考研数学一(概率论与数理统计)模拟试卷40(题后含答案及解析)

考研数学一（概率论与数理统计）模拟试卷40(题后含答案及解析)题型有：1.选择题2.填空题3.解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1．设随机变量X～N(0，1)，Y～N(1，4)，且相关系数ρXY=1，则A．P{Y=一2X一1}=1．B．P{Y=2X一1}=1．C．P{Y=一2X+1}=1．D．P{Y=2X+1}=1．正确答案：D解析：由于X与Y的相关系数ρXY=1>O，因此P|Y=aX+b}=1，且a＞0．又因为Y～N(1，4)，X～N(0，1)，所以EX=0，EY=1．而EY=E（aX+b)=b,b=1．即应选(D)．知识模块：概率论与数理统计2．已知随机变量X与Y有相同的不为零的方差，则X与Y相关系数ρ=1的充要条件是A．C0v(X+Y，X)=0．B．Cov(X+Y，Y)=0．C．Cov(X+Y，X—Y)=0．D．Cov(X一Y，X)=0．正确答案：D解析：接用定义通过计算确定正确选项．已知DX=DY=σ2＞0，则故选(D)．其余选项均不正确，这是因为当DX=DY时，知识模块：概率论与数理统计3．设随机变量X1，X2，…，Xn相互独立，Sn=X1+X2+…+Xn，则根据列维一林德伯格中心极限定理，当n充分大时Sn近似服从正态分布，只要X1，X2，…，XnA．有相同期望和方差．B．服从同一离散型分布．C．服从同一均匀分布．D．服从同一连续型分布．正确答案：C解析：因为列维一林德伯格中心极限定理的条件是，X1，X2，…，Xn独立同分布而且各个随机变量的数学期望和方差存在．显然4个选项中只有选项(C)满足此条件：均匀分布的数学期望和方差都存在．选项(A)不成立，因为X1，X2，…，Xn有相同期望和方差，但未必有相同的分布，所以不满足列维一林德伯格中心极限定理的条件；而选项(B)和(D)虽然满足同分布，但数学期望和方差未必存在，因此也不满足列维一林德伯格中心极限定理的条件，故选项(B)和(D)一般也不能保证中心极限定理成立．知识模块：概率论与数理统计4．假设随机变量X1，X2，…相互独立且服从同参数λ的泊松分布，则下面随机变量序列中不满足切比雪夫大数定律条件的是A．X1，X2，…，Xn，…B．X1+1，X2+2，…，Xn+n，…C．X1，2X2，…，nXn,…D．正确答案：C涉及知识点：概率论与数理统计5．设随机变量序列X1，…，Xn，…相互独立，根据辛钦大数定律，当n→∞时依概率收敛于其数学期望，只要{Xn，n≥1}A．有相同的数学期望．B．有相同的方差．C．服从同一泊松分布．D．服从同一连续型分布，f(x)=正确答案：C解析：辛钦大数定律要求：{Xn，n≥1}独立同分布且数学期望存在．选项(A)、(B)缺少同分布条件，选项(D)虽然服从同一分布但期望不存在，因此选(C)．知识模块：概率论与数理统计6．设Xn表示将一枚匀称的硬币随意投掷n次其“正面”出现的次数，则A．B．C．D．正确答案：C涉及知识点：概率论与数理统计填空题7．设随机变量X的概率密度为则随机变量X的二阶原点矩为_______．正确答案：解析：依题设，即求EX2．首先对所给概率密度作变换：对于x(一∞＜x＜+∞)，有由此可知随机变量X服从正态分布，从而于是知识模块：概率论与数理统计8．设试验成功的概率为，失败的概率为，现独立重复地试验直到成功两次为止，则所需进行的试验次数的数学期望为______．正确答案：解析：设X表示试验成功两次时所进行的试验次数，Y表示第一次试验成功所进行的试验次数，Z表示从第一次成功之后到第二次成功所进行的试验次数，则X=Y+Z，且Y与Z都服从同一几何分布，其概率分布为从而有E(Y)=E(Z)=于是E(X)=E(Y+Z)=E(Y)+E(Z)=知识模块：概率论与数理统计9．已知随机变量X1与X2相互独立且分别服从参数为λ1，λ2的泊松分布，P{X1+X2＞0}=1一e-1，则E(X1+X2)2=________．正确答案：2解析：已知Xi～P(λi)且相互独立，所以EXi=DXi=λi，i=1，2．E(X1+X2)2=E(X12+2X1X2+X22)=EX12+2EX1EX2+EX22=λ1+λ12+2λ1λ2+λ2+λ22=λ1+λ2+(λ1+λ2)2．