抽样，②系统抽样

B.①系统抽样，②分层抽样

C.①分层抽样，②简单随机抽样

D.①分层抽样，②系统抽样

2.（5分）某工厂对一批产品进行了抽样检测.如图是根据抽样检测后的产品净重（单位：

克）数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是[96,106],样本数据分组为[96,

98）,[98,100）,[100,102）,[102,104）,[104,106],已知样本中产品净重小于100

克的个数是36,则样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数是（）

3.（5分）假设关于某设备的使用年限x和所支出的维修费用），（万元），有如下的统计资料:

x12345

y567810

由资料可知y对x呈线性相关关系，且线性回归方程为y=i.2x+a，请估计使用年限为

20年时，维修费用约为（）

A.26.2B.27C.27.6D.28.2

4.（5分）如图，该程序运行后输出的结果为（）

开始

,4=15=1

4=彳+1结束

A.7B.15C.31D.63

5.（5分）命题“若x>l,则/>1”的否命题为（）

A.若x>l,则/W1B.若/>1,则x>1

C.若xWl,则D.若/W1,则xWl

6.（5分）已知向量Z=（l,1,0），1=（-1,0,1），且ka+N5a互相垂直，则A=（）

A.AB.AC.」D.」

3232

7.（5分）已知5件产品中有2件次品，其余3件为合格品.现从这5件产品中任取2件,

至少有一件次品的概率为（）

A.0.4B.0.6C.0.7D.0.8

22

8.（5分）已知椭圆=的左右焦点分别为Fi（-c,0）,F2（c,0）,

2,2-1■

ab

_•n/pp「

若椭圆上存在一点p使得---------」•=曳，则这椭圆的离心率的取值范围为（）

sinZPFg?1c

A.（0,&-1）B.（0,y）ug,1）D.（V2-l-1）

9.（5分）设向量Z=（x-1,y）（x,yER）,若Ia1'则的概率为（）

D-4^

A-4

10.（5分）已知过抛物线）2=4x的焦点户的直线/与该抛物线交于A,B两点，且|AF|：\BF]

=3：2,则直线/的方程为（）

D.y=±-^-（x-l）

A.y=i-B.y=±2,\/Q（X-1）C.y=i--（x~l）

35

11.（5分）如图，在正四棱柱ABCD-A\B\C\D\中，A8=3,A4i=4,P是侧面BCC\B\

内的动点，且APLBOi,记AP与平面BCC13所成的角为仇则tan。的最大值为（）

C.2D.鲁

22

12.（5分）已知椭圆¥+X^i（a>b>0）的左、右焦点分别为Q，放，尸为椭圆上不与

a%y

左右顶点重合的任意一点，/,G分别为△PF1F2的内心和重心，当/G_Lx轴时，椭圆的

离心率为（）

A.AB.AC.返D.后

3223

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13.（5分）已知空间单位向量£7，T*,两两互相垂直，且？二2二+?二_4二^则W

C1ClG11OCQHDOCl0

14.（5分）如图是某赛季甲乙两名篮球运动员每场比赛得分的茎叶图，则甲乙两人比赛得

分的中位数之和是

甲乙

—31

368245

479326378

1457

22

15.（5分）椭圆£江十/=1的左焦点为Q,直线与椭圆£交于A,8两点.当4

25

F\AB的周长最大时，则m的值等于.

16.（5分）己知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为2的正方形，侧面.底面ABCD,

且PA=PB=4,则该四棱锥P-ABCD的外接球的表面积为.

三、（本大题共6小题，第17题10分，第18・22题每小题10分，共70分）

17.（10分）已知命题p：关于x的不等式/-4工+2机<0无解；命题/指数函数/（x）=

（2m-1）”是R上的增函数.

（1）若命题〃八q为真命题，求实数机的取值范围；

（2）若满足p为假命题且q为真命题的实数机取范围是集合A,集合B={x|2Ll<x<

13-尸},且AUB,求实数，的取值范围.

