2020版高考数学复习五立体几何5

5.3空间向量与立体几何

命题角度1空间位置关系证明与线面角求解

高考真题体验•对方向

1.

(2019浙江79)如图，已知三棱柱ABC-ABC、,平面447。」平面ABC,乙仿090°,Z

阴。=30°,A^A^AC,E,F分别是AC,AB的中点.

(1)证明："6G

(2)求直线所与平面4%所成角的余弦值.

廨方法一:

⑴连接4区因为44弘6£是/。的中点,

所以

又平面447G_1_平面Ji£c平面A\ACCh

平面447GG平面ABC=AC,

所以,4反1平面ABC,则AxEVBC.

又因为AF//AB,N/8O90°,故8UL小E

所以3人平面4跖

因此EFLBC.

⑵取和中点G,连接EG,GF,则£0%是平行四边形.由于4心平面ABC,故A,ELEG,所以平行

四边形£67%为矩形.

由⑴得8cL平面EGFA、,则平面4862平面EGFA、,所以跖在平面4州上的射影在直线4G上.

连接461交跖于0,则/的是直线跖与平面4%所成的角(或其补角).

不妨设AC=4,则在RtZ\4%中,A、E=2gEG』.

,JTE2.2_2o

由于。为4G的中点，故EO=OGf=与，所以cos4EOG-^--------=

因此,直线旗与平面48C所成角的余弦值是|.

0

方法二：

(1)连接46

因为A.A=A.C,£是4C的中点,所以A.ELAC.

又平面44CG-L平面ABC,4比平面A}ACCh

平面AyACGn平面ABC=AC,

所以平面/%

如图，以点£为原点,分别以射线EC,EA为y,z轴的正半轴,建立空间直角坐标系E-xyz.

不妨设心1,则4(0,0,2V3),8(倔1,0),8(V3,3,2毒),心［2g),<7(0,2,0).

因此―<=(¥，1，2禽)，--(-V3,1,0).

由(-(4)得EFVBC.

⑵设直线如与平面46c所成角为9.

由⑴可得—<=(7^,1,0),二^二(0.2,-2北).

设平面48C的法向量为n=(x,y,z).

=°，得-V3+=0,

由匕=0,得

-V3=0.

取n=(l,6,1),故sin9=/cosL.因此直线项与平面4%所成的角

的余弦值为

3

2.(2019天津•17)

如图，，平面ABCD,CF//AE,AD//BC,ADLAB,AB=AD=\,AE=BC=2.

(1)求证:跖〃平面/班1;

⑵求直线应与平面瓦火所成角的正弦值;

(3)若二面角f-加-9的余弦值为右求线段)的长.

(1)证明依

题意,可以建立以力为原点，分别以一；—\—1的方向为x轴,y轴,z轴正方向的空间直角坐标

系(如图)，可得4(0,0,0),5(1,0,0),<7(1,2,0),系0,1,0),夙0,0,2).设CF=h(h池,则尸(1,2").

依题意,--(1,0,0)是平面力应的法向量，又一＜=(0,2,A),可得—(•—M),又因为直线用平

面ADE,所以跖〃平面ADE

(2)［解］依题意,*=(T,1,0),0,2),*-(-1,~2,2).

设n=(x,y,z)为平面8〃夕的法向量，

则I：—：o：gP{-：2=&，不妨令z吐

可得n=(2,2,1).

因此有cos＜一＞,因七二：一所以,直线应与平面颇,所成角的正弦值为［

yy

⑶廨口设m=(x,%z)为平面质,的法向量,则|KP

：0：G：=鼠不妨令月，可得

上).由题意，有,/cos<in,n>/——^=

m='l,1,=/解得吟经检验,符合题意.

所以，线段)的长为*

3.（2018全国/•18）

如图，四边形ABCD为正方形,E,尸分别为AD,6c的中点，以〃尸为折痕把折起,使点C到达点P

的位置,且PFVBF.

(1)证明：平面两_L平面ABFD-,

(2)求分与平面物》所成角的正弦值.

⑴证明由已知可得,BF1PF,BFLEF,

所以册L平面PEF.

又BFu平面ABFD,

所以平面阳工平面ABFD.

(2)廨一|作PHLEF,垂足为〃由⑴得,掰，平面ABFD.

以〃为坐标原点,一~"的方向为y轴正方向，/~7为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系

H-xyz.

由(1)可得，龙_L阳又以空,％4,

所以PE点.又PF=1,EF2故PELPF.

可得P吟，照.

则〃（0,0,0）,[0,0,1），4T，-|，0），—*=（1，I）T）>—'=（0,°>]）为平面48项的法向

量.设如与平面0加9所成角为0,

____3_

则sm"H|----1|----J=唬=不

所以如与平面力物所成角的正弦值为日.

