2024年浙江省宁波市北仑区中考数学一模试卷

第1页（共1页）2024年浙江省宁波市北仑区中考数学一模试卷一、选择题（每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1．（3分）如果把收入2024元记作+2024，那么支出2024元记作（）A．2024 B． C．|2024| D．﹣20242．（3分）下列图形中，是中心对称图形的是（）A． B． C． D．3．（3分）据报道，第19届杭州亚运会的参赛运动员达到12500人，属于历史之最（）A．0.125×105 B．1.25×105 C．1.25×104 D．12.5×1034．（3分）如图所示的几何体是由一个圆锥体和一个圆柱体组成的，它的主视图是（）A． B． C． D．5．（3分）要从两名水平相当的射击运动员中挑选出成绩更稳定的选手，应关注的统计量是（）A．众数 B．方差 C．中位数 D．平均数6．（3分）不等式组的解集在数轴上表示为（）A． B． C． D．7．（3分）如图，在△ABC中，AH是高线，若∠CAH＝30°，EF＝2（）A．2 B． C．3 D．8．（3分）元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中，记载了这样一道题：良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，问良马几何日追及之？其大意是：快马每天行240里，慢马每天行150里，快马几天可追上慢马？若设快马x天可追上慢马，由题意得（）A．＝ B．＝﹣12 C．240（x﹣12）＝150x D．240x＝150（x+12）9．（3分）在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣1，y1）、B（2，y2）、C（4，y3）是抛物线y＝ax2+bx（a＞0）上的三个点，若y2＜y1＜y3且y1y2＜0，抛物线对称轴为x＝t，则t的取值范围是（）A． B． C． D．10．（3分）如图，在△ABC中，AB＝BC＝AC，以F为顶点作一个60°的角交AB、BC边于D、E两点，连结DE（）A．△ADF的周长 B．△BDE的周长 C．△CEF的周长 D．△DEF的周长二、填空题（每小题4分，共24分）11．（4分）写一个比大的无理数．12．（4分）因式分解：a2﹣ab＝13．（4分）一个不透明的袋子里装有1个白球、3个黑球和6个红球，它们除颜色外其余都相同．从袋中随机摸出一个球为黑球的概率为．14．（4分）如图，正五边形ABCDE的边长为2，以顶点A为圆心，图中阴影部分的面积为．15．（4分）如图，Rt△ABC顶点A落在y轴上，斜边上的中线CD⊥x轴于点D，反比例函数经过直角顶点C，则k的值为．16．（4分）如图，边长为6的菱形ABCD中，∠A＝60°，CF＝2，将四边形AEFD沿着EF折叠得到四边形A′D′FE，∠A′BE+∠D′BC＝，此时D′F交BC边于点G，BG的长为．三、解答题（本大题有7小题，共66分）17．（6分）（1）计算：；（2）化简：（x+1）（x﹣1）+x（1﹣x）．18．（8分）在5×3的方格纸中，△ABC的顶点均在格点上，请按下列要求作图．（1）在图1中，作线段BD，使得BD∥AC；（2）在图2中，作线段BE，使得BE平分AC19．（8分）5月12日是我国“防灾减灾日”．为增强学生防灾减灾意识，某区举行防灾减灾安全知识竞赛．竞赛结束后，发现所有参赛学生的成绩（满分100分）（用x表示）分为四组：A组（60≤x＜70），B组（70≤x＜80）（80≤x＜90），D组（90≤x≤100），绘制了如下不完整的频数分布直方图和扇形统计图．