2018年03月19日二林的初中数学组卷

2018年03月19日二林的初中数学组卷

考试范围：XXX；考试时间：100分钟；命题人：XXX

注意事项：

1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2.请将答案正确填写在答题卡上

第I卷(选择题)

请点击修改第I卷的文字说明

一.解答题(共22小题)

1.如图，已知抛物线y=Lx2+bx+c经过aABC的三个顶点，其中点A(0,1),

3

点B(-9,10),AC〃x轴，点P是直线AC下方抛物线上的一个动点.

(1)求抛物线的解析式；

(2)过点P且与y轴平行的直线I与直线AB、AC分别交于点E、F,当四边形

AECP的面积最大时，求点P的坐标；

(3)当点P为抛物线的顶点时，在直线AC上是否存在点Q,使得以C、P、Q

为顶点的三角形与AABC相似？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理

2.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=3、2+bx+c与x轴交于点A

8

(-2,0)和点B,与y轴交于点C(0,-3),经过点A的射线AM与y轴相交

于点E,与抛物线的另一个交点为F,且处

EF3

(1)求这条抛物线的表达式，并写出它的对称轴；

(2)求NFAB的余切值；

(3)点D是点C关于抛物线对称轴的对称点，点P是y轴上一点，且NAFP=N

抛物线y=ax2+bx+c(a<0)与x轴交于A(-2,

0)、B(4,0)两点，与y轴交于点C,且。C=2OA.

(1)试求抛物线的解析式;

(2)直线y=kx+l(k>0)与y轴交于点D,与抛物线交于点P,与直线BC交于

点M,记17)=里，试求m的最大值及此时点P的坐标；

DM

(3)在(2)的条件下，点Q是x轴上的一个动点，点N是坐标平面内的一点,

是否存在这样的点Q、N,使得以P、D、Q、N四点组成的四边形是矩形？如果

存在，请求出点N的坐标;如果不存在，请说明理由.

v

图1

4.如图1,抛物线y=-x2+mx+n交x轴于点A(-2,0)和点B,交y轴于点C

(0,2).

(1)求抛物线的函数表达式；

(2)若点M在抛物线上，且SMOM=2SMOC，求点M的坐标；

(3)如图2,设点N是线段AC上的一动点，作DNLx轴，交抛物线于点D,求

线段DN长度的最大值.

yv(

图1邺

5.如图，已知抛物线y=ax2+bx+c经过点A(-1,0),点B(3,0)和点C(0,

3).

(1)求抛物线的解析式和顶点E的坐标；

(2)点C是否在以BE为直径的圆上？请说明理由；

(3)点Q是抛物线对称轴上一动点，点R是抛物线上一动点，是否存在点Q、

R,使以Q、R、C、B为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点Q、R

6.在平面直角坐标系中，0为坐标原点，抛物线y=ax2+(a+3)x+3(a<0)从

左到右依次交x轴于A、B两点，交y轴于点C.

(1)求点A、C的坐标；

(2)如图1,点D在第一象限抛物线上，AD交y轴于点E,当DE=3AE,OB=4CE

时，求a的值；

(3)如图2,在(2)的条件下，点P在C、D之间的抛物线上，连接PC、PD,

点Q在点B、D之间的抛物线上，QF〃PC,交x轴于点F,连接CF、CB,当PC=PD,

ZCFQ=2ZABC,求BQ的长.

£

图1图2

7.如图，抛物线y=ax2+bx+3经过点B（-1,0）,C（2,3）,抛物线与y轴的

焦点A,与x轴的另一个焦点为D,点M为线段AD上的一动点，设点M的横坐

标为t.

（1）求抛物线的表达式；

（2）过点M作y轴的平行线，交抛物线于点P,设线段PM的长为1,当t为何

值时，1的长最大，并求最大值；（先根据题目画图，再计算）

（3）在（2）的条件下，当t为何值时，^PAD的面积最大？并求最大值；

（4）在（2）的条件下，是否存在点P,使4PAD为直角三角形？若存在，直接

写出t的值；若不存在，说明理由.

8.如图，二次函数y-L?+当+2的图象与x轴交于点A,B,与y轴交于点C.点

22

P是该函数图象上的动点，且位于第一象限，设点P的横坐标为X.

（1）写出线段AC,BC的长度：AC=,BC=；

（2）记4BCP的面积为S,求S关于x的函数表达式；

（3）过点P作PHLBC,垂足为H,连结AH,AP,设AP与BC交于点K,探究：

是否存在四边形ACPH为平行四边形？若存在，请求出患的值；若不存在，请说

AK

明理由，并求出巫的最大值.