4

4.（2018全国〃•20）

如图,在三棱锥P-ABC中，AB=BC=2近,PA=PB=PC=AC=\,。为/C的中点.

⑴证明：尸O_L平面

⑵若点M在棱BC上,且二面角M-PA-C为30°,求用与平面用M所成角的正弦值.

（1）|证明|因为AP=CP=ACA。为〃'的中点，所以OPVAC,且OP^yFi.

连接OB,因为AB=BC当A&所以△/回为等腰直角三角形,且OBVAC,0B^AC=2.

由OP+0目=PR知POLOB.

（2）廨口如图,以。为坐标原点,一■的方向为x轴正方向，建立空间直角坐标系O-xyz.

由已知得0(0,0,0),8(2,0,0),4(0,-2,0),(7(0,2,0),一(0,0,273),*=(0,2,2a).取平面PAC

的法向量一(=(2,0,0),

设材(a,2-a,0)(0。<2),

则<=(a,4-a,0).

设平面为必的法向量为n=(x,%z).

由-k•n=0,一'”力得

,2+2V3=9,可取n=(北(aM),,a,-a),

(+(4-)=0.

rri/----、2代(-4)

所以rcos<,n,_---=.

2,3(-4)2+32+2

由已知可得/cos<—；n>!当.

所以।2@川_

2^3(-4)2+32+2

解得a=M(舍去)，a』.

所以M片，竽，嗷

又*-(0,2,-2V3),所以cos<\n)芈

所以所与平面力"所成角的正弦值为号.

4

典题演练提能•刷高分

1.如图，在平行六面体ABCD-ABCD中，AA^D,AB=BC,/4?C=120°.

5C,

(1)证明

(2)若平面4»M_L平面ABCD,旦A、D=AB,求直线加।与平面4区切所成角的正弦值.

⑴证明取相中点0,连接OB,0AhBD,

VAAx=AxD,

.,.ADLOAx.

又NABC=120°"D=AB,.：/\ABD是等边三角形,

/.ADYOB,

平面A、OB.

:'48u平面40B,

.".ADLAxB.

⑵姓］:•平面平面ABCD,

平面4WMA平面ABCD=AD,

又AxOLAD,.：40_L平面ABCD,

.,.OA,%如两两垂直,

以。为坐标原点,分别以OA,OB,Oh所在射线为x,y,z轴建立如图空间直角坐标系O-xyz,

设AB=AD=AxD=2,则4(1,0,0),4(0,0,V3),8(0,V3,0),〃(-1,0,0).

则?=(1,0,V3),一1=—=(-1,V3,0),；=(0,^/3,V3),设平面48a的法向量

n=(x,y,z),

令xM,则y=l,z=-l,可取n=(V3,1,-1),

设直线阴।与平面4劣切所成角为0,

则sin0=/cos<h,~*_J.,1=震弋=

I।IV5•V65

2.

如图，在四棱锥P-ABCD中,如，平面ABCD,底面46(力为梯形,AB//CD,Z

BAD侬；PD=AD=AB2CD=\,E为R7的中点.

(1)证明：跖〃平面PAD;

(2)求直线如与平面睡所成角的正弦值.

(1)|证明|设户为功的中点，连接EF,FA.

因为必为△收'的中位线,所以EF//CD,且小切=2.

又AB//CD,AB2所以ABEF,故四边形/版为平行四边形,所以BE//AF.

又AFu平面PAD,咽平面PAD,

所以应1〃平面为。

(2)廨一］设G为4?的中点，因为AD=AB,NBADQ,所以△力划为等边三角形,故DG1AB;

因为AB//CD,所以DGLDC.

又如J_平面ABCD,所以做DG,切两两垂直.

以〃为坐标原点,'为x轴、"为/轴、*为z轴建立空间直角坐标系。-xyz,则

以0,0,2),5(V3,1,0),£(0,2,1),^(0,2,1),­=(V3,1,0),

设n=(x,y,z)为平面核的一个法向量，

则｛=或唯++==0.

令y=l,则n《-日,1,-2).

又一，=限1,-2),

所以/cos<h,>=---,="=乎，

即直线如与平面核所成角的正弦值为当

3.在直三棱柱ABC-4BG中，△?!a'为正三角形，点〃在棱BC上,且切=3劭，点E,尸分别为棱AB,BB、

的中点.

(D证明：4C〃平面DEF-,

(2)若A^CVEF,求直线AG与平面两所成的角的正弦值.

