培优冲刺 二次函数与几何的综合 中考数学

培优冲刺02二次函数与几何的综合1、二次函数与特殊四变形的综合2、二次函数与最值的综合3、二次函数与相似的综合4、二次函数与新定义的综合题型一：二次函数与特殊四边形的综合此类问题都是在抛物线的基础之上与平行四边形、特殊平行四边形结合，考察特殊平行四边形的性质或者存在性问题；做题时需要将二者的性质结合思考，共同应用。【中考真题练】1．（2023•扬州）在平面直角坐标系xOy中，已知点A在y轴正半轴上．（1）如果四个点（0，0）、（0，2）、（1，1）、（﹣1，1）中恰有三个点在二次函数y＝ax2（a为常数，且a≠0）的图象上．①a＝；②如图1，已知菱形ABCD的顶点B、C、D在该二次函数的图象上，且AD⊥y轴，求菱形的边长；③如图2，已知正方形ABCD的顶点B、D在该二次函数的图象上，点B、D在y轴的同侧，且点B在点D的左侧，设点B、D的横坐标分别为m、n，试探究n﹣m是否为定值．如果是，求出这个值；如果不是，请说明理由．（2）已知正方形ABCD的顶点B、D在二次函数y＝ax2（a为常数，且a＞0）的图象上，点B在点D的左侧，设点B、D的横坐标分别为m、n，直接写出m、n满足的等量关系式．2．（2023•枣庄）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），C（0，3）两点，并交x轴于另一点B，点M是抛物线的顶点，直线AM与y轴交于点D．（1）求该抛物线的表达式；（2）若点H是x轴上一动点，分别连接MH，DH，求MH+DH的最小值；（3）若点P是抛物线上一动点，问在对称轴上是否存在点Q，使得以D，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．3．（2023•济宁）如图，直线y＝﹣x+4交x轴于点B，交y轴于点C，对称轴为的抛物线经过B，C两点，交x轴负半轴于点A，P为抛物线上一动点，点P的横坐标为m，过点P作x轴的平行线交抛物线于另一点M，作x轴的垂线PN，垂足为N，直线MN交y轴于点D．（1）求抛物线的解析式；（2）若，当m为何值时，四边形CDNP是平行四边形？（3）若，设直线MN交直线BC于点E，是否存在这样的m值，使MN＝2ME？若存在，求出此时m的值；若不存在，请说明理由．【中考模拟练】1．（2024•新沂市模拟）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx﹣3的图象交x轴于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，交y轴于点C，点P在线段OB上，过点P作PD⊥x轴，交抛物线于点D，交直线BC于点E．（1）a＝，b＝；（2）在点P运动过程中，若△CDE是直角三角形，求点P的坐标；（3）在y轴上是否存在点F，使得以点C、D、E、F为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．题型二：二次函数与最值的综合1、二次函数本身可以转化成顶点式求最值；2、抛物线上不规则三角形求面积最大值，常用“水平宽×铅垂高÷2”来计算【中考真题练】1．（2023•荆州）已知：y关于x的函数y＝（a﹣2）x2+（a+1）x+b．（1）若函数的图象与坐标轴有两个公共点，且a＝4b，则a的值是；（2）如图，若函数的图象为抛物线，与x轴有两个公共点A（﹣2，0），B（4，0），并与动直线l：x＝m（0＜m＜4）交于点P，连接PA，PB，PC，BC，其中PA交y轴于点D，交BC于点E．设△PBE的面积为S1，△CDE的面积为S2．①当点P为抛物线顶点时，求△PBC的面积；②探究直线l在运动过程中，S1﹣S2是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由．2．（2023•重庆）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+2过点（1，3），且交x轴于点A（﹣1，0），B两点，交y轴于点C．（1）求抛物线的表达式；（2）点P是直线BC上方抛物线上的一动点，过点P作PD⊥BC于点D，过点P作y轴的平行线交直线BC于点E，求△PDE周长的最大值及此时点P的坐标；（3）在（2）中△PDE周长取得最大值的条件下，将该抛物线沿射线CB方向平移个单位长度，点M为平移后的抛物线的对称轴上一点．在平面内确定一点N，使得以点A，P，M，N为顶点的四边形是菱形，写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程．【中考模拟练】1．（2024•东平县一模）如图，在平面直角坐标系中，点A、B在x轴上，点C、D在y轴上，且OB＝OC＝3，OA＝OD＝1，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过A、B、C三点，直线AD与抛物线交于另一点M．（1）求这条抛物线的解析式；（2）在抛物线对称轴上是否存在一点N，使得△ANC的周长最小，若存在，请求出点N的坐标，若不存在，请说明理由；（3）点E是直线AM上一动点，点P为抛物线上直线AM下方一动点，EP∥y轴，当线段PE的长度最大时，请求出点E的坐标和△AMP面积的最大值．题型三：二次函数与相似的综合【中考真题练】1．（2023•乐至县）如图，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，抛物线经过A、B两点．（1）求抛物线的表达式；（2）点D是抛物线在第二象限内的点，过点D作x轴的平行线与直线AB交于点C，求DC的长的最大值；（3）点Q是线段AO上的动点，点P是抛物线在第一象限内的动点，连结PQ交y轴于点N．是否存在点P，使△ABQ与△BQN相似，若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．2．（2023•朝阳）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴分别交于点A（﹣2，0），B（4，0），与y轴交于点C，连接BC．