18.（12分）已知椭圆C经过两点A（扬显），B（l,

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）已知直线/与椭圆C交于C,D,且已知线段C0的中点为儿（\历，1）,求直线/

的方程.

19.（12分）如图，已知四棱锥P-A8CO的底面ABCD为棱形，且出，面ABCQ,NBAD

=120°,AB=1,%=2,且E,F分别为尸8,尸力的中点.

（1）求证：8。_1_面PAC-,

（2）求二面角P-AE-尸的余弦值.

20.（12分）某乐园按时段收费，收费标准为：每玩一次不超过1小时收费10元，超过1

小时的部分每小时收费8元（不足1小时的部分按1小时计算）.现有甲、乙二人参与但

都不超过4小时，甲、乙二人在每个时段离场是等可能的.为吸引顾客，每个顾客可以

参加一次抽奖活动.

（1）用（10,10）表示甲乙玩都不超过1小时的付费情况，求甲、乙二人付费之和为44

元的概率；

（2）抽奖活动的规则是：顾客通过操作按键使电脑自动产生两个［0,1］之间的均匀随机

数x,并按如图所示的程序框图执行.若电脑显示“中奖”，则该顾客中奖；若电脑显

示“谢谢”，则不中奖，求顾客中奖的概率.

21.（12分）已知三棱锥P-ABC（如图1）的平面展开图（如图2）中，四边形ABCQ为

边长为&的正方形，△ABE和△BCF均为正三角形，在三棱锥P-ABC中：

（I）证明：平面B4C_L平面48C；

（II）求二面角A-PC-B的余弦值;

（III）若点M在棱PC上，满足史=入,2],点N在棱8尸上，且

CP3」

AN,求典的取值范围.

BP

22.（12分）已知椭圆巳表」CO）的左右焦点分别为乃（-C,°）,放（c,。）,

ab

已知其离心率为e,，且过点Q（l,》

（1）求椭圆的标准方程.

（2）设A,B是椭圆上位于x轴上方的两点，且直线AFi与直线3尸2平行，AF2与

交于点P,探究|Pg|+|PF2|是否为定值？如果为定值，请求出该定值；如果不为定值，请

说明理由.

2019-2020学年江西省抚州市高二（上）期末数学试卷（理科）

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.每小题只有一个正确选项）

1.（5分）在某社区有600个家庭，其中高收入家庭120户，中等收入家庭420户，低收入

家庭60户.为调查社会购买力的某项指标，要从中抽取一个容量为100户的样本，记作

①：某学校高中二年级有15名男篮运动员，要从中选出3人调查学习负担情况，记作

②；那么完成上述两项调查应采用适合的抽样方法是（）

A.①简单随机抽样，②系统抽样

B.①系统抽样，②分层抽样

C.①分层抽样，②简单随机抽样

D.①分层抽样，②系统抽样

【分析】利用分层抽样、简单随机抽样的性质直接求解.

【解答】解：在①中：在某社区有600个家庭，其中高收入家庭120户，中等收入家庭

420户，低收入家庭60户.

为调查社会购买力的某项指标，要从中抽取一个容量为100户的样本，

有个体差异，应该用分层抽样方法；

在②中，某学校高中二年级有15名男篮运动员，要从中选出3人调查学习负担情况，

总体个数少，应该用简单随机抽样方法.

故选：C.

【点评】本题考查抽样方法的判断，考查分层抽样、简单随机抽样的性质等基础知识，

考查运算求解能力，是基础题.

2.（5分）某工厂对一批产品进行了抽样检测.如图是根据抽样检测后的产品净重（单位：

克）数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是[96,106],样本数据分组为[96,

98）,[98,100）,[100,102）,[102,104）,[104,106],已知样本中产品净重小于100

克的个数是36,则样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数是（）

频率/组距

9s品点106,克

A.90B.75C.60D.45

【分析】根据小长方形的面积=组距乂普写=频率求出频率，再根据频率/望赘=.

组距样本谷里

求出频数，建立等式关系，解之即可.