⑴|证明画图,连接AB“A瓜交于点II,A\B交以于点K,连接DK,

因为4期4为矩形,所以〃为线段48的中点，因为点£厂分别为棱AB,初的中点，所以点A■为

线段掰的中点，所以4K4BK,

又因为CD^iBD,所以4%以又4a平面DEF,DKu平面DEF,

所以4%平面DEF.

⑵见由⑴知,EII//AA,,因为44_L平面ABC,

所以£7/_L平面/阳

因为△四C为正三角形,且点£为棱4?的中点,所以CEA.AB,

故以点£为坐标原点,分别以’的方向为入轴,y轴,z轴的正方向，建立如图所示

的空间直角坐标系E-xyz,设AB=\,AAx=t｛大刀)，

则4(2",0),<7(0,0,2V3),£(0,0,0),，(-2,5,0),£(g0,日),

所以-[-*=(-2,V,2V3),*=(-2,—0),

因为4人9;所以一一>=0,

所以(-2)X(-2)-tX-^2V3X0=0,

解得t%FL

所以一•=(-2,V2,0),一(=(T。，号),

设平面庞尸的法向量为n=(x,%z),

-2+V2=0,

则1或所以

取x=l,则n=(l,盘,风),

又因为F7=--(-2,0,2V3),设直线4G与平面叱所成的角为0,

所以sin^-/cos<h,—T7>/-_=三=高=所以直线4G与平面庞尸所成的角的正

I>,I1：V6x46

弦值为造

4.如图，四棱柱ABCD-ABQ队的底面为菱形，/物。=120°,/户2,£F为CD,的中点.

(1)求证:〃尸〃平面BxAE\

⑵若加」底面ABCD,且直线皿与平面区4£1所成线面角的正弦值为之求AA的长.

4t

(1)证明设G为45的中点，连接£G,防

因为AG：A\B\,又DE)心,

所以尸G的所以四边形座'6户是平行四边形,

所以DF//EG,又〃印平面BiAE,Ek平面B、AE,所以加〃平面BxAE.

(2)廨因为4?5是菱形,且N力8G60°,所以△力比■是等边三角形.

取比'中点M,则AMA.AD,因为44J_平面ABCD,所以AA^LAM,AA^LAD,建立如图的空间直角坐标

系A-xyz,令(D0),

y

则｛(0,0,0),从¥30人A(VXT,t),a(0,2,t),

*=(34°)，?=(%，T，t)，T=(0,2,t),设平面814?的一个法向量为n=(x,%z),

k

则n•=次且n・f=遮x-y+tz』,取n^(^/3t,tf4),设直线AD\与平面

为1£所成角为则sin〃二―=彳。=7解得t2故线段斜的长为2.

,I112(z+4)4

5.如图,在多面体ABCDEF中,四边形ABCD为梯形,4ADE,△及了均为等边三角形,EF//AB,EF=AD^AB.

(1)过切作截面与线段叱交于点A；使得｛尸〃平面BDN,试确定点/V的位置,并予以证明;

⑵在⑴的条件下,求直线班,与平面/“所成角的正弦值.

虹］⑴当N为线段尾的中点时，使得/厂〃平面BDN.

证法如下：

连接能设/CC如=。，

「四边形4?切为矩形，

二。为〃■的中点，又:N为此的中点，

.：2V为的中位线，

.-.AF//0N.：2区平面BDN,创匕平面BDN,

.：〃,〃平面BDN,故N为尸C的中点时，使得力尸〃平面BDN.

⑵过点。作闾〃48分别与AD,比■交于点P,Q,因为。为〃■的中点，所以P,。分别为AD,比1的

中点,

「△4龙与△aF均为等边三角形，且AD=BC,

；.XADE^XBCF,连接EP,FQ,则得EP=FQ,

；EF〃AB,ABPQ,EF^AB,

/.EF//PQ,EF42PQ,

•：四边形"0为等腰梯形.

取〃的中点M连接MO,则加U闻

又：力。，EP,ADVPQ,EPCPQ=P,

平面EPQF,

过点。作0CUB于点、G,则OG//AD,

/.OGLOM,OGL0Q.

分别以一~~'的方向为x,y,z轴的正方向,建立空间直角坐标系O-xyz,不妨设AB=\,

则由条件可得0(0,0,0),/f(l,-2,0),以1,2,0),尸(0,1,戏)，〃(-1,-2,4).

设n-(%,y,z)是平面力协的法向量，

所以可取n=(戏,0,1),

由f)

V2

可得/cos<*,n)/7

.：直线5V与平面1斯所成角的正弦值为坐

,命题角度2空间位置关系证明与二面角求解

高考真题体验•对方向

1.

