2016-2017学年北京市石景山区九年级（上）期末数学试卷

2016-2017学年北京市石景山区九年级（上）期末数学试卷

一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，符合题意的

选项只有一个.

1.（3分）在Rt^ACB中，ZC=90°,AC=1,BC=2,贝IsinB的值为（）

A.2V5B.正C.逅D,1

5532

2.（3分）如图，AB是。O的直径，CD是弦，NABC=65。，则ND的度数为（）

3.（3分）如图，为估算某河的宽度，在河对岸边选定一个目标点A,在近岸取

点B,C,D,使得ABLBC,CDXBC,点E在BC上，并且点A,E,D在同一

条直线上.若测得BE=30m,EC=15m,CD=30m,则河的宽度AB长为（）

B~AL-IC

D

A.90mB.60mC.45mD.30m

4.（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点P为函数y=_l（x<0）图象上任

X

意一点，过点P作PAJ_x轴于点A,则△PAO的面积是（）

A.8B.4C.2D.-2

5.（3分）下表记录了甲、乙、丙、丁四名跳高运动员最近几次选拔赛成绩的平

均数与方差:

甲乙丙T

平均数（cm）183183183183

方差3.65.47.28.5

要从中选择一名发挥稳定的运动员去参加比赛，应该选择（）

A.甲B.乙C.丙D.T

6.（3分）如图，OA的半径为3,圆心A的坐标为（1,0）,点B（m,0）在。

A内，则m的取值范围是（）

V

A.m<4B.m>-2C.-2<m<4D.m<-2或m>

4

7.（3分）如图，。。的半径为3,正六边形ABCDEF内接于。O,则劣弧AC的

A.6nB.3nC.2nD.n

8.（3分）若将抛物线y=5x2先向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到

的新抛物线的表达式为（）

A.y=5（x-2）2+1B.y=5（x+2）2+1

C.y=5（x-2）2-1D.y=5（x+2）2-1

9.（3分）若抛物线y=x2-2x+m与x轴有交点，则m的取值范围是（)

A.m>lB.m^lC.m<lD.mWl

10.（3分）如图，在RtaACB中，ZC=90°,NA=60。，AB=8.点P是AB边上的

一个动点，过点P作PD±AB交直角边于点D,设AP为x,AAPD的面积为y,

则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是（）

二、填空题（本题共18分，每小题3分）

11.（3分）请写出一个反比例函数的表达式，满足条件：在各自象限内，y的值

随x值的增大而增大.此反比例函数的表达式可以是（写出一个即

可）：.

12.（3分）某农场引进一批新稻种，在播种前做了五次发芽实验，每次任取800

粒稻种进行实验.实验的结果如下表所示：

实验的稻种数仍立800800800800800

发芽的稻种数立763757761760758

发芽的频率20.9540.9460.9510.9500.948

n

在与实验条件相同的情况下，估计种一粒这样的稻种发芽的概率为（精

确到0.01）；如果该农场播种了此稻种2万粒，那么能发芽的大约有万

粒.

13.（3分）如图，PA切。。于点A,PO交。。于点B,点C是优弧AB上一点，

若NACB=35。，则NP的度数是°.

A

14.（3分）如图，正方形ABCD的边长为4,以BC为直径作半圆E,过点D作

DF切半圆E于点G,交AB于点F,则BF的长为.

15.（3分）如图，抛物线J：y=L<2经过平移得到抛物线C2：y=lx2+2x,抛物

22

线C2的对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积是.

16.（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点Ai,A2,A3,An在y轴的正

半轴上，点Bi，B2,B3,…，Bn在二次函数y=x2位于第一象限的图象上，若^

OB1A1,AAIB2A2,AA2B3A3,△An-lBnAn都是等腰直角三角形,其中NB产

ZB2=ZB3=.=ZBn=90",则：

点Bi的坐标为；

线段AIA2的长为;

△An-lBnAn的面积为

三、解答题（本题共72分，第17-26题，每小题5分；第27题7分；第28题

7分；第29题8分）.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.

17.（5分）计算：tan450+/-（血-2016）。-4cos30。.

18.（5分）如图，在^ABC中，点D在AB边上，点E在AC边上，且NAED=N

B,若AE=3,EC=1,AD=2.求AB的长.