为求得最终结果我们需要由已知条件求得λ1+λ2．因为P{X1+X2＞0}=l—P{X1+X2≤0}=1—P{X1+X2=0}=1一P{X1=0，X2=0}=1—P{X1=0}P{X2=0}所以λ1+λ2=1，故E(X1+X2)2=1+1=2．知识模块：概率论与数理统计10．已知(X，Y)在以点(0，0)，(1，0)，(1，1)为顶点的三角形区域上服从均匀分布，对(X，Y)作4次独立重复观察，观察值X+Y不超过1出现的次数为Z，则EZ2=_______．正确答案：5解析：由题设知(X，Y)的联合概率密度为若记A=“X+Y≤1”，则Z是4次独立重复试验事件A发生的次数，故Z～B(4，p)，其中知识模块：概率论与数理统计11．设盒子中装有m个颜色各异的球，有放回地抽取n次，每次1个球．设X表示n次中抽到的球的颜色种数，则EX=______．正确答案：解析：令则X=X1+X2+…+Xm．事件“Xi=0”表示n次中没有抽到第i种颜色的球，由于是有放回抽取，n次中各次抽取结果互不影响，因此有知识模块：概率论与数理统计12．将一颗骰子连续重复掷4次，以X表示4次掷出的点数之和，则根据切比雪夫不等式，P{10＜X＜18}≥______．正确答案：涉及知识点：概率论与数理统计13．设随机变量X1，…，Xn相互独立同分布，EXi=μ，DXi=8(i=1，2，…，n)，则概率正确答案：解析：由于X1，…，Xn相互独立同分布，因此有．应用切比雪夫不等式，有知识模块：概率论与数理统计14．已知随机变量X与Y的相关系数则根据切比雪夫不等式有估计式P{|X—Y|≥≤_______．正确答案：解析：由于E(X—Y)=EX—EY=0，知识模块：概率论与数理统计15．将一枚骰子重复掷n次，则当n→∞时，n次掷出点数的算术平均值依概率收敛于______.正确答案：7/2解析：设X1，X2，…，Xn是各次掷出的点数，它们显然独立同分布，每次掷出点数的数学期望EX=21／6=7／2．因此，根据辛钦大数定律，依概率收敛于7／2．知识模块：概率论与数理统计16．设随机变量序列X1，…，Xn，…相互独立且都服从正态分布N(μ，σ2)，记Yn=X2n一X2n-1，根据辛钦大数定律，当n→∞时依概率收敛于_______．正确答案：2σ2解析：由于{Xn，n≥1}相互独立，故Yn=X2n一X2n-1(n≥1)相互独立并且都服从N(0，2σ2)，所以{Yn2,n≥1}独立同分布且EYn2=DYn+(EYn)2=2σ2，根据辛钦大数定律，当n→∞时依概率收敛于2σ2．知识模块：概率论与数理统计17．设随机变量序列X1，…，Xn，…相互独立且都在(一1，1)上服从均匀分布，则=_______(结果用标准正态分布函数ψ(x)表示)．正确答案：解析：由于Xn相互独立且都在(一1，1)上服从均匀分布，所以EXn=0，根据独立同分布中心极限定理，对任意x∈R有知识模块：概率论与数理统计18．设随机试验成功的概率p=0．20，现在将试验独立地重复进行100次，则试验成功的次数介于16和32次之间的概率α=____．正确答案：0.84解析：以X表示“在100次独立重复试验中成功的次数”，则X服从参数为(n，p)的二项分布，其中n=100，p=0．20，且由棣莫弗一拉普拉斯中心极限定理，知随机变量近似服从标准正态分布N(0，1)．因此试验成功的次数介于16和32次之间的概率=ψ(3)一ψ(一1)=ψ(3)一[1一ψ(1)]=0．9987一(1一0．8413)=0．84，其中ψ(u)是标准正态分布函数．知识模块：概率论与数理统计解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。19．投篮测试规则为每人最多投三次，投中为止，且第i次投中得分为(4一i)分，i=1，2，3．若三次均未投中不得分，假设某人投篮测试中投篮的平均次数为1．56次．(I)求该人投篮的命中率；(Ⅱ)求该人投篮的平均得分．正确答案：(I)设该投篮人投篮次数为X，投篮得分为Y；每次投篮命中率为p(0＜p＜1)，则X的概率分布为P{X=1}=P，P{X=2}=pq，P{X=3}=q2，EX=p+2pq+3q2=p+2p(1一p)+3(1一p)2=p2—3p+3．