(2019全国/•⑻如图,直四棱柱ABCD-A、BCD,的底面是菱形,力49,AB=2,N8ADQ,E,M,1分别

是因阳，4〃的中点.

⑴证明：网〃平面GDE;

⑵求二面角上胸-1的正弦值.

廨~~|(1)连接6C，班:

因为M,£分别为BB“6C的中点,

所以ME//B^C,且ME部C.

又因为N为4。的中点,所以ND=A\D.

由题设知Ai&DC,可得BEAXD,

故跖ND,

因此四边形物帔为平行四边形,MA•〃被

又平面EDC“所以跳V〃平面GDE.

⑵由已知可得的L加.

以〃为坐标原点,—＞的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz,

贝I」1(2,0,0),4(2,0,4),Ml,V3,2),A'(l,0,2),=(0,0,-4),^~*=(T,V3,-2),^^=(-

1,0,-2),=(0.-y[3,0).

设m=(x,y,z)为平面AyMA的法向量,

所以卜+百一2=。，可取m=(V5,1,0).

1-4=0.

设n==(p,q,力为平面4助V的法向量，

所以可取n=(2,0,-1).

于工日无cos血/n，\J^,=双乙VJ蕾=v=ia,

所以二面角介物「V的正弦值为手.

5

2.(2019全国〃•17)

如图,长方体/腼-45G〃的底面/时是正方形,点£在棱44上,BELEQ.

⑴证明：施北平面EBC;

(2)若AE=A,E,求二面角B-EC-C,的正弦值.

⑴证明由已知得,84,平面力加M,BEu平面ABBM”故84_1_施又BELEC,,所以如平面EBC.

(2)|解|由⑴知的40°.由题设知RtZ\4®点RtZ\4反目所以N4掰N5°,

故AE=AB,AAy^AB.

以〃为坐标原点,—＞的方向为x轴正方向，/~~7为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系

。-矛彩,则<7(0,1,0),8(1,1,0),6(0,1,2),£(1,0,1),^(1,0,0),=(1,-1,1),；二(0,0,2).

设平面瓦右的法向量为n=(x,%z),则

所以可取n=(0,T,T).

设平面ECC、的法向量为%z),则

=0,叫20,

=0,+=0,

所以可取m=(l,1,0).

于是cos<h,m>^_--=].

所以,二面角B-EC-C.的正弦值为当

3.

(2018全国加•19)如图,边长为2的正方形四制所在的平面与半圆弧^所在平面垂直，材是

上异于C,〃的点.

(1)证明：平面平面BMC;

(2)当三棱锥材-/及7体积最大时,求面初8与面,，@所成二面角的正弦值.

(1)证明由题设知,平面CM,平面ABCD,交线为CD.因为BCLCD,BCu平面ABCD,所以8入平面

CMD,故BCLDM.因为M为'/'上异于C〃的点，且ZT为直径,所以DMA^CM.

又BCCCM=C,所以〃n_平面BMC.

而〃&平面AMD,故平面4切_L平面BMC.

⑵|解|以0为坐标原点,*的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz.

当三棱锥,股/回体积最大时,M为的中点.由题设得

〃(0,0,0),4(2,0,0),8(2,2,0),17(0,2,0),M0,1,1),=(-2,1,1),=(0,2,0),*=(2,0,0).

设n=(xi,y,z)是平面也〃的法向量，

可取n=(l,0,2),

*是平面「欣力的法向量，

因此cos<h,->一=造,sin<h,一•，岑.所共面例6与面加》所成二面角的正弦值

III,二I55

2V5

(2017全国力•19)如图，四面体ABCD中,△袖。是正三角形,△力切是直角三角形，NABD=N

CBD,AB=BD.

⑴证明：平面平面ABC-,

⑵过〃'的平面交劭于点£若平面45r把四面体力分成体积相等的两部分,求二面角D-AE-C

的余弦值.

(1)证明由题设可得，△曲从而又△力切是直角三角形，所以NA9CW0。.

取4c的中点0,连接DO,B0,则DOLAC,D0=A0.

又由于△力a1是正三角形,故B0LAC.

所以/9为二面角〃-4C-8的平面角.

在RtZ\4如中，BG+AG=AF,

又AB=BD,所以BG+DG=BG+AG=A4=BI},故/加比90°.所以平面“7ZL平面ABC.

(2)峻二|由题设及⑴知，0A,0B,如两两垂直，以0为坐标原点,一•的方向为x轴正方向，/一7为

单位长,建立如图所示的空间直角坐标系0-xyz.

则力(1,0,0),5(0,V3,0),<7(-1,0,0),〃(0,0,1).

