考研数学二(常微分方程)历年真题试卷汇编1(题后含答案及解析)

考研数学二（常微分方程）历年真题试卷汇编1(题后含答案及解析)题型有：1.选择题2.填空题3.解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1．(1989年)微分方程y〞－y＝eχ＋1的一个特解应具有形式(式中a，b为常数)【】A．aeχ＋bB．aχeχ＋bC．aeχ＋bχD．aχeχ＋bχ正确答案：B解析：y〞－y＝eχ＋1的特解应为方程y〞－y＝eχ和y〞－y＝1的特解之和，而特征方程为r2－1＝0，解得r＝±1因此y－y＝eχ的特解应为y1*＝aχeχ，y〞－y＝1的特解应为y2*＝b则原方程特解应具有形式y＝aχeχ＋b知识模块：常微分方程2．(1998年)已知函数y＝f(χ)在任意点χ处的增量△y＝＋α，其中α是比△χ(△χ→0)的高阶无穷小，且y(0)＝π，则y(1)＝【】A．B．2πC．πD．正确答案：A解析：由于△y与△χ＋α，其α是比△χ(△χ→0)高阶的无穷小，则解此变量可分离方程得y＝Cearctanχ，再由y(0)＝π得C＝π故y＝兀earctanχ，y(1)＝π知识模块：常微分方程3．(2000年)具有特解y1＝e－χ，y2＝2χe－χ，y3＝3eχ的三阶常系数齐次线性微分方程是【】A．y〞′－y〞－y′＋y＝0B．y〞′＋y〞－y′－y＝0C．y〞′－6y〞＋11y′－6y＝0D．y〞′－2y〞－y′＋2y＝0正确答案：B解析：由本题所给三个特解可知，所求方程的特征方程的根为λ1＝1，λ2＝－1(二重)，故特征方程是(λ－1)(λ＋1)2＝0，展开得λ3＋λ2－λ－1＝0从而，微分方程应为y′〞＋y′－y＝0，则应选B．知识模块：常微分方程4．(2002年)设y＝y(χ)是二阶常系数微分方程y〞＋py′＋qy＝e3χ满足初始条件y(0)＝y′(0)＝0的特解，则当χ→0时，函数的极限．【】A．不存在B．等于1C．等于2D．等于3正确答案：C解析：由于y(χ)是方程y〞＋py′＋qy＝e3χ满足初始条件y(0)＝y′(0)＝0的特解，在方程y〞＋py′＋qy＝e3χ中，令χ＝0得y〞(0)＋Py′(0)＋qy(0)＝e0＝1即y〞(0)＝1所以应选C．知识模块：常微分方程5．(2003年)已知y＝是微分方程y′＝的解，则φ()的表达式为【】A．B．C．D．正确答案：A解析：将y＝代入方程y′＝得故应选A．知识模块：常微分方程填空题6．(1994年)微分方程ydχ＋(χ2－4χ)dy＝0的通解为_______．正确答案：(χ－4)y4＝Cχ．解析：该方程是一个变量可分离方程，即(χ－4)y4＝Cχ知识模块：常微分方程7．(1995年)微分方程y〞＋y＝－2χ的通解为_______．正确答案：y＝－2χ＋C1cosχ＋C2sinχ．解析：特征方程为r2＋1＝0，解得r1＝i，r2＝－I齐次通解为＝C1cosχ＋C2sinχ易观察出非齐次一个特解为y*＝－2χ则原方程通解为y＝C1>cosχ＋C2sinχ－2χ知识模块：常微分方程8．(1996年)微分方程y〞＋2y′＋5y＝0的通解为_______．正确答案：y＝e－χ(C1cos2χ＋C2sin2χ)．解析：特征方程为r2＋2r＋5＝0，r1，2＝－1±2i故通解为y＝C1e－χcos2χ＋C2e－χsin2χ．知识模块：常微分方程9．(1999年)微分方程y〞－4y＝e2χ的通解为________．正确答案：y＝C1e－2χ＋(C2＋χ)e2χ(C1，C2为任意常数)．解析：特征方程为r2－4＝0，r1，2＝±2齐次通解为＝1e－2χ＋C2e2χ设非齐次方程特解为y*Aχe2χ代入原方程得A＝，故原方程通解为知识模块：常微分方程10．(2001年)过点(，0)且满足关系式y′arcsinχ＋＝1的曲线方程为_______·正确答案：yarcsinχ＝χ－．解析：由y′arcsinχ＋＝1知(yarcsinχ)′＝1则yarcsinχ＝χ＋C由因此yarcsinχ＝χ－知识模块：常微分方程11．(2002年)微分方程yy〞＋y′2＝0满足初始条件的特解是_______．正确答案：y2＝χ＋1或y＝解析：令y′＝P，则，y〞＝，代入原方程得则所求的特解为y2＝χ＋1．知识模块：常微分方程12．