2020-2021学年广东省阳江市高一（下）期末数学试卷（解析版）

2020-2021学年广东省阳江市高一（下）期末数学试卷

一、选择题（共8小题）.

1.已知集合A={X|X2-X-2W0},集合8为整数集，则（）

A.{-1,0,1,2}B.{-2,-1,0,1}C.{0,1}D.{-1,0}

2.不等式Q/一（Q+2）X+220（〃V0）的解集为（）

A.隹，1]B.[1,2]

aa

C.（-CO,2]U[1,+8）D.（-CO,1]U[-1,-KJO）

aa

3.已知募函数y=/（x）的图象过点（4,2）,则/（16）=（）

A.2B.4C.2或-2D.4或-4

4.在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足加2

E,

-如=三5四甘，其中星等为侬的星的亮度为&（左=1,2）.已知太阳的星等是-26.7,

e

22

天狼星的星等是-1.45,则太阳与天狼星的亮度的比值为（）

A.IO10-1B.10.1C.ZglO.lD.10101

5.已知非零向量Z,E满足后1=4蜀，且（2*a+b^,则Z与E的夹角为（）

D.--

.3

6.已知复数％上二，贝”=（）

z3-i

二』D.二二

7.如图，AABC的斜二侧直观图为等腰RtAA'B'C,其中A'B'=2,则AABC的面积为（）

A.c=30-2bB.c=-3&+2bC.c--2a+3D.c—2a-3

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.在下列函数中，最小值是2的是（）

A.y=x+一

X

B.y=2x+2'x

C.y=sinx^―;----x€（o,看）

smx

D.y=x2-2x+3

7T

10.已知函数f（x）=sin（3x+@）（3〉0,I。的最小正周期为m将该函数的

JT

图象向左平移2个单位后，得到的图象对应的函数为偶函数，则下列说法正确的是

6

）

A.

B.函数y=/（x）的图象关于直线x：对称

0

C.函数y=/（x）的图象关于点（需，0）对称

JF

D.函数y=/（x）的图象关于直线xp对称

11.设向量彳=（k,-2）,石=（1，-1），则下列叙述错误的是（）

A.若％<-2时，则；与三的夹角为钝角

B.I』的最小值为2

C.与E共线的单位向量只有一个为

D.若|；|=2后,则k=2后或-2加

12.如图，在正四棱锥S-ABC。中，E,M,N分别是BC,CD,SC的中点，动点尸在线

段MN上运动时，下列四个结论中恒成立的为（）

A.EP±ACB.EP//BDC.EP〃面SBDD.£尸，面SAC

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.设OWaWm不等式8x2-(8sina)x+cos2aN0对xeR恒成立，则a的取值范围

为.

14.若函数y=log2(x2-2ax+a)的值域为R,则实数a的取值范围是.

15.在△ABC中，。是AB的中点，NACO与互为余角，AO=2,AC=3,则sinA

的值为.

16.在锐角△ABC中，tanA=2,点。在边BC上，且△ABO与△ACD面积分别为2和4,

过。作于E,DFLACF,则。£・。尸的值是.

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.已知集合Af={x|2x-4=0},集合N={Mx2-3x+wz=0}.

(1)当，"=2时，求MCN,MUN；

(2)当MnN=M时，求实数加的值.

18.一个经销鲜花产品的微店，为保障售出的百合花品质，每天从云南鲜花基地空运固定数

量的百合花，如有剩余则免费分赠给第二天购花顾客，如果不足，则从本地鲜花供应商

处进货.今年四月前10天，微店百合花的售价为每支2元，云南空运来的百合花每支进

价L6元，本地供应商处百合花每支进价L8元，微店这10天的订单中百合花的需求量

(单位：支)依次为：251,255,231,243,263,241,265,255,244,252.

