2020春人教版九年级数学下册 第28章 全章学案

28.2.1解直角三角形

一、新课导入

1.课题导入

如图是意大利的比萨斜塔，设塔顶中心点为B,塔身中心线与垂直中心线的

交点为A,过B点向垂直中心线引垂线，垂足为C,在RtZSABC中，ZC=90°,

BC=5.2米，AB=54.5米，你能根据上述条件求出图中NA的度数吗？

这就是我们这节课要研究的问题.

2.学习目标

（1）知道解直角三角形的概念，理解直角三角形中除直角以外

的五个元素之间的关系.

（2）能综合运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解

直角三角形.

3.学习重、难点

重点：直角三角形中除直角以外的五个元素之间的关系，解直角三角形.

难点：合理选用三角函数关系式解直角三角形.

二、分层学习

1.自学指导

（1）自学内容：教材P72~P73例1上面的内容.

（2）自学时间：8分钟.

（3）自学要求：完成探究提纲.

（4）探究提纲：

①在直角三角形中，已知有一个角是直角，我们把由直角三角形中的已知元

素求出其余未知元素的过程,叫做解直角三角形.

②在直角三角形中，除直角外的五个元素之间有哪些关系？

如图，在Rt^ABC中，ZC=90°,设NA、NB、NC所对的边分别为a、b、

c,则有:

a.两锐角互余，即NA+NB=90°|

b.三边关系满足勾股定理，即a2+b2=c2.

c.边角关系：sinA=—,sinB—•一；

cc

ba

cosA=—,cosB=—；

cc

bC

ab

tanA=—,tanB=—.

ba

③已知直角三角形中不是直角的五个元素中的几个元素，才能求出其余所有

未知元素？（提示：可从“确定一个直角三角形，至少需要哪些条件？”来思考）

已知其中两个元素（至少有一个是边）.

2.自学：学生可结合自学指导进行自学.

3.助学

（1）师助生：

①明了学情：了解学生自学提纲的答题情况（特别是第②、③题）.

②差异指导：根据学情进行个别指导或分类指导.

（2）生助生：小组内相互交流、研讨、纠正错误.

4.强化

（1）直角三角形中除直角外的五个元素之间的关系（要板书出来）.

（2）直角三角形的可解条件：必须已知除直角外的两个元素（至少有一个

是边）.

①已知两边：a.两直角边；b.一直角边和斜边.

②已知一边和一锐角：a.一直角边和一锐角；b.斜边和一锐角.

第二层次学习

1.自学指导

（1）自学内容：教材P73例1、例2.

（2）自学时间：8分钟.

（3）自学方法：先独立解答，再同桌之间互评互纠.

（4）自学参考提纲：

①在教材P73例1中，已知的元素是两条直角边AC、BC,需求出的未知元

素是：斜边AB、锐角A、锐角B.

方法--'：VtanA=>/3Z^A=60,NB=90°-NA=30.

AC——

VAC=V2,BC=V6,.\AB=2V2.

方法二：•.•AC=VLBC=&,...由勾股定理可得AB=2^.

sinA=——■=^^-,NA=60°，;.NB=90。-NA=30°.

AB----------------

这里NB的度数也可用三角函数来求，你会吗？

②比较上述解法，体会其优劣.

③在教材P73例2中，已知的元素是一直角边b和一锐角B,则要求的未知

元素有直角边a、斜边c、锐角A.

④例2还有别的解法吗？请试一试，并留意你的答案与例题的答案是否存在

误差.

⑤练习：在RtZXABC中，ZC=90°,根据下列条件解直角三角形：

a.c=20\/2,b=20；

b.NB=60°,c=14；

c.ZB=30°,a=V7.

2.自学：学生可结合自学指导进行自学.

3.助学

（1）师助生：

①明了学情：关注学生解直角三角形的思路是否清晰，是否会选择恰当的三

角函数关系式.

②差异指导：根据学情对学习有困难的学生进行个别或分类指导.

（2）生助生：小组内相互交流、研讨.

4.强化：解直角三角形的思路：首先，明确已知什么，要求的元素有哪些；

其次，合理选择三角函数关系式，并正确进行变形（所选的关系式必须要有两个

已知元素）；第三，尽可能选用题目的原始数据，以减少误差.