根据以上信息，解答下列问题：（1）通过计算补全频数分布直方图；（2）扇形统计图中A组所对应的圆心角的度数为；（3）根据小明学校成绩，估计全区参加竞赛的5000名学生中有多少人的成绩不低于80分？20．（10分）某临街商铺想做一款落地窗以展示商品，为防止商品久晒受损，需保证冬至日正午时分太阳光不能照进落地窗．如图，遮阳棚前段下摆的自然垂直长度BC＝30cm，遮阳棚的固定高度AD＝240cm．（1）如图1，求遮阳棚上的B点到墙面AD的距离；（2）如图2，冬至日正午时，该商铺所在地区的太阳的高度角约是53°（光线EC与地面的夹角）（参考数据sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈）21．（10分）如图，一次函数y＝k1（x﹣1）+3与反比例函数（k1k2≠0）的图象相交于A（1，m）、两点．（1）求m、n的值；（2）直接写出不等式的解集；（3）过A、B两点分别作x轴的平行线和垂线，四条直线的另两个交点为C、D，求证：直线CD经过原点．22．（12分）周末，小明和同学们一起去长江路地铁站坐地铁．在等车的过程中，他惊叹于地铁每次都能精准的停靠在停止线上．为什么每次地铁停靠都那么准呢？里面一定包含着数学知识!通过工作人员帮助t（秒）04812162024…S（米）256196144100643616…当小明拿到这些数据时，他作了如下的思考：（1）依据数学经验，小明需要将这些数据绘制在平面直角坐标系中，并用平滑的曲线进行连线，请你在图中落实他的想法；（2）根据图象以及数据关系，它可能是我们所学习过的函数图象（选填“一次”、“二次”或“反比例”）．请你选择合适的数据求出该函数的表达式；（3）地铁从开始刹车到下次启动一共用时60秒．求地铁的停靠时间．（停靠时间指的是地铁刹停后的静止时间）23．（12分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AC⊥BD．（1）∠BCO+∠BAC＝；（2）如图2，若半径OC∥AD．①求证：AB＝AC；②若OC：CD＝5：6，求tan∠ACD的值．（3）如图3，过D作DF⊥BC于点H，交AC于点F，若AD＝5，，求OF的长．

2024年浙江省宁波市北仑区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1．（3分）如果把收入2024元记作+2024，那么支出2024元记作（）A．2024 B． C．|2024| D．﹣2024【解答】解：收入2024元记作+2024，那么支出2024元记作﹣2024，故选：D．2．（3分）下列图形中，是中心对称图形的是（）A． B． C． D．【解答】解：选项A、C、D均不能找到这样的一个点，所以不是中心对称图形；选项B能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合．故选：B．3．（3分）据报道，第19届杭州亚运会的参赛运动员达到12500人，属于历史之最（）A．0.125×105 B．1.25×105 C．1.25×104 D．12.5×103【解答】解：12500＝1.25×104，故选：C．4．（3分）如图所示的几何体是由一个圆锥体和一个圆柱体组成的，它的主视图是（）A． B． C． D．【解答】解：从正面看，底层是一个矩形．故选：A．5．（3分）要从两名水平相当的射击运动员中挑选出成绩更稳定的选手，应关注的统计量是（）A．众数 B．方差 C．中位数 D．平均数【解答】解：要从两名水平相当的射击运动员中挑选出成绩更稳定的选手，应关注的统计量是方差，故选：B．6．（3分）不等式组的解集在数轴上表示为（）A． B． C． D．【解答】解：解不等式＞7，解不等式5﹣3x≥﹣5，得：x≤2，则不等式组的解集为1＜x≤7，故选：C．7．