2021-2022学年辽宁省沈阳市大东区九年级（上）期末数学试卷（解析版）

2021-2022学年辽宁省沈阳市大东区九年级第一学期期末数学试

卷

一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个答案是正确的。每小题2分，共20分）

1.如图是某个几何体的三视图，该几何体是（）

主视图左视图

仰视图匚

A.三棱柱B.三棱锥C.圆锥D.圆柱

2.关于x的一元二次方程T+4x+2=0根的情况是（）

A.没有实数根B.有两个不相等的实数根

C.只有一个实数根D,有两个相等的实数根

3.小明抛一枚硬币100次，其中有60次正面朝上，则反面朝上的频率是（）

A.0.6B.6C.0.4D.4

4.某超市一月份的营业额为36万元，由于受疫情影响，二月份营业额有所下降，三月份开

始复苏，营业额为48万元，设从一月到三月平均每月的增长率为兄则下面所列方程正

确的是（）

A.36（1-x）2=48B.36（1+x）2=48

C.36（1-x）2=48-36D.48（1-x）2=36

5.如图，两条直线与这三条平行线分别交于点4、8、C和。、E、F.已知绘U，

BC2

6.用配方法解一元二次方程x2-9x+19=0,配方后的方程为（）

A.(x--)2=—B.(x+—)2=—C.(x-9)2=62D.(x+9)2=62

2424

7.书架上放着两本散文和一本数学书，小明从中随机抽取一本，抽到数学书的概率是（）

A.1B.—

2

8.如果反比例函数的图象经过点P（-3,-1）,那么这个反比例函数的表达式为（)

331

A.y=—B.y=--C.y=­xD.尸--x

xx33

9.如图，下列选项中不能判定△ACOs/viBC的是()

A.ZACD=ZBB.ZADC=ZACBC.A^AD-ABD.Bd=BD，AB

10.如图，在△ABC中，ZABC=90Q,AC=18,BC=14,D,E分别是A8,AC的中点，

连接DE,BE,点、M在CB的延长线上，连接DM,若则四边形DMBE

A.16B.24C.32D.40

二、填空题（每小题3分，共18分）

11.已知三=《，则上型的值为

Y3y

12.若反比例函数的图象分布在第二、四象限，则上的取值范围是.

X

13.两个相似三角形对应边上的高的比是2：3,那么这两个三角形面积的比是.

14.关于x的一元二次方程（k-1）/+6x+/+A-2=0有一个根是0,则k的值是.

15.线段AB、CQ在平面直角坐标系中的网格位置.如图所示，。为坐标原点，A、B、C、

。均在格点上，线段A&8是位似图形，位似中心的坐标是

c

^AD,将AABE沿BE折叠后得到△GBE,延长

O

BG交CD于F点、,若尸为CO中点，则BC的长为

三、解答题（第17小题6分，第18、19小题各8分，共22分）

2

17.解方程：x-2A:-3=0.

18.如图，四边形48co是平行四边形，延长D4,8C,使得AE=C/，连接BE,DF.

（1）求证：ZXABE丝△CQF；

（2）连接BD,若/1=32°,/4。2=22°,请直接写出当/ABE=°时，四

边形8FCE是菱形.

19.有四张大小、质地都相同的不透明卡片，上面分别标有数字1,2,3,4（背面完全相

同），现将标有数字的一面朝下，洗匀后从中任意抽取一张，记下数字后放回洗匀，然

后再从中任意抽取一张，请用画树状图或列表的方法，求两次抽取的卡片上的数字和等

于5的概率.

四、（每小题8分，共16分）

20.如图，在△4BC中，EF//CD,DE//BC.

(1)求证：AF：FD=AD：DB；

(2)若A8=30,AD：BD=2：1,请直接写出。尸的长.

21.列方程解下列应用题：沈阳的冬天比较冷，某店销售的充电暖宝热销，每个暖宝售价为

80元，每星期可卖出300个，为了促销，该店决定降价销售.市场调查反映：每降价1

元，每星期可多卖30个.已知该款暖宝每个成本为60元，在顾客得到实惠的前提下，

该店还想获得6480元的利润，应将每件的售价定为多少元？

五、(本题10分)

22.一次函数和反比例函数、="的图象的相交于A(2,3),B(-3,加)，

x

与X轴交于点C,连接04,OB.