(2004年)微分方程(y＋χ3)dχ－2χdy＝0满足的特解为_______．正确答案：解析：方程(y＋χ3)dχ－2χdy＝0可改写为设方程为一阶线性方程，则其通解为由知C＝1，则所求特解为y＝知识模块：常微分方程13．(2005年)微分方程χy′＋2y＝χlnχ满足y(1)＝－的解为_______．正确答案：解析：方程χy＋2y＝χlnχ是一阶线性方程，方程两端同除以χ得：y′＋＝lnχ，则通解为由y(1)＝－得，C＝0，则知识模块：常微分方程解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。14．(1987年)求微分方程χ＝χ－y满足条件＝0的特解．正确答案：原方程改写为标准形式为由一阶线性微分方程求解公式知由初始条件＝0知，C＝－1．故所求特解为y＝涉及知识点：常微分方程15．(1987年)求微分方程y〞＋2y′＋y＝χeχ的通解．正确答案：特征方程为r2＋2r＋1＝0，r＝－1为二重根则齐次方程通解为＝(C1＋C2χ)e－χ．设非齐次方程特解为y*＝(A0＋A1χ)eχ，代入原方程得故原方程通解为y＝(C1＋C2χ)e－χ＋(χ－1)eχ涉及知识点：常微分方程16．(1988年)求微分方程的通解．正确答案：由一阶线性方程求解公式知涉及知识点：常微分方程17．(1988年)设函数y＝y(χ)满足微分方程y〞－3y′＋2y＝2eχ，其图形在点(0，1)处的切线与曲线y＝χ2－χ＋1在该点处的切线重合，求函数y的解析表达式．正确答案：特征方程为r2－2r＋2＝0解得r1＝1，r2＝2．则齐次方程通解为＝C1eχ＋C2e2χ设非齐次方程特解为y*＝Aχeχ，代入原方程得A＝－2故原方程通解为y＝C1eχ＋C1e2χ－2χeχ(*)又由题设y＝y(χ)的图形在点(0，1)处切线与曲线y＝χ2－χ＋1在该点的切线重合．由此可知y(0)＝1，y′(0)＝(2χ－1)｜χ＝0＝－1利用此条件由(*)式可得C1＝1，C2＝0因此所求解为y＝(1－2χ)eχ涉及知识点：常微分方程18．(1989年)求微分方程χy′＋(1－χ)y＝e2χ(0＜χ＜＋∞)满足y(1)＝0的解．正确答案：原方程改写为标准形式由一阶线性微分方程通解公式得代入初始条件y(1)＝0，得c＝－e故所求解为y＝涉及知识点：常微分方程19．(1989年分)设f(χ)＝sinχ－∫0χ(χ－t)f(t)dt，其中f为连续函数，求f(χ)．正确答案：原方程可改写为f(χ)＝sinχ－χ∫0χf(t)dt＋∫0χtf(t)dt上式两端对χ求导得f′(χ)＝cosχ＝∫0χf(t)dt－χf(χ)＋χ(f)χ＝cosχ－∫0χf(t)dt(*)两端再对χ求导得f〞(χ)＝－sinχ－f(χ)即f(χ)＋f(χ)＝－sinχ这是一个二阶线性非齐次方程，由原方程知f(0)＝0，由(*)式知f′(0)＝1．特征方程为r－1＝0，r＝±i齐次通解为＝C1sinχ＋C2cosχ设非齐次方程特解为y*＝χ(asinχ＋bcosχ)，代入f〞(χ)＋f(χ)＝－sinχ得a＝0，b＝则非齐次方程的通解为y＝C1sinχ＋C2cosχ＋cosχ由初始条件y(0)＝0和y′(0)＝1可知C1＝，C2＝0涉及知识点：常微分方程20．(1990年)求微分方程χlnχdy＋(y－lnχ)dχ＝0满足条件y｜χ＝e＝1的特解．正确答案：原方程改写为标准形式为其通解为由y｜χ＝e＝1知，C＝所以满足初始条件y｜χ＝e＝1的特解为涉及知识点：常微分方程21．(1990年)求微分方程y〞＋4y′＋4y＝eaχ之通解，其中a为实数．正确答案：特征方程为r2＋4r＋4＝0则齐次方程通解为＝(C1＋C2χ)e－2χ当a≠－2时，原方程特解可设为y*＝Aeaχ代入原方程得A＝故特解为y*＝当a＝－2时，原方程特解可设为y*＝Aχ2eaχ代入原方程得A＝故特解为y*＝χ2e－2χ综上所述，原方程通解为涉及知识点：常微分方程22．(1991年)求微分方程χy′＋y＝χeχ满足y(1)＝1的特解．正确答案：将原方程化为标准形式y′＋y＝eχ由一阶线性方程通解公式可知由y(1)＝1，得C＝1，故所求特解为y＝涉及知识点：常微分方程23．(1991年)求微分方程y〞＋y＝χ＋cosχ的通解．