依题意p2一3p+3=1．56，即p2—3p+1．44=0．解得p=0．6(p=2．4不合题意，舍去)．(Ⅱ)Y可以取0，1，2，3四个可能值，且P{Y=0}=q3=0．43=0．064，P{Y=1}=pq2=0．6×0．42=0．096，P{Y=2}=pq=0．6×0．4=0．24，P{Y=3}=p=0．6，于是涉及知识点：概率论与数理统计20．甲、乙两人相约于某地在12：00～13：00会面，设X，Y分别是甲、乙到达的时间，且假设X和Y相互独立，已知X，Y的概率密度分别为求先到达者需要等待的时间的数学期望．正确答案：X和Y的联合概率密度为按题意需要求的是|X—Y|的数学期望，即有(D1，D2如图4．2)涉及知识点：概率论与数理统计21．设二维随机变量(X，Y)的联合概率密度为记Z=X2+Y2．求：(I)Z的密度函数；(Ⅱ)EZ，DZ；(Ⅲ)P{Z≤1}．正确答案：(I)当z≤0时，F(z)=0；当z＞0时，F(z)=P{Z≤z}=P{X2+Y2≤z}由此可以看出，Z服从参数为的指数分布．(Ⅱ)由(I)的结果(指数分布)可知，EZ=2σ2，DZ=4σ4．(Ⅲ)涉及知识点：概率论与数理统计22．设随机变量X1，X2，…，Xn相互独立，且都服从数学期望为1的指数分布，求Z=min{X1，X2，…，Xn}的数学期望和方差．正确答案：Xi(i=1，2，…，n)的分布函数为由于诸Xi(i=1，2，…，n)相互独立，则Z=min{X1，X2，…，Xn}的分布函数与概率密度分别为涉及知识点：概率论与数理统计23．设随机变量X在区间[一1，1]上服从均匀分布，随机变量(I)Y=，试分别求出DY与Cov(X，Y)．正确答案：显然Y是X的函数：Y=g(X)，因此计算DY可以直接应用公式EY=Eg(X)，或用定义计算．EY2=Eg2(X)=∫-∞+∞g2(x)f(x)dx=∫-∞+∞f(x)dx=1，故DY=EY2一(EY)2=1—0=1．或者EY=1×P{Y=1}+0×P{Y=0}+(一1)×P{Y=一1}涉及知识点：概率论与数理统计24．设随机变量X的概率密度为f(x)，已知D(X)=1，而随机变量Y的概率密度为f(一y)，且ρXY=记Z=X+Y，求E(Z)，D(Z)．正确答案：E(Z)=E(X+Y)=E(X)+E(Y)=∫-∞+∞xf(x)dx+∫-∞+∞yf(一y)dy.令y=一x，则∫-∞+∞yf(一y)dy=∫-∞+∞(一x)f(x)d(一x)=一∫-∞+∞xf(x)dx，所以E(Z)=0．又D(Y)=E(Y2)一[E(Y)]2=E(Y2)一[一E(X)]2，而E(Y2)=∫-∞+∞y2f(一y)dy=∫-∞+∞(一x)2f(x)d(-x)=∫-∞+∞x2f(x)dx=E(X2)，而E(Y2)=∫-∞+∞y2f(一y)dy=∫+∞-∞(一x)2f(x)d(一x)=∫-∞+∞x2f(x)dx=E(X2)所以D(Y)=E(Y2)一[一E(X)]2=E(X2)一[E(X)]2=D(X)=1．于是D(Z)=D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X，Y)涉及知识点：概率论与数理统计25．设随机变量X与Y相互独立同分布，且X的概率分布为记U=max(X，Y)，V=min(X，Y)，试求：(I)(U，V)的分布；(Ⅱ)E(UV)；(Ⅲ)ρUV．正确答案：(I)设(U，V)的分布为则有p11=P{U=1,V=1}=P{max(X,Y)=1,min(X,Y)=1}=P{X=1，Y=1}=P{X=1}P{Y=1}=，p12=P{U=1，V=2}=P{max(X，Y)=1，min(X，Y)=2}=P()=0，p22=P{U=2，V=2}=P{max(X，Y)=2，min(X，Y)=2}=P{X=2，Y=2}=P{X=2}P{Y=2}=，p21=1-p11-p12一p22=．所以(U，V)的分布为(Ⅱ)UV可能取值为1，2，4，所以(Ⅲ)由(I)可知涉及知识点：概率论与数理统计26．已知二维随机变量(X，Y)的概率分布为又P{X=1}=0．5，且X与Y不相关．(I)求未知参数a，b，c；(Ⅱ)事件A={X=1}与B={max(X，Y)=1}是否独立，为什么?