(1)请直接写出机的值为，反比例函数丫=丝的表达式为;

X

(2)观察图象，请直接写出hx+人一丝>0的解集；

23.如图，在正方形ABC。中，点E是BC边的延长线上一点，连接。E,且/E£>C=30°,

以。E为斜边作等腰直角边EF的延长线交3。于点连接AF.

(1)请直接写出/AOF=度;

(2)求证：MDAFs

(3)请直接写出黑的值.

bli

24.如图，正方形4BC£＞的边长是6,E,尸分别是直线BC,直线C。上的动点，当点E在

直线BC上运动时，始终保持AELEF.

(1)求证：RtAABE^RtA£CF；

(2)当点E在边BC上，四边形ABCF的面积等于20时，求BE的长；

(3)当点E在直线BC上时，△AEF和尸能相似吗？若不能，说明理由，若能请直

25.如图1,矩形ABCO的两条边在坐标轴上，点。与坐标原点。重合，且AO=6,AB=

8,如图2,矩形A8C。沿OB所在射线方向以每秒1个单位长度的速度运动，同时点P

从点A出发也以每秒1个单位长度的速度沿矩形48。的边AB经过点8向点C运动，

当点P到达点C时，矩形ABCD和点P同时停止运动，设点P的运动时间为t秒.

(1)当，=5时，请直接写出点Q,P的坐标；

(2)当点尸在线段或线段BC上运动时，求出△PBO的面积S关于，的函数表达式，

并写出相应的f的取值范围；

(3)当点P在线段A8或线段BC上运动时;过点尸作PE_Lx轴，垂足为E,当APEO

与△BCO相似时，请直接写出相应的/值.

参考答案

一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个答案是正确的。每小题2分，共20分）

1.如图是某个几何体的三视图，该几何体是（）

主视图左视图

仰视图匚

A.三棱柱B.三棱锥C.圆锥D.圆柱

【分析】由主视图和左视图确定是柱体，锥体还是球体，再由俯视图确定具体形状.

解：根据主视图和左视图为矩形判断出是柱体，根据俯视图是三角形可判断出这个几何

体应该是三棱柱.

故选：A.

2.关于x的一元二次方程（+以+2=0根的情况是（）

A.没有实数根B.有两个不相等的实数根

C.只有一个实数根D.有两个相等的实数根

【分析】先求出△的值，再判断出其符号即可.

解：；A=42-4XlX2=8>0,

二方程有两个不相等的实数根.

故选：B.

3.小明抛一枚硬币100次，其中有60次正面朝上，则反面朝上的频率是（）

A.0.6B.6C.0.4D.4

【分析】求出“反面朝上的频数”，再根据“频率”的定义进行计算即可.

解：小明抛一枚硬币100次，其中有60次正面朝上，

则反面朝上的有100-60=40次，

所以反面朝上的频率频率为馈"二。.％

故选：C.

4.某超市一月份的营业额为36万元，由于受疫情影响，二月份营业额有所下降，三月份开

始复苏，营业额为48万元，设从一月到三月平均每月的增长率为x.则下面所列方程正

确的是()

A.36(1-%)2=48B.36(1+x)2=48

C.36(1-%)2=48-36D.48(1-%)2=36

【分析】由该超市一月份及三月份的营业额，即可得出关于x的一元二次方程，此题得

解.

解：依题意得：36(1+x)2=48.

故选:B.

5.如图，两条直线与这三条平行线分别交于点A、B、C和D、E、F.已知黑亚,

BC2

【分析】根据平行线分线段成比例定理得出黑=唇，根据已知即可求出答案.

DrAC

解：'：h//l2//h,坦3,

BC2

•DE_AB_3_3

”而一而一赤一亏‘

故选：D.