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，点P是第一象限内抛物线上的一个动点，过点P作直线l⊥x轴于点M（m，0），交BC于点N，连接CM，PB，PC．△PCB的面积记为S1，△BCM的面积记为S2，当S1＝S2时，求m的值；（3）在（2）的条件下，点Q在抛物线上，直线MQ与直线BC交于点H，当△HMN与△BCM相似时，请直接写出点Q的坐标．【中考模拟练】1．（2024•东莞市一模）已知：在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线y＝﹣x+3与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过B、C两点，与x轴的另一交点为点A．（1）如图1，求抛物线的解析式；（2）如图2，点D为直线BC上方抛物线上一动点，连接AC、CD，设直线BC交线段AD于点E，△CDE的面积为S1，△ACE的面积为S2．当时，求点D的坐标；（3）在（2）的条件下，且点D的横坐标小于2，是否在数轴上存在一点P，使得以A、C、P为顶点的三角形与△BCD相似，如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．题型四：二次函数与新定义的综合【中考真题练】1．（2023•南通）定义：平面直角坐标系xOy中，点P（a，b），点Q（c，d），若c＝ka，d＝﹣kb，其中k为常数，且k≠0，则称点Q是点P的“k级变换点”．例如，点（﹣4，6）是点（2，3）的“﹣2级变换点”．（1）函数y＝﹣的图象上是否存在点（1，2）的“k级变换点”？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由；（2）动点A（t，t﹣2）与其“k级变换点”B分别在直线l1，l2上，在l1，l2上分别取点（m2，y1），（m2，y2）．若k≤﹣2，求证：y1﹣y2≥2；（3）关于x的二次函数y＝nx2﹣4nx﹣5n（x≥0）的图象上恰有两个点，这两个点的“1级变换点”都在直线y＝﹣x+5上，求n的取值范围．2．（2023•鄂州）某数学兴趣小组运用《几何画板》软件探究y＝ax2（a＞0）型抛物线图象．发现：如图1所示，该类型图象上任意一点P到定点F（0，）的距离PF，始终等于它到定直线l：y＝﹣的距离PN（该结论不需要证明）．他们称：定点F为图象的焦点，定直线l为图象的准线，y＝﹣叫做抛物线的准线方程．准线l与y轴的交点为H．其中原点O为FH的中点，FH＝2OF＝．例如，抛物线y＝2x2，其焦点坐标为F（0，），准线方程为l：y＝﹣，其中PF＝PN，FH＝2OF＝．【基础训练】（1）请分别直接写出抛物线y＝x2的焦点坐标和准线l的方程：，；【技能训练】（2）如图2，已知抛物线y＝x2上一点P（x0，y0）（x0＞0）到焦点F的距离是它到x轴距离的3倍，求点P的坐标；【能力提升】（3）如图3，已知抛物线y＝x2的焦点为F，准线方程为l．直线m：y＝x﹣3交y轴于点C，抛物线上动点P到x轴的距离为d1，到直线m的距离为d2，请直接写出d1+d2的最小值；【拓展延伸】该兴趣小组继续探究还发现：若将抛物线y＝ax2（a＞0）平移至y＝a（x﹣h）2+k（a＞0）．抛物线y＝a（x﹣h）2+k（a＞0）内有一定点F（h，k+），直线l过点M（h，k﹣）且与x轴平行．当动点P在该抛物线上运动时，点P到直线l的距离PP1始终等于点P到点F的距离（该结论不需要证明）．例如：抛物线y＝2（x﹣1）2+3上的动点P到点F（1，）的距离等于点P到直线l：y＝的距离．请阅读上面的材料，探究下题：（4）如图4，点D（﹣1，）是第二象限内一定点，点P是抛物线y＝x2﹣1上一动点．当PO+PD取最小值时，请求出△POD的面积．【中考模拟练】1．（2024•新吴区一模）如图，已知抛物线y＝ax2+bx（a≠0）顶点的纵坐标为﹣4，且与x轴交于点A（4，0）．作出该抛物线位于x轴下方的图象关于x轴对称的图象，位于x轴上方的图象保持不变，就得到y＝|ax2+bx|的图象，直线y＝kx（k＞0）与y＝|ax2+bx|的图象交于O、B、C三点．（1）求a、b的值；（2）新定义：点M（xm，ym）与点N（xn，yn）的“折线距离”为ρ（M，N）＝|xm﹣xn|+|ym﹣yn|．已知ρ（O，B）＝ρ（B，C）．①求k的值；②以点B为圆心、OB长为半径的⊙B交∠AOC的平分线于点D（异于点O），交x轴点E（异于点O），求ρ（D，E）的值．2．（2024•宝安区二模）在平面直角坐标系中，有如下定义：若某图形W上的所有点都在一个矩形的内部或边界上（该矩形的一条边平行于x轴），这些矩形中面积最小的矩形叫图形W的“美好矩形”．例如：如图1，已知△ABC，矩形ADEF，AD∥x轴，点B在DE上，点C在EF上，则矩形ADEF为△ABC的美好矩形．（1）如图2，矩形ABCD是函数y＝2x（﹣1≤x≤1）图象的美好矩形，求出矩形ABCD的面积；（2）如图3，点A的坐标为（1，4），点B是函数图象上一点，且横坐标为m，若函数图象在A、B之间的图形的美好矩形面积为9，求m的值；（3）对于实数a，当时，函数图象的美好矩形恰好是面积为3，且一边在x轴上的正方形，请直接写出b的值．培优冲刺二次函数与几何的综合解析1、二次函数与特殊四变形的综合2、二次函数与最值的综合3、二次函数与相似的综合4、二次函数与新定义的综合题型一：二次函数与特殊四边形的综合此类问题都是在抛物线的基础之上与平行四边形、特殊平行四边形结合，考察特殊平行四边形的性质或者存在性问题；做题时需要将二者的性质结合思考，共同应用。【中考真题练】1．（2023•扬州）在平面直角坐标系xOy中，已知点A在y轴正半轴上．（1）如果四个点（0，0）、（0，2）、（1，1）、（﹣1，1）中恰有三个点在二次函数y＝ax2（a为常数，且a≠0）的图象上．①a＝1；②如图1，已知菱形ABCD的顶点B、C、D在该二次函数的图象上，且AD⊥y轴，求菱形的边长；③如图2，已知正方形ABCD的顶点B、D在该二次函数的图象上，点B、D在y轴的同侧，且点B在点D的左侧，设点B、D的横坐标分别为m、n，试探究n﹣m是否为定值．