由题设知，四面体相磔■的体积为四面体四切的体积的;,从而£到平面板的距离为，到平面

的距离的T，

即£为庞的中点，得£(0,y,3.故—-(-1,0,1),--(-2,0,0),-(-1,y,0.

设n=(x,匕z)是平面力彷'的法向量，

则{.二二:'即「%=%

(•=0,(-4--+-=0.

可取n《l,

设m是平面45r的法向量,则1.

同理可取m=(0,T,V3).

则cos<h,---=y.

所以二面角的余弦值为手.

(2016全国/♦18)如图，在以A,B,C,D,E,尸为顶点的五面体中，面ABEF为正方形，AF2FD,Z

加法90°,且二面角〃-/1八£与二面角C-跖-尸都是60°.

(1)证明：平面/啊LL平面EFDC-,

(2)求二面角E-BC-A的余弦值.

(1)|证明|由已知可得AFVDF,AFLFE,

所以"X平面以叨C

又AFCL平面ABEF,

故平面4%加1平面EFDC.

⑵廨［过〃作DGVEF,垂足为G,由⑴知％_L平面ABEF.

以G为坐标原点,一^的方向为x轴正方向，/—"为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系

G-xyz.

由(1)知/破为二面角的平面角，

故/历方60°,则/加7之，/%7=曲，

可得4(1,4,0),6(-3,4,0),£(-3,0,0),0(.0,0,V3).

由已知，AB//EF,所以48〃平面EFDC.

又平面平面EFDC=CD,

故AB//CD,CD//EF.

由BE//AF,可得6反1平面EFDC,

所以N3F为二面角C-%6的平面角，/CEF由0。.从而可得C(-2,0,V3).

所以^(1,0,V3),*=(0,4,0),^=(-3,-4,V3),*=(/,0,0),

设n=(x,必z)是平面比F的法向量，

则,.二=+即(+遮=°'

(•=o,U-0.

所以可取n=(3,0,-V3).

设m是平面/版的法向量，

同理可取m=(0,V3,4),

则cos<h,mA——_2x<l9

故二面角E-BC-A的余弦值为爷.

典题演练提能•刷高分

1.

(2019山东济宁二模)如图,在直角梯形ABED中，AB〃DE,ABVBE,且AB丸DEkBE,点。是四的中点,

现将△/切沿切折起，使点A到达点一的位置.

(1)求证:平面做:_L平面PEB;

(2)若如与平面如17所成的角为45°,求平面风狼与平面W所成锐二面角的余弦值.

⑴证明VAB//DE,ABVDE,点，是"的中点,

.,.CB//ED,CB=ED,

•：四边形6a定为平行四边形,

.\CD//EB.

又EBLAB,.\CDLAB,：.CDLPC,CD1.BC,

又PCC\BC=C,:.CDX.平面阳C

,:及U平面PBC.

又E呢平面PEB,

.：平面打上平面PEB.

⑵隆二|由⑴知旗，平面PBC,

.：/£/力即为"与平面物所成的角,

,：ZW=45°,

:'以，平面PBC,；.EBLPB,

.：△侬为等腰直角三角形，

.：EB=PB=BC=PC,即△月完'为等边三角形.

设8。的中点为0,连接P0,则POLBC,平面PBC,

又EBu平面EBCD,.：平面能小，平面PBC.

又Pg平面PBC,.：A9_L平面EBCD.

以0为坐标原点,过点。与龙平行的直线为x轴,0所在的直线为y轴，8所在的直线为z轴

建立空间直角坐标系如图，

设酩2则5(0,1,0),M2,1,0),M2,-1,0),一(0,0,V3),

从而一=(0,2,0),一=(2,1,73).

设平面板的一个法向量为m=(x,%z),

令z=2得m=(V3,0,2),

又平面总的一个法向量n=(1,0,0),

则cos<in,n>=-----=—=

所以平面9与平面所成锐二面角的余弦值为与.

2.

四棱锥STM?的底面ABCO为直角梯形,AB〃CD,/1B1AB=2BC^2.CD=2,为正三角形.

⑴点"为棱上一点,若8勿平面SDM,-<=2—\求实数4的值；

②岩BC1SD,求二面角力-防-C的余弦值.

解|⑴因为比'〃平面SDM,BCu平面ABCD,

平面SDMC平面ABCD=DM,所以BC//DM.

因为AB//DC,所以四边形比。/为平行四边形,又ABCCD,所以M为49的中点.