(Ⅲ)随机变量X+Y与X—Y是否相关，是否独立?正确答案：(I)应用联合分布、边缘分布关系及X与Y不相关求参数a、b、c．由于P{X=1}=0．5，故P{X=一1}=0．5，a=0．5—0．1—0．1=0．3．又X与Y不相关E(XY)=EX.EY，其中EX=(一1)×0．5+1×0．5=0．XY可能取值为一1，0，1，且P{XY=一1}=P{X=一1，Y=1}+P{X=1，Y=一1}=0．1+b，P{XY=1}=P{X=1，Y=1}+P{X=一1，Y=一1}=0．1+c，P{XY=0}=P{X=一1，Y=0}+P{X=1，Y=0}=a+0．1，所以E(XY)=一0．1—b+0．1+c=c一b，由E(XY)=EXEY=0c一b=0，b=c，又b+0．1+c=0．5，所以b=c=0．2．(Ⅱ)由于A={X=1}B={max(X，Y)=1}，P(AB)=P(A)=0．5，0＜P(B)＜1，又P(A)P(B)=0．5P(B)＜0．5=P(AB)，即P(AB)≠P(A)P(B)，所以A与B不独立．(Ⅲ)因为Cov(X+Y，X—Y)=Cov(X，X)一Cov(X，Y)+Cov(Y，X)一Cov(Y，Y)=DX—DY，DX=EX2一(EX)2=1，EY=0，DY=EY2一(EY)2=0．6，所以Cov(X+Y，X—Y)=1—0．6=0．4≠0，X+Y与X一Y相关X+Y与X—Y不独立．涉及知识点：概率论与数理统计27．设甲、乙两人随机决定次序对同一目标进行独立地射击，并约定：若第一次命中，则停止射击，否则由另一人进行第二次射击，不论命中与否，停止射击．设甲、乙两人每次射击命中目标的概率依次为0．6和0．5．(I)计算目标第二次射击时被命中的概率；(Ⅱ)设X，Y分别表示甲、乙的射击次数，求X与Y的相关系数ρXY．正确答案：(I)设A表示甲先射击，则表示乙先射击，又设Bi表示在第i次射击时目标被命中(i=1，2)，则由题意，有由全概率公式即得(Ⅱ)由题意知P{X=0，Y=0}=0，P{X=1，Y=0}=P(AB1)=0．3，所以(X，Y)的分布律及边缘分布律为计算得EX=0．75，EY=0．7，DX=0．25×0．75，DY=0．3×0．7，E(XY)=0．45，于是涉及知识点：概率论与数理统计28．设二维连续型随机变量(X，Y)的联合概率密度为(I)求X与Y的相关系数；(Ⅱ)令Z=XY，求Z的数学期望与方差．正确答案：求X与Y的相关系数通常是计算EX，EY，DX，DY，EXY，然后根据公式求得ρXY．EX=∫-∞+∞∫-∞+∞xf(x,y)dxdy=∫0+∞∫0+∞xye-(x+y)dxdy=∫0+∞xe-xdx∫0+∞ye-ydy=1EX2=∫0+∞∫0+∞x2ye-(x+y)dxdy=∫0+∞x2e-xdx∫0+∞ye-ydy=Γ(3).Γ(2)=2DX=EX2一(EX)2=1．同样方法可以计算出EY=DY=2．又EZ=EXY=∫0+∞∫0+∞xy2e-(x+y)dxdy=∫0+∞y2e-ydy∫0+∞xe-xdx=Γ(3).Γ(2)=2，E(XY)2=∫0+∞∫0+∞x2y3e-(x+y)dxdy=∫0+∞y3e-ydy∫0+∞x2e-xdx=Γ(4).Γ(3)=12(I)由于Cov(X，Y)=EXY—EXEY=0，故(Ⅱ)DZ=DXY=E(XY)2一[E(XY)]2=12—22=8．涉及知识点：概率论与数理统计29．已知二维随机变量(X，Y)的概率密度为(I)求(U，V)的概率分布；(Ⅱ)求U和V的相关系数ρ．正确答案：(I)由题设易求得U，V的概率分布进而可求出(U，V)的概率分布．由于又P{U=0，V=1}=P{X+Y≤1，X+Y＞2}=0，故(U，V)的概率分布为(Ⅱ)由(U，V)的概率分布可求得U与V的相关系数ρ．由于U，V均服从0—1分布，故涉及知识点：概率论与数理统计30．假设随机变量X的密度函数f(x)=ce-λ|x|(λ＞0，一∞＜x＜+∞)，Y=|X|．(I)求常数c及EX，DX；(Ⅱ)问X与Y是否相关?为什么?(Ⅲ)问X与Y是否独立?为什么?正确答案：(I)由于∫-∞+∞f(x)dx=1，所以c∫-∞+∞e-λ|x|dx=2c∫0+∞e-λxdx=又f(x)是偶函数，