【解答】解：净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数设为N2,产品净重小

于100克的个数设为Ni=36,样本容量为M(0.1+0.15+0.125)X2XN_375

(0.05+0.1)X2XN~~150

电港X36=90

故选：A.

【点评】用样本估计总体，是研究统计问题的一个基本思想方法.对于总体分布，总是

用样本的频率分布对它进行估计，频率分布直方图：小长方形的面积=组距X

20年时，维修费用约为（）

A.26.2B.27C.27.6D.28.2

【分析】根据所给的数据求出这组数据的横标和纵标的平均数，即这组数据的样本中心

点，根据样本中心点在线性回归直线上，把样本中心点代入求出〃的值，写出线性回归

方程，代入x的值，预报出结果.

【解答】解：：由表格可知彳=3,7=7.2,

,这组数据的样本中心点是（3,7.2）,

根据样本中心点在线性回归直线上,

・・・7.2=a+1.2X3,

••〃=3.6,

/.这组数据对应的线性回归方程是），=1.2%+3.6,

,."=20,

?.y=1.2X20+3.6=27.6.

故选：C.

【点评】本题考查线性回归方程，考查样本中心点，做本题时要注意本题把利用最小二

乘法来求线性回归方程的系数的过程省掉，只要求〃的值，这样使得题目简化，注意运

算不要出错.

4.（5分）如图，该程序运行后输出的结果为（）

【分析】赋值框内的循环变量的赋值A=l,符合条件，进行运算，累加变量同时加1替

换，判断是否符合条件，符合条件再进入循环，否则算法结束，输出S.

【解答】解：因为A=l,5=1

判断框内的条件1W5成立，执行s=2X1+1=3,i=l+l=2；

判断框内的条件2<5成立，执行s=2X3+l=7,i=2+l=3；

判断框内的条件3W5成立,执行s=2X7+l=15,i=3+l=4；

判断框内的条件4W5成立，执行s=2X15+1=31,i=4+l=5；

判断框内的条件5W5成立，执行s=2X条+1=63,?=5+1=6；

此时6>5,判断框内的条件不成立，应执行否路径输出63,所以输入的加值应是5.

故选：D.

【点评】本题考查了程序框图中的当型循环结构，当型循环是先判断后执行，满足条件

进入循环，不满足条件，算法结束.

5.（5分）命题“若x>l,则7>1”的否命题为（）

A.若x>l,则B.若/>1,则x>1

C.若xWl,则/W1D.若/W1,则xWl

【分析】否命题是条件和结论都要否定，由此写出即可.

【解答】解：命题“若x>l,则f>l”的否命题是

“若xWl,则/W1”.

故选：C.

【点评】本题考查了命题与它的否命题的应用问题，是基础题.

6.（5分）已知向量：=（1,1,0>1=（-1,0,1），且ka+诣aE相垂直，则后=（）

A.1B.AC.」D.」

3232

【分析】根据kZ+痣Z互相垂直，（。+芯）•2=0，列出方程求出人的值.

【解答】解：♦.响量£（1,1,0），b=（-l,0,1），

.,.Aa+b=(左-I,k,1)；

又ka+b^a互相垂直，

aa+b），a=。，

即（％-1）Xl+Z=o,

解得k=l.

2

故选：B.

【点评】本题考查了空间向量的坐标运算与数量积的应用问题，是基础题目.

7.（5分）已知5件产品中有2件次品，其余3件为合格品.现从这5件产品中任取2件，

至少有一件次品的概率为（）

A.0.4B.0.6C.0.7D.0.8

【分析】利用列举法列出从5件产品中选2件的事件的结果有12,13,la,也23,2a,

2b,3a,3b,必共10种，满足条件的基本事件有la,-2a,2b,3a,3b,必共7种,

根据古典概率的求解公式即可求解.

