人教A版高中数学（选择性必修二）同步讲义第02讲 4.2.1等差数列的概念（原卷版）

第02讲4.2.1等差数列的概念课程标准学习目标①理解等差数列的定义.会推导等差数列的通项公式，能运用等差数列的通项公式解决一些简单的问题.掌握等差中项的概念。②能根据等差数列的定义推出等差数列的常用性质.能运用等差数列的性质解决有关问题。能应用等差数列的定义判断等差数列，会应用等差数列的通项公式进行基本量的求解，能应用等差数列的性质解决与等差数列相关的问题知识点01：等差数列的有关概念一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,通常用字母d表示．知识点02：等差中项由三个数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,SKIPIF1<0组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列.这时,SKIPIF1<0叫做SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的等差中项.这三个数满足关系式SKIPIF1<0.【即学即练1】（2023春·江西吉安·高二吉安三中校考期末）两个数SKIPIF1<0的等差中项是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．5 D．4【答案】C【详解】两个数SKIPIF1<0的等差中项为SKIPIF1<0.故选：C．知识点03：等差数列的通项公式首项为SKIPIF1<0,公差为SKIPIF1<0的等差数列SKIPIF1<0的通项公式为SKIPIF1<0.(1)等差数列的通项公式是关于三个基本量SKIPIF1<0,SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的表达式,所以由首项SKIPIF1<0和公差SKIPIF1<0可以求出数列中的任意一项.(2)等差数列的通项公式可以推广为SKIPIF1<0,由此可知,已知等差数列中的任意两项,就可以求出其他的任意一项.【即学即练2】（2023·全国·高二随堂练习）观察图，写出点数所成数列的一个通项公式．

【答案】SKIPIF1<0【详解】由图可知，图中点数依次增加3，所以该题满足等差数列，且首项SKIPIF1<0，公差SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.知识点04：等差数列与一次函数等差数列一次函数表达式：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0不同点①定义域SKIPIF1<0*.②图象是一系列均匀分布在同一直线上的孤立的点.①定义域为SKIPIF1<0.②图象是一条直线.相同点①当SKIPIF1<0时,等差数列的通项公式与一次函数的解析式都是关于自变量的一次式.②等差数列中的SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0四个量中知三求一和一次函数中求SKIPIF1<0,SKIPIF1<0的方法都是解方程(组).知识点05：等差数列的单调性①当SKIPIF1<0，等差数列SKIPIF1<0为递增数列②当SKIPIF1<0，等差数列SKIPIF1<0为递减数列③当SKIPIF1<0，等差数列SKIPIF1<0为常数列【即学即练3】（2023·全国·高二课堂例题）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是等差数列SKIPIF1<0的图象上的两点．(1)求数列SKIPIF1<0的通项公式；(2)画出数列SKIPIF1<0的图象；(3)判断数列SKIPIF1<0的单调性．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)答案见解析(3)为递减数列．【详解】（1）设等差数列SKIPIF1<0的首项为SKIPIF1<0，公差为d．因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是等差数列SKIPIF1<0的图象上的两点，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0．因此，SKIPIF1<0．（2）等差数列SKIPIF1<0的图象是均匀分布在直线SKIPIF1<0上的一系列离散的点，如下图所示：