如果是，求出这个值；如果不是，请说明理由．（2）已知正方形ABCD的顶点B、D在二次函数y＝ax2（a为常数，且a＞0）的图象上，点B在点D的左侧，设点B、D的横坐标分别为m、n，直接写出m、n满足的等量关系式．【分析】（1）①在y＝ax2中，令x＝0得y＝0，即知（0，2）不在二次函数y＝ax2（a为常数，且a≠0）的图象上，用待定系数法可得a＝1；②设BC交y轴于E，设菱形的边长为2t，可得B（﹣t，t2），故AE＝＝t，D（2t，t2+t），代入y＝x2得t2+t＝4t2，可解得t＝，故菱形的边长为；③过B作BF⊥y轴于F，过D作DE⊥y轴于E，由点B、D的横坐标分别为m、n，可得BF＝m，OF＝m2，DE＝n，OE＝n2，证明△ABF≌△DAE（AAS），有BF＝AE，AF＝DE，故m＝n2﹣AF﹣m2，AF＝n，即可得n﹣m＝1；（2）过B作BF⊥y轴于F，过D作DE⊥y轴于E，由点B、D的横坐标分别为m、n，知B（m，am2），D（n，an2），分三种情况：①当B，D在y轴左侧时，由△ABF≌△DAE（AAS），可得﹣m＝am2﹣AF﹣an2，AF＝﹣n，故n﹣m＝；②当B在y轴左侧，D在y轴右侧时，由△ABF≌△DAE（AAS），有﹣m＝am2+AF﹣an2，AF＝n，知m+n＝0或n﹣m＝；③当B，D在y轴右侧时，m＝an2﹣AF﹣am2，AF＝n，可得n﹣m＝．【解答】解：（1）①在y＝ax2中，令x＝0得y＝0，∴（0，0）在二次函数y＝ax2（a为常数，且a≠0）的图象上，（0，2）不在二次函数y＝ax2（a为常数，且a≠0）的图象上，∵四个点（0，0）、（0，2）、（1，1）、（﹣1，1）中恰有三个点在二次函数y＝ax2（a为常数，且a≠0）的图象上，∴二次函数y＝ax2（a为常数，且a≠0）的图象上的三个点是（0，0），（1，1），（﹣1，1），把（1，1）代入y＝ax2得：a＝1，故答案为：1；②设BC交y轴于E，如图：设菱形的边长为2t，则AB＝BC＝CD＝AD＝2t，∵B，C关于y轴对称，∴BE＝CE＝t，∴B（﹣t，t2），∴OE＝t2，∵AE＝＝t，∴OA＝OE+AE＝t2+t，∴D（2t，t2+t），把D（2t，t2+t）代入y＝x2得：t2+t＝4t2，解得t＝或t＝0（舍去），∴菱形的边长为；③n﹣m是为定值，理由如下：过B作BF⊥y轴于F，过D作DE⊥y轴于E，如图：∵点B、D的横坐标分别为m、n，∴B（m，m2），D（n，n2），∴BF＝m，OF＝m2，DE＝n，OE＝n2，∵四边形ABCD是正方形，∴∠DAB＝90°，AD＝AB，∴∠FAB＝90°﹣∠EAD＝∠EDA，∵∠AFB＝∠DEA＝90°，∴△ABF≌△DAE（AAS），∴BF＝AE，AF＝DE，∴m＝n2﹣AF﹣m2，AF＝n，∴m＝n2﹣n﹣m2，∴m+n＝（n﹣m）（n+m），∵点B、D在y轴的同侧，∴m+n≠0，∴n﹣m＝1；（2）过B作BF⊥y轴于F，过D作DE⊥y轴于E，∵点B、D的横坐标分别为m、n，∴B（m，am2），D（n，an2），①当B，D在y轴左侧时，如图：∴BF＝﹣m，OF＝am2，DE＝﹣n，OE＝an2，同理可得△ABF≌△DAE（AAS），∴BF＝AE，AF＝DE，∴﹣m＝am2﹣AF﹣an2，AF＝﹣n，∴﹣m＝am2+n﹣an2，∴m+n＝a（n﹣m）（n+m），∵m+n≠0，∴n﹣m＝；②当B在y轴左侧，D在y轴右侧时，如图：∴BF＝﹣m，OF＝am2，DE＝n，OE＝an2，同理可得△ABF≌△DAE（AAS），∴BF＝AE，AF＝DE，∴﹣m＝am2+AF﹣an2，AF＝n，∴﹣m＝am2+n﹣an2，∴m+n＝a（n+m）（n﹣m），∴m+n＝0或n﹣m＝；③当B，D在y轴右侧时，如图：∴BF＝m，OF＝am2，DE＝n，OE＝an2，同理可得△ABF≌△DAE（AAS），∴BF＝AE，AF＝DE，∴m＝an2﹣AF﹣am2，AF＝n，∴m＝an2﹣n﹣am2，∴m+n＝a（n+m）（n﹣m），∵m+n≠0∴n﹣m＝；综上所述，m、n满足的等量关系式为m+n＝0或n﹣m＝．2．（2023•枣庄）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），C（0，3）两点，并交x轴于另一点B，点M是抛物线的顶点，直线AM与y轴交于点D．（1）求该抛物线的表达式；（2）若点H是x轴上一动点，分别连接MH，DH，求MH+DH的最小值；（3）若点P是抛物线上一动点，问在对称轴上是否存在点Q，使得以D，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）运用待定系数法即可求得抛物线的表达式；（2）利用待定系数法可得直线AM的解析式为y＝2x+2，进而可得D（0，2），作点D关于x轴的对称点D′（0，﹣2），连接D′M，D′H，MH+DH＝MH+D′H≥D′M，即MH+DH的最小值为D′M，利用两点间距离公式即可求得答案；（3）分三种情况：当DM、PQ为对角线时，当DP、MQ为对角线时，当DQ、PM为对角线时，根据平行四边形的对角线互相平分即对角线的中点重合，分别列方程组求解即可．【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），C（0，3）两点，∴，解得：，∴该抛物线的表达式为y＝﹣x2+2x+3；（2）∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴顶点M（1，4），设直线AM的解析式为y＝kx+d，则，解得：，∴直线AM的解析式为y＝2x+2，当x＝0时，y＝2，∴D（0，2），作点D关于x轴的对称点D′（0，﹣2），连接D′M，D′H，如图，则DH＝D′H，∴MH+DH＝MH+D′H≥D′M，即MH+DH的最小值为D′M，∵D′M＝＝，∴MH+DH的最小值为；（3）对称轴上存在点Q，使得以D，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形．