6.用配方法解一元二次方程9-法+19=0,配方后的方程为()

QCQC

A.(%--)2=—B.(x+—)2=—c.(x-9)2=62D.(x+9)2=62

2424

【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式

后即可.

解：Vx2-9x+19=0,

.'.x2-9x--19,

Ax2-9x+-=-19+—,即(x--)2=2

4424

故选：A.

7.书架上放着两本散文和一本数学书，小明从中随机抽取一本，抽到数学书的概率是（)

191

A.1B.—C.—D.—

233

【分析】让数学书的本数除以书的总本数即为从中任意抽取一本，是数学书的概率.

解：由于共有3本书，其中数学书有1本，

则恰好抽到数学书的概率是

故选：D.

8.如果反比例函数的图象经过点P（-3,-1）,那么这个反比例函数的表达式为（）

AA.y=-3Bp.y=3Cr.1y=-xDn.y=1x

xx33

【分析】设反比例函数解析式为y=Kawo）,把点P（-3,-1）代入即可求得k的

X

值.

解：设反比例函数解析式为丫=区（％#0）,

X

・・•函数经过点尸（-3,-1）,

解得k=3.

反比例函数解析式为y=旦.

x

故选：A.

9.如图，下列选项中不能判定△ACOs△ABC的是（）

A.ZACD=ZBB.ZADC=ZACBC.A^AD'ABD.BG=BD・AB

【分析】利用相似三角形判定方法依次判断可求解.

解：由题意可得：△ACQ和aABC中，NCAD=NBAC,

若/AC£>=/2,由有两组角对应相等的两个三角形相似可得△ACDS/VIBC,故选项A

不合题意；

若/AOC=NAC8,由有两组角对应相等的两个三角形相似可得△ACDS^ABC,故选

项B不合题意；

若AC2=AD-AB,由两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可得△AC。

s2NBC,故选项C不合题意；

故选：D.

10.如图，在△ABC中，/ABC=90°,AC=18,8c=14,D,E分别是A8,AC的中点，

连接DE,BE,点M在CB的延长线上，连接DM,若NMDB=NA,则四边形DMHE

的周长为（）

A.16B.24C.32D.40

【分析】根据直角三角形的性质求出BE,证明DM//BE,根据三角形中位线定理得到

DE//BC,DE=7,根据平时四边形的判定定理和性质定理解答即可.

解：在Rt^ABC中，ZA8C=90°,AC=18,E是AC的中点，

：.BE=—AC=—X18=9,BE=AE,

22

二ZEBA=ZA,

：.ZMDB=ZA,

:.NMDB=NEBA,,

：.DM//BE,

,：D,E分别是AB,4c的中点，

.".DE//BC,DE=—BC=—X14=7,

22

•••四边形DMBE为平行四边形，

二四边形QMBE的周长=2X（DE+BE）=2X16=32,

故选：C.

二、填空题（每小题3分，共18分）

11.已知三=4，则"的值为4•

y3y-3-

【分析】根据和比性质，可得答案.

解：由和比性质，得

x+y_4

y3"

故答案为：—.

O

12.若反比例函数y=—的图象分布在第二、四象限，则k的取值范围是k>5.

X

【分析】根据反比例函数的图象和性质，由4-&V0即可解得答案.

解：•.•反比例函数丫=旦的图象分布在第二、四象限，

X

A5-Z<0.

解得A>5.

故答案是：%>5.

13.两个相似三角形对应边上的高的比是2：3,那么这两个三角形面积的比是4：9.

【分析】根据对应高的比等于相似比，相似三角形的面积比等于相似比的平方解答.

解：•••相似三角形对应高的比等于相似比，

二两三角形的相似比为2：3,

两三角形的面积比为4：9.

故答案为：4：9.

14.关于x的一元二次方程Ck-1）x^+6x+k2+k-2=0有一个根是0,则k的值是-2.

【分析】根据一元二次方程的定义可得出1^0,进而可得出将x=0代入原方

程可得出关于Z的一元二次方程，解之即可得出％的值，结合ZW1即可得出结论.

