2020-2021学年宁德市九年级（上）期末数学试卷(含答案解析)

2020-2021学年宁德市九年级（上）期末数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）

1.2cos60。一（一1）°的值为（）

A.V3+1B.1C.2D.0

2.已知;=:，则要=（）

2B.：C.'D4

3.物体形状如图所示，则从正面看此物体，看到的图形是（）

A.।-----------------

B-I~F

FAI

D.------------------1

4.在△48C中，AB=AC=13,BC=24,则UmB等于（）

1212

A三B。D.

13135

5.一元一次方程比2-刀一；=0的根的情况是（）

A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根

C.没有实数根D.不能确定

6.如图，矩形ABCD中，。为ZC的中点，过点0的直线分别与AB、CD

交于点E、F,连接BF交4c于点M,连接DE,BO,若4COB=60°,

FC=EO,则下列结论，其中正确结论个数是（）

①FB垂直平分。C；

②△EOB三4CMB；

③DE=EF-,

④S—OE：S^BCM=2：3.

A.4个B.3个C.2个D.1个

7.把抛物线y=2/一4x-5绕顶点旋转180。，得到的新抛物线的解析式是（）

A.y=—2x2—4%—5B.y=-2x2+4x+5

C.y=-2x2+4x-9D.以上都不对

8.如图，两圆轮叠靠在墙边，已知两轮半径分别为4和1,则它们与墙的切

点A、B'间的距离为（）

A.3米A

B5米A.B

C.4米

D.2.5米

9.在一幅长80厘米，宽50厘米的矩形风景画的四周镶一条金色的

纸边，制成一幅矩形挂图，如图，如果要使整个挂图的面积是

5400平方厘米,设金色纸边的宽为x厘米，那么满足的方程是（）

A.X2+130%-1400=0

B.x2+65%-350=0

C.X2-130%-1400=0

D.X2—65%—350=0

10.二次函数y=ax2+bx+c（a丰0）图象上部分点的坐标（x,y）对应值列表如下：

二

X-2012

1

yi149

4

则该函数图象的对称轴是直线（）.

A.x=-2B.y轴C.x=-1D.x=

二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）

11.在RMABC中，4c=90。，点。、E分别是边AC、4B的中点，点F在边BC上，4F与DE相交于

点G,如果N4FB=110。，那么4CGF的度数是.

12.关于x的一元二次方程/一（2a-l）x+5-a=ax+1的一次项系数为4,则常数项为：

13.某数学兴趣小组想测量一棵树的高度，在阳光下，一名同学测得一根长为的竹竿的影长为

0.5m,同时另一名同学测量一棵树的高度时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分影子落

在教学楼的墙壁上，其中，落在墙壁上的影长为0.8m,落在地面上的影长为4.4m,则树的高为

m.

14.对一批产品进行随机抽查，统计部分结果如下:

随机抽取的产品数1020508010020010002000

合格的产品数9194775941879361872

合格率0.90.950.940.940.936

根据以上数据，该产品的合格率大约是.(保留两位小数)

15.如图，在矩形4BC0中，AB=8,BC=7,以CD为边在矩形外部作△CDE,且“CDE=16,连

接BE.

(1)点E到CD的距离是_____；

(2)则BE+CE的最小值为______.

AD

BC

16.如图，在矩形中，/.DBC=30°,DC=2,E为4D上一点，以点。为圆心，以0E为半径画

弧，交BC于点凡若CF=CD,则图中的阴影部分面积为__(结果保留兀).

______________1c

F

三、计算题(本大题共1小题，共8.0分)

17.(1)用配方法解方程：4x2-2x-1=0

(2)解方程：2gx=A/2(X2+1)

四、解答题(本大题共8小题，共78.0分)

AD

18.如图，oABCD中，点E,F在直线AC上(点E在F左侧)，BE//DF.

(1)求证：四边形BEDF是平行四边形；

(2)若4B14C,48=4,BC=2V13，当四边形BEDF为矩形时，求线段4E的长.

