open-2021年秋季福师《实变函数》在线作业二答案

福师《实变函数》在线作业二答案试卷总分:100得分:100一、判断题(共37道试题,共74分)1.R中任一非空开集是可数个互不相交的开区间之并.答案:正确2.f,g∈M(X),则fg∈M(X).答案:正确3.若f_n与g_n分别测度收敛于f与g，且f_n<=g_n，a.e.,n=1,2,…,则f<=g,a.e.答案:正确4.若f可测，则|f|可测，反之也成立.答案:错误5.闭集套定理的内容是：{F_k}是R^n中非空有界闭集的降列，则F_k对所有k取交集非空.答案:正确6.若f∈BV当且仅当f是两个增函数之差。答案:正确7.若f广义R可积且f不变号，则fL可积.答案:正确8.若|f|和f^2都是有界变差，则f为有界变差.答案:错误9.若f,g∈AC，则|f|,f+,f-,f+g,f-g,f/g(g不为0),f∧g,f∨g均属于AC。答案:正确10.函数f在[a,b]上为常数的充要条件是f在[a,b]上绝对连续且在[a,b]上几乎处处为零.答案:正确需要代或包学期加V：boge30619包满分11.绝对连续函数是一类特殊的连续有界变差函数。答案:正确12.可数个G_delta集之交和有限个G_delta集之并仍是G_delta集，但可数个G_delta集之并未必仍是G_delta集答案:正确13.三大积分收敛定理是积分论的中心结果。答案:正确14.增函数f在[a,b]上几乎处处可微。答案:正确15.存在某区间[a,b]上增函数f，使得f'(x)在[a,b]上积分值∫fdx<f(b)-f(a).答案:正确16.利用积分的sigma-可加性质(第二条款)可以证明绝对收敛级数各项可以任意重排。答案:正确17.若f,g∈BV，则f+g,f-g,fg均属于BV。答案:正确18.若f,g∈BV，|g|>c>0,则f/g属于BV。答案:正确19.可积的充分条件:若存在g∈L1,使得|f|<=g.答案:正确20.测度收敛的L可积函数列，其极限函数L可积.答案:错误21.设f:R->R可测，f(x+y)=f(x)+f(y),则f(x)=ax答案:正确22.f∈BV，则f至多有可数个间断点，而且只能有第一类间断点.答案:正确23.g的连续点是L点，但L点未必是连续点.答案:正确24.集合A可测等价于该集合的特征函数X_A可测答案:正确25.可数集的测度必为零，反之也成立.答案:错误26.若曲线L由参数方程x=f(t),y=g(t),z=h(t)给定，则L为可度曲线等价于f,h,g∈BV.答案:正确27.当f在(0,+∞)上一致连续且L可积时，则lim_{x->+∞}f(x)=0.答案:正确28.f∈BV，则f有“标准分解式”:f(x)=f(a)+p(x)-n(x),其中p(x),n(x)分别为f的正变差和负变差.答案:正确29.有界可测集的测度为有限数，无界可测集的测度为+∞答案:错误30.f可积的充要条件是f+和f-都可积.答案:正确31.函数f在区间[a,b]上Ｒ可积的充要条件是f在区间[a,b]上的不连续点集为零测度集.答案:错误32.若对任意有理数r,X(f=r)都可测，则f为可测函数.答案:错误33.对任意可测集E，若f在E上可积，则f的积分具有绝对连续性.答案:正确34.零测度集的任何子集都是可测集.答案:错误35.若f_n测度收敛于f，则1/f_n也测度收敛于1/f.答案:错误36.有限覆盖定理的内容是：若U是R^n中紧集F的开覆盖，则可以从U中取出有限子覆盖.答案:正确37.若f有界变差且g满足Lip条件，则复合函数g(f(x))也是有界变差.答案:正确二、单选题(共5道试题,共10分)38.fn->f,a.e.,则A.fn依测度收敛于fB.fn几乎一致收敛于fC.fn一致收敛于fD.|fn|->|f|,a.e.答案:D39.fn∈L(E),则fn->0,a.e.是∫Efndx->0（）A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.非充分非必要条件答案:D40.设g(x)是[0,1]上的有界变差函数，则f(x)=sinx-V0x(g)是[0,1]上的A.连续函数B.单调函数C.有界变差函数D.绝对连续函数答案:C41.若A为R^n中一疏集，则（）A.Ac为稠集B.A为开集C.A为孤立点集D.A不完备答案:A42.有限个可数集的乘积集是（）A.有限集B.可数集C.有连续统势的集D.基数为2^c的集答案:B三、多选题(共8道试题,共16分)43.若f∈BV[a,b]，则（）A.f为有界函数B.Vax(f)为增函数C.对任意c有Vab(f)=Vac(f)+Vcb(f)D.f至多有可数个第一类间断点答案:ABCD44.设E为R^n中的一个不可测集，则其特征函数是A.是L可测函数B.不是L可测函数C.有界函数D.连续函数答案:BC45.若f∈AC[a,b]，则（）A.f∈C[a,b]B.f∈BV[a,b]C.f(x)=f(a)+∫axf'(t)dtD.f∈Lip[a,b]答案:ABC46.在R上定义f，当x为有理数时f(x)=1，当x为无理数时f(x)=0，则（）A.f在R上处处不连续B.f在R上为可测函数C.f几乎处处连续D.f不是可测函数答案:AB47.若f不可测，g可测，则下列正确的是（）A.f+g不可测B.fg不可测C.g^2可测D.|g|可测答案:ACD48.设f为[a,b]上增函数，则f为（）A.几乎处处可微B.L可积C.f'可积D.区间[a,b]上积分值∫f'(x)dx=f(b)-f(a)答案:ABC49.若f