（3）因为公差SKIPIF1<0，所以等差数列SKIPIF1<0为递减数列．知识点06：等差数列的四种判断方法(1)定义法SKIPIF1<0（或者SKIPIF1<0）(SKIPIF1<0是常数)SKIPIF1<0是等差数列．(2)等差中项法：SKIPIF1<0(SKIPIF1<0)SKIPIF1<0是等差数列．(3)通项公式：SKIPIF1<0(SKIPIF1<0为常数)SKIPIF1<0是等差数列．（SKIPIF1<0可以看做关于SKIPIF1<0的一次函数）(4)前SKIPIF1<0项和公式：SKIPIF1<0(SKIPIF1<0为常数)SKIPIF1<0是等差数列．(SKIPIF1<0可以看做关于SKIPIF1<0的二次函数，但是不含常数项SKIPIF1<0）提醒;证明一个数列是等差数列,只能用定义法或等差中项法知识点07：等差数列的性质①SKIPIF1<0②若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（特别的，当SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0）③若SKIPIF1<0是等差数列,公差为SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0也是等差数列,公差为SKIPIF1<0.④若SKIPIF1<0是公差为SKIPIF1<0的等差数列,则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,…(SKIPIF1<0)组成公差为SKIPIF1<0的等差数列.⑤若数列SKIPIF1<0为等差数列,公差为SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0(SKIPIF1<0为常数)是公差为SKIPIF1<0的等差数列.⑥若SKIPIF1<0,SKIPIF1<0分别是以SKIPIF1<0,SKIPIF1<0为公差的等差数列,则SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0为公差的等差数列.【即学即练4】（2023·陕西咸阳·咸阳彩虹学校校考模拟预测）若等差数列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．【答案】6【详解】由等差数列下标和性质可知，SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故答案为：6题型01等差数列的判定【典例1】（2023·全国·高三专题练习）已知数列SKIPIF1<0满足：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．1 B．2 C．3 D．2022【典例2】（2023秋·高二课时练习）已知数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，求证：数列SKIPIF1<0是等差数列．【典例3】（2023·全国·高三专题练习）已知数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，证明：SKIPIF1<0为等差数列.【变式1】（多选）（2023秋·江苏徐州·高三校考阶段练习）设数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，则下列能判断数列SKIPIF1<0是等差数列的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0．【变式2】（2023秋·高二课时练习）已知数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0．(1)求数列SKIPIF1<0的通项公式；(2)求证：数列SKIPIF1<0是等差数列．题型02等差数列的通项公式及其应用【典例1】（2023秋·河南三门峡·高二统考期末）若数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则数列SKIPIF1<0的通项公式为SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【典例2】（2023春·河北廊坊·高二校联考开学考试）已知数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．【典例3】（2023·全国·高三专题练习）已知数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0.证明：数列SKIPIF1<0是等差数列，并求SKIPIF1<0的通项公式.【变式1】（2023春·北京·高二北京市第九中学校考期中）已知数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则当SKIPIF1<0时，n的最大值为（

）A．3 B．4 C．5 D．7【变式2】（2023·宁夏石嘴山·石嘴山市第三中学校考三模）在数列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.【变式3】（2023·全国·高二专题练习）在数列SKIPIF1<0中，对任意SKIPIF1<0总有SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．题型03等差数列通项公式基本量计算【典例1】（2023·全国·高二课堂例题）已知数列SKIPIF1<0是等差数列．(1)如果SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求公差d和SKIPIF1<0；(2)如果SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求公差d和SKIPIF1<0．【典例2】（2023·全国·高二课堂例题）在等差数列SKIPIF1<0中，(1)已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0；(2)已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0．【变式1】（2023·全国·高二随堂练习）在等差数列SKIPIF1<0中，(1)已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0；(2)已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求d；(3)已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求n.【变式2】（2023·全国·高二随堂练习）已知等差数列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求首项SKIPIF1<0与公差d．题型04等差中项及其应用【典例1】（2023秋·甘肃金昌·高二永昌县第一高级中学校考阶段练习）在等差数列SKIPIF1<0中，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．13 B．26 C．39 D．52【典例2】（2023春·黑龙江哈尔滨·高二哈尔滨市第四中学校校考期中）已知等差数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【典例3】（2023·全国·高三专题练习）已知数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.【变式1】（2023春·高二课时练习）在等差数列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．36 B．48 C．60 D．72【变式2】（2023春·西藏日喀则·高二统考期末）在等差数列SKIPIF1<0中，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.【变式3】（2023春·山东日照·高二统考期末）已知数列SKIPIF1<0为等差数列，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．题型05等差数列性质的应用【典例1】（2023春·新疆巴音郭楞·高二校考期中）在等差数列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【典例2】（2023·全国·高三专题练习）已知等差数列SKIPIF1<0的首项与公差d均为正数，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等差数列，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的公差为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【典例3】（2023·全国·高三专题练习）等差数列SKIPIF1<0中，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的值是（）A．14 B．15 C．16 D．17【变式1】（2023·全国·高三专题练习）若等差数列SKIPIF1<0的前15项和SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．2 B．3 C．4 D．5【变式2】（2023·全国·高二随堂练习）在等差数列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值．【变式3】（2023秋·高二课时练习）已知数列SKIPIF1<0是等差数列，且SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0．题型06等差数列的单调性【典例1】（多选）（2023·江西南昌·校考模拟预测）下面是关于公差SKIPIF1<0的等差数列SKIPIF1<0的四个命题，其中的真命题为（