19.36在一幅矩形地毯的四周镶有宽度相同的花边，如图，地毯中央的矩形图

案长6米，宽3米，整个地毯的面积是40平方米，求：花边的宽.

20.襄阳市教育局为提高教师业务素质，扎实开展了“课内比教学”活动.在一次数学讲课比赛中，

每个参赛选手都从两个分别标有“4”、"夕’内容的签中，随机抽取一个作为自己的讲课内容,

某校有三个选手参加这次讲课比赛，请你求出这三个选手中有两个抽中内容“4”，一个抽中内

容“B”的概率.

21.已知正方形4BCD和正方形4EFG有公共顶点4将正方形4EFG绕点4旋转.

(1)发现与证明：当E点旋转到D4的延长线上时(如图1),△4BE与AADG的面积关系是：

当E点旋转到CB的延长线上时(如图2),A4BE与△4DG的面积关系是：

(2)引申与运用：当正方形AEFG旋转任意一个角度时(如图3),AABE与AADG的面积关系是

并证明.

运用：已知△4BC,AB=5cm,BC=3cm,分别以4B、BC、C4为边向外作正方形(如图4),则图

中阴影部分的面积和的最大值是cm2.

22.如图(1),在AABC中，ZC=90°,AC=4,BC=3,正方形CEFG的顶点D、E在斜边上，

点G、F分别在直角边AC、BC上，我们称正方形DEFG内接于△ABC.如果设正方形的边长为x,

通过计算易得边长x的值为黑

探究与计算:

(1)如图(2),若三角形内有竖立排列的两个全等的正方形，它们组成的矩形内接于△ABC,则正方形

的边长为;

(2)如图(3),若三角形内有竖立排列的三个全等的正方形，它们组成的矩形内接于AABC,则正方形

的边长为.

猜想与证明：如图(4),若三角形内有竖立排列的n个全等的正方形，它们组成的矩形内接于AABC,

请你猜想正方形的边长是多少？并对你的猜想进行证明.

23.如图，4B是。。的直径，C是。。上一点，。是父的中点，E为。D延

长线上一点，且4C/1E=2NC,AC与BD交于息H,与0E交于点F.

(1)求证：4E是。。的切线；

(2)若DH=9,tanC=求直径ZB的长.

24.如图，在正方形4BC。中，E是边CD上一点，4F1AE交CB的延

长线于点F,连接。F,分别交4E、4B于点G、P.

求证：AE=AF.

25.如图，△ABC为等腰直角三角形，沿x轴向右平移，点4、8的初始坐标分别为4(1,0)、5(4,0),

直线，经过点(0,-5)和点(2,-1),当点C平移到直线/上时，求线段BC扫过的面积。

参考答案及解析

1.答案：D

解析：解：2cos60。-(-1)。

=2xi-1

2

=1-1

=0.

故选D.

分别求出cos60。和(一1)°的值，再代入求出即可.

本题考查了特殊角的三角函数值和零指数累，关键是求出每一部分的值.

2.答案：B

解析：解：»

.%+y_3+4_7

y-4-4，

故选：B.

直接利用比例的合比性质得到答案即可.

考查了比例的性质，牢记比例的合比性质是解答本题的关键，难度不大.

3.答案：C

解析：解：从正面看此物体，看到的图形是两列，左边一列有两个长方形，右边一列有一个长方形,

在右下角.

故选：C.

找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中.

本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图

4.答案：B

解析：解：如图，等腰△ABC中，AB=AC=13,BC=24,

过A作AD1BC于D,则BD=12,

在RtA/lBD中，AB=13,BD=12,则，

AD=\lAB2-BD2=5.

故tanB=—=—.

BD12

故选：B.

根据题意画出图形，由等腰三角形的性质求出BC的长，根据勾股定理求出力。的长，再根据锐角三

角函数的定义即可求出tanB的值.

本题考查的是锐角三角函数的定义、等腰三角形的性质及勾股定理，涉及面较广，但难度适中.

5.答案：A

解析：

本题考查了一元二次方程以2+必+©=0（（1力0）的根的判别式4=82-4四：当△＞（）,方程有两个

不相等的实数根；当△=（）,方程有两个相等的实数根；当△＜（）,方程没有实数根.