解：•.•方程（AT）必+6犬+尸+&-2=0为一元二次方程，

-1W0,

•WL

将x=0代入（％-1）x2+6r+A?+>-2=0,得：l^+k-2=0,

解得：k\=-2,近=1（不合题意，舍去）.

故答案为：-2.

15.线段A氏CD在平面直角坐标系中的网格位置.如图所示，O为坐标原点，A、B、C、

。均在格点上，线段A3、8是位似图形，位似中心的坐标是（0,0）或（甘，4）.

c

【分析】分点A和点C为对应点，点8和点。为对应点、点A和点。为对应点，点B

和点C为对应点两种情况，根据位似中心的概念解答.

解：当点A和点C为对应点，点8和点O为对应点时，延长。、8。交于点0,

则位似中心的坐标是（0,0）,

当点A和点。为对应点，点8和点C为对应点时，连接A。、BC交于点P,

贝I」点P为位似中心，

•.•线段AB、CD是位似图形，

：.AB//CD,

.'./XPAB^^PDC,

.AP_AB_Vl2+22_1即AP_1

''PD~CD~y[22+^2~T5-AP~~2'

.•.位似中心点尸的坐标是（等，4）,

综上所述，位似中心点的坐标是（0,0）或（萼，4）,

16.如图，矩形ABC。中，AB=4,AE=^AD,将△ABE沿BE折叠后得到AGBE,延长

BG交C£＞于/点，若F为CD中点，则BC的长为上加

【分析】延长8F交AO的延长线于点H,证明△BCF四GMS),由全等三角形

的性质得出8c=。"，由折叠的性质得出NA=NBGE=90°,AE=EG,设AE=EG=x,

则AO=8C=OH=3x,得出EH=5x,由锐角三角函数的定义及勾股定理可得出答案.

解：延长8尸交4。的延长线于点，，

•..四边形ABC。是矩形，

：.AD=BC,AD//BC,ZA=ZBCF=90Q,CD=48=4,

:.NH=NCBF,

在△BCF和△HOF中，

，ZCBF=ZH

<ZBCF=ZDFH.

CF=DF

/./XBCF^^HDF(AAS),

：.BC=DH,

•.•将△ABE沿BE折叠后得到aGBE,

ZA=ZBGE=90°,AE=EG,

：.ZEG//=90°,

•：AE=—AD,

3

二设AE=EG=x,则A£>=BC=O”=3x,

：.ED=2x,

:・EH=ED+DH=5x,

在RtZ\EGH中，sinZ//=—,

EH5x5

点尸为CO的中点，

:.DF=CF=2,

・A=1

*'BF5'

：.BF=W,

=22=22=4

；•BCVBF-CFV10-2V6'

故答案为：4-^5，

三、解答题(第17小题6分，第18、19小题各8分，共22分)

17.解方程：A2-2%-3=0.

【分析】通过观察方程形式，本题可用因式分解法进行解答.

解：原方程可以变形为(x-3)(x+1)=0

x-3=0,x+1=0

.♦.Xl=3,X2—-1.

18.如图，四边形48C。是平行四边形，延长D4,BC,使得AE=CF,连接BE,DF.

(1)求证：△ABEBCDF；

(2)连接BD,若Nl=32°,ZADB=22°,请直接写出当NA8E=12°时，四边

形BFDE是菱形.

8C卜

【分析】(1)由“S4S”可证

(2)通过证明可得结论.

【解答】(1)证明：；四边形ABC。是平行四边形,

：.AB=CD,ZBAD=ZBCD,

：.Z\^ZDCF,

在△ABE和△CDF中,

'AE=CF

<N1=NDCF，

AB=CD

A/\ABE^/\CDF(SAS)；

(2)解：当/A8E=10°时，四边形BFDE是菱形，理由如下：

AABE^ACDF,

：.BE=DF,AE=CF,

:.BF=DE,

二四边形BFDE是平行四边形，

VZ1=32°,NADB=22°,

；.NABD=N1-NADB=10°,

；NABE=12°,

；.NDBE=NABD+NABE=22°,

:.NDBE=4ADB=22°,

：.BE=DE,

平行四边形BFDE是菱形,

故答案为：12.