(I)求今年四月前10天订单中百合花需求量的平均数和众数，并完成频率分布直方图;

(H)预计四月的后20天，订单中百合花需求量的频率分布与四月前10天相同，百合

花进货价格与售价均不变，请根据(I)中频率分布直方图判断(同一组中的需求量数

据用该组区间的中点值作代表，位于各区间的频率代替位于该区间的概率)，微店每天

从云南固定空运250支，还是255支百合花，四月后20天百合花销售总利润会更大？

频率/缜蛇

0.04--,[・•]一-・；・•・：

0.03：-：:

0.。2…5---T——•---：

o.oi—:—W—

ol-----5-----------------

230240250260270仃介花已沛求堆佐£

19.为了美化环境，某公园欲将一块空地规划建成休闲草坪，休闲草坪的形状为如图所示的

四边形ABCD.其中AB=3百米，4。=加百米，且△BC。是以。为直角顶点的等腰直

角三角形.拟修建两条小路AC,8。(路的宽度忽略不计),设/54D=。，0eTT).

(1)当cose=」J5时，求小路AC的长度；

5

(2)当草坪ABCQ的面积最大时，求此时小路8。的长度.

20.如图，在长方体ABC。-ABCLDI中，点E,歹分别在棱DDi,BBi上,S.2DE=EDi,

BF=2FBi.证明：

(1)当AB=BC时，EF±AC；

(2)点G在平面AEF内.

21.在锐角△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,8C边上的中线AO=m,且满

足a1+2bc=4m2.

(1)求/R4C的大小；

(2)若。=2,求AABC的周长的取值范围.

22.已知函数/(x)=ax+~(1-x)(a>0),且/(x)在［0,1］上的最小值为g

a

求g(a)的最大值.

参考答案

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的。

1.已知集合4={小27一2忘0},集合2为整数集，贝1]4口3=()

A.{-1,0,1,2}B.{-2,-1,0,1}C.{0,1}D.{-1,0}

解：A={R-1W尤W2},B=Z,

.\AAB={-1,0,1,2).

故选：A.

2.不等式办2-(a+2)x+220(a<0)的解集为()

A.隹，1]B.[1,2]

aa

c.(-8,2]U[1,+8)D.(-8,1]U[1,-KDO)

aa

解：不等式一(〃+2)x+220可化为

-2)(x-1)20,

u：a<0,

.,•原不等式可化为

p

(x-----)(x-1)WO,

a

解得ZwxWi,

a

・,・原不等式的解集为[2,i].

a

故选：A.

3.已知哥函数y=/(x)的图象过点(4,2),则/(16)=()

A.2B.4C.2或一2D.4或一4

解：设基函数y=/(x)=%%由函数图象过点(4,2),

所以4a=2,解得oc="1>

1

所以/(x)=5，

X

11

所以/(16)=~=万=4.

x16

故选：B.

4.在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足m2

5Ei、

_■丁,其中星等为妹的星的亮度为&(Z=l,2).已知太阳的星等是-26.7,

2叼

天狼星的星等是-1.45,则太阳与天狼星的亮度的比值为()

A.IO10-1B.10.1C./glO.lD.10101

解：设太阳的星等是如=-26.7,天狼星的星等是仪=-1.45,

5E1

由题思可得：-1.45-(-26.7)=7?1=一,

•••12=空，10.1，贝目

故选：A.

5.已知非零向量；，E满足后|=4|』，且二，(2'a+b),则Z与E的夹角为()

解：由已知非零向量；，5满足£|=4|』，且7，(2彳+三)，设两个非零向量；，%的夹

角为0,

所以1(2彳+百=°，即27+|:||B|cos8=°，所以cose=-]，0e[O,n],所以

2打

9A~

故选：c.

.3

6.已知复数z=一，则z=()

32-i-,

A.--iB.—C.--------iD.—

222210101010

解：...复数②上11=篝=发生”=3孑,

z3-i3-1(3-i)(3+i)22

故选：B.

7.如图，AABC的斜二侧直观图为等腰RtAA'B'C,其中A'B'=2,则△ABC的面积为()

c.2V2D.V2

解：•.•氐△（7A斤是一平面图形的直观图，直角边长为AB=2,

直角三角形的面积是2X2=2，

因为平面图形与直观图的面积的比为2夜，

原平面图形的面积是2X2y=4«

故选：D.