三、评价

1.学生自我评价：这节课你学到了哪些知识？还有哪些疑问？

2.教师对学生的评价：

（1）表现性评价：从学生的学习态度、积极性、小组交流状况等方面进行

点评.

（2）纸笔评价：课堂评价检测.

3.教师的自我评价（教学反思）.

本课时以自主探究和小组讨论为主，以教师归纳讲解为辅，激发学生自主学

习的兴趣和能力.通过综合运用勾股定理及锐角三角函数等知识解直角三角形的

过程，使学生进一步巩固和深化锐角三角函数和直角三角形知识的理解，培养学

生数形结合的思想和分析问题、解决问题的能力.

«-----------评价作业------------>

一、基础巩固（70分）

1.（40分）已知在RtZ\ABC中，ZC=90°.

（1）若a=4百,b=2百，则c=2厉；（2）若a=10,c=10&,则NB=4岂；

(3)若b=35,NA=45°,则a=35；(4)若c=20,NA=60°,则a=10月.

2.(10分)在AABC中，AC=2,AB=3,ZA=30°,贝IJAABC

的面积等于(B)

A也B

2-I

C.V3D.3百

2

3.(10分)如图，在RtZ\ABC中，ZC=90°,AC=6,sinB=§,那么AB的长是

4.（10分妆口图，在Rt^ABC中，ZBAC=90°,点D在BC边上，且4ABD是

等边三角形.若AB=2,求aABC的周长.（结果保留根号）

解：•.'△ABD是等边三角形，.•.NB=60°.

在Rt^ABC中，AB=2,ZB=60°,

/.BC=-^^-=-y-=4,AC=AB,tanB=2百.

cosB1

2

/.AABC的周长为2+2也+4=6+2垂）.

二、综合应用（20分）r

Cn------------

12

5.（20分）在Rt^ABC中，ZC=90°,tanA=y,4ABC的周长

为45cm,CD是斜边AB上的高，求CD的长.（精确到0.1cm）

Be12

解：在RtAABC中，/C=90°,tanA=—=—，AB+AC+BC=45

AC5

cm,

.515,、12

・・AC=45x---------------=—(cm),smA=—.

5+12+13213

1512

.*.CD=AC•sinA=—X—^6.9(cm).

213

三、拓展延伸（10分）

6.（10分）如图，在等腰直角三角形ABC中，NC=90°,AC=6,D是AC上一

点，若tan/DBC=1,求AD的长.]

解：在Rt4BCD中，BC=AC=6,tanNDBC=g,

CD=BC•tanZDBC=6X1=-.

55

AD=AC-CD=6—=—.

55

28.1.3特殊角的三角函数值

一、新课导入

1.课题导入

情景：出示一副三角尺，老师手中的两块三角尺中有几个不同的锐角？

问题：分别求出这几个锐角的正弦值、余弦值和正切值.

本节课我们学习30°,45°,60°角的三角函数值.（板书课题）

2.学习目标

（1）推导并熟记30°,45°,60°角的三角函数值.

（2）能运用30°,45°,60°角的三角函数值进行简单的计算.

（3）能由30。，45°,60°角的三角函数值求对应的锐角.

3.学习重、难点

重点：推导并熟记30°,45°,60°角的三角函数值.

难点：相关运算.

二、分层学习

1.自学指导

（1）自学内容：教材P65探究~P66例3上面的内容.

（2）自学时间：8分钟.

(3)自学方法：完成探究提纲.

(4)探究提纲：

口如图1,设3()。角的对

边长为I,则可得斜边

,30。角的邻.30。45°

边长为8,故图1图2

30。角的对边

斜边

3()角的对边支

-30“角的邻边-3.

如图I,可得sin6()。=£,(os60°=I,2116()。=B

如图2,可得』i45°=孝,c<>s45°=9,lan45°=I.

②通过计算，得到30°，45°,60°角的正弦值、余弦值、正切值如下表:

锐角I

③观察上表，sin30°,sin45°,sin60°的值有什么规律？cos30°,cos45°,

cos60°呢?tan30°,tan45°,tan60°呢？

2.自学：

学生可参考自学指导进行自学.