由（2）得：D（0，2），M（1，4），∵点P是抛物线上一动点，∴设P（m，﹣m2+2m+3），∵抛物线y＝﹣x2+2x+3的对称轴为直线x＝1，∴设Q（1，n），当DM、PQ为对角线时，DM、PQ的中点重合，∴，解得：，∴Q（1，3）；当DP、MQ为对角线时，DP、MQ的中点重合，∴，解得：，∴Q（1，1）；当DQ、PM为对角线时，DQ、PM的中点重合，∴，解得：，∴Q（1，5）；综上所述，对称轴上存在点Q，使得以D，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，点Q的坐标为（1，3）或（1，1）或（1，5）．3．（2023•济宁）如图，直线y＝﹣x+4交x轴于点B，交y轴于点C，对称轴为的抛物线经过B，C两点，交x轴负半轴于点A，P为抛物线上一动点，点P的横坐标为m，过点P作x轴的平行线交抛物线于另一点M，作x轴的垂线PN，垂足为N，直线MN交y轴于点D．（1）求抛物线的解析式；（2）若，当m为何值时，四边形CDNP是平行四边形？（3）若，设直线MN交直线BC于点E，是否存在这样的m值，使MN＝2ME？若存在，求出此时m的值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式；（2）结合平行四边形的性质，通过求直线MN的函数解析式，列方程求解；（3）根据MN＝2ME，分E在MN内部与外部两种情况讨论，从而利用一次函数图象上点的特征计算求解．【解答】解：（1）在直线y＝﹣x+4中，当x＝0时，y＝4，当y＝0时，x＝4，∴点B（4，0），点C（0，4），设抛物线的解析式为，把点B（4，0），点C（0，4）代入可得：，解得：，∴抛物线的解析式为y＝＝﹣x2+3x+4；（2）由题意，P（m，﹣m2+3m+4），∴PN＝﹣m2+3m+4，当四边形CDNP是平行四边形时，PN＝CD，∴OD＝﹣m2+3m+4﹣4＝﹣m2+3m，∴D（0，m2﹣3m）N（m，0），设直线MN的解析式为，把N（m，0）代入可得，解得：k1＝3﹣m，∴直线MN的解析式为y＝（3﹣m）x+m2﹣3m，又∵过点P作x轴的平行线交抛物线于另一点M，且抛物线对称轴为，∴M（3﹣m，﹣m2+3m+4），∴（3﹣m）2+m2﹣3m＝﹣m2+3m+4，解得m1＝（不合题意，舍去），m2＝；∴当m为时，四边形CDNP是平行四边形；（3）存在，理由如下：∵对称轴为x＝，设P点坐标为（m，﹣m2+3m+4），∴M点横坐标为：×2﹣m＝3﹣m，∴N（m，0），M（3﹣m，﹣m2+3m+4），①如图1，∵MN＝2ME，即E是MN的中点，点E在对称轴x＝上，∴E（，），又点E在直线BC：y＝﹣x+4，代入得：＝﹣+4，解得：m＝或（舍去），故此时m的值为．②如图2，设E点坐标为（n，﹣n+4），N（m，0），M（3﹣m，﹣m2+3m+4），∵MN＝2ME，∴0﹣（﹣m2+3m+4）＝2（﹣m2+3m+4+n﹣4）①，∴3﹣m﹣m＝2（n﹣3+m）②，联立①②并解得：m＝（舍去）或，综上所述，m的值为或．【中考模拟练】1．（2024•新沂市模拟）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx﹣3的图象交x轴于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，交y轴于点C，点P在线段OB上，过点P作PD⊥x轴，交抛物线于点D，交直线BC于点E．（1）a＝1，b＝﹣2；（2）在点P运动过程中，若△CDE是直角三角形，求点P的坐标；（3）在y轴上是否存在点F，使得以点C、D、E、F为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）由待定系数法求出函数表达式，即可求解；（2）当∠ECD＝90°，由抛物线的表达式知，抛物线的顶点坐标为：（1，﹣4），则直线CD⊥BC，即可求解；当∠CDE＝90°时，则点C、D关于抛物线的对称轴对称，即可求解；（3）由CE＝DE，得到x＝3﹣，则CE＝x＝32＝CF，即可求解．【解答】解：（1）设抛物线的表达式为：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2），则y＝a（x+1）（x﹣3）＝a（x2﹣2x﹣3）＝ax2+bx﹣3，则a＝1，故抛物线的表达式为：y＝x2﹣2x﹣3，即a＝1，b＝﹣2，故答案为：1，﹣2；（2）由抛物线的表达式知，点C（0，﹣3），点B、C的坐标的得，直线BC的表达式知：y＝x﹣3，当∠ECD＝90°，由抛物线的表达式知，抛物线的顶点坐标为：（1，﹣4），则直线CD的表达式为：y＝﹣x﹣3，则直线CD⊥BC，即当点D和抛物线的顶点重合时，△CDE是直角三角形，即点P（1，0）；当∠CDE＝90°时，则点C、D关于抛物线的对称轴对称，则点P（2，0）；综上，P（1，0）或（2，0）；（3）存在，理由：设点P（x，0），则点E（x，x﹣3），点D（x，x2﹣2x﹣3），则DE＝x﹣3﹣x2+2x+3＝﹣x2+3x，①当CE＝ED＝CF，则CE＝DE，即﹣x2+3x＝x，解得：x＝3﹣，则CE＝x＝32＝CF，则点F的坐标为：（0，3﹣5）（舍去）或（0，﹣3﹣1）．②当FE＝ED＝CD＝CF，此时∠CED＝∠BCO＝45，∠FEC＝∠CED＝45（菱形的对角线平分菱形的角），∴∠FED＝90，因此这个菱形正好是特殊的正方形．∴当CD∥x轴（∠CDE＝90）时，即可满足．此时E（2，﹣1），∵FE∥CD，∴F（0，﹣1），综上，点F的坐标为：（0，﹣1）或（0，﹣3﹣1）．题型二：二次函数与最值的综合1、二次函数本身可以转化成顶点式求最值；2、抛物线上不规则三角形求面积最大值，常用“水平宽×铅垂高÷2”来计算【中考真题练】1．（2023•荆州）已知：y关于x的函数y＝（a﹣2）x2+（a+1）x+b．（1）若函数的图象与坐标轴有两个公共点，且a＝4b，则a的值是0或2或﹣；（2）如图，若函数的图象为抛物线，与x轴有两个公共点A（﹣2，0），B（4，0），并与动直线l：x＝m（0＜m＜4）交于点P，连接PA，PB，PC，BC，其中PA交y轴于点D，交BC于点E．