AK

9.如图，抛物线y=-L?+bx+c与x轴交于A、B(A左B右)，与y轴交于C,

2

直线y=-x+5经过点B、C.

(1)求抛物线的解析式；

(2)点P为第二象限抛物线上一点，设点P横坐标为m,点P到直线BC的距

离为d,求d与m的函数解析式；

(3)在(2)的条件下，若NPCB+NPOB=180。，求d的值.

10.如图，关于x的二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于点A(1,0)和点B,

与y轴交于点C(0,3),抛物线的对称轴与X轴交于点D.

(1)求二次函数的表达式；

(2)在y轴上是否存在一点P,使4PBC为等腰三角形？若存在.请求出点P

的坐标；

(3)有一个点M从点A出发，以每秒1个单位的速度在AB上向点B运动，另

一个点N从点D与点M同时出发，以每秒2个单位的速度在抛物线的对称轴

上运动，当点M到达点B时，点M、N同时停止运动，问点M、N运动到何处

时，△MNB面积最大，试求出最大面积.

11.如图，抛物线y=ax?-2x-2（a#0）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴

2

交于C点，已知B点坐标为（4,0）.

（1）求抛物线的解析式；

（2）试探究aABC的外接圆的圆心位置，并求出圆心坐标；

（3）若点M是线段BC下方的抛物线上一点，求^MBC的面积的最大值，并求

出此时M点的坐标.

12.已知抛物线y=a（x-1）2+3（aWO）与y轴交于点A（0,2）,顶点为B,且

对称轴h与x轴交于点M

（1）求a的值，并写出点B的坐标；

（2）有一个动点P从原点0出发，沿x轴正方向以每秒2个单位的速度运动，

设运动时间为t秒，求t为何值时PA+PB最短；

（3）将此抛物线向右平移所得新的抛物线与原抛物线交于点C,且新抛物线的

对称轴12与x轴交于点N,过点C作DE〃x轴，分别交k，12于点D、E,若四边

形MDEN是正方形，求平移后抛物线的解析

13.如图，在平面直角坐标系xOy,已知二次函数y=-L?+bx的图象过点A(4,

2

0),顶点为B,连接AB、B0.

(1)求二次函数的表达式；

(2)若C是B。的中点，点Q在线段AB上，设点B关于直线CQ的对称点为B',

当aOCB，为等边三角形时，求BQ的长度；

(3)若点D在线段BO上，OD=2DB,点E、F在△OAB的边上，且满足△DOF

与4DEF全等，求点E的坐标.

14.如图，抛物线yuL?+b+c与x轴的负半轴交于点A,与y轴交于点B,连

44

结AB,点C(6,11)在抛物线上，直线AC与y轴交于点D.

2

(1)求c的值及直线AC的函数表达式；

(2)点P在x轴正半轴上，点Q在y轴正半轴上，连结PQ与直线AC交于点M,

连结M。并延长交AB于点N,若M为PQ的中点.

①求证：/XAPMsaAON；

②设点M的横坐标为m,求AN的长(用含m的代数式表示).

15.如图，抛物线y=x2-2x-3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），直

线I与抛物线交于A,C两点，其中点C的横坐标为2.

（1）求A,B两点的坐标及直线AC的函数表达式；

（2）P是线段AC上的一个动点（P与A,C不重合），过P点作y轴的平行线交

抛物线于点E,求4ACE面积的最大值；

（3）若直线PE为抛物线的对称轴，抛物线与y轴交于点D,直线AC与y轴交

于点Q,点M为直线PE上一动点，则在x轴上是否存在一点N,使四边形DMNQ

的周长最小？若存在，求出这个最小值及点M,N的坐标；若不存在，请说明理

由.

（4）点H是抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F,使A、C、F、H四个点为

顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出所有满足条件的F点坐标；

如果不存在，请说明理由.

16.如图已知二次函数图象的顶点为原点，直线得x+4的图象与该二次函数的

图象交于A点（8,8）,直线与x轴的交点为C,与y轴的交点为B.

(1)求这个二次函数的解析式与B点坐标；

(2)P为线段AB上的一个动点(点P与A,B不重合)，过P作x轴的垂线与这

个二次函数的图象交于D点，与x轴交于点E.设线段PD的长为h,点P的横

坐标为3求h与t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；

(3)在(2)的条件下，在线段AB上是否存在点P,使得以点P、D、B为顶点

的三角形与△BOC相似？若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由.

17.如图(1),在平面直角坐标系中，矩形ABCO,B点坐标为(4,3),抛物线

y=-x，bx+c经过矩形ABCO的顶点B、C,D为BC的中点，直线AD与y轴交于

2

E点，与抛物线y=」?+bx+c交于第四象限的F点.