19.有四张大小、质地都相同的不透明卡片，上面分别标有数字1,2,3,4(背面完全相

同)，现将标有数字的一面朝下，洗匀后从中任意抽取一张，记下数字后放回洗匀，然

后再从中任意抽取一张，请用画树状图或列表的方法，求两次抽取的卡片上的数字和等

于5的概率.

【分析】列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解

即可.

解:列表如下：

1234

12345

23456

34567

45678

由表知，共有16种等可能结果，其中两次抽取的卡片上的数字和等于5的有4种结果,

所以两次抽取的卡片上的数字和等于5的概率为金=二.

164

四、(每小题8分，共16分)

20.如图，在△ABC中，EF//CD,DE//BC.

(1)求证：AF：FD=AD：DB；

(2)若AB=30,AD：BD=2：1,请直接写出。F的长.

【分析】(1)利用平行线分线段成比例定理，由EF//CD得到黑=襄，由DE//BC

FDEC

得到黑=绘，然后利用等量代换可得到结论；

BDEC

(2)根据比例的性质由A。：80=2：1可计算出A£>=20,则利用AF：FD=AD：DB

得至ljAF=2DF,然后利用2DF+DF=20可计算出DF.

【解答】(1)证明：尸〃CD,

•AF__^

••而一而‘

-：DE//BC,

.AD=AE

••丽―而‘

•岖=岖

•♦丽一而

(2)解：-：AD：BD=2：1,

：.BD=—AD,

2

：.AD+—AD=30,

2

：.AD=20,

"：AF：FD=AD：DB,

：.AF-.FD=2：1,

：.AF=2DF,

'：AF+DF=20,

：.2DF+DF=20,

，。尸=里.

3

21.列方程解下列应用题：沈阳的冬天比较冷，某店销售的充电暖宝热销，每个暖宝售价为

80元，每星期可卖出300个，为了促销，该店决定降价销售.市场调查反映：每降价1

元，每星期可多卖30个.已知该款暖宝每个成本为60元，在顾客得到实惠的前提下，

该店还想获得6480元的利润，应将每件的售价定为多少元？

【分析】设每件的售价定为x元，则每件的销售利润为(%-60)元，每星期的销售数量

为(2700-30x)个，根据商店销售充电暖宝每星期的利润为6480元，即可得出关于x

的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合要让顾客得到实惠，即可得出应将每件

的售价定为72元.

解:设每件的售价定为x元,则每件的销售利润为(x-60)元,每星期的销售数量为300+30

(80-x)=(2700-30x)个，

依题意得：(x-60)(2700-30x)=6480,

整理得：x2-150x+5616=0,

解得：xi=72,及=78.

又•••要让顾客得到实惠，

'.x—12.

答：应将每件的售价定为72元.

五、(本题10分)

22.一次函数产心x+6和反比例函数尸”的图象的相交于A(2,3),B(-3,机)，

X

与X轴交于点C,连接04,OB.

(1)请直接写出机的值为-2,反比例函数•的kc表达式为丫=Q幺；

xx-

(2)观察图象，请直接写出hx+人一丝＞0的解集；

(3)求△AOB的面积.

【分析】(1)把A点的坐标代入反例函数解析式即可求出反比例函数解析式，把x=-

3代入反例函数解析式，得出m的值;

(2)找出直线落在双曲线上方的部分对应的自变量的取值范围即可；

(3)把A、B的坐标代入一次函数解析式求出一次函数解析式，再求出C点坐标，然后

根据△408的面积=Z\A0C的面积+Z\B0C的面积列式计算即可.

解：(1),反比例函数丫="的图象过点4(2,3),

x

.,.把x=2,y=3代入上式并解得％=6.

.•.反比例函数的表达式为y=2.

X

:点B(-3,w)在丫=旦的图象上，

X

:.m=-2.