3.助学

(1)师助生：

①明了学情：明了学生能否推导3。°,45°,60°角的三角函数值.

②差异指导：根据学情进行针对性指导.

(2)生助生：小组内相互交流、研讨、纠正错误.

4.强化：特殊角的三角函数值的推导和记忆以及30°,45°,60°角的正弦

值、余弦值、正切值的变化规律.

第二层次学习

1.自学指导

(1)自学内容：教材P66例3~P67练习上面的内容.

(2)自学时间：10分钟.

(3)自学方法：先自主学习，再同桌之间讨论交流，互相纠错.

(4)自学参考提纲：

①含30°,45°,60°角的三角函数值的计算题的解题要点是什么？

熟练掌握特殊锐角的三角函数值.

②求直角三角形中某锐角的解题要点是什么？

先求该锐角的正弦值或余弦值或正切值，然后根据特殊锐角的三角函数值求

该锐角的度数.

③求下列各式的值：

a.l-2sin30°cos30°;

1)1月

=l-2x—x——

22

_2-6

2

b.3tan30°-tan45°+2sin60°;

孙&+2*

32

=-1.

c.(cos230°+sin230°)xtan60°.

=[(―)2+(-)2]X3

22

=V3.

④在RtZ\48C中，ZC=90°,BC=近,，求/A、N8的度数.

....BC\[~lG,__o八o

.tan/l=-----=,—=—,・・,N8=6c0n.

ACV213

2.自学：

学生可结合自学指导进行自学.

3.助学

（1）师助生：

①明了学情：明了学生对特殊角的三角函数值表的掌握情况.

②差异指导：根据学情指导学生记忆或推导特殊角的三角函数值.

（2）生助生：小组交流、研讨.

4.强化

（1）求特殊锐角的三角函数值的关键是先把它转化为实数的运算，再根据

实数的运算法则计算.

（2）求锐角的度数的关键是先求其正弦值或余弦值或正切值，然后对应特

殊锐角的三角函数值求角的度数.

（3）当A、8为锐角时，若AW8,则sinAWsinB,cosAWcos&tanAWtanB.

三、评价

1.学生自我评价：这节课你学到了什么？还有什么疑惑？

2.教师对学生的评价：

（1）表现性评价：根据学生的情感态度和学习效果等方面进行评价.

（2）纸笔评价：课堂评价检测.

3.教师的自我评价（教学反思）.

本课时中的特殊角是指30。，45°,60°的角，课堂上采用“自主探究”

的形式，给学生自主动手的时间并提供创新的空间与可能，再给不同层次的学生

提供一个交流合作的机会，培养学生独立探究和合作的能力.本节课的最终教学

目的是让学生理解并掌握30°,45°,60°角的三角函数值，并且能够熟记其

函数值，然后利用它们进行计算.

«-----------评价作业------------>

一、基础巩固（70分）

1.（10分）2cos（a-10。）=1,则锐角a=70。.

2.（10分）已知a为锐角,tana=6,则cosa等于（A）

1B也

A.-B

22c,2

3.（40分）求下列各式的值.

(1)sin45°+cos45°;

V2V2

=----+-----

22

=2

(2)sin45°cos60°-cos45°;

1

=-------X-一也

22'V

=_V2

""4

(3)cos245°+tan60°cos30°;

13

=一+一

22

=2

(4)l-cos30°sin60°+tan30°.

"TFT

=V3-1.

4.(10分)在△ABC中,NA,NB都是锐角，且sinA=¥，tanB=l,求NC的

度数.

解：是锐角且sinA=曰,二/4=60°.

是锐角且tan8=l,...N8=45°./.ZC=1800-ZA-ZB=75°.

二、综合应用(20分)

5.（10分）在△ABC中，锐角A,8满足（sinA-手）2+|cos8-g|=0,则△ABC

是(。)

A.等腰三角形B.等边三角形

C.等腰直角三角形D.直角三角形

6.(10分)如图，△ABC内接于。0,AB,8为。0的直径，OE_LA8于点E,

BC=1,AC=3,则ND的度数为30。.|

三、拓展延伸(10分)

7.(10分)对于钝角a,定义它的三角函数值如下：

sina=sin(180°-a),cosa=-cos(180°-a).