(1)求该抛物线解析式与F点坐标；

(2)如图(2),动点P从点C出发，沿线段CB以每秒1个单位长度的速度向

终点B运动；同时，动点M从点A出发，沿线段AE以每秒返个单位长度的速

度向终点E运动.过点P作PHLOA,垂足为H,连接MP,MH.设点P的运动

时间为t秒.

①问EP+PH+HF是否有最小值？如果有，求出t的值；如果没有，请说明理由.

②若△PMH是等腰三角形，请直接写出此时t的值.

图（2）

18.为推进节能减排，发展低碳经济，深化"宜居重庆"的建设，我市某"用电大

户"用480万元购得“变频调速技术”后，进一步投入资金1520万元购买配套设备，

以提高用电效率达到节约用电的目的.已知该"用电大户”生产的产品"草甘磷"每

件成本费为40元.经过市场调研发现：该产品的销售单价，需定在100元到300

元之间较为合理.当销售单价定为100元时，年销售量为20万件；当销售单价

超过100元，但不超过200元时，每件新产品的销售价格每增加10元，年销售

量将减少。.8万件；当销售单价超过200元，但不超过300元时，每件产品的销

售价格在200元的基础上每增加10元，年销售量将减少1万件.设销售单价为

x元），年销售量为y万件），年获利为w万元）.

（年获利=年销售额-生产成本-节电投资）

（1）直接写出y与x间的函数关系式；

（2）求第一年的年获利w与x函数关系式，并说明投资的第一年，该"用电大户"

是盈利还是亏损？若盈利，最大利润是多少？若亏损，最少亏损是多少？

（3）若该"用电大户"把"草甘磷”的销售单价定在超过100元，但不超过200元

的范围内，并希望到第二年底，除去第一年的最大盈利（或最小亏损）后，两年

的总盈利为1842万元，请你确定此时销售单价.在此情况下，要使产品销售量

最大，销售单价应定为多少元？

19.如图，已知直线y=kx-6与抛物线y=ax?+bx+c相交于A,B两点，且点A（l,

-4）为抛物线的顶点，点B在x轴上.

（1）求抛物线的解析式；

（2）在（1）中抛物线的第二象限图象上是否存在一点P,使△POB与△POC全

等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；

(3)若点Q是y轴上一点，且△ABQ为直角三角形，求点Q的坐标.

20.如图，已知抛物线丫=*2-2*+22-42-4与*轴相交于点人和点区与y轴相

交于点D(0,8),直线DC平行于x轴，交抛物线于另一点C,动点P以每秒2

个单位长度的速度从C点出发，沿直线CD运动，同时，点Q以每秒1个单位长

度的速度从点A出发，沿直线AB运动，连接PQ、CB、PB,设点P运动的时间

为t秒.

(1)求a的值；

(2)当四边形ODPQ为矩形时，求这个矩形的面积；

(3)当四边形PQBC的面积等于14时，求t的值.

(4)当t为何值时，APBCi是等腰三角形？(直接写出答案)

21.如图，点A(-2,0)、B(4,0)、C(3,3)在抛物线y=ax2+bx+c上，点D

在y轴上，且DC_LBC,NBCD绕点C顺时针旋转后两边与x轴、y轴分别相交于

点E、F.

(1)求抛物线的解析式；

(2)CF能否经过抛物线的顶点？若能，求出此时点E的坐标；若不能，说明理

由；

(3)若△FDC是等腰三角形，求点F的坐标.

22.如图1,直线行-lx+*x轴、y轴分别交于B、C两点，经过B、C两点的

3

抛物线与x轴的另一交点坐标为A（-1,0）.

（1）求B、C两点的坐标及该抛物线所对应的函数关系式；

（2）P在线段BC上的一个动点（与B、C不重合），过点P作直线a〃y轴，交

抛物线于点E,交x轴于点F,设点P的横坐标为m,ABCE的面积为S.

①求S与m之间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；

②求S的最大值，并判断此时AOBE的形状，说明理由；

（3）过点P作直线b〃x轴（图2）,交AC于点Q,那么在x轴上是否存在点R,

使得△PQR为等腰直角三角形？若存在，请求出点R的坐标；若不存在，请说明

理由.

2018年03月19日二林的初中数学组卷

参考答案与试题解析

一.解答题（共22小题）

1.如图，已知抛物线y=Lx2+bx+c经过aABC的三个顶点，其中点A（0,1）,

3

点B（-9,10）,人（：〃*轴，点P是直线AC下方抛物线上的一个动点.

（1）求抛物线的解析式；

（2）过点P且与y轴平行的直线I与直线AB、AC分别交于点E、F,当四边形

AECP的面积最大时，求点P的坐标；

（3）当点P为抛物线的顶点时，在直线AC上是否存在点Q,使得以C、P、Q

为顶点的三角形与aABC相似？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理

由.