【解答】解：记5件产品的编号分别为1,2,3,a,h,其中1,2,3为合格品，

从5件产品中选2件的事件的结果有12,13,\a,\b,23,2a,2b,3a,3b,仍共10

种，

满足条件的基本事件有la,3,2a,2b,3a,3b,"共7种,

故所求的概率为p=>^-=o.7-

故选：C.

【点评】本题考查概率的求法，是基础题，注意列举法的合理运用.

8.（5分）已知椭圆用表大心心。）的左右焦点分别为乃一，0）,F2（c,0）,

ab

_•n/pp「

若椭圆上存在一点p使得-------」•=亘，则这椭圆的离心率的取值范围为（）

sinZPFg?1c

A.（0,V2-DB.（0,.1）C.（A（1）D.（V2-l-1）

【分析】利用正弦定理、椭圆的定义，结合条件，即可求该椭圆的离心率的取值范围.

sin/PFF

【解答】解：在△PFlF2中，由正弦定理知一=_—=|PF2I

sinZPF2F1|PF1I

・・・巴也F13・・・变工=包=工

即|PFi|=e|P五2|,①

sin/PFzF]c|PF]|ce

又在椭圆上，；.|PFi|+|PF2|=2a,

将①代入得|PF2|=上¥（a-c,a+c）,

同除以。得，l-e<_2_Vl+e,

e+1

解得&T<eVl,

故选：D.

【点评】本题考查椭圆的离心率的取值范围，考查正弦定理、椭圆的定义，考查学生分

析解决问题的能力，属于中档题.

9.（5分）设向量y）（x,yER>若|Z|《1，则的概率为（）

A.AB.A__C.J__LD.3丘1.一

442兀71442兀

【分析】根据平面向量的模长公式得出（x-1）2+/W1,

画出不等式yNx表示的平面区域，计算对应区域的面积比即可.

【解答】解：平面向量a=(x-l,y)(x,y€R),

若|a|<1=>(x-1)2+y2^l,

它表示圆心为(1,0),半径为1的圆面;

画出图形如图所示；

则阴影部分为弓形，其面积为

Ann2-Axixi=2L-A；

4242

所以事件的概率为

兀__

p：5阴影一工节=1_

s图KXI242兀

故选：B.

【点评】本题考查了直线与圆的应用问题，也考查了几何概型的概率计算问题，是基础

题.

10.(5分)已知过抛物线/=©的焦点F的直线/与该抛物线交于A,B两点,且依小逐回

=3：2,则直线/的方程为()

A.y=+—(-i)B.y=i(X-1)C.y=±2(x-l)D.y=+

x-1)

35

【分析】本题先设|A/q=3m|BFl=2m根据公式丁可得依用和|8月的值,

|AF||BF|p

然后设过焦点尸的直线/的斜率为左，则/：y^k(%-1).联立直线与抛物线方程，消去

2

y整理得一元二次方程，根据韦达定理有xi+m=2(>+2),再根据公式HQ+|BQ=

k2

X\+X2+p可得k的值，即可得到直线/的方程.

【解答】解：由题意，p=2,F(1,0).

根据|AQ：\BF]=3：2,

可设|AF]=3a,\BF]=2a,(aW0)

•-1^1_2

'|AF||BF|7'

.•.工工=1,解得〃=5.

3a2a6

：.\AF]=3X^-=^-,|BF|=2xS=S.

6263

IAF1+IBQ=旦+5=空.

236

设过焦点F的直线/的斜率为k,则/：y=k(x-1).

fy=k(x-l)

,y=4x

整理，得必f-2(F+2)x+k1=O.

则XI+X2=2(K_+2),,

k2

HFI+IBFI=xi+x2+p-2堂+ZZ+2=空.

k26

解得好=24,即k=±2娓.

.••直线/的方程为y=±2a（x-1）.

故选:B.

【点评】本题主要考查直线与抛物线的综合问题，考查了抛物线的性质及焦点弦的性质

应用.本题属中档题.

