河南省专升本(高等数学)模拟试卷2(题后含答案及解析)

河南省专升本（高等数学）模拟试卷2(题后含答案及解析)题型有：1.选择题2.填空题4.解答题5.综合题6.证明题选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1．函数y=arcsin的定义域为()A．(-1，1)B．[0，4]C．[0，1)D．[0，1]正确答案：C解析：若函数有意义，则满足1-x2＞0且｜-1｜≤1，求解得{x｜0≤x＜1}，所以选C.2．极限=()A．3B．C．0D．不存在正确答案：B解析：原式3．点x=0是函数y=的()A．连续点B．可去间断点C．跳跃间断点D．第二类间断点正确答案：C解析：当x=0时，函数无意义，故x=0为间断点，又=0，故x=0为函数的跳跃间断点，选C.4．设f(x)=sint2dt，g(x)=x3+x4，则当x→0时，f(x)是比g(x)的()A．等价无穷小B．同阶非等价无穷小C．高阶无穷小D．低阶无穷小正确答案：B解析：，故选B.5．设f(x)在x=2处可导，且f’(2)=1，则=()A．1B．2C．3D．4正确答案：C解析：因f’(2)=1，所以6．设曲线y=x2+ax+1在点x=1处的切线斜率为-1，则常数a为()A．-3B．-2C．-1D．0正确答案：A解析：由题意，y’=x2+ax+1，当x=1时，y’=-1，即2×1+a=-1，得a=-3．7．设y=，则dy=()A．B．C．exdxD．exlnxdx正确答案：A解析：因y=，则dy=8．设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f(a)=f(b)，则曲线y=f(x)在(a，b)内平行于x轴的切线()A．仅有一条B．至少有一条C．有两条D．不存在正确答案：B解析：由题设知，f(x)在[a，b]上满足罗尔定理的条件，由定理的几何意义知，选项B正确．9．函数y=ax2+c在区间(0，+∞)内单调增加，则a，c满足()A．a<0，且c≠0B．a>0，且c≠0C．a<0，且c为任意实数D．a>0，且c为任意实数正确答案：D解析：因y=ax2+c在(0，+∞)内递增，则y’=2ax>0，又x∈(0，+∞)，于是a>0，由于对c无要求，故c可以取任意实数，选项D正确．10．函数y=的最大值是()A．B．C．D．正确答案：B解析：因y’=，令y’=0，得驻点x=0或x=-4；又x0；x>0时，y’；在x=0处取得极大值，极大值为f(0)==0，故函数的最大值为．选项B正确．11．设x=atcost，y=atsint，(a≠0)，则=()A．B．C．D．正确答案：A解析：12．设f’(2x-1)=ex，则f(x)=()A．B．C．D．正确答案：B解析：因f’(2x-1)=ex，故f’(x)=，故f(x)=+C13．设f(x)=e-x，则=()A．e-x4+CB．+CC．-e-x4+CD．+C正确答案：B解析：令lnx=u，则=∫f’(lnx)dlnx=f(u)+C=f(lnx)+C=e-lnx+C=+C14．设f(x)在[0，]上连续，f(x)=xcosx+=()A．-1B．0C．1D．正确答案：A解析：令f(x)dx=a(a为常数)，则f(x)=xcosx+a，对等式两边在[0，]上积分得，即a=-1．所以f(x)dx=-1．15．下列广义积分收敛的是()A．B．C．D．正确答案：C解析：对于C，=1收敛，所以选C.16．下列不等式成立的是()A．B．C．D．正确答案：B解析：对于B，因1≤x≤2，则x3＞x2，故，所以选B.17．设平面π：2x+y+kz-1=0与直线：平行，则k=()A．5B．4C．3D．2正确答案：A解析：因平面，π的法向量={2，1，k}，直线的方向向量={3，4，-2｝，因直线与平面平行，所以=0，即{2，1，k｝.{3，4，-2｝=2×3+1×4+k×(-2)=0，即k=5，选A.18．方程x2+y2-z2=0表示的二次曲面是()A．球面B．旋转抛物面C．圆锥面D．圆柱面正确答案：C解析：x2+y2-z2=0可看做是绕z轴旋转形成的曲面，是圆锥面．19．设z=tan(xy-x2)，则=()A．B．C．D．正确答案：A解析：=sec2(xy-x2).(y-2x)=，选A.20．设z=u2lnv，u=，则dz=()A．2y3dx+3xy2dyB．y3dx-3xdyC．y3dx+3xy2dyD．2xy3dx+3x2y2dy正确答案：C解析：先将函数进行复合，得z==xy3．故dz=y3dx+3xy2dy，选C.21．交换积分次序，=()A．B．C．D．正确答案：B解析：因已知积分的积分区域D可表示为D=D1+D2，其中，D1：{(x，y)｜0≤x≤1，｝D2：{(x，y)｜1≤x≤4，x-2≤y≤｝其图形如第21题图所示，区域D又可表示为D：｛(x，y)｜-1≤y≤2，y2≤x≤y+2｝于是，原积分交换积分次序后为：，选项B正确．22．设D={(x，y)｜0≤x≤2，0≤y≤1}，则eydxdy=()A．2(e-1)B．(e-1)2C．2eD．e+1正确答案：A解析：原式==2(e-1)，选A.23．设L是逆时针方向的第一象限圆周：x2+y2=1，则∮L(x+y)dx+(x-y)dy=()A．-2B．-1C．0D．1正确答案：B解析：因P(x，y)=z+y，Q(x，y)=x-y，则，所以积分与路径无关，故原积分为：24．旋转曲面x2-y2-z2=1是()A．xOy平面上的双曲线x2-y2=1绕y轴旋转所得B．