【分析】（1）根据待定系数法，可得函数解析式；

（2）根据平行于x轴的直线上点的纵坐标相等，可得C点坐标，根据待定系数

法，可得AB的解析式，根据直线上的点满足函数解析式，可得E点坐标，根据

平行于y轴的直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得PE的

长，根据面积的和，表示四边形AECP的面积，是二次函数，根据二次函数的最

值，可得答案；

（3）根据等腰直角三角形的性质，可得NPCF=NEAF,所以分两种情况：

①当△CPQs^ABC时，②当△CPQsaACB时，根据相似三角形的判定，可得

关于CQ的方程，解方程，可得答案.

【解答】解：（1）将A（0,1）,B（-9,10）代入函数解析式，

'c=l

得1,

yX81-9b+c=10

解得(b=2,

Ic=l

抛物线的解析式y=1x2+2x+l；(2分)

3

(2),.•AC〃x轴，A(0,1),

•*.—X2+2X+1=1,解得XI=-6,X2=0(舍)，即C点坐标为(-6,1)>

3

•.,点A(0,1),点B(-9,10),

，直线AB的解析式为y=-x+1,设P(m,14n2+2m+l),

3

E(m,-m+1),

/.PE=-m+1-(Ajn2+2m+l)=--m2-3m.

33

VAC±PE,AC=6,(4分)

••Sma®AECP=SAAEC+SAAPC=-^-AC»EF+-1,AC*PF,

22

=XAC・(EF+PF)=XAC・EP=L><6(-Im2-3m)=-m2-9m=-

2223号

Y-6<m<0,

.•.当m=-2时，四边形AECP的面积最大值是丝，此时P(-2,-i.)；(6分)

2424

(3)Vy=ix2+2x+l=^(x+3)2-2,

33

顶点P(-3,-2).

/.PF=2+1=3,CF=6-3=3,

，PF=CF,PC=3&,

.•.ZPCF=45°,

同理可得NEAF=45。，

/.ZPCF=ZEAF,

VA(0,1),B(-9,10),

AB寸92+(io7)2=9&，

，在直线AC上存在满足条件得点Q,设Q（t,1）,

•.•以C,P,Q为顶点的三角形与aABC相似，

①当△CPQs^ABC时，也里，

_ACAB

CQ=述,CQ=2,（7分）

69A/2

，Q（-4,1）；（8分）

②当△CPQsAACB时，则CQ=CP,

_AB-AC

ACQCQ=9,（9分）

9726

，Q（3,1）；

综上所述：当点P为抛物线的顶点时，在直线AC上存在点Q,使得以C、P、Q

为顶点的三角形与aABC相似，Q点的坐标为（-4,1）或（3,1）.（10分）

【点评】本题考查了二次函数综合题，解（1）的关键是待定系数法；解（2）的

关键是利用面积的和得出二次函数，又利用了二次函数的性质，平行于坐标轴的

直线上两点间的距离是较大的坐标减较小的坐标；解（3）的关键是利用相似三

角形的性质得出关于CQ的比例式，并分类讨论，以防遗漏.

2.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=W』+bx+c与x轴交于点A

8

（-2,0）和点B,与y轴交于点C（0,-3）,经过点A的射线AM与y轴相交

于点E,与抛物线的另一个交点为F,且9

EF3

（1）求这条抛物线的表达式，并写出它的对称轴；

（2）求NFAB的余切值；

（3）点D是点C关于抛物线对称轴的对称点，点P是y轴上一点，且NAFP=N

DAB,求点P的坐标.

【分析】(1)把C(0,-3)和点A的坐标代入抛物线的解析式可求得b、c的

值，从而可得到抛物线的解析式，然后，依据抛物线的对称轴公式可得到抛物线

的对称轴；(2)过点F作FM_Lx轴，垂足为M.设E(0,t),则OE=t,则F(6,

4t),将点F的坐标代入抛物线的解析式可求得t的值，最后，依据cot/FAB=P^

0E

求解即可；

(3)先求得cotNDAB=&,则NFAB=NDAB.当点P在AF的上方时可证明PF〃

3

AB,从而可求得点P的坐标；当点P在AF的下方时，设FP与x轴交点为G(m,

0),则NPFA=NFAB,可得到FG=AG,从而可求得m的值，然后再求得PF的解

析式，从而可得到点P的坐标.

【解答】解：(1)把c(0,-3)代入得：c=-3,

2

二抛物线的解析式为y=-lx+bx-3.

8

将A(-2,0)代入得：Wx(-2)2-2b-3=0,解得b=-W,

84

抛物线的解析式为丫=当2一当-3.

