面面垂直的判定和性质定理

关于面面垂直的判定和性质定理一、平面与平面垂直1．平面与平面垂直的定义

如果两个平面所成的二面角是直角（即成直二面角），就说这两个平面互相垂直．

思考：如果你是一个质检员，你怎样去检测、判断建筑中的一面墙和地面是否垂直呢？第2页,共34页，星期六，2024年，5月平面与平面垂直的判定定理：

如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直.αβa简记：线面垂直，则面面垂直.

面面垂直线面垂直线线垂直符号语言:第3页,共34页，星期六，2024年，5月如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．已知：AB⊥β，ABα（图1）．求证：α⊥β。∵AB⊥β，CDβ，两个平面垂直的判定定理证明：设α∩β=CD，∴AB⊥CD．在平面β内过点B作直线BE⊥CD，则∠ABE是二面角α-CD-β的平面角，而AB⊥BE，故α-CD-β是直二面角．∴α⊥β。第4页,共34页，星期六，2024年，5月探究1：ACBDA1C1B1D1面面垂直线面垂直线线垂直如图为正方体,请问哪些平面与面垂直?第5页,共34页，星期六，2024年，5月请问哪些平面是互相垂直的,为什么?ABCD探究2：第6页,共34页，星期六，2024年，5月3.两个平面垂直应用举例例1:AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，点C是⊙O上不同于A,B的任一点，求证：平面PAC⊥平面PBC．O第7页,共34页，星期六，2024年，5月4.在解题时注意应用.3.证明面面垂直要从寻找面的垂线入手;2.理解面面垂直的判定都要依赖面面垂直的定义;1.定义面面垂直是在建立在二面角的平面角的基础上的;小结：第8页,共34页，星期六，2024年，5月直线与平面垂直的性质平面与平面垂直的性质第9页,共34页，星期六，2024年，5月2.线面垂直判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直。

1.线面垂直定义：如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直，那么称这条直线和这个平面垂直。

复习回顾：3.平面与平面垂直的定义:如果两个平面所成的二面角是直角（即成直二面角），就说这两个平面互相垂直．4.两个平面垂直的判定定理:如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．

第10页,共34页，星期六，2024年，5月直线与平面垂直的性质

在平面内，如果两条直线同时垂直于另一条直线，那么这两条直线平行。在空间中有相同或者类似的结论吗？

观察下面的长方体，找出所有标记的线面之间的位置关系。线面垂直的性质定理1：垂直于同一个平面的两条直线平行。线面垂直的性质定理2：垂直于同一条直线的两个平面平行。第11页,共34页，星期六，2024年，5月

如果两个平面垂直，那么一个平面内的直线是否一定垂直于另一个平面?思考1：第12页,共34页，星期六，2024年，5月思考2：黑板所在平面与地面所在平面垂直，你能否在黑板上画一条直线与地面垂直?思考3：如果两个平面互相垂直，那么在第一个平面内垂直于交线的直线，是否垂直于第二个平面呢？第13页,共34页，星期六，2024年，5月[分析]在β内作BE⊥CD。要证AB⊥β，只需证AB垂直于β内的两条相交直线就行。思考2：如图2，α⊥β，ABα，AB⊥CD，α∩β=CD，求证：AB⊥β。两个平面垂直的性质定理1两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直．

而我们已经有AB⊥CD，只需寻求另一条就够了。而我们还有α⊥β这个条件没使用，由α⊥β定义，则∠ABE为直角，即有AB⊥BE，也就有AB⊥β，问题也就得到解决．

第14页,共34页，星期六，2024年，5月思考3：设平面α

⊥平面β，点P在平面α内，过点P作平面β的垂线a，直线a与平面α具有什么位置关系？第15页,共34页，星期六，2024年，5月β

cP已知：

⊥β，P∈

，P∈a,a⊥β.求证：a

∩证明：设

∩β=c，过点P在平面

内,

作直线b⊥c，根据上面的定理有b⊥β.因为经过一点只能有一条直线与平面β垂直，所以直线a应与直线b重合.所以a

.∩abβ

cPba第16页,共34页，星期六，2024年，5月两个平面垂直的性质定理2如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内一点且垂直于第二个平面的直线必在第一个平面内．两个平面垂直的性质定理1两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直．

第17页,共34页，星期六，2024年，5月1．给出下列四个命题：

①垂直于同一个平面的两个平面平行；

②垂直于同一条直线的两个平面平行；

③垂直于同一个平面的两条直线平行；

④垂直于同一条直线的两条直线平行．

其中正确的命题的个数是（

）．

A．1

B．2

C．3

D．4B

课堂练习：第18页,共34页，星期六，2024年，5月2．给出下列四个命题：（其中a，b表示直线，α，β，γ表示平面）。

①若a⊥b，a∥α，则b⊥α；

②若a∥α，α⊥β，则a⊥β；

③若β∥γ，α∥γ，则α⊥β；

④若α⊥β，a⊥β，则a∥α。

其中不正确的命题的个数是（

）．

A．1

B．2

C．3

D．4D第19页,共34页，星期六，2024年，5月

3．已知两个平面垂直，下列命题①一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线；②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线；③一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面；④过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面.其中正确的个数是（）（A）3（B）2（C）1（D）0第20页,共34页，星期六，2024年，5月4．若两个平面互相垂直，在第一个平面内的一条直线a垂直于第二个平面内的一条直线b，那么（）（A）直线a垂直于第二个平面;（B）直线b垂直于第一个平面;（C）直线a不一定垂直第二个平面;（D）过a的平面必垂直于过b的平面.第21页,共34页，星期六，2024年，5月解：在内作垂直于与交线的直线b，即直线a与平面平行。第22页,共34页，星期六，2024年，5月证明：如果两个相交平面都垂直于第三个平面，则它们的交线也垂直于该平面。第23页,共34页，星期六，2024年，5月小结：1.线面垂直的性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。垂直于同一条直线的两个平面平行。2.两个平面垂直的性质定理1两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直．

3.两个平面垂直的性质定理2如果两个平面垂直，那么经过第一个平面的一点垂直于第二个平面的直线，在第一个平面内．第24页,共34页，星期六，2024年，5月第25页,共34页，星期六，2024年，5月练习：如图，正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长都等于a，D、F分别是AC1、BB1的中点，（1）求证：DF//面A1B1C1（2）求证：DF⊥AC1,DF⊥BB1（3）求二面角F-AC1-C的大小。第26页,共34页，星期六，2024年，5月例1：如图，PA⊥矩形ABCD所在平面，M、N是边AB、PC的中点，PA=AD，求证：（1）MN//面PAD

（2）面MND⊥面PDCPDCBANM第27页,共34页，星期六，2024年，5月BFECPA例2：如图，已知AB是圆O的直径，C是圆周上不同于A、B的点，PA垂直于圆O所在的平面，AE⊥PB于E，AF⊥PF于F。求证：面AEF⊥面PAB第28页,共34页，星期六，2024年，5月例4：已知正方体的棱长是a,求点C到面A1BD的距离及直线A1C与面A1BD所成的角；ABCDA1D1C1B1第29页,共34页，星期六，2024年，5月第30页,共34页，星期六，2024年，5月第31页