用基底｛Z，E｝表示「则（）

-2a+3bD.c=2r-3b

1),b=(-2,3)，c=(7,-3),

x-2y=7/口

设W二xZ痴^则,得x=3,y=-2,

x+3y=-3

故c=3a-2b,

故选：A.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得。分。

9.在下列函数中，最小值是2的是（）

A.y=x+—

x

B.y=2x+2'x

ITT

C.y=sinx^—；--，x€（0,--）

smx2

D.,21+3

解：A：当xVO时显然不符合题意；

B：由于2%>0,尸2%+2r22,故最小值2,符合题意；

C：由了€(0,4兀)可得sinxG(0,1),y=siiix+——>2,没有最小值，不符合题

2smx

思；

D：y=x2-2x+3=(x-1)2+222即最小值2,符合题意.

故选：BD.

TT

10.已知函数f(x)=sin(3x+0)(3〉0,|。|<^)的最小正周期为m将该函数的

图象向左平移」J「T个单位后，得到的图象对应的函数为偶函数，则下列说法正确的是

6

()

A.f(O)弓

B.函数y=/(x)的图象关于直线xd兀对称

6

C.函数y=/(x)的图象关于点(需，0)对称

D.函数y=/(x)的图象关于直线x*■对称

解：由题意可得3=2,f(x)=sin(2x+(p),

将该函数的图象向左平移看个单位后，得到的图象对应的函数为g(x)=sin

(2x+yn+(p)为偶函数，

故函数图象关于尤=0对称，即当x=。时，函数取得最值，

所以<p+、*兀=+k兀，住z,

JT1JT

故叩=-^"+衍I，结合kp|v《兀可得(p=k，

626

f(x)、=sin(2x+-兀-),

A：f（0）=/,A正确；

当x=2L时，函数取得最大值，符合题意，故2正确；

6

当彳=萼时，2X+4=TT，符合对称中心，c正确；

126

当尤=WIT时，2x+TT?7r=1:兀，不能取得最值，。错误.

1263

故选：ABC.

11.设向量W=（k,-2）,（1，T），则下列叙述错误的是（）

A.若k<-2时，则W与E的夹角为钝角

B.I』的最小值为2

c.与E共线的单位向量只有一个为（李，平）

D.若|口=2后|,贝Uk=2加或-2亚

解：对于A,当a//b时，~T~~7-=i>,k=2,

所以当左<-2时，Z与E不共线，

又；E=k+2〈o，所以；与E的夹角为钝角,故A正确.

对于8，设I啦%》2,当k=°时不等式取等号，所以laI的最小值为2,所以B正

确；

对于c,与E共线的单位向量为土即鸟，坐）或（平，与,所以C不

正确

对于，若|彳|=2|三|，可得八2+4=2&，解得左=2或％=-2,所以。不正确；

故选：CD.

12.如图，在正四棱锥S-ABC。中，E,M,N分别是BC,CD,SC的中点，动点P在线

段上运动时，下列四个结论中恒成立的为（）

A.EP±ACB.EP//BDC.£尸〃面SBDD.EP_L面SAC

解：如图所示，连接AC、8。相交于点O,连接EM,EN.

由正四棱锥S-ABCD,可得SO_L底面ABCD,ACLBD,：.SO±AC.

\"SOQBD=O,；.AC_L平面SBD,VE,M,N分别是BC,CD,SC的中点，：.EM//

BD,MN//SD,而EMCMN=N,

平面EMN〃平面S3，...AC，平面EMN,：.AC±EP.故A正确.

由异面直线的定义可知：E尸与3。是异面直线，不可能EP〃加，因此2不正确；

平面EWN〃平面SB。，；.£尸〃平面SB。，因此C正确.

EM_L平面SAC,若£P_L平面SAC,则EP〃EM,与石尸^石知二石相矛盾，因此当尸与M

不重合时，EP与平面SAC不垂直.即。不正确.

故选：AC.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.设OWaWir,不等式8/-(8sina)x+cos2a20对xeR恒成立，则a的取值范围为10,

66

解：由题意可得，△=64sin2(x-32cos2aW0,

得2sin2(x-(1-2sin2a)WO

:.sin2a^—,

4

-「Ws•maWv—1,

22

•.,OWaWn

(x£[0,---]U[―---,Tt].