84

二抛物线的对称轴为x=--l.

2a

(2)过点F作FM，x轴，垂足为M.

EF3

•AO_OE_1

••，LL，，.

AMFM4

.*.F(6,4t).

将点F(6,4t)代入丫=当2-当-3得：3_X62-AX6-3=0,解得t=3.

84842

/.cotZFAB=—=A.

OE3

(3)..•抛物线的对称轴为x=l,C(0,-3),点D是点C关于抛物线对称轴的

对称点，

AD(2,-3).

/.cotZDAB=-l,

3

/.ZFAB=ZDAB.

；.PF〃AB,

•,YP=YF=6.

由(1)可知：F(6,4t),t=W.

2

，F(6,6).

.,.点P的坐标为(0,6).

当点P在AF的下方时，如下图所示:

设FP与x轴交点为G(m,0),则NPFA=NFAB,可得到FG=AG,

(6-m)2+62=(m+2)2,解得：m=AZ-,

4

AG(IL,0).

4

'6k+b=6

设PF的解析式为y=kx+b,将点F和点G的坐标代入得：17,

-^-k+b=0

解得：k=丝，b=-APZ

77

：.P(0,-1^1).

7

综上所述，点P的坐标为(0,6)或P(0,-102).

7

【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数

法求一次函数、二次函数的解析式、锐角三角函数的定义，平行线分线段成比例

定理，分类讨论是解答本题的关键.

3.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax?+bx+c(a<0)与x轴交于A(-2,

0)、B(4,0)两点，与y轴交于点C,且OC=2OA.

(1)试求抛物线的解析式；

(2)直线y=kx+l(k>0)与y轴交于点D,与抛物线交于点P,与直线BC交于

点M,记m=@L，试求m的最大值及此时点P的坐标；

DM

(3)在(2)的条件下，点Q是x轴上的一个动点，点N是坐标平面内的一点,

是否存在这样的点Q、N,使得以P、D、Q、N四点组成的四边形是矩形？如果

存在，请求出点N的坐标；如果不存在，请说明理由.

v

【分析】(1)因为抛物线y=ax2+bx+c经过A(-2,0)、B(4,0)两点，所以可

以假设y=a(x+2)(x-4),求出点C坐标代入求出a即可；

(2)由△CMDsaFMP,可得m=£l=EL,根据关于m关于x的二次函数，利

DMDC

用二次函数的性质即可解决问题；

(3)存在这样的点Q、N,使得以P、D、Q、N四点组成的四边形是矩形.分两

种情形分别求解即可：①当DP是矩形的边时，有两种情形；②当DP是对角线

时；

【解答】解：(1)因为抛物线y=ax?+bx+c经过A(-2,0)、B(4,0)两点，

所以可以假设y=a(x+2)(x-4),

VOC=2OA,OA=2,

AC(0,4),代入抛物线的解析式得到a=-L,

2

.*.y=-—(x+2)(x-4)或y=-AJ<2+X+4或丫=-工(x-1)2+—.

2224

(2)如图1中，作PE_Lx轴于E,交BC于F.

•.•CD〃PE,

/.△CIVID^AFMP,

.•.m曲T

DMDC

•••直线y=kx+l(k>0)与y轴交于点D,则D(0,1),

VBC的解析式为y=-x+4,

设P(n,-±n2+n+4),则F(n,-n+4),

2

PF=-Xn2+n+4-(-n+4)=-—(n-2)2+2,

22

-—(n-2)2+2,

CD63

：-l<0,

6

.,.当n=2时，m有最大值，最大值为2,此时P(2,4).

3

（3）存在这样的点Q、N,使得以P、D、Q、N四点组成的四边形是矩形.

①当DP是矩形的边时，有两种情形，

a、如图2-1中，四边形DQNP是矩形时，

有(2)可知P(2,4),代入y=kx+l中，得到k=3,

二直线DP的解析式为y=2x+l,可得D(0,1),E(-2,0),

23

由△DOES^QOD可得皿堕，

OQ0D

.*.OD2=OE*OQ,

...1=Z・OQ,

3

，0Q=3,

2

，Q(3,0).

2

根据矩形的性质，将点P向右平移上个单位，向下平移1个单位得到点N,

AN(2+W,4-1),即N(工，3)

22

图2-2

•.,直线PD的解析式为y=2x+l,PCUPD,

2

二直线PQ的解析式为y=-2x+旭，

33

，Q(8,0),

根据矩形的性质可知，将点D向右平移6个单位，向下平移4个单位得到点N,

AN(0+6,1-4),即N(6,-3).