11.（5分）如图，在正四棱柱ABCD-A\B\C\D\中，A8=3,A4i=4,P是侧面BCC\B\

内的动点，且AP_LB£）i,记AP与平面8CC出所成的角为。，则tan。的最大值为（）

PG

A.AB.$C.2D.空

339

【分析】以OA,DC,OQi所在直线分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，利用向

量法能求出线面角的正切值的最大值.

【解答】解：以DC,所在直线分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，

设PG,3,z),则屈=(x-3,3,z),(-3,-3,4),

APS.BDi,•BD；=，

A-3(x-3)-3X3+4z=0,.；=3丫，

4

加尸百==橹A/9=嚼(竣产嗡噜

tan0=--^--^—,

AP3

.*.tan0的最大值为5.

3

故选:B.

【点评】本题考查线面角的正切值的最大值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的

位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.

22

12.（5分）已知椭圆弓+X^=l（a>b>0）的左、右焦点分别为Q,F2,尸为椭圆上不与

左右顶点重合的任意一点，/,G分别为△PF1F2的内心和重心，当/G，x轴时，椭圆的

离心率为（）

A.工B.AC.返D.返

3223

【分析】如图所示，设尸（油,州），不妨设yo>O.利用三角形重心性质可得G（迎,迎）,

33

根据/GJ_x轴，可得x/=0••设三角形内切圆的半径为r.由三角形内切圆的性质可得:

3

-lz（2«+2c）=L・2c・yo.可得r=—?—=yz.设PF\,P&分别与内切圆相切于点D,E.可

22a+c

得PD=PE=L（2“-2c）=a-c.在RtZ\P£）/中，由勾股定理可得：

2

简整理即可得出.

【解答】解：如图所示，设P(刈，)冶)，不妨设冲>0.

F\(-c,0),Fi(c,0).

贝I]G(迎，红)，：/G_Lx轴，：.xi=^-.

333

设三角形内切圆的半径为

由三角形内切圆的性质可得：Ir(2a+2c)=l-2c-yo.

22

解得厂=:为•\，,一丫。

•*yi---------

a+ca+c

设PFi,PF2分别与内切圆相切于点£>,E.

则PD=PE=L(2a-2c)=a-c.

2

在RtZ\P£>/中，由勾股定理可得：PD2+/D2=P/2.

化为：丁色一+^§-=1.

卜-c)2b2

22

与椭圆三/fl(a>b>0)比较可得：J=2(a-c)2,

a2b24

.,.a=—(a-c),可得工=_k.

2a3

3

【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、三角形内切圆的性质、三角形重心性质、

三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题.

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13.（5分）已知空间单位向量£7,右两两互相垂直，且1二2之7+3/_417，则

C1epCOclt«C1TOCQTtcoclco

—3.

【分析】直接代入向量的数量积即可.

【解答】解「.空间单位向量砥两两互相垂直;

所以:-==

a*e2=(2e1+3e24e3)*e23e2*e23-

故答案为：3.

【点评】本题主要考查平面向量数量积的有关性质，属于基础题目.

14.（5分）如图是某赛季甲乙两名篮球运动员每场比赛得分的茎叶图，则甲乙两人比赛得

分的中位数之和是64

甲乙

531

368245

479326378

1457

【分析】中位数是指一组数据按从小到大（或从大到小）的顺序依次排列，处在中间位

置的一个数（或最中间两个数据的平均数，注意：和众数不同，中位数不一定在这组数

据中）.故只须依据茎叶图写出甲乙两人比赛得分，即可找出中位数.

【解答】解：由图可知甲的得分共有9个，中位数为28

...甲的中位数为28

乙的得分共有9个，中位数为36

，乙的中位数为36

则甲乙两人比赛得分的中位数之和是64

故答案为：64.

【点评】求中位数的关键是根据定义仔细分析.另外茎叶图的茎是高位，叶是低位，这

一点一定要注意.

22

15.（5分）椭圆E：2_/=1的左焦点为为，直线与椭圆E交于4,B两点.当4

259

乃A8的周长最大时，则，"的值等于4

【分析】根据题意，作出椭圆的图形,结合椭圆的定义分析可得:B的周长:AB+AF+BF

=A8+(2a-AE)+(2a-BE)^4a+AB-AE-BE,由三角形三边关系分析可得直线x

=m过椭圆的右焦点E时的周长最大，即可得答案.