66

故答案为：[0,——]U-,IT].

66

14.若函数y=log2(，-2ox+a)的值域为R,则实数〃的取值范围是(-8,0]U[4,+

8).

解：•・•函数y=log2(%2-2QX+〃)的值域为R,

，方程炉-2ax+a—0的判别式

△20,

・・・(-2a)2-4心0,

.•.“WO或心1,

・,・实数。的取值范围是(-8,O]U[L+8).

故答案为：(-8,Q]U[1,+8).

15.在AA5c中，。是A3的中点，NACO与NC8O互为余角，A0=2,AC=3,则sinA

的值为—?或冷_・

解：如图所示：

TT

则:ZCBD=—-6,

2

32+CD2-45+CD2

利用余弦定理:=

2-3-CD6CD

CD二BD

在△BOC中，利用正弦定理：..71一°,兀八

故：

cos6cosA

CD=2

所以：5+CD2cosA,

6CD

”.10+2CD2

解得：cosA=----------

6CDZ

222

在△ACD中，利用余弦定理：cosA」+3二00

COSA2-2-3

10+2CD213-CD2

所以:

6CD212

整理得：CD4-9CD2+20=0

解得：CD=2或证.

10+2吨？3

①当CD—2时，cosA=

6»224

所以：sinA=YZ

4

10+2-52

C£)=J^时，cosA=—,

6-53

所以：sinA=Y5

3

故答案为:

16.在锐角△ABC中，tanA=2,点。在边2C上，且△ABD与△AC。面积分别为2和4,

过。作OE_LAB于E,DFIAC^F,则。的值是丑近_.

—15―

解：因为△A3。与△ACO面积分别为2和4；

•,-ylABl-lDE=2-/菽卜।而=4=屈=湍『麻=褛了

—•—•48

AlDENDFl=WW

VtanA=2,，皇弛《=2,结合si/A+cos2A=1,解得sinA=.乙\",COSA=K

cosA55

1•,ylABl,lAClsinA=6=1同，I菽I=6娓.

II4><81675

•••LlDLEHDFl=-^=^

...DE・D尸的值为：丑返.

15

故答案为：理亏.

15

D

E

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.已知集合加={才2了-4=0},集合N={x|%2-3x+m=0}.

（1）当根=2时，求MCN,MUN；

（2）当时，求实数机的值.

解：（1）当m=2时，

集合M={x|2x-4=0}={2},集合N={x|尤2-3x+根=0}={1,2}.

.,.MnN={2},MUN={1,2}.

（2）当MAN=M时，MUN,

即x=2是方程尤2-3x+〃?=0的根，

代入可得根=2.

18.一个经销鲜花产品的微店，为保障售出的百合花品质，每天从云南鲜花基地空运固定数

量的百合花，如有剩余则免费分赠给第二天购花顾客，如果不足，则从本地鲜花供应商

处进货.今年四月前10天，微店百合花的售价为每支2元，云南空运来的百合花每支进

价1.6元，本地供应商处百合花每支进价1.8元，微店这10天的订单中百合花的需求量

（单位：支）依次为：251,255,231,243,263,241,265,255,244,252.

（I）求今年四月前10天订单中百合花需求量的平均数和众数，并完成频率分布直方图;

（II）预计四月的后20天，订单中百合花需求量的频率分布与四月前10天相同，百合

花进货价格与售价均不变，请根据（I）中频率分布直方图判断（同一组中的需求量数

据用该组区间的中点值作代表，位于各区间的频率代替位于该区间的概率），微店每天

从云南固定空运250支，还是255支百合花，四月后20天百合花销售总利润会更大？

频率/缜跑

0.04----.-----»----

0.03---：---3----;

0.02---：——-j——•

0.01----：----W----

O1----：-----：-----------

230240250260270仃合花日而求卡,枝

解：（I）四月前10天订单中百合需求量众数为255,

_1

平均数（231+241+243+244+251+252+255+255+263+265）=250.