19.（5分）如图，在。。中，AB是直径，CD是弦，且ABLCD于点E,CD=8,

20.（5分）二次函数y=ax?+bx+c（aWO）图象上部分点的横坐标x,纵坐标y的

对应值

如下表：

（1）求这个二次函数的表达式;

(2)在右图中画出此二次函数的图象的示意图；

(3)结合图象，直接写出当y>0时，自变量x的取值范围.

21.（5分）如图，在△ABC中，ZA=30°,cosB=l,AC=6证.求AB的长.

5

22.(5分)如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=2x+2与x轴交于点A,与

y轴交于点B,与双曲线y=k(kWO)的一个交点为点C(1,m).

X

(1)求双曲线的表达式；

(2)过点B作直线BD〃x轴，交双曲线于点D,在x轴上存在点P,使得以点A,

B,D,P为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出点D和点P的坐标.

23.(5分)数学综合与实践活动中，某小组测量公园里广场附近古塔的高度.如

图，他们先在点D用高1.5米的测角仪DA测得塔顶M的仰角为30。，然后沿

DF方向前行40m到达点E处，在E处测得塔顶M的仰角为60。.请根据他们

的测量数据求古塔MF的高(结果精确到0.1m).(参考数据：72^1.414,5

^1.732)

24.（5分）某超市按每件30元的价格购进某种商品，在销售的过程中发现，该

种商品每天的销售量w（件）与销售单价x（元）之间满足关系w=-3x+150

（304W50）,如果销售这种商品每天的利润为y（元），那么销售单价定为

多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少元？

25.（5分）如图，以^ABC的AB边为直径作。O,交BC于点D,过点D作。O

的切线DE,交AC于点E,且DELAC,连接E0.

(1)求证：AB=AC；

(2)若AB=5,AE=1,求tanNAEO的值.

26.（5分）有这样一个问题：探究函数y=x-2的图象和性质.

X

小石根据学习函数的经验，对此函数的图象和性质进行了探究.

下面是小石的探究过程，请补充完整：

（1）函数的自变量X的取值范围是

（2）下表是y与x的几组对应值.

X-3-2-1_1.1_11123

2~3~3~2

y_7_-117_17,17m1]_

32~2

求m的值；

（3）如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点.根

据描出的点，画出此函数的图象；

（4）进一步探究，结合函数的图象，写出此函数的性质（一条即可）：

27.（7分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：y=x2+（3-m）x经过点A（-

1,0）.

（1）求抛物线C的表达式;

（2）将抛物线C沿直线y=l翻折，得到的新抛物线记为Q,求抛物线Ci的顶点

坐标；

（3）将抛物线C沿直线y=n翻折，得到的图象记为C2,设C与C2围成的封闭图

形为M,在图形M上内接一个面积为4的正方形（四个顶点均在M上），且

这个正方形的边分别与坐标轴平行.求n的值.

1-Ill,ll

1』。：储，/X-4-3-2-1012345X

-1-T

-2-々-

-3-一3-

-414

备用图1管用图2

28.（7分）已知^ABC是等边三角形，点D,E,F分别|是边AB,BC,AC的中点,

点M是射线EC上的一个动点，作等边△DMN,使△DMN与^ABC在BC边

同侧，连接NF.

（1）如图1,当点M与点C重合时，直接写出线段FN与线段EM的数量关系;

(2)当点M在线段EC上(点M与点E,C不重合)时，在图2中依题意补全

图形，并判断(1)中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明

理由；

(3)连接DF,直线DM与直线AC相交于点G,若的面积是△GMC面积

的9倍，AB=8,请直接写出线段CM的长.

29.(8分)已知(DC的半径为r,点P是与圆心C不重合的点，点P关于。C的

反演点的定义如下：

若点P'在射线CP上，满足CP'»CP=r2,则称点是点P关于。C的反演点.图1

为点P及其关于。C的反演点P，的示意图.

(1)在平面直角坐标系xOy中，的半径为6,。0与x轴的正半轴交于点A.

①如图2,ZAOB=135°,0B=18,若点A',B，分别是点A,B关于。。的反演点，

则点A'的坐标是，点B'的坐标是;

②如图3,点P关于。。的反演点为点*点F在正比例函数y=«x位于第一象

限内的图象上，△P9A的面积为6«,求点P的坐标；

(2)点P是二次函数y=x2-2x-3(-14W4)的图象上的动点，以0为圆心,

LOP为半径作圆，若点P关于O0

2

的反演点P'的坐标是(m,n),请直接写出n的取值范围.