正确答案：易求得齐次方程通解为y＝C1cosχ＋C2sinχ设非齐次方程y〞＋y＝χ的特解为y1＝Aχ＋B代入方程得A＝1，B＝0，所以y＝χ设非齐次方程y〞＋y＝cosχ的特解为y＝Cχcos＋Dχsinχ代入方程解C＝0，D＝，所以y＝χsinχ故原方程通解为y＝C1cosχ＋C2sinχ＋χsinχ涉及知识点：常微分方程24．(1992年)求微分方程(y－χ3)dχ－2χdy＝0的通解．正确答案：将原方程化为标准形式由一阶线性微分方程通解公式知涉及知识点：常微分方程25．(1992年)求微分方程y〞－3y′＋2y＝χeχ的通解．正确答案：特征方程为r2－3r＋2—0解得r1＝1，r2＝2齐次方程通解为＝C1eχ＋C2e2χ设非齐次方程特解为y*＝χ(aχ＋b)eχ代入原方程得a＝－，b＝－1所以y*＝－(＋χ)eχ从而所求通解为y＝C1eχ＋C2e2χ－(＋χ)eχ涉及知识点：常微分方程26．(1993年)求微分方程(χ2－1)dy＋(2χy－cosχ)dχ＝0满足初始条件y｜χ＝1＝1的特解．正确答案：原方程化为标准型涉及知识点：常微分方程27．(1993年)设二阶常系数线性微分方程y〞＋αy′＋βy＝γeχ的一个特解为y＝e2χ＋(1＋χ)eχ，试确定常数α、β、γ，并求该方程的通解．正确答案：将y＝e2χ＋(1＋χ)eχ代入原方程得(4＋2α＋β)e2χ＋(3＋2α＋β)eχ＋(1＋α＋β)χeχ＝γeχ比较同类项的系数有解得α＝－3，β＝2，γ＝－1原方程为y〞－3y′＋2y＝－eχ其特征方程为r2－3r＋2＝0解得r1＝1，r2＝2故齐次通解为＝C1eχ+C2e2χ则原方程通解为y＝C1eχ＋C2e2χ＋e2χ＋(1＋χ)eχ涉及知识点：常微分方程28．(1994年)求微分方程y〞＋a2y＝sinχ的通解，其中常数a＞0．正确答案：特征方程为r2＋a2＝0，r＝±ai则齐次方程通解为y＝C1cosaχ＋C2sinaχ(1)当a≠1时，原方程特解可设为y*＝Asinχ＋Bcosχ代入原方程得A＝，B＝0所以y*＝sinχ(2)当a＝1时，原方程特解可设为y*＝χ(Asnχ＋Bcosχ)代入原方程得A＝0，B＝－所以y*＝－χcosχ综上所述当a≠1时，通解为y＝C1cosaχ＋C2sinaχ＋sinχ当a＝1时，通解为y＝C1cosχ＋C2sinaχ－χcosχ涉及知识点：常微分方程29．(1995年)设y＝eχ是微分方程χy′＋p(χ)y＝χ的一个解，求此微分方程满足条件y｜χ＝ln2＝0。的特解．正确答案：将y＝eχ代入原方程得χeχ＋p(χ)eχ＝χ得p(χ)＝χe－χ－χ代入原方程得χy′＋(χe－χ－χ)y＝χ即y′＋(e－χ－1)y＝1解此线性方程得通解y＝eχ＋由y｜＝ln2＝0得C＝－故所求特解为y＝eχ－涉及知识点：常微分方程30．(1996年)求微分方程y〞＋y′＝χ2的通解．正确答案：特征方程为r2＋r＝0，r1＝0，r2＝－1则齐次通解为＝C1＋C2e－χ设非齐次方程特解为y*＝χ(aχ2＋bχ＋c)，代入原方程得a＝，b＝－1，c＝2因此，原方程通解为y＝χ3－χ2＋2χ＋C1＋C2e－χ涉及知识点：常微分方程31．(1996年)设f(χ)为连续函数．(1)求初值问题的解y(χ)，其中a是正常数；(2)若｜f(χ)｜≤k(k为常数)，证明：当χ≥0时，有｜y(χ)｜≤(1－e－aχ)正确答案：(1)原方程通解是y(χ)＝e－aχ[∫f(χ)eaχdχ＋C]＝e－aχ[F(χ)＋C]其中F(χ)是f(χ)eaχ的任一原函数，由y(0)＝0得C＝－F(0)故y(χ)＝e－aχ[F(χ)－F(0)]＝e－aχ∫0χeatf(t)dt(2)｜y(χ)｜≤e－aχ∫0χ｜f(t)｜eatdt≤keaχ∫0χeatdt≤e－aχ(eaχ－1)＝(1－e－aχ)，χ≥0涉及知识点：常微分方程32．(1997年)求微分方程(3χ2＋2χy－y2)dχ＋(χ2－2χy)dy＝0的通解．正确答案：令y＝χu，则解之得u2－u＝1＝Cχ－3，即y2－χy－χ2＝Cχ－1涉及知识点：常微分方程33．(1997年)已知y1＝χeχ＋e2χ，y2＝χeχ＋e－χ，y3＝χeχ＋e2χ－e－χ是某二阶线性非齐次微分方程的三个解，求此微分方程．正确答案：由题设知e2χ与e－χ是相应齐次方程两个线性无关的解，且χeχ是非齐次方程一个特解，故此方程是y〞－y′－2y＝f(χ)将y＝χeχ代入上式得f(χ)＝(χeχ