（3分）如图，在△ABC中，AH是高线，若∠CAH＝30°，EF＝2（）A．2 B． C．3 D．【解答】解：∵EF是△ABC的中位线，∴AC＝2EF＝2×2＝4，∵AH是高线，∴∠AHC＝90°，∵∠CAH＝30°，∴CH＝AC＝2，故选：A．8．（3分）元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中，记载了这样一道题：良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，问良马几何日追及之？其大意是：快马每天行240里，慢马每天行150里，快马几天可追上慢马？若设快马x天可追上慢马，由题意得（）A．＝ B．＝﹣12 C．240（x﹣12）＝150x D．240x＝150（x+12）【解答】解：∵慢马先行12天，快马x天可追上慢马，∴快马追上慢马时，慢马行了（x+12）天．根据题意得：240x＝150（x+12）．故选：D．9．（3分）在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣1，y1）、B（2，y2）、C（4，y3）是抛物线y＝ax2+bx（a＞0）上的三个点，若y2＜y1＜y3且y1y2＜0，抛物线对称轴为x＝t，则t的取值范围是（）A． B． C． D．【解答】解：由题意，∵A（﹣1，y1）、B（3，y2）在抛物线y＝ax2+bx上，∴y6＝a﹣b，y2＝4a+7b．又y1y2＜4，∴（a﹣b）（4a+2b）＜4．∴2a2（2﹣）（2+．又a＞0，∴（5﹣）（2+．∴（﹣1）（．∴＞3或．∴﹣＜﹣＞1．∵y2＜y4＜y3，抛物线开口向上，∴|t﹣2|＜|t+5|＜|t﹣4|．下面分两种情形进行讨论．（1）当t＞1时．①7＜t＜2．∴2﹣t＜t+7＜4﹣t．∴＜t＜．∴此时2＜t＜．②当7≤t≤4时，∵|t﹣2|＜|t+2|＜|t﹣4|，∴t﹣2＜t+3＜4﹣t．∴t＜．又2≤t≤4，∴此时无解．③当t＞7时，∴t﹣2＜t+1＜t﹣8．∴此时无解．从上可得，1＜t＜．（2）当t＜﹣时，①当t＜﹣4时，∵|t﹣2|＜|t+1|＜|t﹣7|，∴2﹣t＜﹣t﹣1＜2﹣t．∴此时无解．②当﹣1≤t＜﹣时，∵|t﹣2|＜|t+1|＜|t﹣6|，∴2﹣t＜t+1＜6﹣t．∴＜t＜．∴此时无解．从上可得，当t＜﹣1时．综上，8＜t＜．故选：C．10．（3分）如图，在△ABC中，AB＝BC＝AC，以F为顶点作一个60°的角交AB、BC边于D、E两点，连结DE（）A．△ADF的周长 B．△BDE的周长 C．△CEF的周长 D．△DEF的周长【解答】解：如图，取AB中点G，在ED上截取EH＝EC，由∠EFD＝∠ECF＝∠FAD＝60°，∴∠EFC+∠FEC＝∠EFC+∠AFD＝120°，∴∠CEF＝∠AFD，∴△CEF∽△AFD，∵AF＝CF，∴，∵∠EFD＝∠ECF，∴△CEF∽△FED，即△CEF∽△FED∽△AFD，∴∠CEF＝∠FED，∴△ECF≌△EHF（SAS），∴∠FHE＝∠FGA＝60°，∴∠FHD＝∠FGD＝120°，∵∠FDH＝∠FDG，∴△FDH≌△FDG（AAS），∴DG＝DH，∴C△BDE＝BE+DE+BD＝BE+EH+DH+BD＝BC+BG＝BC，即为△ABC周长的一半，故选：B．二、填空题（每小题4分，共24分）11．（4分）写一个比大的无理数．【解答】解：故答案为：（答案不确定，比12．（4分）因式分解：a2﹣ab＝a（a﹣b）【解答】解：a2﹣ab＝a（a﹣b）．故答案为：a（a﹣b）．13．（4分）一个不透明的袋子里装有1个白球、3个黑球和6个红球，它们除颜色外其余都相同．从袋中随机摸出一个球为黑球的概率为．【解答】解：∵袋子中共1+3+7＝10个球，其中黑球有3个，∴从中随机摸出一个球为黑球的概率为，故答案为：．