【解答】解：设椭圆的右焦点为E.如图：

由椭圆的定义得：△E46的周长：AB+AF+BF=AB+(2a-AE)+(2a-BE)=4a+AB-

AE-BE；

'：AE+BE^AB；

：.AB-AE-BE^：O,当AB过点E时取等号；

：.AB+AF+BF=4a+AB-AE-BEW4a；

即直线x=加过椭圆的右焦点E时△硒8的周长最大；

此时直线x—m—c=4；

故初的值为4.

故答案为：4.

【点评】本题考查椭圆的简单性质，关键在于利用椭圆的定义求出周长的表达式.

16.(5分)已知四棱锥P-A8C。的底面4BCD是边长为2的正方形，侧面出8_L底面4BC£>,

且必=P8=4,则该四棱锥P-ABCQ的外接球的表面积为.316工..

~15~

【分析】由题意球的底面外接圆的半径及圆心。I,过圆心做垂直于底面的垂线003求

出三角形PAB外接圆的半径及圆心G,进而求出圆心到AB的距离GE,则GE//00\再

过G做面PAB的垂线交。01于0,则0为外接球的球心，连接C0\,0C,在三角形

OOiC中求出外接球的半径，进而求出外接球的表面积.

【解答】解：如图分别作出正方形的中心。，

三角形B4B的外心G,取A8的中点E,连EG,E0\,

分别以EG,EOi为邻边作一个矩形如图，

其中点。就是该外接圆的圆心，

在RdOQC中OC2=R2=OO；+0,2,可计算得R21|_,

111b

即可求得外接圆的表面积为辿L，

15

故答案为：3162L.

15

【点评】考查四棱锥的棱长与外接球的半径之间的关系，及球的表面积公式，属于中档

题.

三、（本大题共6小题，第17题10分，第18-22题每小题10分，共70分）

17.（10分）己知命题p：关于x的不等式？-4x+2巾V0无解；命题中指数函数/（x）=

（2根-1）*是R上的增函数.

（1）若命题pAq为真命题，求实数机的取值范围；

（2）若满足p为假命题且g为真命题的实数，"取范围是集合A,集合8={x|2Ll<x<

13-P},且AU8,求实数f的取值范围.

【分析】（1）pAq为真命题，所以p,q都是真命题，根据题意求出p,q的等价命题，

取交集即可；

（2）由（1）可知I,当p为假命题时，m<2；q为真命题，则2,”-1>1解得：1,

求出集合A,根据A=2,得到关于f的不等式，即可求f的范围.

【解答】解（1）由p为真命题知，△=16-8〃?W0解得机》2,所以修的范围是［2,+

8）,

由q为真命题知，2机-1>1,m'>1,

取交集得到［2,+8）.

综上，〃?的范围是［2,+8）.

(2)由(1)可知，当p为假命题时，/7!<2;

q为真命题，则2m-1>1解得：机>1

则机的取值范围是(1,2)即4={刑1<m<2},

而AU8,可得，4

解得：

所以，r的取值范围是[-JILH.

【点评】本题考查了一元二次不等式的解集与判别式的关系可、复合命题真假的判定方

法，考查了推理能力和计算能力，属于中档题.

18.(12分)已知椭圆C经过两点A(、历，冬，B(l,-1-).

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)已知直线/与椭圆C交于C,D,且已知线段C。的中点为日(加,1),求直线/

的方程.

【分析】(1)设椭圆C的方程为：mx1+ny2—*4l(.m>0,n>0,/*#〃)，把两点A(加，^~)，

B(l,-号)代入，即可求出血〃的值，从而求出椭圆C的标准方程为；

(2)设点CGn,yi),D(X2,)，2),利用点差法求出直线/的斜率，再利用点斜式即可

求出直线/的方程.