10

频率分布直方图补充如下:

豌率，维距

（II）设订单中百合花需求量为。（支），由（I）中频率分布直方图，

。可能取值为235,245,255,265,相应频率分别为0.1,0.3,0,4,0.2,

.♦.20天中4=235,245,255,265相应的天数为2天，6天，8天，4天.

①若空运250支，

a=235,当日利润为235X2-250X1.6=70,

a=245,当日利润为245X2-250X1.6=90,

a=255,当日禾I」润为255X2-250X1.6-5X1.8=101,

a=265,当日利润为265X2-250X1.6-15X1.8=103,

20天总利润为：70X2+90X6+101X8+103义4=1900元.

②若空运255支

。=235,当日利润为235X2-255X1.6=62,

0=245,当日利润为245X2-255X1.6=82,

。=255,当日利润为255X2-255X1.6=102,

a=265,当日利润为265X2-255X1.6-10X1.8=104,

20天总利润为：62X2+82X6+102X8+104X4=1848%.

•.T900>1848,.•.每天空运250支百合花四月后20天总利润更大.

19.为了美化环境，某公园欲将一块空地规划建成休闲草坪，休闲草坪的形状为如图所示的

四边形其中AB=3百米，4£>=旄百米，且是以D为直角顶点的等腰直

角三角形.拟修建两条小路AC,8。（路的宽度忽略不计），设0en）.

（1）当cos0=「/5时，求小路AC的长度；

5

(2)当草坪ABC。的面积最大时，求此时小路的长度.

解：(1)在△A3。中，由BD2=AB2+AD2-2AB・AO・cos0,

得BD2—14-6^/5COS0,

又cos0=小区，

5

：.BD=2疾......

延33

得：2=.'0，解得：sinZAZ)B=4,

sinZADB5

・・・△88是以D为直角顶点的等腰直角三角形,

•**/CDB=^~,且CD=BD=2

jrQ

cosXADC=cos(ZADB-f^-)=-sinZADB=-........................

在△AC。中，AC2=AD2+Z)C2-2AD•DC-cosZADC=(近)2+(2旄)2-2X

o

代x2泥x(*)=37,

0

解得：AC=V37.........................

(2)由(1)得：31)2=14-6泥cosB,

2

SABCD—S^ABD+S^BCD-X3X泥Xsin©-^BD—7Xsin©-3泥cos0

=7+*二(sin0-2cos0)=7+^-sin2当且

(0-<p),止匕时，sin(p=~j=^,coscp

22

<PE(o,

jrjr91

当6-<p=1丁时，四边形ABCD的面积最大，即。=隼+-亍-,此时cos0=-一『£sine=7m，

.•.3。2=]4-6*y^cos0=14-6A/^X(-^^-)=26,即BZ)=...............

答：(1)当cos8=，小路AC的长度为J后百米；

(2)草坪A3C。的面积最大时，小路2。的长度为屈百米.

20.如图，在长方体ABC。-ASCLDI中，点E,P分别在棱DDi,BB,±,且2。£=即1,

BF=2FBi.证明:

(1)当AB=BC时，EFLAC-,

(2)点G在平面AEF内.

解：(1)因为4BC。-4BC1O1是长方体，所以83」平面ABCD而ACu平面ABC。,

所以ACLBBi,

因为ABCD-A1B1GO1是长方体，S.AB=BC,所以ABCD是正方形，所以ACLBD,又

BDr\BB\=B.

所以AC,平面88。必，又因为点E,P分别在棱DDi,BBi上,所以所u平面

所以EF1AC.

(2)取A4i上靠近4的三等分点M,连接AM,QF,MF,GE.

因为点E在。。1,且2DE=EOi,所以ED〃AAf,且EDi=AM,

所以四边形AEDiM为平行四边形，所以£)iM〃AE,且£>iA/=AE,

又因为尸在上，且BF=2EBi,所以〃q1,且

所以A1B1尸M为平行四边形，

所以FM=A\Bx,即EM〃C0i,FM=C\DX,

所以CiAMF为平行四边形，

所以AM〃CbF,

所以AE〃GF,所以A,E,F,G四点共面.

所以点Ci在平面AEF内.