(1)求sin120°,cos120°,sin150°的值；

解:sinl20°=sin(180°-120°)=sin60°=#.

Cosl200=-cos(180°-1200)=-cos60°=-y.

sinl50o=sin(180°-150o)=sin30°=y.

(2)若一个三角形的三个内角的比是1：1：4,A,B是这个二不\

三角形的两个顶点，sinA,cos8是方程4x2-mx-l=0的两个不相等Ay~^loJ13

的实数根，求m的值及NA和N8的大小.MLV

D

解：•.•三角形的三个内角的比是1：1：4,...三角形三个内角

度数分别为30°,30°,120°.

/.ZA=30°或120°,Zfi=30°或120°.

।/T

/.sin/\=sin30o=—或sinA=sinl20°=——,cosB=cos30°=—^■或cos8=cosl20°

22

2

又•.'sinAcosB是方程4x2-mx-l=0的两个不相等的实数根,

.*.sin>4+cosB=—,sin/4•cosB=--.

s\nA=—,cosB="-,/.N4=30°,N8=120°,m=0.

22

28.1.4一般角的三角函数值

一、导学

1.课题导入

情景：如图，要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面

所成的角a一般要满足50°WaW75°.现有一个长6m的梯子.

问题：使用这个梯子最高可以安全攀上多高的墙？

这个问题中涉及求sin75°的问题，那么怎样求sin75°呢？本节课我们学习

非特殊角的三角函数值.

2.学习目标

会熟练运用计算器求锐角的三角函数值和由三角函数值来求角.

3.学习重、难点

用计算器求锐角的三角函数值和由三角函数值来求角.

4.自学指导

（1）自学内容：教材P67~P68.

（2）自学时间：10分钟.

（3）自学指导：完成探究提纲.

（4）探究提纲：

①用计算器求sinl8。的值.

sinl80=0.309016994.

②用计算器求tan30°36'的值.

tan30°36'=0.591398351.

③已知sinA=0.5018,用计算器求锐角八的度数.

Z/\=30,11915867°或NA=30°7'8.97".

④已知NA是锐角，用计算器探索sinA与cosA的数量关系.

sin2A+cos2Zl=l.

⑤已知NA是锐角，用计算器探索siM、cosA与taM的数量关系.

sinA

tanA=

cosA

⑥当一个锐角逐渐增大时，这个角的各三角函数值会发生怎样的变化呢？请

用计算器探索其中的规律.

正弦值逐渐增大，余弦值逐渐减小，正切值逐渐增大.

⑦用计算器求下列各锐角三角函数的值：

sin20°sin35°sinl5°32,

0.3420201430.5735764360.267798948

cos70°cos55°cos74°28'

0.3420201430.5735764360.267798948

tan3°8,tan80°25'43〃

0.0547415655.93036308

⑧已知下列锐角三角函数值，用计算器求相应锐角的度数:

sinA=0.6275sinB=0.0547

Z/4=38.86591697°Ze=3.135644155°

cosA=0.6252cosB=0.1659

Z/1=51,30313157°Ze=80.45047872°

tanA=4.8425tanB=0.8816

Z^=78.3321511°Ze=41.39940061°

二、自学

学生可结合自学指导进行自学.

三、助学

1.师助生：

(1)明了学情：明了学生能否正确操作计算器.

(2)差异指导：根据学情进行针对性指导.

2.生助生：小组内相互交流、研讨、纠正错误.

四、强化

1.利用计算器求锐角的三角函数值和已知锐角三角函数值求相应的锐角的

操作要领.

2.交流练习题的答案.

五、评价

1.学生自我评价：这节课你学到了什么？还有什么疑惑？

2.教师对学生的评价：

（1）表现性评价：根据学生的情感态度和学习效果等方面进行评价.

（2）纸笔评价：课堂评价检测.

3.教师的自我评价（教学反思）.

本课时教学应突出学生的主体性原则，指引学生自己0

动手操作，互相交流，并让学生上台演示自己的操作过程，

分享学习心得，从而激发学生的参与热情和学习积极性.4*2。J,__'

对于运用计算器求锐角的三角函数值有困难的学生，教师应及时给予帮助并增强

与学生的互动和交流.