）.A．数列SKIPIF1<0是递增数列B．数列SKIPIF1<0是递增数列C．数列SKIPIF1<0是递增数列D．数列SKIPIF1<0是递增数列【典例2】（2023·全国·高三专题练习）在数列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，对任意的正整数SKIPIF1<0，都有SKIPIF1<0恒成立，求实数SKIPIF1<0的取值范围.【变式1】（2022·全国·高二专题练习）设等差数列SKIPIF1<0的公差为d，若SKIPIF1<0，则“SKIPIF1<0”是“SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【变式2】（多选）（2023春·辽宁阜新·高二校考期中）已知数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则（

）A．SKIPIF1<0是等差数列B．SKIPIF1<0是等比数列 C．SKIPIF1<0是递增数列D．SKIPIF1<0是递减数列题型07等差数列中的最大（小）项【典例1】（2023春·高二课时练习）设SKIPIF1<0，则当数列{an}的前n项和取得最小值时，n的值为（

）A．4 B．5C．4或5 D．5或6【典例2】（2023秋·高二课时练习）已知数列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0.(1)求证:数列SKIPIF1<0是等差数列，写出SKIPIF1<0的通项公式；(2)求数列SKIPIF1<0的通项公式及数列SKIPIF1<0中的最大项与最小项.

【变式1】（2023春·高二课时练习）在首项为31，公差为－4的等差数列中，绝对值最小的项是.【变式2】（2023春·高二课时练习）已知数列SKIPIF1<0的通项公式为SKIPIF1<0.（1）试问10是数列SKIPIF1<0中的项吗？（2）求数列SKIPIF1<0中的最小项.题型08构造等差数列【典例1】（2023春·甘肃天水·高二天水市第一中学校考阶段练习）已知数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．9 B．SKIPIF1<0 C．11 D．SKIPIF1<0【典例2】（2023·全国·高三专题练习）已知数列{SKIPIF1<0}中，其中SKIPIF1<0，且当n≥2时，SKIPIF1<0，求通项公式SKIPIF1<0.【变式1】（2023春·辽宁鞍山·高二东北育才学校校联考期末）在数列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0.则数列SKIPIF1<0的通项公式为.【变式2】（2023秋·江苏·高二专题练习）已知数列SKIPIF1<0满足：SKIPIF1<0求通项SKIPIF1<0.题型09等差数列的实际应用【典例1】（2023春·陕西西安·高二统考期中）图SKIPIF1<0是第七届国际数学教育大会的会徽图案，会徽的主体图案是由如图SKIPIF1<0所示的一连串直角三角形演化而成的，其中SKIPIF1<0，如果把图SKIPIF1<0中的直角三角形继续作下去，记SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的长度构成的数列为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【典例2】（2023·全国·高二课堂例题）某公司购置了一台价值为220万元的设备，随着设备在使用过程中老化，其价值会逐年减少．经验表明，每经过一年其价值就会减少d（d为正常数）万元．已知这台设备的使用年限为10年，超过10年，它的价值将低于购进价值的5%，设备将报废．请确定d的取值范围．【变式1】（2023·全国·高二随堂练习）某城市环境噪声平均值见下表：年份2014201520162017噪声/dB57.857.256.656.0如果噪声平均值依此规律逐年减少，那么从2017年起，至少经过多少年，噪声平均值将小于42dB？【变式2】（2023·全国·高二随堂练习）某城市的绿化建设有如下统计数据：年份2015201620172018绿化覆盖率/%17.017.818.619.4如果以后的几年继续依此速度发展绿化，那么至少到哪一年该城市的绿化覆盖率可超过SKIPIF1<0？题型10等差数列在传统文化中的应用问题【典例1】（2023春·陕西安康·高二统考期中）“中国剩余定理”又称“孙子定理”，1852年英国来华传教士伟烈亚利将《孙子算法》中“物不知数”问题的解法传至欧洲.1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”.“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将1至2023这2023个数中，能被5除余1且被7除余1的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列SKIPIF1<0，则此数列的项数为（