先计算出判别式的值，然后根据判别式的意义判断根的情况.

解：•••△=(-1)2-4X1X(-i)=2>0,

•••方程有两个不相等的实数根.

故选A.

6.答案：B

解析：解：①••,矩形ABCD中，。为4c中点,

・・.OB=OC,

•・•乙COB=60°,

・••△08C是等边三角形，

OB=BC,

•：FO=FC,

:.尸8垂直平分。C,

故①正确；

②・••△BOC为等边三角形，FO=FC,

・•・BO1EF,BF1OC,

・・・cCMB=乙EOB=90°,

・•・BOHBM,

・•・△E08与不全等;

故②错误；

③易知△ADE^CBF,Zl=Z2=Z3=30°,

・•・Z.ADE=乙CBF=30°,乙BEO=60°,

：•乙CDE=60°,乙DFE=乙BEO=60°,

・•・Z.CDE=乙DFE,

：•DE—EF,

故③正确；

④易知△40EWACOF,

SMOE=S.OF，

VS^COF=2sxeMF，

•Cc__2FM

A30OE：%BCM=/%CM产：dABCM=石/

•・•Z.FCO=30°,

•*-FM=BM=6CM,

2FM2

••=一,

BM3

SA.OE：SABCM=2：3,

故④正确；

所以其中正确结论的个数为3个；

故选：B.

①利用线段垂直平分线的性质的逆定理可得结论；

②在AEOB和ACMB中，对应直角边不相等，则两三角形不全等：

③可证明NCDE=乙DFE；

④可通过面积转化进行解答.

本题考查了矩形的性质、等腰三角形的性质，又考查了全等三角形的性质和判定，及线段垂直平分

线的性质，内容虽多，但不复杂；看似一个选择题，其实相当于四个证明题，属于常考题型.

7.答案：C

解析：

本题主要考查二次函数的几何变换及待定系数法求二次函数解析式问题；得到新函数的顶点坐标及

其中一点坐标是解决本题的关键；易得原抛物线的顶点，由于是绕顶点旋转，所以新抛物线的顶点

坐标不变，得到原抛物线上的一点绕顶点旋转180。后得到的坐标，代入用顶点式表示的新抛物线解

析式求解即可.

解：y=2x2—4x-5=2(x—l)2—7,

•••原抛物线的顶点为(1,-7),

点(0,-5)在原抛物线上.

由图中可得(0,-5)绕顶点(1,-7)旋转180。后得到点的坐标为(2,-9).

易知新抛物线的顶点坐标与原抛物线顶点坐标相同，

所以设新抛物线的解析式为y=a(x-l)2-7,

把(2,-9)代入新抛物线可得a=-2,

••・新抛物线的解析式为y=-2(%-1)2_7=-2x2+4x-9,

故选C.

8.答案：C

解析：解：过4点作A4垂直墙面，过B点作垂直墙面，过4点作AC1BB',

♦.•两轮半径分别为4和1,

•••AB=5,BC=3,

A'B'—AC——4,

故墙的切点A'、B'间的距离为4米，

故选C.

过4点作ZL4'垂直墙面，过B点作BB'垂直墙面，过4点作4C1BB',求出4C.

本题主要考查相切两圆的性质和解直角三角形等知识点.

9答案:B

解析：

此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，对于面积问题应熟记各种图形的面积公式，然后

根据题意列出方程是解题关键.

根据矩形的面积=长、宽，我们可得出本题的等量关系应该是：(风景画的长+2个纸边的宽度)x(风

景画的宽+2个纸边的宽度)=整个挂图的面积，由此可得出方程.

解：依题意，设金色纸边的宽为xcm,则

(80+2%)(50+2%)=5400,

整理得出：x2+65x-350=0.

故选：B.

io.答案：c

解析：解：・.•x=-2和x=0时的函数值都是1,

•••二次函数的对称轴为直线欠=昔=—1.

故选：C.

根据二次函数的对称性确定出二次函数的对称轴，然后解答即可.