图1|2图3

2016-2017学年北京市石景山区九年级（上）期末数学试

卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，符合题意的

选项只有一个.

1.（3分）在Rt^ACB中，ZC=90°,AC=1,BC=2,则sinB的值为（）

A.土B・逅C.返D.1

5532

【分析】根据勾股定理求出斜边AB的值，在利用正弦的定义直接计算即可.

【解答】解：在Rt^ACB中，ZC=90°,AC=1,BC=2,

•,AB=912+22=V^，

sinB=AC=..」.二屈,,

AB收5

故选：B.

【点评】本题主要考查锐角三角函数的定义，解决此类题时，要注意前提条件是

在直角三角形中，此外还有熟记三角函数是定义.

2.（3分）如图，AB是。O的直径，CD是弦，ZABC=65°,则ND的度数为（）

A.130°B.65°C.35°D.25°

【分析】先根据圆周角定理得出NACB=90。，NA=ND,再由NABC=65。可得出N

A的度数，进而可得出结论.

【解答】解：：AB是。。的直径，

ZACB=90°.

VZABC=65°,

AZA=ZD=90°-65°=25°.

故选：D.

【点评】本题考查的是圆周角定理及直角三角形的性质，熟知直径所对的圆周角

是直角是解答此题的关键.

3.（3分）如图，为估算某河的宽度，在河对岸边选定一个目标点A,在近岸取

点B,C,D,使得ABLBC,CDXBC,点E在BC上，并且点A,E,D在同一

条直线上.若测得BE=30m,EC=15m,CD=30m,则河的宽度AB长为（）

A

F

I'

D

A.90mB.60mC.45mD.30m

【分析】求出^ABE和ADCE相似，根据相似三角形对应边成比例列式计算即可

得解.

【解答】解：VAB±BC,CDXBC,

AZABE=ZDCE=90°,

又：NAEB=NDEC（对顶角相等），

.,.△ABE^ADCE,

BE

---

AB一

CE

DC

AB30

---

即3015

解得AB=60m.

故选：B.

【点评】本题考查了相似三角形的应用，主要利用了相似三角形对应边成比例，

确定出相似三角形是解题的关键.

4.（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点P为函数y=2（x<0）图象上任

意一点，过点P作PA±x轴于点A,则△PAO的面积是（)

【分析】根据反比例函数比例系数k的几何意义可知，APAO的面积=L|k|,再

2

根据图象所在的象限即可求出k的值

【解答】解：依据比例系数k的几何意义可得，APAO的面积=L|k|,

2

即k1=2,

2

故选：C.

【点评】本题考查反比例函数比例系数k的几何意义，过双曲线上的任意一点分

别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于|k1.本知识点是中

考的重要考点，同学们应高度关注.

5.（3分）下表记录了甲、乙、丙、丁四名跳高运动员最近几次选拔赛成绩的平

均数与方差：

甲乙丙T

平均数（cm）183183183183

方差3.65.47.28.5

要从中选择一名发挥稳定的运动员去参加比赛，应该选择（）

A.甲B.乙C.丙D.T

【分析】首先比较出甲、乙、丙、丁四名跳高运动员最近几次选拔赛成绩的方差

的大小关系，然后根据方差越大，波动性越大，判断出应该选择谁参加比赛

即可.

【解答】解：因为3.6<5.4<7.2<8.5,

所以甲最近几次选拔赛成绩的方差最小，

所以要从中选择一名发挥稳定的运动员去参加比赛，应该选择甲.

故选：A.

【点评】此题主要考查了方差的含义和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要

明确：方差反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成

立.

6.(3分)如图，OA的半径为3,圆心A的坐标为(1,0),点B(m,0)在。

A内，则m的取值范围是()

A.m<4B.m>-2C.-2<m<4D.m<-2或m>

【分析】熟记“设点到圆心的距离为d,则当d=R时，点在圆上；当d>R时，点

在圆外；当d<R时，点在圆内”即可解答.

【解答】解：以A(l,0)为圆心，以3为半径的圆交x轴两点的坐标为(-2,

0),(4,0),

•.♦点B(m,0)在以A(1,0)为圆心，以3为半径的圆内，

-2<m<4.

