2023北京东城高一（下）期末数学试卷含答案

2023北京东城高一（下）期末

数学

2023.7

本试卷共4页，满分100分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答

无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

第一部分（选择题共30分）

一、选择题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要

求的一项.

1.已知向量a力=（一1,2）.若。，则〃z=（）

1

A.2B.lC.-lD.——

2

2.若复数z满足i.z=l—2i,则z=（）

A.-2+iB.-2-i

C.l+2iD.-l+2i

3.某中学为了解在校高中学生的身高情况，在高中三个年级各随机抽取了10%的学生，并分别计算了三个

年级抽取学生的平均身高，数据如下表：

年级高一高二高三

抽样人数363430

平均身高XyZ

则该校高中学生的平均身高可估计为（）

A.3.6x+3.4y+3.0z

C.0.36元+0.349+0.302D.£±Z±£

4.已知圆锥的轴截面是一个边长为2的等边三角形，则该圆锥的体积为（）

兀B.万C.万D.2万

3

5.设为实数，若£±^=l+i,则（）

6-21

A.a=l,b=—1B.。=5,Z?=3

C.(2=l,b=2D.tz=1,/?=3

TT

6.将函数了=85%-sinx的图象向左平移,个单位，所得图象的函数解析式为（）

A.y=-V2sinxB.y=Vlcosx

C.y=-sine-cosxD.y=cosx+sinx

7.已知长方形墙ACEE把地面上民。两点隔开，该墙与地面垂直，长10米，高3米.已测得AB=6米,

3C=8米.现欲通过计算，能唯一求得民。两点之间的距离，需要进一步测量的几何量可以为（）

A.点。到AC的距离B.C。长度和长度

C.NACB和NADCD.CD长度和XACD

8.设,石为非零向量，修|=出|,贝！夹角为钝角”是“陌+/|<0|源"的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

9.如图，直三棱柱ABC—4与£中，尸为棱44的中点，。为线段4。上的动点.

以下结论中正确的是（）

A.存在点。，使5Q〃AC

B.不存在点。，使3。，与£

C.对任意点Q,都有

D.存在点。，使8。〃平面PCC1

10.如图，质点P在以坐标原点。为圆心，半径为1的圆上逆时针作匀速圆周运动，。的角速度大小为

2rad/s,起点凡为射线y=—x（x.0）与:一。的交点.则当喷才12时，动点P的纵坐标V关于/（单位:

s）的函数的单调递增区间是（）

第二部分(非选择题共70分)

二、填空题共5小题，每小题4分，共20分.

11.已知tancr=；,tan/?=；,则tan(a+4)的值为.

12.在边长为1的正方形ABCD中，E为AB中点，则AD-CE=.

13.下表是某市6月1日至14日的空气质量指数统计表.由表判断，从6月.日开始，连续三天的

空气质量指数方差最大.

日期1234567891011121314

空气质量指数6079905038263249486252383037

14.已知z为复数，且|z-2i|=l,写出满足上述条件的一个复数2=；忖的最大值为

15.金刚石也被称作钻石，是天然存在的最硬的物质，可以用来切割玻璃，也用作钻探机的钻头.金刚石经

常呈现如图所示的“正八面体”外形.正八面体由八个全等的等边三角形围成，体现了数学的对称美.下面给出

四个结论：

①AE〃平面8斤；

②平面ABE，平面BCE；

③过点E存在唯一一条直线与正八面体的各个面所成角均相等；

④以正八面体每个面的中心为顶点的正方体的棱长是该正八面体棱长的

其中所有正确结论的序号是.

三、解答题共5小题，共50分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.

16.（本小题10分）

25

在,ABC中，角4,8,。所对的边为”,"（:.。=一乃,4=—。.

37

（1）求sinA；

（2）若c=7,求.ABC的面积.

17.（本小题10分）

某市举办“强国有我，爱我中华”科技知识竞赛，赛后将参赛的2000名学生成绩分成4组：①60”尤＜70,

公布了如图所示的频率分布直方图.

（1）估计这2000名学生科技知识竞赛成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表）;

（2）某同学获知自己的成绩进入本次竞赛成绩前20%,估计该同学的成绩不低于多少分？

18.（本小题10分）

（1）若/（尤）为偶函数，求。的值;

（2）从下列三个条件中选择两个作为已知，使函数/（%）存在且唯一确定，并求/（%）在区间0,-上的

最大值与最小值.

条件①：/^=73+1；

条件②：-£■为/（%）的一个零点；

6

条件③：/（X）图象的相邻两条对称轴之间的距离为'.

注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得。分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个

解答计分.

19.（本小题10分）

如图，四棱锥尸-ABCD的底面是菱形，侧面八钻是正三角形，M是PZ）上一动点，N是中点.

P,

M

（1）当M是PZ）中点时，求证：PC〃平面BVN；

（2）若/ABC=60，求证：PC±AB；

PM

（3）在（2）的条件下，是否存在点M,使得PCLBM?若存在，求——的值；若不存在，请说明理

MD

由.