本题考查了二次函数的性质，主要利用了二次函数的对称性，仔细观察表格数据确定出对称轴是解

题的关键.

11.答案：40°

解析：解：♦.・乙4FB=110。，

•••4AFC=1800-AAFB=180°-110°=70°,

•・•点。、E分别是边AC、4B的中点,

•••DE是△ABC的中位线,

•・•点G是AF的中点,

:.CG=GF,

•••乙CGF=1800-2NAFC=180°-2x70°=40°.

故答案为：40°.

作出图形，根据邻补角的定义求出乙4尸C,再判断出点G是4尸的中点，再根据直角三角形斜边上的中

线等于斜边的一半可得CG=GF,然后根据等腰三角形两底角相等列式计算即可得解.

本题考查了三角形的中位线定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形的

性质，熟记各性质与定理是解题的关键，作出图形更形象直观.

12.答案：5

解析：试题分析：首先整理一元二次方程利用一次项系数为4得出。的值，进而得出常数项的值.

;关于％的一元二次方程,一(2a-l)x+5-a=Q%+1的一次项系数为4,

，-(2d—1)%+5-Q,-CLX—1=0,

・•・x2—(3a—1)%4-4—a=0

/--(3a-1)=4,

解得：Q=—1,

・•・4—a=4—(-1)=5.

故答案为：5.

13.答案：9.6

解析：解：延长4c交8。延长线于点E,

•:一根长为1m的竹竿的影长是0.5m,DC=0.8m,

・•・一DC=一1,

DE0.5

则案=2，

解得：DE=0.4,

故8E=4.4+04=4.8(m),

嵋4，

故*蔡

解得：AB=9.6,

答：树高是9.6TH.

故答案为：9.6.

直接利用同一时刻影子长与其高度成正比，进而求出DE,BE的长，即可得出答案.

此题主要考查了相似三角形的应用，正确得出。E的长是解题关键.

14.答案：0.94

解析：解：根据给出的数据可得，该产品的合格率大约是0.94；

故答案为:0.94.

根据表中给出的合格率数据即可得出该产品的合格率.

本题考查从统计表中获取信息的能力，及统计中用样本估计总体的思想.

15.答案：417

解析：解：⑴设点E到CD的距离为山

•••四边形4BCD是矩形，

CD=AB=8,

S^CDE=！XCD-/i=ix8h=16,

h=4,

・••点E到CD的距离是4,

故答案为：4；

(2)在直线DC外作直线，〃CD,且两直线间的距离为4,延长4D至P是DP=8,则P、。关于直线，对

称，连接PB,交直线I于E,此时BE+DE=PB,根据两点之间线段最短可知BE+DE的最小值为PB；

•：AD=7,PD=8,

■■.PA=15,

AB=8.

PB=y]PA2+AB2=V152+82=17,

•••BE+OE的最小值为17：

故答案为：17.

(1)由SACDE=•h=16,得出三角形的高八=4；

(2)在直线DC外作直线〃/CD,且两直线间的距离为4,延长4D至P是DP=8,则P、D关于直线(对

称,连接PB,交直线，于E,此时BE+DE=PB,根据两点之间线段最短可知BE+CE的最小值为PB；

然后根据勾股定理即可求得.

本题考查了轴对称-最短路线问题以及勾股定理的应用，根据题意作出点E是解题的关键.

16.答案：4>/3—n—2

解析：解：连接・・・4BCZ）是矩形，

・・.z.A=^C=Z-ADC=90°,AD]IBC,AB=CD=2,

・•・Z.ADB=Z.DBC=30°,

・•・BD=2AB=4,

AD=yjBD12-AB2=2显,

在Rt△CDF中，•••CF=CD=2,

乙CDF=ZCFD=45°,DF2=CD2+CF2=8,

"DF=90°-45°=45°,

：・S阴影=S矩形ABCD-S扇形DEF—SNCF=AD.CD一史等一三CD.CF=2乂2遮一空翳一卜2x

2——4V3—7T—2>

故答案为：4V3—7T—2.