【解答】解：(1)设椭圆C的方程为：g2+町?2=](加〉0,H>0,也£〃)，

•.•椭圆C经过两点Ak历，乎)，B(l,

2m+7Fn=l

・・・<°,解得：

9r

myn=l

4

22

椭圆c的标准方程为：江上=1；

43

(2)设点C(xi,y\),D(x2,"),

...线段CD的中点为11(6,1),•••X1+X2=2V2.yi+y2=2-

•.,点C(xi,yi),D(%2,y2)在椭圆上,

2222

Xx

1V12y2两式相减得

丁F-i'3

⑶+，2）（勺-，2）|（力+丫2）卬「了2）

化简得：±1冬=且巨，

xl-x24

.•.直线/的斜率左=一名反，

4

，直线/的方程为：3&x+4y-10=0.

【点评】本题主要考查了椭圆方程，以及直线与椭圆的位置关系，是中档题.

19.（12分）如图，已知四棱锥P-ABC。的底面A8CD为棱形，且以_1_面48。4ZBAD

=120°,AB=1,PA=2,且E,F分别为尸8,尸。的中点.

（1）求证：面PAC；

（2）求二面角P-AE-F的余弦值.

【分析】（1）推导出AC_L8。，PA1.BD,由此能证明3。_L平面以C.

（2）设ACCBO=。，以。为原点，08为x轴，0c为y轴，过O作平面4BCD的垂线

为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角P-AE-尸的余弦值.

【解答】解：（1）证明：二•四棱锥P-ABCD的底面A8CO为棱形，且用，面A8CZ）,

：.ACLBD,PA1.BD,

"：ACr\PA=A,，BO_L平面HC.

（2）设4CCBO=。，以。为原点，。8为x轴，0C为），轴，

过。作平面ABCQ的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，

；NBAO=120°,AB=\,以=2,且E,F分别为P8,PD的中点.

：.P(0,-A,2),A(0,-A,o),B(Xl,o,0),D(-xl,o,0),

2222

E(返，-A,i),尸(-返，-A,1),

4444_

标=(返,L1),AP=(0,0,2),AF=(-返,L1),

4444

设平面AEP的法向量口=(x,y,z),

npAE=-^-x-*^y+z=0

取x=l,则口=(1)-Vs.0),

n-AP=2z=0

设平面AEF的法向量ir=（x,y,z）,

1),

取二面角P-AE-F的平面角为e,

则cose=：呵="1=2相

|m|Tn|2VT717

二面角P-AE-F的余弦值为

【点评】本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线

面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.

20.（12分）某乐园按时段收费，收费标准为：每玩一次不超过1小时收费10元，超过1

小时的部分每小时收费8元（不足1小时的部分按1小时计算）.现有甲、乙二人参与但

都不超过4小时，甲、乙二人在每个时段离场是等可能的.为吸引顾客，每个顾客可以

参加一次抽奖活动.

(1)用(10,10)表示甲乙玩都不超过1小时的付费情况，求甲、乙二人付费之和为44

元的概率；

(2)抽奖活动的规则是：顾客通过操作按键使电脑自动产生两个［0,1］之间的均匀随机

数x,»并按如图所示的程序框图执行.若电脑显示“中奖”，则该顾客中奖；若电脑显

示“谢谢”，则不中奖，求顾客中奖的概率.

【分析】(1)设甲付费。元，乙付费〃元，其中a,6=10,18,26,34,由此利用列举

法能求出“甲、乙二人付费之和为44元”的概率.

\-2y+l<C0

(2)由已知OWxWl,OWyWl点(x,y)在正方形0A8C内，作出条件，Q<X<1的

区域，由此能求出顾客中奖的概率.

【解答】解：(1)设甲付费a元，乙付费b元，其中a,b=10,18,26,34.