«-----------评价作业

一、基础巩固（70分）

1.（5分）用计算器计算cos44。的结果（精确到0.01）是（B）

A.0.90B,0.72C,0.69D,0.66

2.(5分)已知tana=0.3249,则a约为(B)

A.17°B,18°C.19°D.20°

3.(30分)用计算器求图中N4的度数.

o/1I7

解：⑴tag=筌=岩=().71,4I=35.37475184°.

八。2.4

(2*屁1=丝=十=0.75,^1=48.59037789".

：\D2

(3)＜小」=$=[*().85,AI=31.78833062".

4.(30分)已知下列锐角三角函数值，用计算器求锐角48的度数：

(l)sinZI=0.7,sinB=0.01;

4=44.427004°,ZB=0.572967344°;

(2)cos4=0.15,cosB=0.8;

Z4=81.37307344°zZB=36.86989765°;

⑶tan4=2.4,tan8=0.5.

ZZl=67.38013505°zZB=26.56505118°.

二、综合应用(20分)

5.(10分)如图，焊接一个高3.5m,底角为32°的人字形钢架，需要多长的

钢材(精确至IJ0.01m)?

解：由题意知CO=3.5m,ZA=32°|

CD3.5

在RtAZICD中，AC=26.60(m),

sin32°sin32°

CD3.5

AD=Q5.60(m).

tan32°tan32°

：.AC+BC+AB+CD=2（AC+AD）+CD^27.20（m）.

：.需要的钢材长度约为27.90m.

6.（10分）如图，一块平行四边形木板的的两条邻边的长分别为62.31cm和

35.24cm,它们之间的夹角为35°40,，求这块木板的面积（结果保留小数点后

两位）J

解：S平行四边形ABCO=8C•AE

=BCAB-s\nB

=62.31X35.24Xsin35°41'

^1280.82（cm2）.

因此，这块木板的面积约为1280.82cm?.

三、拓展延伸（展分）

7.（10分）用计算器求下列锐角三角函数值，并填入表

.D

中：（保留两位小数）

gZEL40%

锐角/!・・・15。18°20°22°・・・80°.£(

62.51cm

sin.1•••0.26().310.340.37•••().”().990.99

COS/1•••().970.950.940.93•••0.170.140.1()

tai)/1・・・().270.320.360.40・・・5.677.129.51

随着锐角人的度数的不断增大,sinA有怎样的变化趋势？cosA呢？tanA呢？

你能证明你的结论吗？

解：sinA不断增大，cosA不断减小，tanA不断增大.

28.2.5用解直角三角形解方位角、坡角的应用

一、新课导入

1.课题导入

情景：如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向，距离灯塔80nmiIe

的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东34°方向上

的B处，这时，海轮所在的B处距离灯塔P有多远？

问题：怎样由方向角确定三角形的内角？

2.学习目标

（1）能根据方向角画出相应的图形，会用解直角三角形的知

识解决方位问题.

（2）知道坡度与坡角的含义，能利用解直角三角形的知识解决与坡度有关

的实际问题.

3.学习重、难点

重点：会用解直角三角形的知识解决方向角、坡度的相关问题.

难点：将实际问题转化为数学问题（即数学建模）.

二、分层学习

第一层次学习

1.自学指导

（1）自学内容：教材P76例5.

（2）自学时间：10分钟.

（3）自学方法：独立探索解题思路，然后同桌之间讨论，写出规范的解题

过程.

（4）自学参考提纲：

①如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向，距离灯塔80海里的A处,

它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东34°方向上的B处，

这时，海轮所在的B处距离灯塔P有多远？（结果取整数，参考数据：cos25。弋

0.91,sin25°七0.42,tan25°g0.47,sin34°七0.56,cos34°^0.83,tan34°

-0.67）

a.根据已知在图中标出方向角：如图所示.

b.根据方向角得到三角形的内角：在4PAB中，•.•海轮沿正南方向航行，

ZA=65°,ZB=34°,PA=80.

c.作高构造直角三角形：如图所示.

d.写出解答过程：

在RtZ\APC中,PC=PA•cos（90°-65°）=80Xcos25°-72.505（nmile）.

pc72505

在Rt^BPC中，ZB=34°,PB=------=——^130(nmile).

sinBsin34°

②如图，海中有一个小岛A,它周围8海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向

东航行，在B点测得小岛A在北偏东60°的方向上，又继续航行12海里到达D

点，这时测得小岛A在北偏东30°的方向上，如果渔船不改变航向继续向东航

行，有没有触礁的危险？

解：过作于由题意知：

AAELBDE.ZABE=30°/ZADE=60°.