故选：C.

【点评】本题考查了对点与圆的位置关系的判断的知识点，解答本题的关键是理

解点B在以A(1,0)为圆心，以3为半径的圆内的含义，本题比较简单.

7.(3分)如图，。。的半径为3,正六边形ABCDEF内接于。O,则劣弧AC的

A.6nB.3nC.2nD.n

【分析】求出圆心角NAOC的度数，再利用弧长公式解答即可.

【解答】解：如图所示：：ABCDEF为正六边形，

AZAOB=360°X±=60°,

6

AZAOC=120°,

.•余的长为叫著力

故选：C.

2^----至

4----。

【点评】此题主要考查了正多边形和圆以及弧长计算，此题将扇形的弧长公式与

多边形的性质相结合，构思巧妙，利用了正六边形的性质.

8.(3分)若将抛物线y=5x2先向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到

的新抛物线的表达式为()

A.y=5(x-2)2+1B.y=5(x+2)2+1

C.y=5(x-2)2-1D.y=5(x+2)2-1

【分析】根据平移规律，可得答案.

【解答】解：y=5x2先向右平移2个单位，再向上平移1个单位，

得到的新抛物线的表达式为y=5(x-2)2+1,

故选:A.

【点评】此题主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减,

上加下减.并用规律求函数解析式.

9.(3分)若抛物线y=x2-2x+m与x轴有交点，则m的取值范围是()

A.m>lB.C.m<lD.mWl

【分析】根据判别式的意义得到4=(-2)2-4m>0,然后解不等式即可.

【解答】解：根据题意得△=(-2)2-4m>0,

解得mWl.

故选：D.

【点评】本题考查了抛物线与X轴的交点：对于二次函数y=ax2+bx+c（a,b,c

是常数，aWO）,Zk=b2-4ac决定抛物线与x轴的交点个数：44?-4ac>0

时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；

△=b2-4ac<0时，抛物线与x轴没有交点.

10.（3分）如图，在Rt^ACB中，ZC=90°,ZA=60°,AB=8.点P是AB边上的

一个动点，过点P作PD±AB交直角边于点D,设AP为x,AAPD的面积为y,

则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是（）

【分析】分点D在AC上和BC上两种情况进行讨论即可.

【解答】解：VZC=90°,ZA=60°,AB=8,

.•.AC=4,BC=4«,

当点D在AC上时，y=lXAPXPD=lXxXA/3X=^X2；

当点D在BC上时，如图所示，

VAP=x,AB=8,

ABP=8-x,又NB=30°,

，PD=E（8-X）,

3__

.gAP.PD」x・E（8x）=-V3X2+±/3X,

22363

该函数图象前半部分是抛物线开口向上，后半部分也为抛物线开口向下.

故选：B.

c

【点评】本题考查动点问题的函数图象，有一定难度，解题关键是注意点D在

BC上这种情况.

二、填空题（本题共18分，每小题3分）

11.（3分）请写出一个反比例函数的表达式，满足条件：在各自象限内，y的值

随x值的增大而增大.此反比例函数的表达式可以是（写出一个即可）：*

_x__

【分析】反比例函数的图象在每个象限内，函数值y随自变量x的增大而增大，

则反比例函数的反比例系数k<0；反之，只要k<0,则反比例函数在每个象

限内，函数值y随自变量x的增大而增大.

【解答】解：只要使反比例系数小于0即可.如y=-L（x>0）,答案不唯一.

X

故答案为：y=-l（x>0）（答案不唯一）.

X

【点评】本题主要考查了反比例函数y=k（kWO）的性质：

X

①k>0时，函数图象在第一，三象限.在每个象限内y随X的增大而减小；②k

<0时，函数图象在第二，四象限.在每个象限内y随x的增大而增大.

12.（3分）某农场引进一批新稻种，在播种前做了五次发芽实验，每次任取800

粒稻种进行实验.实验的结果如下表所示：

实验的稻种数rv粒800800800800800

发芽的稻种数立763757761760758

发芽的频率巨0.9540.9460.9510.9500.948

n

在与实验条件相同的情况下，估计种一粒这样的稻种发芽的概率为0.95（精

确至U0.01）；如果该农场播种了此稻种2万粒，那么能发芽的大约有1.9万

粒.