则甲、乙二人的费用构成的基本事件空间为：

(10,10),(10,18),(10,26),(10,34),(18,10),(18,18),(18,26),(18,

34),

(26,10),(26,18),(26,26),(26,34),(34,10),(34,18),(34,26),(34,

34)共16种情形.(4分)

其中，(10,34),(18,26),(26,18),(34,10)这4种情形符合题意.

故“甲、乙二人付费之和为44元”的概率为p』」.(6分)

164

(2)由已知OWxWl,OWyWl点(x,y)如图的正方形。48c内，

x-2y+l<C0

由条件，04x《l，得到的区域为图中阴影部分，（9分）

由x-2y+l=0,令x=0得y」；令x=l得y=l；

由条件满足的区域面积s』X工XI』.（11分）

224

【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法和几何概型

的合理运用.

21.（12分）己知三棱锥P-ABC（如图1）的平面展开图（如图2）中，四边形ABCD为

边长为&的正方形，△ABE和△BCF均为正三角形，在三棱锥P-ABC中：

（I）证明：平面附C_L平面48C；

（II）求二面角A-PC-B的余弦值；

（in）若点M在棱尸c上，满足生=入，xer—,—1-点N在棱即上，且切吐

CP33

AN,求典的取值范围.

BP

【分析1（I）法一：设AC的中点为0,连接8。，PO.推导出POLAC,POVOB,从

而POJ_平面A8C,由此能证明平面两C_L平面ABC.

法二：设AC的中点为O,连接8。，P0.推导出PO_LAC,△POA丝△尸。8丝△POC,

ZPOA=ZPOB=ZPOC=90a,进而PO_LOB,由此能证明POJ_平面4BC,从而平面

%C_L平面ABC.

法三：设AC的中点为0,连接P0,推导出POLAC,设AB的中点Q,连接PQ,0Q

及0B.推导出OQ_LAB.PQLAB.从而ABJ_平面OPQ,进而。P_LA8,由此能证明

POJ_平面ABC,从而平面以C_L平面ABC.

（II）由P。，平面ABC,OBLAC,建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A

-PC-B的余弦值.

（III）设而=|1而，OWRWI,利用向量法能求出现的取值范围.

BP

【解答】（本题满分14分）

证明：（I）证法一：设AC的中点为0,连接BO,PO.

由题意PA=PB=PC=V^,尸。=1,AO=2O=CO=1

因为在△B4C中，PA=PC,。为AC的中点

所以POLAC,

因为在△尸。3中，PO=1,OB=1,PB=V2

所以POLOB

因为ACHOB=O,AC,OBu平面ABC

所以POJ_平面ABC

因为POu平面PAC（4分）

所以平面用C_L平面ABC

证法二：

设AC的中点为。，连接80,P0.

因为在△租C中，PA=PC,。为AC的中点，

所以POLAC,

因为PA=PB=PC,PO=PO=PO,AO=BO=CO

所以△POAgZiPOB丝/XPOC

所以NPOA=NPOB=/POC=90°

所以POLOB

因为ACHOB=O,AC,08u平面ABC

所以PO_L平面ABC

因为POu平面PAC(4分)

所以平面用C_L平面ABC

证法三：设AC的中点为。，连接P。，因为在△朋C中，PA=PC,

所以POLAC

设A8的中点0,连接P。，OQ及OB.

因为在△OAB中，OA=OB,。为AB的中点

所以OQLAB.

因为在△RW中，PA=PB,Q为A3的中点

所以PQLAB.

因为PQCOQ=Q,PQ,OQu平面OPQ

所以A8_L平面OPQ

因为OPu平面OPQ

所以OP_LAB

因为A8AAC=4,AB,ACu平面ABC

所以PO_L平面ABC

因为POu平面PAC(4分)

所以平面附CJ_平面ABC

解：(II)由POJ_平面ABC,OBA.AC,如图建立空间直角坐标系，则

O(0,0,0),C(1,0,0),B(0,1,0),A(-1,0,0),P(0,0,1)

由08,平面APC,故平面"C的法向量为比=(o,1,o)

由前=(1,-1,0>PC=(1,0,-1)

设平面