xOy平面上的双曲线x2-y2=1绕z轴旋转所得C．xOy平面上的双曲线x2-y2=1绕x轴旋转所得D．xOy平面上的圆x2+y2=1绕x轴旋转所得正确答案：C解析：由旋转曲面的方程特征知，选项C正确．25．下列级数中，收敛的是()A．B．C．D．正确答案：C解析：选项A，→1，(n→∞)，故发散；选=1故发散．选项C，un=，故该级数是ρ=＞1的P级数，收敛；选项D，是p=2102＜1的P级数，发散，所以选C.26．下列级数中，条件收敛的是()A．B．C．D．正确答案：B解析：选项A，C，D是绝对收敛，选项B，根据莱布尼兹判别法和p级数的特点容易判断是条件收敛．27．幂级数的收敛区间(不包括端点)为()A．(-2，2)B．(-1，2)C．(-1，3)D．(-2，3)正确答案：C解析：因an1=，从而收敛半径R==2，收敛区间为-2＜x-1＜2，即-1＜x＜3．28．如果连续函数f(x)满足：f(x)=dt+2，则f(x)=()A．2exB．2e2xC．2e3xD．2e-x正确答案：B解析：因f(x)=+2，两边求导，得f’(x)=2f(x)，于是f(x)=Ce2x，同时注意到f(0)=2，故C=2，即f(x)=2e2x29．微分方程y’’-3y’+2y=0的通解为()A．y=C1e-x+C2e-2xB．y=C1e-x+C2e2xC．y=C1ex+C2e-2xD．y=C1ex+C2e2x正确答案：D解析：因方程的特征方程为：r2-3r+2=0，故有特征根r1=1，r2=2，于是方程的通解为y=C1ex+C2e2x30．微分方程y’’-7y’+6y=ex的特解可设为()A．y*=Ce*B．y*=Cxe*C．y*=(ax+b)e*D．y*=Cx*e*正确答案：B解析：因方程的特征方程为r2-7r+6=0，特征根为r1=1，r2=6，而自由项f(x)=ex，λ=1是一重特征根，故方程的特解应设为y’=Cxex填空题31．函数y=的反函数f-1(x)=_______正确答案：解析：由求反函数的步骤可得f-1(x)=32．设(x≠-1)，则f’(1)=________正确答案：1解析：令=t，则x=，故f(t)=，f(t)=，所以f’(1)=1．33．函数f(x)=的单调递减区间为______正确答案：(e，+∞)解析：由f’(x)=＜0知x>e，故f(x)的单调递减区间为(e，+∞)．34．设函数y=f(x)由方程e2x-y-cos(xy)=e-1所确定，则dy=_______正确答案：解析：方程两边微分得e2x+y(2x+y)+sin(xy)d(xy)=0，即e2x+y(2dx+dy)+sin(xy)(xdy+ydx)=0，整理得dy=35．函数f(x)=，(x>0)取得极小值时的x值为_______正确答案：x=解析：f’(x)=2-，令f’(x)=0，得x=36．=______正确答案：+C解析：=∫arctanxd(arctanx)=+C37．在区间[0，2π]上，曲线y=sinx与x轴所围成图形的面积为______正确答案：4解析：S==438．已知f(x)dx=1，f(1)=0，则xf’(x)dx__________正确答案：-1解析：=f(x)-1=-139．过点M0(1，-1，2)且垂直于直线的平面方程是_______正确答案：2x+3y+z-1=0解析：所求平面方程为2(x-1)+3(y+1)+(x-2)=0，整理得2x+3y+z-1=0．40．=_________正确答案：0解析：=041．方程sinx+2y-z=ez确定函数z=z(x，y)，则=__________正确答案：解析：方程两边对x求偏导数得cosx-，整理得42．设z=，且f(x)可导，则=_________正确答案：2xyf()解析：43．设D是由直线x+y=1，x-y=1及x=0所围成的闭区域，则dxdy=________正确答案：1解析：由二重积分的几何意义知，dxdy为区域。的面积，故dxdy=1．44．设a为常数，若级数(un-a)收敛，则=__________正确答案：0解析：由(un-a)收敛，知(un-a)=0，即=a45．以y=c1e3x+c2e-2x为通解的二阶常系数齐次线性微分方程为_________正确答案：y’’-y’-6y=0解析：由通解知，微分方程特征根分别为3，-2，即特征方程为λ2-λ-6=0，故所求微分方y’’-y’-6y=0．解答题解答时应写出推理、演算步骤。46．正确答案：原式=(利用等价无穷小代换，当x←0时，sinx2～x2)=47．设y=xcosx+x2，求y’正确答案：令y1=xcosx，两边取对数，则lny1=cosxlnx，两边同时求导得，，所以=xcosx(-sinxlnx+)因此，y’=xcosx(-sinxlnx+)+2x48．设∫xf(x)dx=e2x+C，求正确答案：对于∫xf(x)dx=e2x+C，两边求导得，xf(x)=2e2x，整理得f(x)=49．计算f(x-1)dx，其中f(x)=正确答案：令x-1=t，原式==e3+ln2-1．50．设z=f(xy，正确答案：令u=xy，v=51．计算，其中D是由直线y=x，2y=x，x=1围成的区域。正确答案：区域D可表示为：{(x，y)｜0≤x≤1，≤y≤x｝52．将y=3sin2x展开成麦克劳林级数正确答案：因y=3sin2x=(1-cos2x)=53．求微分方程xlnxdy+(y-lnx)dx=0满足y｜x=e=1的特解正确答案：原方程可化为y’+则原方程的通解为y=将初始条件y｜x=e=1代入，得C=，故满足条件的特解