②当DP是对角线时,设Q(x,0),则QD2=X2+1,QP2=(x-2)2+42,PD2=13,

•••Q是直角顶点，

，QD2+QP2=PD2,

/.x2+l+(x-2)2+16=13,

整理得X2-2X+4=0,方程无解，此种情形不存在，

综上所述，满足条件的点N坐标为(工，3)或(6,-3).

2

【点评】本题考查二次函数综合题、一次函数的应用、平行线的性质.相似三角

形的判定和性质、矩形的判定和性质等知识，解题的关键是学会构建二次函数解

决最值问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题.

4.如图1,抛物线y=-x2+mx+n交x轴于点A(-2,0)和点B,交y轴于点C

(0,2).

(1)求抛物线的函数表达式；

(2)若点M在抛物线上，且SAAOM=2SABOC;求点M的坐标；

(3)如图2,设点N是线段AC上的一动点，作DN_Lx轴，交抛物线于点D,求

线段DN长度的最大值.

【分析】(1)把A(-2,0),C(0,2)代入抛物线的解析式求解即可;

(2)由(1)知，该抛物线的解析式为y=-x2-x+2,则易得B(1,0).然后依

据SAAOM=4S/、BOC列方程求解即可；

(3)设直线AC的解析式为y=kx+t,将A(-320),C(0,2)代入可求得直线

AC的解析式，设N点坐标为(x,x+2),(-20W0),则D点坐标为(x,-X2

-x+2),然后列出ND与x的函数关系式，最后再利用配方法求解即可.

【解答】解：(1)A(-2,0),C(0,2)代入抛物线的解析式y=-x2+mx+n,

得「4-2"n=0,解得(蚌T,

In=2In=2

，抛物线的解析式为y=-x2-x+2.

(2)由(1)知，该抛物线的解析式为y=-x?-x+2,则易得B(1,0),设M(m,

n)然后依据SAAOM=2SABOC列方程可得：

工・AOXn|=2X±XOBXOC,

22

.\!X2X|-m2-m+2|=2,

2

m2+m=0或m2+m-4=0,

解得x=0或-1或T士下,

2__

符合条件的点M的坐标为：(0,2)或(-1,2)或(二1士叵,-2)或(士叵,

22

-2).

(3)设直线AC的解析式为y=kx+b,将A(-2,0),C(0,2)代入

得到］-2k+b=0,解得(k=l,

Ib=2Ib=2

二直线AC的解析式为y=x+2,

设N(x,x+2)(-2WxW0),则D(x,-x2-x+2),

ND=(-x2-x+2)-(x+2)=-x2-2x=-(x+1)2+l,

-l<0,

，x=-1时，ND有最大值1.

AND的最大值为1.

【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应了待定系数法

求一次函数、二次函数的解析式，解题的关键是学会构建二次函数，利用二次函

数解决最值问题，属于中考压轴题.

5.如图，已知抛物线y=ax?+bx+c经过点A(-1,0),点B(3,0)和点C(0,

3).

(1)求抛物线的解析式和顶点E的坐标；

(2)点C是否在以BE为直径的圆上？请说明理由；

(3)点Q是抛物线对称轴上一动点，点R是抛物线上一动点，是否存在点Q、

R,使以Q、R、C、B为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点Q、R

的坐标，若不存在，请说明理由.

【分析】(1)将A(-1,0)、B(3,0)、C(0,3)三点坐标代入抛物线y=ax?+bx+c

中，列方程组求a、b、c的值即可；

(2)根据勾股定理的逆定理可得：ZBCE=90°,可得结论；

(3)分两种情况：

①以BC为边时，

如图1,R在对称轴的右侧时，BC〃RQ,四边形CQRB是平行四边形，根据平移

规律先得R的横坐标为4,

代入抛物线的解析式可得R(4,-5),由平移规律可得Q(l,-2)；

如图2,R在对称轴的左侧，RC〃BQ,四边形CRQB是平行四边形，同理可得点

Q、R的坐标.

②以BC为对角线时，如图3,同理根据平移规律可得结论.