设△PBE的面积为S1，△CDE的面积为S2．①当点P为抛物线顶点时，求△PBC的面积；②探究直线l在运动过程中，S1﹣S2是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由．【分析】（1）y关于x的函数应分一次函数与二次函数两种情况，其中二次函数应分为①与x轴有两个交点且一个交点为原点；②与x轴有一个交点，与y轴有一个交点两种情况讨论；（2）①如图，设直线l与BC交于点F，待定系数法求得抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+8，当x＝0时，y＝8，得到C（0，8），P（1，9），求得直线BC的解析式为y＝﹣2x+8，得到F（1，6），根据三角形的面积公式即可得到结论；②如图，设直线x＝m交x轴于H，由①得，OB＝4，AO＝2，AB＝6，OC＝8，AH＝2+m，P（m，﹣m2+2m+8），得到PH＝﹣m2+2m+8，根据相似三角形的性质得到OD＝8﹣2m，根据二次函数的性质即可得到结论．【解答】解：（1）①当a﹣2＝0时，即a＝2时，y关于x的函数解析式为y＝3x+，此时y＝3x+与x轴的交点坐标为（﹣，0），与y轴的交点坐标为（0，）；②当a﹣2≠0时，y关于x的函数为二次函数，∵二次函数图象抛物线与坐标轴有两个交点，∴抛物线可能存在与x轴有两个交点，其中一个交点为坐标原点或与x轴有一个交点与y轴一个交点两种情况．当抛物线与x轴有两个交点且一个为坐标原点时，由题意得b＝0，此时a＝0，抛物线为y＝﹣2x2+x．当y＝0时，﹣2x2+x＝0，解得x1＝0，x2＝．∴其图象与x轴的交点坐标为（0，0）（，0）．当抛物线与x轴有一个交点与y轴有一个交点时，由题意得，y＝（a﹣2）x2+（a+1）x+b所对应的一元二次方程（a﹣2）x2+（a+1）x+b＝0有两个相等实数根．∴Δ＝（a+1）2﹣4（a﹣2）×a＝0，解得a＝﹣，此时y＝﹣x2+x﹣，当x＝0时，y＝﹣，∴与y轴的交点坐标为（0，﹣），当y＝0时，﹣x2+x﹣＝0，解得x1＝x2＝，∴与x轴的交点坐标为（，0），综上所述，若y关于x的函数y＝（a﹣2）x2+（a+1）x+b的图象与坐标轴有两个交点，则a可取的值为2，0，﹣，故答案为：2或0或﹣；（2）①如图，设直线l与BC交于点F，根据题意得，解得，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+8，当x＝0时，y＝8，∴C（0，8），∵y＝﹣x2+2x+8＝﹣（x﹣1）2+9，点P为抛物线顶点，∴P（1，9），∵B（4，0），C（0，8），∴直线BC的解析式为y＝﹣2x+8，∴F（1，6），∴PF＝9﹣6＝3，∴△PBC的面积＝OB•PF＝＝6；②S1﹣S2存在最大值，理由：如图，设直线x＝m交x轴于H，由①得，OB＝4，AO＝2，AB＝6，OC＝8，AH＝2+m，P（m，﹣m2+2m+8），∴PH＝﹣m2+2m+8，∵OD∥PH，∴△AOD∽△AHP，∴，∴，∴OD＝8﹣2m，∵S1﹣S2＝S△PAB﹣S△AOD﹣S△OBC＝＝﹣3m2+8m＝﹣3（m﹣）2+，∵﹣3＜0，0＜m＜4，∴当m＝时，S1﹣S2存在最大值，最大值为．2．（2023•重庆）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+2过点（1，3），且交x轴于点A（﹣1，0），B两点，交y轴于点C．（1）求抛物线的表达式；（2）点P是直线BC上方抛物线上的一动点，过点P作PD⊥BC于点D，过点P作y轴的平行线交直线BC于点E，求△PDE周长的最大值及此时点P的坐标；（3）在（2）中△PDE周长取得最大值的条件下，将该抛物线沿射线CB方向平移个单位长度，点M为平移后的抛物线的对称轴上一点．在平面内确定一点N，使得以点A，P，M，N为顶点的四边形是菱形，写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程．【分析】（1）由待定系数法即可求解；（2）由△PDE周长的最大值＝PE（1+sin∠PED+cos∠PED），即可求解；（3）当AP是对角线时，由中点坐标公式和AM＝AN，列出方程组即可求解；当AM或AN是对角线时，同理可解．【解答】解：（1）由题意得：，解得：，则抛物线的表达式为：y＝﹣x2+x+2；（2）令y＝﹣x2+x+2＝0，解得：x＝4或﹣1，即点B（4，0），∵PE∥y轴，则∠PED＝∠OCB，则tan∠PED＝tan∠OCB＝2，则sin∠PED＝，cos∠PED＝，由点B、C的坐标得，直线BC的表达式为：y＝﹣x+2，则PE＝﹣x2+x+2+x﹣2＝﹣（x﹣2）2+2≤2，即PE的最大值为2，此时，点P（2，3），则△PDE周长的最大值＝PE（1+sin∠PED+cos∠PED）＝（1++）PE＝，即△PDE周长的最大值为，点P（2，3）；（3）抛物线沿射线CB方向平移个单位长度，相当于向右平移2个单位向下平移1个单位，则平移后抛物线的对称轴为x＝，设点M（，m），点N（s，t），由点A、P的坐标得，AP2＝18，当AP是对角线时，由中点坐标公式和AM＝AN得：，解得：，即点N的坐标为：（﹣，）；当AM或AN是对角线时，由中点坐标公式和AN＝AP或AM＝AP得：或，解得：（不合题意的值已舍去），即点N的坐标为：（，）；综上，点N的坐标为：（，﹣）或（，）或（﹣，）．【中考模拟练】1．（2024•东平县一模）如图，在平面直角坐标系中，点A、B在x轴上，点C、D在y轴上，且OB＝OC＝3，OA＝OD＝1，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过A、B、C三点，直线AD与抛物线交于另一点M．（1）求这条抛物线的解析式；（2）在抛物线对称轴上是否存在一点N，使得△ANC的周长最小，若存在，请求出点N的坐标，若不存在，请说明理由；（3）点E是直线AM上一动点，点P为抛物线上直线AM下方一动点，EP∥y轴，当线段PE的长度最大时，请求出点E的坐标和△AMP面积的最大值．