故答案为：-2,y=—；

x

(2)根据图象可知，如什6-丝>0的解集为x>2或-3<xV0；

x

(3)把A(2,3),B(-3,-2)代入y=%ix+6,

2k]+b=3k,=1

解得I1

-31q+b=-2b=l

...一次函数的表达式为：y=x+\-

当y=0时，x=-1,

点坐标为(-1,0),

115

**•SAAOB=SAAOC+SABOC=~X1X3+—X1X2=—.

222

六、(本题io分)

23.如图，在正方形4BCZ)中，点E是BC边的延长线上一点，连接。E,且NE£>C=30°,

以。E为斜边作等腰直角边E尸的延长线交B。于点连接AF.

(1)请直接写出NA£>F=75度:

(2)求证：ADAFSMBE；

【分析】(1)根据等腰直角三角形的性质和正方形的性质解答即可；

(2)根据等腰直角三角形的性质和相似三角形的判定解答即可；

(3)根据相似三角形的判定和性质解答即可.

解：(1):.△AEF是等腰直角三角形，

:.NEDF=45°,

在正方形48CD中，ZBAD=90°,

'：ZEDC=30°,

；./D4F=90°+NEDC-NEDF=90°+30°-45°=75°,

故答案为：75°

(2)在正方形ABC£>和等腰RtZiOEF中，NMCE=45°+ZMDF=15°=ZDAF,

•••△ABO和△DE尸都是等腰直角三角形，

.AD=DF=^

•♦而_应—亚

:.△DAFS^DBE；

(3)在RtZSOCE中，ZCDE=30°,

:.DE=2CE=^^DC=^&AB,

33

在等腰RtZ^AB。中，BE>=扬B,

VZDEM=ZDBC=45°,ZEDM=ZBDE,

：.ADEMsADBE,

EM_DEAB_V6

BEDB

七、(本题12分)

24.如图，正方形ABC。的边长是6,E,F分别是直线BC,直线C。上的动点，当点E在

直线BC上运动时，始终保持AELEF.

(1)求证：RtAABE^RtAFCF；

(2)当点E在边8C上，四边形ABC尸的面积等于20时，求BE的长；

(3)当点E在直线BC上时，△AEF和aCEF能相似吗？若不能，说明理由，若能请直

接写出此时BE的长.

【分析】(1)利用同角的余角相等可得/BAE=/CEF,从而证明结论；

(2)设BE=x,则CE=12-x,由RtZ\ABEsRtaECF,得。尸=旦口1,再由四边形

2

ABCF的面积为20,得2_(6+^*-)X6=20,解得：x=3土泥，得出BE的长；

26

BFRC

(3)当点E在线段3c上时，当/FEC=/E4F时，XAEfsgCF,则器普，得

ABAB

出答案；当点E在CB的延长线上时，设AF与3c相交于点“，当/CEF=/AFE时，

/XCEF^/XEFA,得EH=HF,ZFAE=ZHEA,则得出CH=3cm；当

点E在8c的延长线上时，设A尸与8C相交于点”，当NEFC=NE4/时，AFCE-A

AEF,同理可求BE=3旄+3.

【解答】(1)证明：•.•AELEF,

:.NAEB+NCEF=90°,

又；NBAE+NAEB=90°,

：.ZBAE=ZCEF,

又•••/B=NC=90°,

ARtAABE^RtAECF；

（2）解：设BE=x,贝l」CE=12-x,

VRtA/lBE^RtAECF,

.ABBE

••二一,

ECCF

.6_x

一■F，

ACF=6X~X2,

6

.qf_（AB+CF）BC_l6x-x2…

,•S梯形48cb-—（6+）X6

/Nb

2

根据题意得工（6且工）X6=20，

26

解得：x=3

・・・BE的长为3土加；

（3）能，如图，当点E在线段BC上时，

\UAE.LEF,

：.ZAEF=ZC=90°,

VAF不平行BC,

：.NAFE#NFEC,

当NFEC=NE4F时，AAEF^AECF,

VRtAABE^RtAECF,

:./BAE=NFEC=NEAF,—EC=^E-F,

ABAE

,・'tan/BAE=