.,.ZBAD=60°-30°=30°=ZABD./.AD=BD=12.

/.AE=AD•sin60°=12乂牛=6g(海里)>8海里.

...无触礁的危险.

2.自学：

结合自学指导进行自学.

3.助学

（1）师助生：

①明了学情：观察学生自学提纲的答题情况.

②差异指导：根据学情对学习有困难的学生进行个别或分类指导.

（2）生助生：小组内互相交流、研讨.

4.强化：利用解直角三角形的知识解方向角问题的一般思路.

第二层次学习।八

1.自学指导

（1）自学内容：教材P77.

（2）自学时间：5分钟.BDE

（3）自学方法：先独立归纳利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般

思路，然后对照课本P77的内容归纳，进行反思总结.

（4）自学参考提纲：

①利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般思路：

a.将实际问题抽象为数学问题；b.根据问题中的条件，适当选用锐角三角函

数等解直角三角形；

c.得到数学问题的答案；d.得到实际问题的答案.

②练习：如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD,斜面坡度i=l：1.5是指坡面

的铅直高度AF与水平宽度BF的比，斜面坡度i=l：3是指DE与CE的比，根据

图中数据，求:

b.斜坡AB的长(结果保留小数点后一位).

AF12DE1

a.tana=7—；=--r=—»•*-a=33.7°.laii/3=--=—18.4°.

DrI.j3Cnj

I)./?/'=-=—^—=9(m),:.AB==,TT7«1().8(111).

tana2_

T

2.自学：

学生可参考自学指导进行自学.

3.助学

(1)师助生：

①明了学情：明了学生解答问题的情况.

②差异指导：根据学情进行相应指导.

(2)生助生：小组内互相交流、研讨.

4.强化

(1)坡度、坡角的含义及其关系，梯形问题的解题方法.

(2)在自学参考提纲第②题中，若补充条件“坝顶宽AD=4m"，你能求出

坝底BC的长吗？

(3)利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般思路：

三、评价

1.学生自我评价：在这节课的学习中你有哪些收获？掌握了哪些解题技巧和

方法？

2.教师对学生的评价：

(1)表现性评价：点评学生学习的主动性、小组交流协作情况、解题方法

的掌握情况等.

(2)纸笔评价：课堂评价检测.

3.教师的自我评价(教学反思).

本课时应先认知“方向角”“坡度”及其所代表的实际意义，添作适当的辅

助线，构建直角三角形.然后结合解直角三角形的有关知识加以解答，层层展开,

步步深入.

评价作业

一、基础巩固（70分）

1.（10分）已知外婆家在小明家的正东方，学校在

外婆家的北偏西40°,外婆家到学校与小明家到学校的距离相等，则学校在小

明家的（D）

A.南偏东50°B.南偏东40°C.北偏东50°D.北偏东40°

2.（10分）如图，某村准备在坡度为i=l：1.5的斜坡上栽树，要求相邻两棵树

之间的水平距离为5m,则这两棵树在坡面上的距离AB为

坐m.（结果保留根号）tr

3斗——工--------------------------------------------------------7P

3.（10分）在菱形ABCD中，AB=13,锐角B的正弦值sinB=』，.

13A\

则这个菱形的面积为65.

4.（20分）为方便行人横过马路，打算修建一座高5m的过街天桥.已知天桥的

斜面坡度为1：15计算斜坡AB的长度（结果取整数）.

AC1

解：Vi=——=一,AC=5,，BC=1.5X5=7.5.

BC1.5

二AB=y/AC2+BC2=J81.25心9（m）.340m7

5.（20分）一轮船原在A处，它的北偏东45°方向上有一灯.一2^^

塔P,轮船沿着北偏西30°方向航行4h到达B处，这时灯塔：'

P正好在轮船的正东方向上.已知轮船的航速为25nmile/h,求

轮船在B处时与灯塔的距离（结果可保留根号）.