20.（本小题10分）

对于三维向量4=（%,/,ZJ（/,”,ZKeN,左=0,1,2,）,定义变换”：&+1=F（&）,其中，

4+1=X一％|，然+i=|%一zj,=区一”.记&）=—,同=xk+yk+zk.

⑴若4=（3,1,2）,求〈。2）及Ml|；

（2）证明：对于任意森，经过若干次歹变换后，必存在KeN*，使（。/=0；

（3）已知.=（p,2,q）（q..p）』4（=2024,将《再经过加次尸变换后，忸/1最小,求加的最小值.

参考答案

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

l.D2.B3.C4.A5.B

6.C7.D8.A9.C10.B

二、填空题共5小题，每小题4分，共20分.

11.112.-113.314.i；315.①④

三,解答题（共5小题，每小题10分，共50分）

16.（本小题10分）

25

解：（1）因为C=—7i,a=—c,

37

在,ABC中，由正弦定理得，s［nA=-sinC=-x—=^-

77214

(2)因为C=7,Q=3C,所以々=5.

7

2

在.ABC中，C=一兀，a=5,c=1,

3

根据余弦定理c?=/+匕2一2abcosC得，49=25+/—2X56X

整理得，从+5匕—24=0.

解得》=3或》=—8（舍）.

615班

7H

于sABC=—absinC=一义5x3x

22~T~4

17.（本小题10分）

解：（1）因为无=65x0.05+75x0.3+85x0.4+95x0.25=83.5,

所以这2000名学生竞赛成绩的平均数可以估计为835

（2）因为［90,100］这组数据占总数的25%,该同学的成绩进人本次竞赛成绩前20%,

20%

所以100—10X~A=92.

25%

所以可以估计该同学的成绩不低于92分.

18.（本小题10分）

解：⑴因为/（x）=asin2tox+2cos2eox（aeR,a）＞0）,

所以/（%）的定义域为R.

因为/（%）为偶函数，

所以Vx£R,/(-x)=/(x).

即VxeR,asin(-2队)+2cos2(一以)="sin2Gx+2cos2Gx.

即VxGR,asin2cox=0.

所以a=0.

(2)/(%)=asin2Gx+2cos2(^x

=6isin269x+cos2以+1

=y1a2+lsin(2cox+0)+1，其中tan°=工

a

选择条件①③：

因为函数/(尤)图象的相邻两条对称轴之间的距离为工，

2

rri、

所以一=石，即7=万.所以上=万，即。=1.

222d)

因为/1]]=必*+1,即Qsin,xw)+2COS?I=〃+1=+1,所以〃=

所以/(x)=2sin12x+V)+l.

因为滕加

2

所以噫必尤乃.

所以色轰电x+工—.

666

当2x+g=g,即％=工时，/(x)取得最大值3；

626

当2x+工=?工，即》=工时，/(%)取得最小值0.

662

选择条件②③：

因为函数/(%)图象的相邻两条对称轴之间的距离为

T121

所以一=—,即7=万.所以一=71,即。=1.

222。

因为-「为/(%)的一个零点，

6

即〃sin—2x一+2cos2---]=—QT—=0,所以a=

I6J[6J22

所以/(x)=2sin12x+?J+l.

因为oM：一,

2

所以噫必C71.

所以工效lx+2—.

666

当2%+工=2，即％=工时，/(x)取得最大值3；

626

当2%+工=1工，即》=工时，〃尤)取得最小值0.

662

19.(本小题10分)

解：⑴因为点M是尸。中点，点N是C。中点，所以上W〃尸C.

因为PC<Z平面BMN,MNu平面BMN,

所以PC〃平面的WN.

(2)如图，取AB中点P，连接AC,PF,。7.

因为侧面MB是正三角形，所以。尸_LAB.

因为底面A5CD是菱形，且/ABC=60，所以ABC是等边三角形.

所以CRLAB.

因为PF±AB,CF±AB,PFcCF=F,PF,CFu平面PFC,

所以A3,平面PPC.

因为PCu平面尸尸C,所以PCLAB.

(3)如图，取尸。中点E,连接BE,AE.

因为四棱锥P-A5CD的底面是菱形，侧面B45是正三角形，

所以PB=AB=BC.

所以

又因为PC_LAB,ABcBE=B,

所以PC，平面ABE.

过E作〃CD交于点M.

因为上河〃CD〃AB,

所以点Me平面ABE.

所以PC，平面BEM.

因为石为？。的中点，EM//CD,

所以=

20.（本小题10分）

解：⑴6=（2,1,1）,%=（1,0』），故他）=。』&|=2.

（2）设M=max{%,%,z力（左=0,1,2）,

假设对YkeN,4+户0,则xk+1,yk+1,z1均不为0.

所以

即必>蛆〉M>.

因为（左=1,2,）,

所以弧脸弧+庞.