因为(=4\••4G

⑵因为BCLSD,BCLCD,SDCCD=D,

所以8aL平面SCD,

又因为BCu平面ABCD,所以平面SOU,平面ABCD,

平面Sfl9n平面ABCD=CD,在平面SS内过点S作血直线切于点£

则SE_L平面ABCD,在RtA5£4和RtASK9中，因为SA=SD,所以AE«口2=

2_2二DE,

又由题知/物=45°,所以4反1功

所以心ED=SE=L

以下建系求解：

以点£为坐标原点,必方向为x轴,比1方向为y轴,处方向为z轴建立如图所示空间坐标系，则

£(0,0,0),5(0,0,1),71(1,0,0),6(1,2,0),<7(0,2,0),

-'=(1,0,-1),-'=(0,2,0),-"=(0,2,-1),--(1,0,0),

设平面SAB的法向量m=(x,y,z),

所以「I

令x=l得m=(l,O,1)为平面感6的一个法向量，同理得m=(O,1,2)为平面艰'的一个法向量,

cos<hbn2>~T=吗

|l•2)5

因为二面角4-招式为钝角，

所以二面角4-S8-C余弦值为啰.

5

如图,是一个半圆柱与多面体496MC构成的几何体,平面48,与半圆柱的下底面共面，且AC1BC,P

为弧FG上(不与4,6重合)的动点.

⑴证明：川」平面PBB、;

⑵若四边形4蹶A、为正方形,且AC=BC,ZPB\A\j求二面角-T归七的余弦值.

4

庭二1(1)在半圆柱中，能，平面为出，所以能，必।.因为4A是上底面对应圆的直径，所以PA\LP&.

因为PBu平面PBB“能u平面PBB“所以为」平面PBB、.

(2)以点。为坐标原点，以CA,CB为x,y轴,过点，作与平面4?。垂直的直线为z轴,建立空间

直角坐标系C-xyz.如图所示,

设⑦=1,贝IJ夙1,0,0),4(0,1,0),4(0,1,72),2?.(1,0,72),^(1,1,V2).

所以>(0,1.V2),；-(1,0,V2).

平面必归的一个法向量m=(0,0,1).

设平面山的一个法向量m=(x,y,z),

则］1=：令z=l，则Z-V2：

I+V2=0,(=］

所以可取m=(、叵，［正,1),

所以cos<hi,112,-1尸=

IxVo5

由图可知二面角户T山为钝角，所以所求二面角的余弦值为

4.如图，在四棱锥P-ABCD中,为，底面ABCD,/时为直角梯形,AD//BC,ADV

AB,AB=BC=AP^AD=Q>,ACHBD=0,过〃点作平面a平行于平面PAB,平面a与棱BC,AI),PD,PC分别相

交于点E,F,G,H.

(1)求成的长度；

(2)求二面角"的余弦值.

|解|⑴因为。〃平面PAB,平面a。平面ABCD=EF,倘平面以8n平面ABCD=AB,

所以EF//AB,同理EII//BP,FG//AP,

因为BC//AD,AD^,BC由,

所以ABOCSADOA,且一=一=1

所以一=CE^CB=\,BE=AF=2,

同理---=—=---=

连接HO,则有HO//PA,

所以HOLEO,H0=\,所以

同理，FG^PA^.,

过点〃作HN〃EF交AC于N,

则G/f=>j2=75

(2)建立如图所示空间直角坐标系，则8(3,0,0),FS,2,0),M3,2,0),//(2,2,1),

一=(-1,2,1),―1=(2,0,1),设平面网的法向量为n=(x,y,z),

=一+2+=0,

=2+=0,

令z=-2,得n《l,|,-2),

因为平面EFGH“巴•面PAB、

所以平面MW的法向量m=(0,1,0).

cos<in,n>q~~p==故二面角6377-E的余弦值为粤.

zyzy

5.如图，在三棱柱ABC-A山C中，CA=CB=CC、2ZACC^ZCC^,直线然与直线BB、所成的角为60°.

(1)求证:

⑵若阳潟也是阳上的点,当平面MCC、与平面“所成二面角的余弦值为婀,求［的值.

(1)|证明在三棱柱ABC-A^Cs中，各侧面均为平行四边形,所以BBJ/CG,则NWG即为AC与驱所

成的角，所以N"G=NCG8M0°.

连接/G和5c

因为CA=CB=CC\2

所以△4GC和△5CG均为等边三角形.

取CG的中点。，连｛。和30,

则AOLCQ,B^LCQ.

又A0C&0=0,

所以CGJ•平面AOB.AB、u平面AOBx,

所以四此8.

⑵解］由⑴知A0=B、0M,因为AB\M,

则“历力引彳，

所以A0LB\Q又AO±CG,

所以力0，平面BCGR.