【分析】利用频率估计概率得到随实验次数的增多，发芽的频率越来越稳定在

0.95左右，由此可估计发芽的机会大约是0.95.

【解答】解：根据表中的发芽的频率，当实验次数的增多时，发芽的频率越来越

稳定在0.95左右，所以可估计这种大稻发芽的机会大约是0.95,

该农场播种了此稻种2万粒，那么能发芽的大约有0.95X2=1.9（万粒）.

故答案为0.95；1.9.

【点评】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某

个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理,

可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率;

用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确.

13.（3分）如图，PA切。。于点A,PO交。。于点B,点C是优弧AB上一点，

若NACB=35。，则NP的度数是20。.

【分析】如图，连接OA.首先证明NOAP=90°,根据圆周角定理NAOP=2N

ACB=70°,再根据直角三角形的两锐角互余，即可解决问题.

【解答】解：如图，连接OA.

,；PA是。0切线，

AOA±PA,

，NPAO=90°,

VZAOP=2ZACB=70°,

AZP=90°-ZAOP=20",

故答案为200.

【点评】本题考查切线的性质、圆周角定理，直角三角形的性质等知识，解题的

关键是学会添加常用辅助线,构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型.

14.（3分）如图，正方形ABCD的边长为4,以BC为直径作半圆E,过点D作

DF切半圆E于点G,交AB于点F,则BF的长为1.

【分析】首先证明DC=DG=4,FB=FG,设FB=FG=x,则有AF=AB-BF=4-x,

DF=DG+FG=4+x,在Rt^ADF中，根据DF2=AF2+AD2,列出方程即可解决问题

【解答】W：VABXBC,

AAB为圆0的切线，

又DF为圆0的切线，

.\DC=DG=4,

同理得到FB=FG,设FB=FG=x,则有AF=AB-BF=4-x,DF=DG+FG=4+x,

在RtaADF中,利用勾股定理得：DF2=AF2+AD2,即(4+x)2=42+(4-x)2,

解得：x=l,

.\BF=1,

故答案为1.

【点评】此题考查了切线的性质，正方形的性质，等腰三角形的判定与性质，以

及勾股定理，熟练掌握切线的性质是解本题的关键.

15.（3分）如图，抛物线J：y=L<2经过平移得到抛物线C2：y=lx2+2x,抛物

22

线C2的对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积是4

y.

【分析】确定出抛物线y=Lx2+2x的顶点坐标，然后求出抛物线的对称轴与原抛

2

物线的交点坐标，从而判断出阴影部分的面积等于三角形的面积，再根据三

角形的面积公式列式计算即可得解.

【解答】解：抛物线Ci：y=Lx2的顶点坐标为（0,0）,

2

y=Xx2+2x=X（x+2）2-2,

22

•••平移后抛物线的顶点坐标为（-2,2）,对称轴为直线x=-2,

当x=-2时，y=Xx（-2）2=2,

2

平移后阴影部分的面积等于如图三角形的面积为：lx（2+2）X2=4,

2

故答案为：4.

【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，确定出与阴影部分面积相等的三

角形是解题的关键.

16.（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点Ai,A2,A3,An在y轴的正

半轴上，点Bi，B2,B3,…，Bn在二次函数y=x2位于第一象限的图象上，若^

OB1A1,AAIB2A2,AA2B3A3,△An-lBnAn都是等腰直角三角形,其中NB产

o

ZB2=ZB3=...=ZBn=90,则：

点Bi的坐标为（1,1）；

线段AIA2的长为4

【分析】作BiC，y轴于C,BzDLy轴于D,如图，设OC=a,根据等腰直角三角

形的性质得到OC=AiC=CBi=a,则Bi（a,a）,再把团（a,a）代入y=生得ai=O

（舍去），a2=l,所以团（1,1）,同理可得B2（2,4）,则线段A1A2的长为4,

利用上述规律得到A2A3=6,A-iAn=2n,然后根据等腰直角三角形的面积公式

计算.•.△An.lBnAn的面积.