由矩形和含30。直角三角形的性质求出4EDF的度数和4D的长度，由勾股定理求出DF,再求出矩形

4BC。的面积，扇形CE尸的面积，三角形DCF的面积，最后根据面积的和差即可求出阴影部分面积.

本题主要考查了扇形面积的计算，等腰三角形的性质，矩形的性质，根据等腰三角形的性质求出4CDF

和根据勾股定理求出DF是解决问题的关键.

17.答案：解：（1）/一：y=；,

2——1XH.——1=2+/，

216416

X——1=+.——V5，

4-4

所以勺=竽，小=1；

(2)V2x2-2>/3x+V2=0,

△=(-2V3)2-4xV2xV2=4,

2V3±2

%=-----T=-

2V2

所以巧=^2LL,X2=

2

解析：（1）利用配方法得到（X-62=盘，然后利用直接开平方法解方程；

（2）先把方程化为一般式，然后利用求根公式法解方程.

本题考查了解一元二次方程-配方法：将一元二次方程配成5+瓶）2=”的形式，再利用直接开平方

法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法.也考查了求根公式法解一元二次方程.

18.答案：（1）证明：••・四边形48CD是平行四边形，

•.AD//BC,AD=BC,

・•・Z.DAF=乙BCE.

又•・•BE//DF,

:.乙BEC=Z-DFA.

在ABEC与△DFA中，

(Z.BEC=Z.DFA

4BCE=Z.DAF,

(BC=AD

・••△BECWADFA(AASy

・•.BE=DF.

又•：BE//DF,

二四边形BEOF为平行四边形；

(2)连接BD,BC与4c相交于点。，如图:

•••AC=6,

•••AO=3,

Rt△BAO中，BO=5,

••,四边形BED尸是矩形，

OE=OB=5,

•••点E在04的延长线上，且4E=2.

解析：(1)通过全等三角形ABEC三ADFA的对应边相等推知BE=D凡则结合已知条件证得结论；

(2)根据矩形的性质计算即可.

本题考查了全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质.平行四边形的判定方法共有五种,

应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法.

19.答案：解：设花边的宽为工米.

(6+2x)(3+2%)=40,

2x2+9x-ll=0,

解得X1-1；必=-5.5(不合题意，舍去).

答：花边的宽度为1.

解析：等量关系为：（6+2花边的宽）（3+2花边的宽）=40,把相关数值代入求得合适的解即可.

开始

20.答案：解：设这三个选手分别为“甲”“乙”“丙”，

根据题意画出树状图如图：

••・从树状图可以看出，所有等可能的结果共有8种，即

(4A,A)(A,A,B)(A,8,A)(A,B,B)(B,A,A)(B,A,B)(B,B,4)(B,乙ABB

/\/\7\

,三个选手中有两个抽中内容“4”，一个抽中内容“B”(丙BABAB

记着事件M）的结果共有3个，即（44B）、（48,4）、（B,A,A）,

•••P（M）=|.

解析：首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与这三个选手中有两个抽中

内容“4”，一个抽中内容“B”的情况，利用概率公式即可求得答案.

此题考查的是用树状图法求概率的知识.注意树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果,

适合两步或两步以上完成的事件；注意概率=所求情况数与总情况数之比.

21.答案：相等；相等；相等；18

解析：解：⑴①•.•正方形/BCD和正方形力EFG有公顶点4,将正方形4EFG绕点

4旋转，E点旋转到ZM的延长线上，

AE—AG,AB—AD,Z.EAB—Z-GAD,

・・・△ABE三△ADG（SAS）,

.•・△48E的面积=△ADG的面积；

②作GH104交。4的延长线于H,如图2,

・・・Z.AHG=90°,

vE点旋转到的延长线上，

/.Z-ABE=90°,AHAB=90°,

:.Z.GAH=Z.EAB,

图2

在△AHG和△力中

(/.AHG=^ABE

\/.GAH=/-EAB,

C4G=AE

AHGWAAEB,

・・・GH=BE,

4BE的面积=^EB-AB,△4DG的面积=纳•AD,

：,△48E的面积=△4DG的面积;