解：过点A作AC_LBP于点C.由题意知：ZBAC=30°,ZCAP=45°,|

AB=25X4=100.

在RtaABC中，BC=-AB=50,AC=—AB=50>/3.冬,

在RtAACP中，CP=AC=50x/3.

，BP=BC+CP=50（+l）（nmile）.

二、综合应用（20分）

6.（20分）某型号飞机的机翼形状如图所示.根据图中数据计算AC,BD和AB的

长度（结果保留小数点后两位）.

解:如图所示，在RtZ^BDE中，BE=5.00,ZDBE=30°,

，DE=BE•tan30°=->/3,BD=—^―=—73^5.77(m).

3cos3003

4

在Rt^ACF中，CF=BE=5.00,ZFCA=y°,

.*.AF=CF=5.00,AAC=72CF=572^7.07(111).

.*.AB=BF-AF=DE+CD-AF=|>/3+3.40-5.00^1.29(m).

三、拓展延伸(10分)

7.(10分)海中有一小岛P,在以P为圆心、半径为162nmile的圆形海域内

有暗礁，一艘船自西向东航行，它在A处时测得小岛P位于北偏东60°方向上,

且A,P之间的距离为32nmile.若轮船继续向正东方向航行，轮船有无触礁危险?

请通过计算加以说明.若有危险,轮船自A处开始至少沿东偏南多少度的方向航行,

才能安全通过这一海域？

解：如图，ZPAB=30°,AP=32./.PB=yAP=16(nmile).

.,.PB<1672nmile....轮船有触礁危险.

假设轮船沿东偏南a恰好能安全通过，此时航线AC与。P相切，即PC1AC.

又•.•AP=32,PC=16亚：.NPAC=45°a=15°.

轮船自A处开始至少沿东偏南15度方向航行，才能安全通过这一海域.

28.1.2余弦、正切函数

一、新课导入

1.课题导入

问题：在Rtz\A8C中，当锐角A确定时，NA的对边与斜边的比随之确

定.NA的邻边与斜边的比呢？ZA的对边与邻边的比呢？这节课我们学习

余弦和正切.(板书课题)

2.学习目标

(1)了解锐角三角函数的概念，理解余弦、正切的概念.

（2）能依据正弦、余弦、正切的定义进行相关的计算.

3.学习重、难点

重点：余弦、正切的概念.

难点：余弦、正切的求值.

二、分层学习

第一层次学习

1.自学指导

（1）自学内容：教材P64探究.

（2）自学时间：8分钟.

（3）自学方法：完成探究提纲.

（4）探究提纲：

N/胸对边

①N4是任一个确定的锐角时,是一个固定值,与三角形的大小

斜边

/腑J邻边?/确对边

无关，那么也是一个固定值吗呢？

斜边.N/的邻边

②在Rt△演C中'NC=9。。，钟叫做4的卫‘记作

即cosA=—.

c

N确对边

③在RtZ\48C中，ZC=90°,叫做NA的正切，记作tanA,

NA的邻边

„a

即ntanA=—.

b

④锐角A的正弦、余弦、正切都叫做的锐角三角函数.

2.自学：学生可结合自学指导进行自学.

3.助学

（1）师助生：

①明了学情：明了学生是否能弄清正弦、余弦、正切分别表示直角三角形中

哪两条边的比.

②差异指导：结合图形理解三个三角函数的意义.

（2）生助生：小组相互交流、研讨.

4.强化：余弦、正切的求值.

第二层次学习

1.自学指导

(1)自学内容：教材P65例2.

(2)自学时间：5分钟.

(3)自学方法：完成自学参考提纲.

(4)自学参考提纲:

①如图，在RlAABC中，乙（；=90°,AB=10,8C=6,求

sin/4,cos4,tan4的值.

由勾股定理得K=W1B2-B（f="（f-6：

<..乙4的对边HC3

'，±故(T斜边=%=W

乙4的邻边\(：4,乙4的对边HC3

cos4=正二5'E以=乙I的邻边=正=7

斜边

2在I的条件下，求sinBjCosZJjtan/?的值.