【解答】解：作BiCLy轴于C,82口，丫轴于口，如图,

设OC=a,

•.•△OB1A1为等腰直角三角形,

/.OC=AiC=CBi=a,

Bi(a,a),

把Bi(a,a)代入y=x2得a?=a,解得ai=0(舍去)，a2=l,

ABi(1,1),

设AiD=b,

•••△AiB2A2为等腰直角三角形，

AiD=A2D=DB2=b,

AB2(b,b+2),

把B2(b,b+2)代入y=x?得b?=b+2,解得bi=-1(舍去)，bz=2,

AB2(2,4),

，线段A1A2的长为4,

同理可得A2A3=6,An-iAn=2n,

AAn-lBnAn的面积=L・2PI•.

2

【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满

足其解析式.也考查了等腰直角三角形的性质.

三、解答题（本题共72分，第17-26题，每小题5分；第27题7分；第28题

7分；第29题8分）.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.

17.（5分）计算：tan450+技-（血-2016）。-4cos30。.

【分析】本题涉及零指数募、特殊角的三角函数值、二次根式化简3个考点.在

计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计

算结果.

【解答】解：原式=1+W^-1-4X唱

【点评】本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题

型.解决本题的关键是掌握零指数累的意义、二次根式的化简、特殊角的三

角函数值.

18.（5分）如图，在^ABC中，点D在AB边上，点E在AC边上，且NAED=N

B,若AE=3,EC=1,AD=2.求AB的长.

A

D/\

E

B

【分析】根据相似三角形的判定和性质即可得到结论.

【解答】解：：NAED=NB,ZA=ZA,

AAADE^AACB,

；iAE_AD；

••短缶，

••3•---2--,

AB3+1

；.AB=6.

【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性

质是解题的关键.

19.(5分)如图，在。。中，AB是直径，CD是弦，且ABLCD于点E,CD=8,

BE=2.求。。的半径.

【分析】连接0C,根据垂径定理求出CE,根据勾股定理得出方程，求出方程的

解即可.

【解答】解：连接0C,

设。。的半径为X.

•直径AB,弦CD,

.1

••CE^€D=4)

在Rt^OEC中，由勾股定理可得x2=(x-2)2+42,

解得x=5,

.,.©0的半径为5.

【点评】本题考查了垂径定理和勾股定理，能根据垂径定理求出CE是解此题的

关键.

20.(5分)二次函数y=ax?+bx+c(aWO)图象上部分点的横坐标x,纵坐标y的

对应值

如下表:

X-4-3-2-1012

y_303_23_0_3

2222

(1)求这个二次函数的表达式；

(2)在右图中画出此二次函数的图象的示意图;

(3)结合图象，直接写出当y>0时，自变量x的取值范围.

【分析】(1)根据表格数据，设二次函数的表达式为y=a(x+3)(x-1),结合点

(-1,2)利用待定系数法即可求出二次函数表达式;

(2)描点、连线，画出函数图象；

(3)找出函数图象在x轴上方的部分，此题得解.

【解答】解：(1)由题意，设二次函数的表达式为y=a(x+3)(x-1),

•.•二次函数经过点(-1,2),

-4a=2,

/.a=-X,

2

,二次函数的表达式为y=-X(x+3)(x-1)=-Ax2-x+3.

222

(2)描点、连线，画出图形如图所示.

(3)观察函数图象可知：当-3<x<l时，函数图象在x轴上方,

.•.当y>0时，自变量x的取值范围为-3VxVl.

【点评】本题考查了抛物线与X轴的交点、二次函数的图象以及待定系数法求二

次函数解析式，解题的关键是：（1）利用待定系数法求出函数解析式；（2）

根据给定点的坐标画出函数图象；（3）观察函数图象结合交点坐标找出不等

式的解集.

21.（5分）如图，在^ABC中，NA=30。，cosB=l,AC=6«.求AB的长.

5

【分析】如图，过点C作CDLAB于点D.分别在Rt^ACD,Rt^CDB中，求出

AD,DB即可.

【解答】解：如图，过点C作CDLAB于点D.

:在Rt^CDA中，NA=30°,

CD=AC・sin3（T=3加，AD=ACXcos30°=9,

•.•在RtACDB中，COSB=DB=1,

BC5

.•.设DB=4x,CB=5x.

/.CD=3x.

・・

.,.DB=4x=4«,

.•.AB=AD+DB=9+4«.

【点评】本题考查解直角三角形、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加

常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于基础题.

22.(5分)如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=2x+2与x轴交于点A,与

y轴交于点B,与双曲线y=k(kWO)的一个交点为点C(1,m).