以0区所在直线为X轴，0G所在直线为y轴，A4所在直线为z轴,

如图建立空间直角坐标系,则4(0,0,V3),(7(0,-1,0),61(0,1,0),5(73,0,0),-(0,-1,-

V3),----；-(V3,0,诋，----；-(0,2,0),

设，=ti，Mx,y,z),

则(x,y,z-/3)=t(V3-^,-y,-z),

所以W,EZ—*,0T),

所以一二(。,1,4).

设平面ACB\的法向量为m=(xi,%,zi),平面MCC\的法向量为m=(&%,Z2),

1-V31=0,

所以;"遍

i~V31=0,

解得m=(l,-V3.1).

(2=0,

;=。,2

2=«V3V3

2=0TT2+2+—^2=0,

解得m=(l,0,-t).

i

所以…1个卜花5,

解得［［或即=:或N

2121

6.如图,在几何体ABCDEF中,平面工平面ABCD,四边形4及力为菱形,且N

DAB侬。，EA=ED=AB畛EF,EF〃AB,M为BC中点、.

⑴求证:用以平面BDE-,

(2)求二面角ZHSQ-C的平面角的正弦值.

⑴怔明］取切中点N,连接掘FN,因为N,材分别为CD,比1中点，所以MN//BD.

又BIE平面BDE,且椒I平面BDE,所以也V〃平面BDE,因为EF//AB,AB=2EF,

所以EF//CD,EF=DN.所以四边形的必为平行四边形.所以FN//ED.又&七平面BDE且平面

BDE,

所以加，〃平面BDE,又FNCMN=N,

所以平面,MW〃平面飒：

又再仁平面MFN,所以耳/〃平面BDE.

⑵廨取股中点0,连接EO,B0.因为EA=ED,

所以EOLAD.

因为平面力庞_1_平面ABCD,

所以6aL平面ABCD,EOYBO.

因为4=46,N的比60°,

所以△力的为等边三角形.

因为。为中点,所以ADVBO.

因为EO,BO,49两两垂直,设AB=A,

以。为原点，OA,OB,OE为x,y,z轴，如图建立空间直角坐标系O-xyz

由题意得4(2,0,0),8(0,2A/3,0),C(工2%,0),〃(-2,0,0),£(0,0,2a,产(T,V3,2百).

-=(2,2百,0),­=(1,V3,2V3),­=(3,^/3,2我),一=(4,0,0).

设平面砌'的法向量为n=(x,y,z),

令x=l,贝IJ尸《，zR,

所以n=(l,40).

设平面灯犷的法向量为m=(x,%z),

则1,二=°，即［="厂

(•一=0,1(3-V3+2V3=0,

令z=l,则片2,x=O,所以m-(0,2,1).

.:cos血

.：二面角〃-跳V平面角的正弦值为华.

5

7.在如图所示的几何体中，四边形/时是正方形,为，平面ABCD,£6分别是线段"，阳的中

点、，PA=AB=1.

(1)求证:跖〃平面DCP\

(2)求平面雨与平面尸〃，所成锐二面角的余弦值.

隧二I⑴(方法一)取用中点M,连接DM,MF.

:•必尸分别是PC,PB中尽，.：MF〃CB,MF”

:为以中点,ABCD为正方形，」.DE〃CB,DE^CB,

.\MF//DE,MF=DE,.：四边形施AV为平行四边形，

；.EF//D扎:,跖I平面PDC,〃化平面PDC,

.:加〃平面PDC.

（方法二）取处中点及连接他帕：笑是力〃中点，”是用中点，.:他〃诙

又：下是阳中点，N是PA中点，;修〃仍

VAB//CD,.,.NF//CD,

又:NEC涉班Mt平面/恸NFu平面的:以已平面户内平面PCD,

.：平面八6c〃平面PCD.

又:EFu平面NEF,

.:9〃平面PCD.

（方法三）取8c中点G,连接EG,FG,

在正方形ABCD中，£是/〃中点，G是8C中点，

.,.GE//CD,

又：下是阳中点，C是BC中点，.:GF〃PC,又PCCCD=C,GEu平面GEF,GFu平面GEF,PCu平面

PCD,Gt平面PCD,

.：平面侬'〃平面PCD.

:EFu平面GEF,

.:"〃平面PCD.

⑵「必，平面ABC,且四边形4及力是正方形，.,.AD,AB,"两两垂直，以A为原点,小小所

在直线为x,y,z轴,建立空间直角坐标系A-xyz,

则尸(1,0,0),〃(0,0,1),(7(0,1,1)^(0,0彳)，/(；，；，0).