(2)结论仍然成立.理由如下:

作GH_L交ZM的延长线于H,EP184交84的延长线于P,如图3,

vZ.PAD=90°,Z.EAG=90°,

.・.Z,PAE=Z.GAH,

在△4HG和△4EP中

(LGAH=Z.EAP图3

\2LGHA=Z.EPA,

14G=AE

••.△4HG为AEP(44S),

・・・GH=BP,

•・•△ZBP的面积=\EP•AB,△4DG的面积=^GH-AD,

・•.△4BP的面积=△4DG的面积；

运用：；AB=5cm,BC=3cm,

AC=y/AB2-BC2=4cm.

.1.△4BC的面积=|x3x4=6(cm2)；

根据(2)中的结论得到阴影部分的面积和的最大值=△ABC的面积的3倍=

18cm2.

故答案为相等；相等；相等；18.

(1)①根据正方形的性质得至必E=AG,AB=AD,AEAB=/G4D,根据“SAS”

可判断△ABE三△ADG,贝4BE的面积=△4DG的面积；

②作GH1ZM交DA的延长线于H,根据等角的余角相等得到NGAH="4B,根据“44S”可判断△

AHG^AEP,则GH=BP,然后根据三角形面积公式得到^ABE的面积=△ADG的面积;

(2)作GH1D4交ZM的延长线于H,EP184交BA的延长线于P,根据等角的余角相等得到NP4E=

^GAH,根据“7L4S”可判断△4HGmZMEP,所以GH=BP,然后根据三角形面积公式得到△4BP的

面积=ZMDG的面积:

运用：先根据勾股定理可计算出4c=4cm,则△48C的面积=：x3x4=6(an2)；然后根据(2)中

的结结论计算阴影部分的面积和的最大值.

本题考查了全等三角形的判定与性质：判定三角形全等的方法有"SSS"、"SAS”、“4S4”、

4AS”；全等三角形的对应边相等.也考查了正方形的性质和三角形面积公式.

22.答案：桌I

解析：解：(1)作CM14B于M,交CF于N,

设正方形的边长为X,

vZC=90°,AC=4,BC=3,

AB=y/AC2+BC2=5，

：x5xCM=；x3x4,则CM=y,

•••四边形GDEF是矩形，

GF//AB,

...竺=空，即工=事，

46CM5T

解得“学

(2)由(1)得:=甘，

解得“条

(3)由(1)得:=罂，

⑴作CM1AB于M,根据正方形的性质得到G/7/AB,证明△CGF-ACAB,根据相似三角形的性质

得到成比例线段，代入数据计算即可;

(2)由(1)的结论，列出比例式进行计算即可；

(3)根据(1)的结论，与(2)类似列出比例式进行计算即可.

本题考查的是相似三角形的判定和性质，正确作出辅助线、灵活运用相似三角形的判定定理和性质

定理是解题的关键.

23.答案：解：(1)：D是泥的中点，

・•・OE1AC,

・・・Z,AFE=90°,

・•・乙E+Z-EAF=90°,

vZ-AOE=2NC,Z-CAE=2Z.C,

:.Z-CAE=Z.AOE,

・•・Z,E4-Z.AOE=90°,

・・・Z-EAO=90°,

・•・/!£是。。的切线;

(2)vzC=zB,

vOD=OB,

:.乙B=乙ODB,

・•・Z.ODB=zC,

HF3

-tanC=tanZ-ODB=—=-,

DF4

・,・设HF=3%,DF=4x,

・・.DH=5x=9,

9

AX=-,

5

.・・DcFl=—36,HF=—27,

VZC=Z.FDH,乙DFH=CCFD,

△DFH-ACFD,

DF_FH

CF-DF'

设04=OD=X9

OF=x-y,

-AF2+OF2=OA2,

-(y)2+。一号产=产,

解得：x=10,

:.OA=10,

・・・直径4B的长为20.

解析：（1）根据垂径定理得到。ElAC,求得乙4FE=90。，求得NEAO=90。，于是得到结论;

(2)根