a-b+c=0

【解答】解：(1)由题意，得：＜9a+3b+c=0,

c=3

"a=-l

解得：,b=2，

,c=3

故这个抛物线的解析式为y=-X2+2X+3,

y=-X2+2X+3=-(x-1)2+4,

...顶点E(1,4)；

(2)点C在以BE为直径的圆上，理由是：

VC(0,3),B(3,0),E(1,4),

ABC2=32+32=18,CE2=12+12=2,BE2=(3-1)2+42=20,

BC2+CE2=BE2,

，NBCE=90°,

...点C在以BE为直径的圆上；

(3)存在，分两种情况：

①以BC为边时，

如图1,R在对称轴的右侧时，BC〃RQ,四边形CQRB是平行四边形，

由C到B的平移规律可知：Q的横坐标为1,则R的横坐标为4,

当时，22

x=4y=-X+2X+3=-4+2X4+3=-16+8+3=-5,

AR(4,-5),

，Q(1,-2)；

如图2,R在对称轴的左侧，RC〃BQ,四边形CRQB是平行四边形，

由C到B的平移规律可知：Q的横坐标为1,则R的横坐标为-2,

当x=-2时，y=-X2+2X+3=-4+2X(-2)+3=-5,

AR(-2,-5),

，Q(1,-8)；

②以BC为对角线时，如图3,

由C和Q的平移规律可得：R的横坐标为2,

当x=2时,y=-4+4+3=3,

AR(2,3),

根据R到B的平移规律可得：Q(1,0)；

综上所述，R(4,-5),Q(1,-2)或R(-2,-5),Q(1,-8)或R(2,

3),Q(1,0).

【点评】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求解析式，圆周角定理,

勾股定理的应用，平行四边形的判定等，分类讨论的思想是（3）的关键.

6.在平面直角坐标系中，0为坐标原点，抛物线y=ax2+（a+3）x+3（a<0）从

左到右依次交x轴于A、B两点，交y轴于点C.

（1）求点A、C的坐标；

（2）如图1,点D在第一象限抛物线上，AD交y轴于点E,当DE=3AE,0B=4CE

时，求a的值；

（3）如图2,在（2）的条件下，点P在C、D之间的抛物线上，连接PC、PD,

点Q在点B、D之间的抛物线上，QF〃PC,交x轴于点F,连接CF、CB,当PC=PD,

NCFQ=2NABC,求BQ的长.

图1图2

【分析】（1）令x=0,求出y的值，得到C点坐标；令y=0,求出x的值，根据a

VO得出A点坐标；

(2)如图1,过点D作DMLAB于M.根据平行线分线段成比例定理求出OM=3,

得到D点纵坐标为12a+12.再求出OE=3a+3,那么CE=OC-OE=-3a.根据OB=4CE,

得出-2=-12a,解方程求出a=-1；

a2

(3)如图2,过点D作DTly轴于点T,过点P作PG±y轴于点G,连接TP.利

用SSS证明△TCP之△TDP,得出NCTP=/DTP=45°,那么TG=PG.设P(t,-

lt2+lt+3),列出方程Lt?-且+3=t,解方程求得t=l或6,根据点P在C、D之

2222

间，得到t=l.过点F作FK〃y轴交BC于点K,过点Q作QNJ_x轴于点N,根

据平行线的性质以及已知条件得出NKFQ=NPCG,进而证明NKFQ=NKFC=NOCF=

NABC,由tanNOCF屈=tanNABC=L求出0F=3.设FN=m，则QN=2m,Q(m+3,

3222

2m),根据Q在抛物线上列出方程-L(m+3)2+lx(m+1)+3=2m,解方程

2222

求出满足条件的m的值，得到Q点坐标，然后根据两点间的距离公式求出BQ.

【解答】解：⑴当x=0时，y=3,AC(0,3).

当y=0时,ax2+(a+3)x+3=0,

(ax+3)(x+1)=0,解得xi=-3,X2=-1.

Va<0,

/.-2>o,

a

AA(-1,0)；

(2)如图1,过点D作DM_LAB于M.

VOE/7DM,里』，，OM=3,

0AAE1

，D点纵坐标为12a+12.

tanZEAO®=UL=12a+12=3a+3,

0AAM4

；.OE=3a+3,

/.CE=OC-OE=3-(3a+3)=-3a.

V0B=4CE,

，-至-12a,

a

Va<0>a=--；

（3）如图2,过点D作DT_Ly轴于点T,过点P作PG，y轴于点G,连接TP.

2

，抛物线的解析式为y=-42+昂+3,D(3,6),DT=3,0T=6,CT=3=DT,

22

又,.•PC=PD,PT=PT,

，ATCP^ATDP,

/.ZCTP=ZDTP=45°,TG=PG.

设P(t,-l.t2+^t+3),

22

，0G=-"+$t+3,PG=t,

22

.\TG=OT-0G=6-(-l?+§t+3)=lt2-刍+3,

2222

-另+3=t,解得t=l或6,

22

•.•点P在C、D之间，

过点F作FK〃y轴交BC于点K,过点Q作QNlx轴于点N,则/KFC=NOCF,

ZKFB=ZCON=90°.

•.•FQ〃PC,

，ZPCF+ZCFQ=180°,ZPCF+ZPCG+ZOCF=180°,

.,.ZCFQ=ZPCG+ZOCF,

二ZCFK+ZKFQ=ZPCG+ZOCF,

；.NKFQ=NPCG.