434

sin8=--,（•＜）＞/?=—.

553

③分别求出下列直角三角形।

图।中，、i“i=Qg2

=jy,=B13

s图1图2

④在Rt^ABC中，ZC=90°,如果各边长都扩大到原来的2倍，那么

ZA的正弦、余弦和正切值有变化吗？说明理由.

ZA的正弦、余弦和正切值没有变化.理由：锐角三角函数值与三角形大

小无关.

2.自学：学生可结合自学指导进行自学.

3.助学

(1)师助生：

①明了学情：明了学生是否能弄清正弦、余弦、正切分别表示直角三角

形中哪两条边的比.

②差异指导：根据学情分类指导.

（2）生助生：小组内相互交流、研讨.

4.强化：

（1）已知直角三角形任意两边长，求其锐角的三角函数值问题：可先由勾

股定理求出第三条边长，再按三角函数定义求值.

（2）点3名学生板演自学参考提纲第②、③题，点1名学生口答自学参考

提纲第④题，并点评.

三、评价

1.学生自我评价:这节课你学到了哪些知识？还有什么问题未解决？

2.教师对学生的评价：

（1）表现性评价:从学生学习、交流协作以及回答问题等方面进行评价.

（2）纸笔评价:课堂评价检测.

3.教师的自我评价（教学反思）.

本节课的引入采用探究的形式.首先引导学生认知特殊角的余弦、正切，进

而引出锐角三角函数的定义.通过作图、猜想论证，配合由浅入深的练习，使学

生不但知道对任意给定锐角，它的余弦、正切值是固定值，而且加以论证并会运

用.在教学过程中逐步培养学生观察、比较、分析、概括的思维能力，提高学生

对几何图形美的认识，感受三角函数的实际应用价值.

<------------评价作业------------）

一、基础巩固（70分）

1.（10分）在中，ZC=90°,N4ZB.NC所对的边分别为a、b、

c,则下列等式中不正确的是（D）

A.a=cxsin>A

B.b=axtanB

C.b=cxsinB

2.（10分）如图，将NAO8放置在5义5的正方形网格中，贝的值是

（C）（C）

3.（30分）分别求出下列各图中的/小ZB的余弦和正切值.

13

(2)(3)

解：(1)cosI=2F，tanI=与;cos/?=Ian/?=2

伍(2)<os.

J43

34o,io4o,

—访厂Jan」=—;cosh=-^-9(anb=3.

(3)COS1=kinI=二号.

12

4.(10分)在RtZ\A8C中，NC=90°,BC=5,cosA=,求sinA,tan8

的值.

她・512

解：s\r\A=—,tanB=—.

135

5.（10分）如图，已知48是。。的直径，点C、。在。。上，且八8=5,

3、

sinB=—.求cosD,tanD的值.

解：:\C=\B-siii«=5Xy=3,.-.B(：=4\H2-AC2

HC4,AC3

4B=T«tannP=ta，lfi=BC=T

二、综合应用（20分）

6.（10分）如图，在等腰△4BC中48=405,806.求sinB,cosB,tanB的值.

解：作人"BC于D「.N8=AC=5,：.BD=DC=-BC=3.

2

22434

.,.在Rtj8D中，AD=y/AB-BD=4,「・sinB=—,cosB=-,tanB=—

7.（10分）如图，点P在Na的边OA上，且P点坐标为（；，5）.求sina,

cosa和tana的值J

府•5125

解：sina=—,cosa=—,tana=——.

131312

三、拓展延伸（10分）

8.（10分）在RtaABC中，NC=90°,请利用锐角三角函数的定义及勾股定

理探索NA的正弦、余弦之间的关系.

解：乙I的正弦、余弦值的平方和等于I.理由如下:

.«a।b2,z22

・sinI=—,cosI=—+b=c,

cc

28.1.1正弦函数

一、新课导入

1.课题导入

情景：为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿

着山坡铺设水管，在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行喷灌.现测得斜

坡的仰角为30。，为使出水口的高度为35m,需要准备多长的水管？这个问题

转化为数学问题即为：在Rt^ABC中，ZC=90°,ZA=30°,8c=35m,求4B.

问题1：怎样求4B?

问题2：如果要使出水口的高