14．（4分）如图，正五边形ABCDE的边长为2，以顶点A为圆心，图中阴影部分的面积为．【解答】解：∵五边形ABCDE是正五边形，∴∠A＝＝108°，∴S阴影部分＝S扇形ABE＝＝．故答案为：．15．（4分）如图，Rt△ABC顶点A落在y轴上，斜边上的中线CD⊥x轴于点D，反比例函数经过直角顶点C，则k的值为10．【解答】解：连接OC，如下图所示：∵在Rt△ABC中，斜边上的中线CD⊥x轴于点D，∴S△ACD＝S△BCD＝5，CD∥y轴，∴△OCD和△ACD的公共边CD上的高相等，∴S△OCD＝S△ACD＝5，∵反比例函数经过直角顶点C，∴根据反比例函数比例系数k的几何意义得：S△OCD＝|k|，∴|k|＝7S△OCD＝10，∵反比例函数的图象在第一象限，∴k＝10．故答案为：10．16．（4分）如图，边长为6的菱形ABCD中，∠A＝60°，CF＝2，将四边形AEFD沿着EF折叠得到四边形A′D′FE，∠A′BE+∠D′BC＝60°，此时D′F交BC边于点G，BG的长为．【解答】解：连接BF，延长AB，在CB上截取CH＝CF＝2，以BD'，连接MH∵菱形ABCD，∠A＝60°，∴∠ABC＝180°﹣∠A＝120°，∵A'、B、D'三点在同一条直线上，∴∠A'BE+∠D'BC＝180°﹣∠ABC＝60°，∵FC＝CH＝2，∠C＝∠A＝60°，∴△CFH为等边三角形，∴∠CHF＝60°，FH＝CF＝5，由折叠得：FD'＝FD＝CD﹣CF＝4，BH＝BC﹣CH＝4，∵▱F'DBM，∴BM＝BH＝5，∠FMB＝∠FD'B＝120°，∴∠BMH＝∠BHM，∵∠BHF＝180°﹣∠CHF＝180°﹣60°＝120°，∴∠FMH＝∠FMB﹣∠BMH＝∠FHB﹣∠BHM＝∠FHM，∴FM＝FH＝2，∴BD'＝FM＝2，∴A'B＝A'D'﹣BD'＝AD﹣BD'＝5﹣2＝4，∵FD∥AE，∴FD∥A'E，即D'I∥A'E，∴△BA'E∽△BD'I，∴，设A'E＝AE＝x，则BE＝2﹣x，∴，，∵DF∥AB，∴∠DFE＝∠IEF，由折叠知：∠DFE＝∠IFE，∴∠IFE＝∠IEF，∴IF＝IE，∴F'D+D'I＝BE+BI，∴，解得：，∴，∴，∵BI∥CF，∴△BIG∽△CFG，∴，∴，∵BC＝BG+CG＝7，∴，解得：．故答案为：60°；．三、解答题（本大题有7小题，共66分）17．（6分）（1）计算：；（2）化简：（x+1）（x﹣1）+x（1﹣x）．【解答】解：（1）＝5﹣4×+＝8﹣2+＝；（2）（x+8）（x﹣1）+x（1﹣x）＝x7﹣1+x﹣x2＝x﹣518．（8分）在5×3的方格纸中，△ABC的顶点均在格点上，请按下列要求作图．（1）在图1中，作线段BD，使得BD∥AC；（2）在图2中，作线段BE，使得BE平分AC【解答】解：（1）如图1中，线段BD即为所求；（2）如图2中，线段BE即为所求．19．（8分）5月12日是我国“防灾减灾日”．为增强学生防灾减灾意识，某区举行防灾减灾安全知识竞赛．竞赛结束后，发现所有参赛学生的成绩（满分100分）（用x表示）分为四组：A组（60≤x＜70），B组（70≤x＜80）（80≤x＜90），D组（90≤x≤100），绘制了如下不完整的频数分布直方图和扇形统计图．根据以上信息，解答下列问题：（1）通过计算补全频数分布直方图；（2）扇形统计图中A组所对应的圆心角的度数为36°；（3）根据小明学校成绩，估计全区参加竞赛的5000名学生中有多少人的成绩不低于80分？