任意角与弧度制专题讲义-高三数学一轮复习

专题:任意角和弧度制知识点一任意角1.角的定义：角可以看成平面内的一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.2.角的表示：如图，OA是角α的始边，OB是角α的终边，O是角α的顶点．角α可记为“角α”或“∠α”或简记为“α”．3.角的分类eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(按旋转方向不同分为正角、负角、零角.,按终边位置不同分为象限角和轴线角.))4.终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}.α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．知识点二弧度制的定义和公式1．角度制：(1)定义：用度作为单位来度量角的单位制．(2)1度的角：周角的eq\f(1,360).2．弧度制：(1)定义：以弧度作为单位来度量角的单位制．(2)1弧度的角：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角．3.弧度数的计算角度与弧度的互化角度化弧度弧度化角度360°＝2πrad2πrad＝360°180°＝πradπrad＝180°1°＝eq\f(π,180)rad≈0.01745rad1rad＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°≈57.30°度数×eq\f(π,180)＝弧度数弧度数×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°＝度数弧度制下的弧长与扇形面积公式设扇形的半径为R，弧长为l，α(0<α<2π)为其圆心角，则(1)弧长公式：l＝|α|r.(2)扇形面积公式：S＝lr＝|α|r2名师点津：1．对终边相同的角的理解(1)终边相同的角的前提条件是：角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合．(2)α是任意角且k为整数．(3)k·360°与α之间用“＋”号连接．(4)终边相同的角的表示形式不唯一，如{x|x＝k·360°－90°，k∈Z}与{x|x＝k·360°＋270°，k∈Z}均表示终边在y轴的非正半轴上的角的集合．2．各象限角的集合象限角象限角α的集合表示第一象限角{α|k·360°<α<k·360°＋90°，k∈Z}第二象限角{α|k·360°＋90°<α<k·360°＋180°，k∈Z}第三象限角{α|k·360°＋180°<α<k·360°＋270°，k∈Z}第四象限角{α|k·360°＋270°<α<k·360°＋360°，k∈Z}3.终边相同角常用的三个结论(1)终边相同的角之间相差360°的整数倍．(2)终边在同一直线上的角之间相差180°的整数倍．(3)终边在相互垂直的两直线上的角之间相差90°的整数倍4．用弧度为单位表示角的大小时，“弧度”或“rad”可以略去不写，只写这个角对应的弧度数即可，如角α＝－3.5rad可写成α＝－3.5.而用角度为单位表示角的大小时，“度”或“°”不可以省略．5．在应用扇形面积公式S＝|α|r2时，要注意α的单位是“弧度”题型一：任意角的概念[例1]下列结论：①三角形的内角必是第一、二象限角；②始边相同而终边不同的角一定不相等；③小于90°的角是第一象限角；④钝角比第三象限角小；⑤小于180°的角是钝角、直角或锐角．其中正确的结论为________(填序号)．【跟踪训练】1．射线OA绕端点O逆时针旋转120°到达OB位置，由OB位置顺时针旋转270°到达OC位置，则∠AOC＝()A．150° B．－150°C．390° D．－390°2．若手表时针走过4小时，则时针转过的角度为()A．120° B．－120°C．－60° D．60°题型二：终边相同的角的表示【例2】(链接教材P170例1)已知α＝－315°.(1)把α改写成k·360°＋β(k∈Z,0°≤β＜360°)的形式；(2)求θ，使θ与α终边相同，且－1080°＜θ＜－360°.【跟踪训练】1．若角2α与240°角的终边相同，则α＝()A．120°＋k·360°，k∈Z B．120°＋k·180°，k∈ZC．240°＋k·360°，k∈Z D．240°＋k·180°，k∈Z2.如图，终边落在阴影部分的角的集合是()A．{α|－45°≤α≤120°}B．{α|120°≤α≤315°}C．{α|k·360°－45°≤α≤k·360°＋120°，k∈Z}D．{α|k·360°＋120°≤α≤k·360°＋315°，k∈Z}3．在直角坐标系中写出下列角的集合：(1)终边在x轴的非负半轴上；(2)终边在y＝x(x≥0)上．题型三：象限角的判断【例3】(1)已知α是第二象限角，则180°－α是()A．第一象限角 B．第二象限角C．第三象限角 D．第四象限角(2)已知α是第二象限角，求角所在的象限．【母题探究]】1．(变设问)在本例(2)的条件下，求角2α的终边的位置．2．(变条件)若将本例(2)中的“第二象限”改为“第一象限”，如何求解？．【题型四：角度与弧度的换算【例4】(链接教材P173例4)将下列角度与弧度进行互化：(1)π；(2)－；(3)10°；(4)－855°.【跟踪训练】1．把下列弧度化为角度：(1)＝________；(2)－＝________.2．把下列角度化为弧度：(1)－1500°＝________；(2)67°30′＝________.题型五：用弧度制表示终边相同的角【例五】已知α＝－800°.(1)把α改写成β＋2kπ(k∈Z,0≤β<2π)的形式，并指出α是第几象限角；(2)求γ，使γ与α的终边相同，且γ∈.【跟踪训练】若角α的终边与角的终边关于直线y＝x对称，且α∈(－2π，2π)，求角α的值．题型六：扇形的弧长及面积公式【例6】已知扇形的圆心角所对的弦长为2，圆心角为.求：(1)这个圆心角所对的弧长；(2)这个扇形的面积．【跟踪训练】1．弧长为3π，圆心角为135°的扇形的半径为________，面积为________．2．已知一扇形的周长为40cm，当它的半径和圆心角取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？达标检测1．下列命题中正确的是（

）A．第一象限角一定不是负角 B．小于的角一定是锐角C．钝角一定是第二象限的角 D．终边相同的角一定相等2．把表示成，的形式，则的值可以是（

）A． B． C． D．3．考生你好，本场考试需要2小时，在本场考试中，钟表的时针转过的弧度数为（

）A． B． C． D．4．若角，则角是（

）A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角5．圆弧长度等于圆内接正三角形的边长，则其圆心角弧度数为（

）A． B． C． D．6．已知扇形的弧长为，圆心角为，则该扇形的面积为（

）A． B． C． D．7．将化为弧度为A． B． C． D．8．若是第一象限角，则下列各角中属于第四象限角的是A． B． C． D．9．（多选）下列命题正确的是（

）A．终边落在x轴的非负半轴的角的集合为B．终边落在y轴上的角的集合为C．第三象限角的集合为D．在范围内所有与角终边相同的角为和10．如图，A，B是单位圆上的两个质点，点B的坐标为(1，0)，∠BOA＝60°，质点A以1rad/s的角速度按逆时针方向在单位圆上运动，质点B以2rad/s的角速度按顺时针方向在单位圆上运动，则（

）A．经过1s后，∠BOA的弧度数为＋3B．经过s后，扇形AOB的弧长为C．经过s后，扇形AOB的面积为D．经过s后，A，B在单位圆上第一次相遇11．走时精确的钟表，中午时，分针与时针重合于表面上的位置，则当下一次分针与时针重合时，时针转过的弧度数的绝对值等于_______.12．已知扇形的中心角为2弧度，扇形的半径为3，则此扇形的弧长为___________.13．一个面积为1的扇形，所对弧长也为1，则该扇形的圆心角是________弧度14．已知终边在第四象限，则终边所在的象限为_______________．15．写出与α＝－1910°终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式－720°≤β＜360°的元素β写出来．16．已知角的终边落在图中阴影部分(不包括边界),试表示角的取值集合.17．已知扇形AOB的圆心角为120°，半径长为6，求：(1)的长；(2)扇形所含弓