X

(1)求双曲线的表达式；

(2)过点B作直线BD〃x轴，交双曲线于点D,在x轴上存在点P,使得以点A,

B,D,P为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出点D和点P的坐标.

【分析】(1)根据坐标与图形的关系求出m,利用待定系数法计算即可；

(2)分AB〃DP和PB〃DA两种情况，根据平行四边形的判定定理解答即可.

【解答】解：(1).••点C(1,m)在直线y=2x+2上，

m=4,

•.•点C(1,4)在双曲线尸K上，

X

・•・k=4.

・•.双曲线的表达式为尸9；

X

(2)当x=0时，y=2x+2=0,

・•.点B的坐标为(0,2),

•；BD〃x轴，

•••点D的横坐标为2,

・•.点D的坐标是(2,2),

当y=2时，2x+2=0,

解得，x=-1,

则当A的坐标为（-1,0）,

.,.当AB〃DP时，点P的坐标为（1,0）,

当PB〃DA时，点P的坐标为（-3,0）,

・•.点P的坐标为（1,0）或（-3,0）时，以点A,B,D,P为顶点的四边形为

平行四边形.

【点评】本题考查的是一次函数与反比例函数的交点问题、平行四边形的判定，

掌握待定系数法求函数解析式、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键.

23.（5分）数学综合与实践活动中，某小组测量公园里广场附近古塔的高度.如

图，他们先在点D用高1.5米的测角仪DA测得塔顶M的仰角为30。，然后沿

DF方向前行40m到达点E处，在E处测得塔顶M的仰角为60。.请根据他们

的测量数据求古塔MF的高（结果精确到0.1m）.（参考数据：72^1.414,炳

^1.732）

［分析】设MC为xm,在RtABCM中，得至UBC=F1X,在RtAAMF中，得至UAC=«x,

3

根据AC=AB+BC,列出方程即可解决问题.

【解答】解：根据题意，得CF=BE=AD=1.5,AB=DE=40.

设MC为xm,在Rt^MCB中，tan/上蛇，

BC

BC=-------------=2/Zx,

tan6003

同理可得AC=«x,

V3X=^2.X+40,

3

解得*二20正=34.64-.(4分)

MF=MC+CF^34.64+1.5=36.14^36.1(m)

答：古塔的高约为36.1米.

M

【点评】本题考查解直角三角形，仰角俯角的应用等知识，解题的关键是学会利

用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型.

24.(5分)某超市按每件30元的价格购进某种商品，在销售的过程中发现，该

种商品每天的销售量w(件)与销售单价x(元)之间满足关系w=-3x+150

(30WxW50),如果销售这种商品每天的利润为y(元)，那么销售单价定为

多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少元？

【分析】根据题意可以求得y关于x的函数关系式，然后化为顶点式即可解答本

题，注意x的取值范围.

【解答】解：由题意可得，

y=(x-30)(-3x+150)=-3(x-40)2+300,

：30WxW50,

••.x=40时，y取得最大值,此时y=300,

即销售单价定为40元时，每天的利润最大，最大利润是300元.

【点评】本题考查二次函数的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要

的条件.

25.(5分)如图，以^ABC的AB边为直径作。O,交BC于点D,过点D作。O

的切线DE,交AC于点E,且DELAC,连接EO.

(1)求证：AB=AC；

(2)若AB=5,AE=1,求tanNAEO的值.

C

【分析】（1）连接0D,如图，根据切线的性质得ODLDE,则可判断OD〃AC,

根据平行线的性质得NC=N1,加上NB=N1,则NC=NB,于是可判定AB=AC；

（2）连接AD,如图2.先利用三角形中位线性质得到OD=_L再证明ACDEs

2

△DAE,利用相似比求出DE=2,则利用正切定义得至八必/2=器-1，然后利

用OD〃AC得到NAE0=N2,所以得至八g/皿。」.

5

【解答】（1）证明：连接0D,如图，

,.•0D是。0半径，DE为。。的切线，

AODXDE,

VDEXAC,

.,.OD//AC,

AZC=Z1,

VOD=OB,

AZB=Z1,

NC=NB,

/•AB=AC；

（2）连接AD,如图.

VAB=5,AE=1,

.♦.OD百AC=AB=5,EC=4.