【解答】解：（1）由频数分布直方图可知：C组是100人，由扇形统计图可知：C组占小明所在学校参加竞赛学生的25%，∴小明所在学校参加竞赛学生人数为：100÷25%＝400（人），∴B组的人数为：400×20%＝80（人），∴补全频数分布直方图如图所示：（2）由频数分布直方图可知：A组是40人，∴A组人数占班级人数的百分比为：40÷400＝10%，∴A组所对应的圆心角的度数为：360°×10%＝36°；故答案为：36°；（3）5000×＝3500（人），答：估计全区参加竞赛的5000名学生中有3500人的成绩不低于80分．20．（10分）某临街商铺想做一款落地窗以展示商品，为防止商品久晒受损，需保证冬至日正午时分太阳光不能照进落地窗．如图，遮阳棚前段下摆的自然垂直长度BC＝30cm，遮阳棚的固定高度AD＝240cm．（1）如图1，求遮阳棚上的B点到墙面AD的距离；（2）如图2，冬至日正午时，该商铺所在地区的太阳的高度角约是53°（光线EC与地面的夹角）（参考数据sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈）【解答】解：（1）如图，过点B作BK⊥AD于点K，∵AB＝130cm，sin∠BAD＝，∴，∴BK＝120，即的B点到墙面AD的距离为120cm；（2）过点C作CH⊥DG于点H，设直线CE交DG于点F，由勾股定理得，AK＝，∴DK＝AD﹣AK＝240﹣50＝190（cm），∴BC＝DK＝190cm，又∵BC＝30cm，∴CH＝190﹣30＝160（cm），又∵∠CFH＝53°，∴tan∠CFH＝，∴，∴FH＝120，由（1）知，BK＝120cm，∴DG＝BK＝120cm，∴FH＝DG，∴该商铺的落地窗方案可行．21．（10分）如图，一次函数y＝k1（x﹣1）+3与反比例函数（k1k2≠0）的图象相交于A（1，m）、两点．（1）求m、n的值；（2）直接写出不等式的解集；（3）过A、B两点分别作x轴的平行线和垂线，四条直线的另两个交点为C、D，求证：直线CD经过原点．【解答】（1）解：当x＝1时，一次函数m＝k1（4﹣1）+3＝2，∴A（1，3），∵A（2，m）、．∴3×m＝﹣，即3＝﹣，∴n＝﹣2．∴m＝3，n＝﹣2．（2）解：由（1）可知A（2，3），﹣），根据函数图象可知不等式的解集为：x＞1或﹣3＜x＜0．（3）证明：由（1）可知，A（1，B（﹣7，﹣），根据题意可得C（﹣5，3），﹣），设直线CD解析式为y＝kx+b，代入C，解得，∴直线CD解析式为y＝﹣，故直线CD经过原点．22．（12分）周末，小明和同学们一起去长江路地铁站坐地铁．在等车的过程中，他惊叹于地铁每次都能精准的停靠在停止线上．为什么每次地铁停靠都那么准呢？里面一定包含着数学知识!通过工作人员帮助t（秒）04812162024…S（米）256196144100643616…当小明拿到这些数据时，他作了如下的思考：（1）依据数学经验，小明需要将这些数据绘制在平面直角坐标系中，并用平滑的曲线进行连线，请你在图中落实他的想法；（2）根据图象以及数据关系，它可能是我们所学习过的二次函数图象（选填“一次”、“二次”或“反比例”）．请你选择合适的数据求出该函数的表达式；（3）地铁从开始刹车到下次启动一共用时60秒．求地铁的停靠时间．（停靠时间指的是地铁刹停后的静止时间）【解答】解：（1）描点，连线（2）根据图象以及数据关系，它可能是我们所学习过的二次函数，设S＝at2+bt+c，将点（0，将（5，196），144）代入S＝ax2+bx+256中，得：，解得：，∴该函数的表达式为S＝x2﹣16x+256；故答案为：二次；（3）依题意，当S＝7时，x7﹣16x+256＝0，解得：t1＝t2＝32，∴60﹣32＝28，∴地铁的停靠时间为28秒．23．（12分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AC⊥BD．（1）∠BCO+∠BAC＝90°；（2）如图2，若半径OC∥AD．①求证：AB＝AC；②若OC：CD＝5：6，求tan∠A