）A．56 B．57 C．58 D．59【典例2】（2023春·上海黄浦·高二统考期末）《周髀算经》是中国最古老的天文学和数学著作，该书中提到：从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影子长次成等差数列，若立春的日影子长是12.5尺，芒种的日影子长为4.5尺，则立夏的日影子为尺；【变式1】（多选）（2023秋·甘肃定西·高二甘肃省临洮中学校考阶段练习）《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱?”（“钱”是古代的一种重量单位）．关于这个问题，下列说法错误的是（

）A．戊得钱是甲得钱的一半B．乙得钱比丁得钱多SKIPIF1<0钱C．甲、丙得钱的和是乙得钱的2倍D．丁、戊得钱的和比甲得钱多SKIPIF1<0钱A夯实基础B能力提升A夯实基础一、单选题1．（2023春·黑龙江鹤岗·高二鹤岗一中校考期中）等差数列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，公差SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0是数列的第（

）A．SKIPIF1<0项 B．SKIPIF1<0项 C．SKIPIF1<0项 D．SKIPIF1<0项2．（2023春·江西萍乡·高二萍乡市安源中学校考期末）在等差数列SKIPIF1<0中，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．4 B．6 C．8 D．103．（2023春·辽宁大连·高二大连八中校考阶段练习）在数列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则数列SKIPIF1<0是（

）A．公差为SKIPIF1<0的等差数列 B．公差为SKIPIF1<0的等差数列C．公差为SKIPIF1<0的等差数列 D．不是等差数列4．（2023秋·天津和平·高三天津二十中校考阶段练习）《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为（

）A．SKIPIF1<0升 B．SKIPIF1<0升 C．SKIPIF1<0升 D．SKIPIF1<0升5．（2023春·浙江·高二校联考开学考试）在数列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．121 B．100 C．81 D．646．（2023秋·福建宁德·高二福建省宁德第一中学校考开学考试）首项为SKIPIF1<0的等差数列，从第SKIPIF1<0项起开始为正数，则公差SKIPIF1<0的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<07．（2023春·甘肃天水·高二统考期末）在数列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0等于（

）A．671 B．673 C．674 D．6758．（2023·全国·高二专题练习）已知数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0二、多选题9．（2023·全国·高二随堂练习）已知等差数列SKIPIF1<0的公差SKIPIF1<0，则下列四个命题中真命题为（

）A．数列SKIPIF1<0是递增数列 B．数列SKIPIF1<0是递增数列C．数列SKIPIF1<0是递增数列 D．数列SKIPIF1<0是递增数列10．（2023春·江西新余·高二统考期末）已知在数列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则下列结论正确的是（

）A．SKIPIF1<0是等差数列 B．SKIPIF1<0是递增数列C．SKIPIF1<0是等差数列 D．SKIPIF1<0是递增数列三、填空题11．（2023秋·江苏连云港·高二赣榆一中校考阶段练习）已知SKIPIF1<0为等差数列，SKIPIF1<0