VP(1,5),.*.PG=1,CG=OG-0C=5-3=2,

，tanNPCG=H=L

CG2

tanZABC=^^.^—,

OB62

AZPCG=ZABC,

...NKFQ=NABC.

VZCFQ=2ZABC,

.•.NCFQ=2NKFQ,

ZKFQ=ZKFC=ZOCF=ZABC,

tanZ0CF=-2E^PL=tanZABC=^-,

OC32

AOF=A.

2

设FN=m,则QN=2m,Q(m+旦，2m),

2

•••Q在抛物线上，

，-±(m+3)2+i-X(m+A)+3=2m,

2222

解得m=m=-—(舍去),

22

；.Q(4,5),

VB(6,0),

【点评】本题是二次函数综合题，其中涉及到二次函数图象上点的坐标特征，平

行线分线段成比例定理，全等三角形的判定与性质，平行线的性质，锐角三角函

数定义，两点间的距离公式等知识，综合性较强，有一定难度.利用数形结合准

确作出辅助线是解题的关键.

7.如图，抛物线y=ax?+bx+3经过点B(-1,0),C(2,3),抛物线与y轴的

焦点A,与x轴的另一个焦点为D,点M为线段AD上的一动点，设点M的横坐

标为t.

(1)求抛物线的表达式；

(2)过点M作y轴的平行线，交抛物线于点P,设线段PM的长为1,当t为何

值时，1的长最大，并求最大值；(先根据题目画图，再计算)

(3)在(2)的条件下，当t为何值时，4PAD的面积最大？并求最大值；

(4)在(2)的条件下，是否存在点P,使APAD为直角三角形？若存在，直接

写出t的值；若不存在，说明理由.

【分析】(1)利用待定系数法即可解决问题；

(2)易知直线AD解析式为y=-x+3,设M点横坐标为m,则P(t,-t2+2t+3),

M(t,-t+3),可得1=-t2+2t+3-(-t+3)=-t2+3t=-(t-3)2+X利用二

24

次函数的性质即可解决问题；

由推出的值最大时，的面积

(3)SAPAD=LXPMX(XD-xA)=±PM,PM4PAD

22

最大；

(4)如图设AD的中点为K,设P(t,-t2+2t+3).由4PAD是直角三角形，推

出PK=L\D,可得(t-W)2+(-t2+2t+3-.1)2=LX18,解方程即可解决问题;

2224

【解答】解：(1)把点B(-1,0),C(2,3)代入y=ax?+bx+3,

则有卜-b+3=0,

l4a+2b+3=3

解得卜二T,

lb=2

，抛物线的解析式为y=-X2+2X+3.

(2)

在y=-X2+2X+3中，令y=0可得0=-x?+2x+3,解得x=-1或x=3,

AD(3,0),且A(0,3),

直线AD解析式为y=-x+3,

设M点横坐标为m,则P(t,-t2+2t+3),M(t,-t+3),

V0<t<3,

...点M在第一象限内，

/.1=-t2+2t+3-(-t+3)=-t2+3t=-(t-A)2+2,

24

.•.当t=3时，i有最大值，i最大=2；

24

(3)：S/\PAD=LXPMX(XD-xA)=3PM,

22

，PM的值最大时，4PAD的面积中点，最大值

248

;.t=3时，APAD的面积的最大值为空.

28

(4)如图设AD的中点为K,设P(t,-t2+2t+3).

「△PAD是直角三角形,

.,.PK=1AD,

2

/.(t--2.)2+(-t2+2t+3-A)2=L\18,

224

整理得t(t-3)(t2-t-1)=0,

解得t=0或3或1土二,

2

•.•点P在第一象限，

•-1+V5

••tL-----,

2

【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、二次函数的最值、方程

思想及分类讨论思想等知识点.在(1)中注意待定系数法的应用步骤，在(2)

中用t表示出PM的长是解题的关键，在(3)中根据SWAD=LXPMX(XD-XA)

2

=WPM解决问题，(4)构建方程解决问题是关键，属于中考压轴题.

2

8.如图，二次函数y=--LX2+-3J<+2的图象与x轴交于点A,B,与y轴交于点C.点

22

P是该函数图象上的动点，且位于第一象限，设点P的横坐标为X.

(1)写出线段AC,BC的长度：AC=_V5_,BC=2近；

(2)记4BCP的面积为S,求S关于x的函数表达式；

(3)过点P作PHJ_BC,垂足为H,连结AH,AP,设AP与BC交于点K,探究:

是否存在四边形ACPH为平行四边形？若存在，请求出患的值；若不存在，请说