设平面必，的法向量为4=(为,M,©),—>=(；,；,―),—(=(1),则|-,*।%

(I+I-1=0,

即11.1,八取ni^(3,-1,2),

匕i+5i+1=。，

则设平面如。的法向量为m=(检丹Z2),一=(-1,0,1),—=(-1,1,1),则，二*2=：，

(•2=0,

HH2+2=°，Hr/_/iC1、/\i•23xl+(-l)x0+2xl5次

即，I.八取112=(1,0,1),cos<hi,n2)^_I.=-----7=—f=——=—.

(-2+2+2=。，11•I2IV14XV214

平面应与平面帆所成锐二面角的余弦值为好

2__________________________命题角度3折叠问题、点到平面的距离

高考真题体验•对方向

1.（2019全国〃7•19）图1是由矩形ADEB,Rta/bC和菱形即花组成的一个平面图形,其中

AB=\,BE=BF2NFBC40°.将其沿AB,6。折起使得BE与郎重合,连结比1，如图2.

GB

图1图2

⑴证明：图2中的4cG,。四点共面,且平面46CL平面BCGE-,

⑵求图2中的二面角B-CG-A的大小.

⑴证明由已知得AD//BE,CG//BE,

所以

故CG确定一个平面,从而A,C,G,〃四点共面.

由已知得ABA.BE,ABLBC,

故加吐平面BCGE.又因为A%平面ABC,

所以平面平面BCGE.

(2)廨作瓯因垂足为〃

因为仍匕平面BCGE,平面6C、G£_L平面ABC,

所以品工平面ABC.

由已知,菱形6a芯的边长为2,/旗G60°,可求得BH=\,EH=g

以〃为坐标原点,"的方向为x轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系H-xyz,

贝I4(T,1,0),<7(1,0,0),6(2,0,75),->=(1,0,禽)，--(2,-1,0).

设平面ACGD的法向量为n=(x,%z),

则］=。，即1+V3=0,

=0,(2-=0.

所以可取n-(3,6,-73).

又平面8(%£的法向量可取为m=(0,1,0),

所以cos<h,m>=~--=当

因此二面角B-CG-A的大小为30°.

2.(2016全国〃•19)如图，菱形力腼的对角线亦与初交于点0,AB=5,AC=6,点E,尸分别在AD,CD

上,AE=CF^-,EF交劭于点H.将△应■尸沿牙,折到△。)的位置，0D'=同.

4

⑴证明："忆平面被力；

(2)求二面角的正弦值.

(1)|证明］由已知得ACLBD,AD=CD.

又由AE=CF^—=—,

WAC"EF.

因此EFVHD,从而EFLD,H.

由｛庆5,/铀6得D0=B0=4二2=4,由£F"AC得—=—=

4

所以0H=\,D'H=DH=Z.

于是1)'#+0#4+弋=\。=口巧,

-故D'HLOH.

又D'HLEF,而OHCEF=H,

所以〃'〃J_平面ABCD.

⑵阿二|如图，以〃为坐标原点,一^的方向为x轴正方向,建立空间直角坐标系H-xyz.

贝0,0),4(-3,T,0),6(0,七，0),C(3,T,0),〃'(0,0,3),

=(3,W0),-'=(6,0,0),'=(3,1,3).

设m=(M,yi,zi)是平面力物'的法向量,

'=o,3「4]=0,

则即

r=0,,3i+i+3i=0,

所以可取m=(4,3,-5).

设n=(xz,y-i,Z2)是平面力"'的法向量,

=0,62=0，

则即

r=0,32+2+32=°，

所以可取n=(0,-3,1).

-14__75/5./、2V95

于是cos<m,二菽丽一石-sm<m,n,_.

因此二面角8-〃7-C的正弦值是誓.

40

典题演练提能•刷高分

1.如图,在边长为2小的菱形ABCD中,NZM庐60°.点£厂分别在边CD,座上,点£与点C,〃不重

合,EFA.AC,EFQAC=O.沿跖将△侬'翻折到△物;l的位置,使平面此列_平面ABFED.

⑴求证:如，平面ABD\

(2)当阳与平面4切所成的角为45°时,求平面必F与平面必〃所成锐二面角的余弦值.

(1)证明'.,EFVAC,.\POLEF.:'平面力卯_L平面ABFED,平面阳TI平面ABFED=EF,RP3平面

PEF,.：/W_平面ABD.

(2)廨一］如图,以。为原点,建立空间直角坐标系O-xyz,连接做：了琏平面ABD,

.：/阳0为阳与平面4劭所成的角，即/图345°，.:PO=BO.设,AOCBD=H,：2%6=60°,

；ZDA为等边三角形，

；.B22gHUM,HC=Q>.

设PO=x,则OH=Z-x,由P@=01l+般得产2,即P0=2,OH=\.

.：A0,0,2),/f(4,0,0),6(1,V3,0),0(1,0),