【分析】（1）由OB，OC，OA，OD的长度可得出点A，B，C，D的坐标，由点A，B，C的坐标，利用待定系数法可求出抛物线的解析式；（2）利用配方法可求出抛物线的对称轴，连接BC，交抛物线对称轴于点N，此时AN+CN和最小，即△ANC的周长最小，由点B，C的坐标，利用待定系数法可求出直线BC的解析式，再利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点N的坐标；（3）由点A，D的坐标可得出直线AD的解析式，联立直线AD和抛物线的解析式成方程组，通过解方程组可求出点M的坐标，过点PP作PE⊥x轴，交直线AD于点E，设点P的坐标为（m，m2+2m﹣3）（﹣4＜m＜1），则点E的坐标为（m，﹣m+1），进而可得出PE的长，由三角形的面积结合S△APM＝S△APE+S△MPE可得出S△APM关于m的函数关系式，再利用二次函数的性质即可解决最值问题．【解答】解：（1）点A、B在x轴上，点C、D在y轴上，且OB＝OC＝3，OA＝OD＝1，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过A、B、C三点，直线AD与抛物线交于另一点M．∴点B的坐标为（﹣3，0），点C的坐标为（0，﹣3），点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（0，1），将A（1，0），B（﹣3，0），C（0，﹣3）代入y＝ax2+bx+c得：，解得：，∴这条抛物线的解析式为y＝x2+2x﹣3；（2）在抛物线对称轴上存在一点N，使得△ANC的周长最小；理由如下：∵y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，连接BC，交抛物线对称轴点N，如图1所示，∵点A，B关于直线x＝﹣1对称，∴AN＝BN，∴AN+CN＝BN+CN，∴当点B，C，N三点共线时，BN+CN取得最小值，即△ANC的周长最小，设直线BC的解析式为y＝kx+d（k≠0），将B（﹣3，0），C（0，﹣3）代入y＝kx+d得：，解得：，∴直线BC的解析式为y＝﹣x﹣3，当x＝﹣1时，y＝﹣（﹣1）﹣3＝﹣2，∴在这条抛物线的对称轴上存在点N（﹣1，﹣2）时△ANC的周长最小；（3）点E是直线AM上一动点，点P为抛物线上直线AM下方一动点，∵A（1，0），D（0，1），∴直线AD的解析式为y＝﹣x+1，联立直线AD和抛物线的解析式成方程组，得：，解得：，，∴点M的坐标为（﹣4，5），过点P作PE⊥x轴，交直线AD于点E，如图2所示，设点P的坐标为（m，m2+2m﹣3）（﹣4＜m＜1），则点E的坐标为（m，﹣m+1），∴PE＝﹣m+1﹣（m2+2m﹣3）＝﹣m2﹣3m+4，∴S△APM＝S△APE+S△MPE，＝，＝，∴S△APM＝＝，∵，∴当时，△AMP的面积取最大值，最大值为，∴当△AMD面积最大时，点P的坐标为，面积最大值为．题型三：二次函数与相似的综合【中考真题练】1．（2023•乐至县）如图，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，抛物线经过A、B两点．（1）求抛物线的表达式；（2）点D是抛物线在第二象限内的点，过点D作x轴的平行线与直线AB交于点C，求DC的长的最大值；（3）点Q是线段AO上的动点，点P是抛物线在第一象限内的动点，连结PQ交y轴于点N．是否存在点P，使△ABQ与△BQN相似，若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．【分析】（1）首先求得A、B点的坐标，然后利用待定系数法求抛物线的解析式；（2）设D（m，﹣m2﹣m+3），则C（﹣m2﹣3m，﹣m2﹣m+3），进而表示出CD的长；接下来用含m的二次函数表示S，根据二次函数的性质，即可解答；（3）分两种情况：①当△ABQ∽△BQN时，②当△ABQ∽△QBN时，分别求解即可．【解答】解：（1）∵直线y＝x+3与x轴、y轴分别交于A、B两点，A（﹣4，0），B（0，3），∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A、B两点．∴，解得，∴y＝﹣x2﹣x+3；（2）设D（m，﹣m2﹣m+3），∵DC∥作x轴，与直线AB交于点C，∴x+3＝﹣m2﹣m+3，解得x＝﹣m2﹣3m，∴C（﹣m2﹣3m，﹣m2﹣m+3），∴DC＝﹣m2﹣3m﹣m＝﹣m2﹣4m＝﹣（m+2）2+4，∴当m＝﹣2时，DC的长的最大值为4；（3）设N（0，n），∵A（﹣4，0），B（0，3），∴AB＝＝5，分两种情况：①当△ABQ∽△BQN时，∵△ABQ∽△BQN，∴∠ABQ＝∠BQN，，∴PQ∥AB，∴△OQN∽△OAB，∴，∴，∴OQ＝n，QN＝n，∴BQ＝＝，∴，∴n＝或3（舍去），∴OQ＝n＝，∴Q（﹣，0），N（0，），设直线PQ的解析式为y＝kx+a，∴，解得，∴直线PQ的解析式为y＝x+，联立y＝﹣x2﹣x+3解得x＝或（不合题意，舍去）∴点P的坐标为（，）；②当△ABQ∽△QBN时，过点Q作QH⊥AB于H，∵△ABQ∽△QBN，∴∠ABQ＝∠QBN，∠BAQ＝∠BQN，∴QH＝QO，∵BQ＝BQ，∴Rt△BHQ≌Rt△BOQ，∴BH＝OB＝3，∴AH＝AB﹣BH＝2，设OQ＝q，则AQ＝4﹣q，QH＝q，∴22+q2＝（4﹣q）2，解得q＝，∴Q（﹣，0），∵∠BQO＝∠BQN+∠OQN＝∠BAQ+∠ABQ，∠BAQ＝∠BQN，∠ABQ＝∠QBN，∴∠OQN＝∠QBN，∵∠QON＝∠BOQ＝90°，∴△OQN∽△OBQ，∴，∴，∴n＝，∴Q（﹣，0），N（0，），同理得直线PQ的解析式为y＝x+，联立y＝﹣x2﹣x+3解得x＝或（不合题意，舍去）∴点P的坐标为（，）；综上，点P的坐标为（，）或（，）．2．（2023•朝阳）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴分别交于点A（﹣2，0），B（4，0），与y轴交于点C，连接BC．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，点P是第一象限内抛物线上的一个动点，过点P作直线l⊥x轴于点M（m，0），交BC于点N，连接CM，PB，PC．