2

VAB是。0的直径，

NADB=90°,

AZADE+ZCDE=90°,

VZADE+ZDAE=90°,

I.NDAE=NCDE,

/.△CDE^ADAE,

.\DE2=CE«AE=4X1=4,

.♦.DE=2,

在Rt^EDO中，

13nA”OD5

VOD^AC,

AZAEO=Z2.

.’4

,,tanZ_AEO^r-

5

【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径.若出现圆的

切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系.简记作：见切点，

连半径，见垂直.也考查了相似三角形的判定与性质.

26.(5分)有这样一个问题：探究函数y=x-2的图象和性质.

X

小石根据学习函数的经验，对此函数的图象和性质进行了探究.

下面是小石的探究过程，请补充完整：

(1)函数的自变量X的取值范围是xWO

(2)下表是y与x的几组对应值.

X-3-2-1-1,1_1_1_123

2~3~3~2

y.工-117_17,17m17_

322~3

求m的值；

(3)如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点.根

据描出的点，画出此函数的图象；

(4)进一步探究，结合函数的图象，写出此函数的性质(一条即可)：当x<

0时，V随x的增大而增大；当x>0时，V随x的增大而增大.

X

【分析】（1）分母不等于0即可得；

（2）将x=l代入解析式即可得m的值；

（3）将各点分y轴左右两侧，按自变量总小到大用平滑曲线依次连接可得;

（4）结合图象可从函数的增减性、与y轴交点情况及对称性解答均可.

【解答】解：（1）函数y=x-2的自变量x的取值范围是xWO,

X

故答案为：xWO.

（2）当x=l时，y=l-2=-1,即m=-1.

（3）此函数的图象如右图所示.

y

（4）此函数的性质:

①当x<0时，y随x的增大而增大；当x>0时，y随x的增大而增大.

②关于原点成中心对称.

③函数的图象与y轴无交点.

故答案为：当x<0时，y随x的增大而增大；当x>0时，y随x的增大而增大

(一条即可).

【点评】本题主要考查反比例函数的图象和性质，会用描点法画出函数图象，利

用数形结合的思想写出函数的性质是解题的关键.

27.(7分)在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：y=x12+*4(3-m)x经过点A(-

1,0).

(1)求抛物线C的表达式；

(2)将抛物线C沿直线y=l翻折，得到的新抛物线记为Ci,求抛物线Ci的顶点

坐标；

(3)将抛物线C沿直线y=n翻折，得到的图象记为C2,设C与C2围成的封闭图

形为M,在图形M上内接一个面积为4的正方形(四个顶点均在M上)，且

这个正方形的边分别与坐标轴平行.求n的值.

1-IlliI

上…。；储"X-4-3-2-1012345X

-1-7

-2--2-

-3-十

-41出

备用图1雷用图2

【分析】(1)把点A(-1,0)代入y=x2+(3-m)x,根据待定系数法即可求得.

(2)把抛物线C的表达式化成顶点式，求得顶点P的坐标，然后求得关于直线

y=l的对称点P'的坐标，即为抛物线Ci的顶点坐标；

(3)由抛物线C的顶点式求得对称轴，然后根据正方形的边长求得B的坐标，

进而得出n-l=i，解得n=2.

44

【解答】解：(1):抛物线C：y=x2+(3-m)x经过点A(-1,0),

Al-(3-m)=0.

m=2.

「・抛物线C的表达式为y=x2+x.

(2).・•抛物线C：y=x2+x=(x+—)2--L,

24

・•.抛物线C的顶点为p(上，上)，如图1,

“24,

点p(蒋，得)关于直线y=l的对称点为丁(卷，

，抛物线Ci的顶点坐标为(蒋，

(3)•抛物线C：y=x2+x=(x+1)2-1,

24

・••抛物线的对称轴为x=」，

2

•••正方形的边长为2,

正方形的顶点B的坐标为(L,上)，如图2.

7

图2

图1

【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式以及二次函数的图象与几何

变换，熟练掌握轴对称的性质、正方形的性质是解题的关键.

28.(7分)已知^ABC是等边三角形，点D,E,F分别是边AB,BC,AC的中点，

点M是射线EC上的一个动点，作等边△DMN,使△DMN与^ABC在BC边

同侧，连接NF.

(1)如图1,当点M与点C重合时，直接写出线段FN与线段EM的数量关系；

(2)当点M在线段EC