△PCB的面积记为S1，△BCM的面积记为S2，当S1＝S2时，求m的值；（3）在（2）的条件下，点Q在抛物线上，直线MQ与直线BC交于点H，当△HMN与△BCM相似时，请直接写出点Q的坐标．【分析】（1）把A（﹣2，0），B（4，0）代入y＝﹣x2+bx+c可解得抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+4；（2）求出C（0，4），直线BC解析式为y＝﹣x+4，由直线l⊥x轴，M（m，0），得P（m，﹣m2+m+4），N（m，﹣m+4），PN＝﹣m2+m+4﹣（﹣m+4）＝﹣m2+2m，故S1＝PN•|xB﹣xC|＝×（﹣m2+2m）×4＝﹣m2+4m，而S2＝BM•|yC|＝×（4﹣m）×4＝8﹣2m，根据S1＝S2，有﹣m2+4m＝8﹣2m，即可解得m的值；（3）由B（4，0），C（0，4），得△BOC是等腰直角三角形，△BMN是等腰直角三角形，故∠BNM＝∠MBN＝45°，而△HMN与△BCM相似，且∠MNH＝∠CBM＝45°，可知H在MN的右侧，且＝或＝，设H（t，﹣t+4），当＝时，＝，可解得H（6，﹣2），直线MH解析式为y＝﹣x+1，联立解析式可解得Q的坐标为（，）或（，）；当＝时，同理得Q的坐标为（﹣2+2，﹣12+6）或（﹣2﹣2，﹣12﹣6）．【解答】解：（1）把A（﹣2，0），B（4，0）代入y＝﹣x2+bx+c得：，解得，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+4；（2）在y＝﹣x2+x+4中，令x＝0得y＝4，∴C（0，4），由B（4，0），C（0，4）可得直线BC解析式为y＝﹣x+4，∵直线l⊥x轴，M（m，0），∴P（m，﹣m2+m+4），N（m，﹣m+4），∴PN＝﹣m2+m+4﹣（﹣m+4）＝﹣m2+2m，∴S1＝PN•|xB﹣xC|＝×（﹣m2+2m）×4＝﹣m2+4m，∵B（4，0），C（0，4），M（m，0），∴S2＝BM•|yC|＝×（4﹣m）×4＝8﹣2m，∵S1＝S2，∴﹣m2+4m＝8﹣2m，解得m＝2或m＝4（P与B重合，舍去），∴m的值为2；（3）∵B（4，0），C（0，4），∴OB＝OC，∴△BOC是等腰直角三角形，∴∠CBO＝45°，∴△BMN是等腰直角三角形，∴∠BNM＝∠MBN＝45°，∵△HMN与△BCM相似，且∠MNH＝∠CBM＝45°，∴H在MN的右侧，且＝或＝，设H（t，﹣t+4），由（2）知M（2，0），N（2，2），B（4，0），C（4，0），∴BC＝4，BM＝2，MN＝2，NH＝＝|t﹣2|，当＝时，如图：∴＝，解得t＝6或t＝﹣2（此时H在MN左侧，舍去），∴H（6，﹣2），由M（2，0），H（6，﹣2）得直线MH解析式为y＝﹣x+1，解得或，∴Q的坐标为（，）或（，）；当＝时，如图：∴＝，解得t＝（舍去）或t＝，∴H（，），由M（2，0），H（，）得直线MH解析式为y＝3x﹣6，解得或，∴Q的坐标为（﹣2+2，﹣12+6）或（﹣2﹣2，﹣12﹣6）；综上所述，Q的坐标为（，）或（，）或（﹣2+2，﹣12+6）或（﹣2﹣2，﹣12﹣6）．【中考模拟练】1．（2024•东莞市一模）已知：在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线y＝﹣x+3与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过B、C两点，与x轴的另一交点为点A．（1）如图1，求抛物线的解析式；（2）如图2，点D为直线BC上方抛物线上一动点，连接AC、CD，设直线BC交线段AD于点E，△CDE的面积为S1，△ACE的面积为S2．当时，求点D的坐标；（3）在（2）的条件下，且点D的横坐标小于2，是否在数轴上存在一点P，使得以A、C、P为顶点的三角形与△BCD相似，如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．【分析】（1）由待定系数法即可求解；（2）证明△AEF∽△DEG，得到＝＝，即可求解；（3）当点P在y轴时，以A、C、P为顶点的三角形与△BCD相似，存在∠CAP＝∠DCBC＝90°、∠CPA＝∠DCB＝90°两种情况，利用解直角三角形的方法即可求解；当点P（P′）在x轴上时，同理可解．【解答】解：（1）把x＝0代入y＝﹣x+3，得：y＝3，∴C（0，3）．把y＝0代入y＝﹣x+3得：x＝3，∴B（3，0），将C（0，3）、B（3，0）代入y＝﹣x2+bx+c得：，解得：，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3；（2）如右图，分别过点A、点D作y轴的平行线，交直线BC于点F和点G，设点D（m，﹣m2+2m+3），G（m，﹣m+3）则DG＝﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m，当x＝﹣1时y＝4，∴F（﹣1，4），AF＝4，∵AF∥DG，∴△AEF∽△DEG，∵＝，∴＝＝，则DG＝2，∴﹣m2+3m＝2，解得m1＝1，m2＝2，∴点D坐标为（1，4）或（2，3）；（3）存在，理由：由题意得，点D（1，4），由点B、C、D的坐标得，CD＝，BC＝3，BD＝则tan∠CBD＝＝＝tanα，则sinα＝，cosα＝，∠DCB＝90°，当点P在y轴时，∵以A、C、P为顶点的三角形与△BCD相似，当∠CAP＝∠DCB＝90°时，则cos∠ACP＝cosα＝＝＝，则CP＝，则点P（0，﹣）；当∠CPA＝∠DCB＝90°时，此时，点P、O重合且符合题意，故点P（0，0）；当点P（P′）在x轴上时，只有∠ACP′＝∠DCB＝90°，则AP′＝＝＝10，则点P′（9，0），综上，点P的坐标为（0，0）或（9，0）或．题型四：二次函数与新定义的综合【中考真题练】1．（2023•南通）定义：平面直角坐标系xOy中，点P（a，b），点Q（c，d），若c＝ka，d＝﹣kb，其中k为常数，且k≠0，则称点Q是点P的“k级变换点”．例如，点（﹣4，6）是点（2，3）的“﹣2级变换点”．（1）函数y＝﹣的图象上是否存在点（1，2）的“k级变换点”？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由；（2）动点A（t，t﹣2）与其“k级变换点”B分别在直线l1，l2上，在l1，l2上分别取点（m2，y1），（m2，y2）．若k≤﹣2，求证：y1﹣y2≥2；（3）关于x的二次函数y＝nx2﹣4nx﹣5n（x≥0）的图象上恰有两个点，这两个点的“1级变换点”都在直线y＝﹣x+5上，求n的取值范围．【分析】（1）求出（1，2）的“k级变换点”的坐标，即可求解；（2）求出点A、B所在的直线表达式，即可求解；（3）先求出点A、B所在的直线为y＝x﹣5，当n＞0时，画出抛物线和直线AB的大致图象，求出点A的横坐标为x，得到x+5＝，即可求解；当n＜0时，当x≥0时，直线AB不可能和抛物线在x≥0时有两个交点，即可求解．【解答】（1）解：存在，理由：由题意得，（1，2）的“k级变换点”为：（k，﹣2k），将（k，﹣2k）代入反比例函数表达式得：﹣4＝k（﹣2k），解得：k＝±；（2）证明：由题意得，点B的坐标为：（kt，﹣kt+2k），由点A的坐标知，点A在直线y＝x﹣2上，同理可得，点B在直线y＝﹣x+2k，则y1＝m2﹣2，y2＝﹣m2+2k，则y1﹣y2＝m2﹣2+m2﹣2k＝m2﹣2k﹣2，∵k≤﹣2，则﹣2k﹣2+m2≥2，即y1﹣y2≥2；（3）解：设在二次函数上的点为点A、B，设点A（s，t），则其“1级变换点”坐标为：（s，﹣t），将（s，﹣t）代入y＝﹣x+5得：﹣t＝﹣s+5，则t＝s﹣5，即点A在直线y＝x﹣5上，同理可得，点B在直线y＝x﹣5上，即点A、B所在的直线为y＝x﹣5；由抛物线的表达式知，其和x轴的交点为：（﹣1，0）、（5，0），其对称轴为x＝2，当n＞0时，抛物线和直线AB的大致图象如下：直线和抛物线均过点（5，0），则点A、B必然有一个点为（5，0），设该点为点B，另外一个点为点A，如上图，联立直线AB和抛物线的表达式得：y＝nx2﹣4nx﹣5n＝x﹣5，设点A的横坐标为x，则x+5＝，∵x≥0，则﹣5≥0，解得：n≤1，此外，直线AB和抛物线在x≥0时有两个交点，故Δ＝（﹣4n﹣1）2﹣4n（5﹣5n）＝（6n﹣1）2＞0，故n≠，即0＜n≤1且n≠；当n＜0时，当x≥0时，直线AB不可能和抛物线在x≥0时有两个交点，故该情况不存在，综上，0＜n≤1且n≠1/6．2．（2023•鄂州）某数学兴趣小组运用《几何画板》软件探究y＝ax2（a＞0）型抛物线图象．发现：如图1所示，该类型图象上任意一点P到定点F（0，）的距离PF，始终等于它到定直线l：y＝﹣的距离PN（该结论不需要证明）．他们称：定点F为图象的焦点，定直线l为图象的准线，y＝﹣叫做抛物线的准线方程．准线l与y轴的交点为H．其中原点O为FH的中点，FH＝2OF＝．例如，抛物线y＝2x2，其焦点坐标为F（0，），准线方程为l：y＝﹣，其中PF＝PN，FH＝2OF＝．【基础训练】（1）请分别直接写出抛物线y＝x2的焦点坐标和准线l的方程：（0，1），y＝﹣1；【技能训练】（2）如图2，已知抛物线y＝x2上一点P（x0，y0）（x0＞0）到焦点F的距离是它到x轴距离的3倍，求点P的坐标；【能力提升】（3）如图3，已知抛物线y＝x2的焦点为F，准线方程为l．直线m：y＝x﹣3交y轴于点C，抛物线上动点P到x轴的距离为d1，到直线m的距离为d2，请直接写出d1+d2的最小值；【拓展延伸】该兴趣小组继续探究还发现：若将抛物线y＝ax2（a＞0）平移至y＝a（x﹣h）2+k（a＞0）．抛物线y＝a（x﹣h）2+k（a＞0）内有一定点F（h，k+），直线l过点M（h，k﹣）且与x轴平行．当动点P在该抛物线上运动时，点P到直线l的距离PP1始终等于点P到点F的距离（该结论不需要证明）．例如：抛物线y＝2（x﹣1）2+3上的动点P到点F（1，）的距离等于点P到直线l：y＝的距离．请阅读上面的材料，探究下题：（4）如图4，点D（﹣1，）是第二象限内一定点，点P是抛物线y＝x2﹣1上一动点．当PO+PD取最小值时，请求出△POD的面积．【分析】（1）根据题中所给抛物线的焦点坐标和准线方程的定义求解即可；（2）利用两点间距离公式结合已知条件列式整理得＝8+2y0﹣1，然后根据y0＝，求出y0，进而可得x0，问题得解；（3）过点P作PE⊥直线m交于点E，过点P作PG⊥准线l交于点G，结合题意和（1）中结论可知PG＝PF＝d1+1，PE＝d2，根据两点之间线段最短可得当F，P，E三点共线时，d1+d2的值最小；待定系数法求直线PE的解析式，根据点E是直线PE和直线m的交点，求得点E的坐标为（，﹣），即可求得d1+d2的最小值；（4）根据题意求得抛物线y＝x2﹣1的焦点坐标为F（0，0），准线l的方程为y＝﹣2，过点P作准线l交于点G，结合题意和（1）中结论可知PG＝PF，则PO+PD＝PG+PD，根据两点之间线段最短可得当D，P，G三点共线时，PO+PD的值最小；求得（﹣﹣），即可求得的面积．【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2中a＝，∴＝1，﹣＝﹣1，∴抛物线y＝x2的焦点坐标为F（0，1），准线l的方程为y＝﹣1，故答案为：（0，1），y＝﹣1；（2）由（1）知抛物线y＝x2的焦点F的坐标为（0，1），∵点P（x0，y0）到焦点F的距离是它到x轴距离的3倍，∴＝3y0，整理得：＝8+2y0﹣1，又∵y0＝，∴4y0＝8+2y0﹣1，解得：y0＝或y0＝﹣（舍去），∴x0＝（负值舍去），∴点P的坐标为（，）；（3）过点P作PE⊥直线m交于点E，过点P作PG⊥准线l交于点G，结合题意和（1）中结论可知PG＝PF＝d1+1，PE＝d2，如图：若使得d1+d2取最小值，即PF+PE﹣1的值最小，故当F，P，E三点共线时，PF+PE﹣1＝EF﹣1，即此刻d1+d2的值最小；∵直线PE与直线m垂直，故设直线PE的解析式为y＝﹣2x+b，将F（0，1）代入解得：b＝1，∴直线PE的解析式为y＝﹣2x+1，∵点E是直线PE和直