数学（北师大版选修23）练习3.2独立性检验活页作业20

活页作业(二十)独立性检验一、选择题1．对两个分类变量A，B的下列说法中正确的个数为()①A与B相关性越大，则χ2的值就越大；②A与B无关，即A与B互不影响；③χ2的大小是判定A与B是否相关的唯一依据．A．1 B．2C．3 D．0解析：①正确，χ2的值的大小是用来检验A与B的相关性，χ2的值越大，A与B的相关性越大．②正确，A与B无关即A与B相互独立．③不正确，还可借助eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(a,n)－\f(a＋b,n)·\f(a＋c,n)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(或\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(b,n)－\f(a＋b,n)·\f(b＋d,n)))，\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(c,n)－\f(c＋d,n)·\f(a＋c,n)))，\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(d,n)－\f(c＋d,n)·\f(b＋d,n)))))的值的大小来判定A与B两变量的相关性．答案：B2．两个分类变量X和Y，值域分别为{X1，X2}和{Y1，Y2}，其样本频数分别是a＝10，b＝21，c＋d＝35，若X与Y有关系的可信程度为90%，则c等于()A．4 B．5C．6 D．7解析：当c＝5时，χ2＝eq\f(66×10×30－21×52,31×35×15×51)≈3.0236＞2.706.∴c＝5时，X与Y有关系的可信程度为90%，而其余的值c＝4，c＝6，c＝7皆不满足．答案：B3．对于分类变量X与Y的随机变量χ2的观测值k，下列说法正确的是()A．k越大，“X与Y有关系”可信程度越小B．k越小，“X与Y有关系”可信程度越小C．k越接近于0，“X与Y无关”程度越小D．k越大，“X与Y无关”程度越大解析：χ2的值越小时，“X与Y有关系”的可信程度越小．答案：B4．为了探究学生的学习成绩是否与学习时间长短有关，在调查的500名学习时间较长的学生中有39名学习成绩比较好，500名学习时间较短的学生中有6名学习成绩比较好，那么你认为学生的学习成绩与学习时间长短有关的把握为()A．0 B．95%C．99% D．都不正确解析：计算出χ2与两个临界值比较，χ2＝eq\f(1000×39×494－6×4612,45×955×500×500)≈25.3403＞6.635．所以有99%的把握说学生的学习成绩与学习时间长短有关．故选C．答案：C二、填空题5．独立性检验中，两个分类变量X和Y有关系的可信程度是95%，则随机变量χ2的取值范围是________．解析：当χ2>3.841时，有95%的把握判断X与Y有关系，当χ2>6.635时，有99%的把握判断X与Y有关系，∴3.841<χ2≤6.635．答案：(3.841,6.635]6．有两个分类变量X与Y，有一组观测的2×2列联表如下，其中，a,15－a均为大于5的整数，则a＝________时，有90%以上的把握认为“X与Y之间有关系”.YXy1y2总计x1a20－a20x215－a30＋a45总计155065解析：要使有90%以上的把握认为X与Y之间有关系，则χ2＞2.706，即χ2＝eq\f(65[a30＋a－20－a15－a]2,20×45×15×50)＝eq\f(1313a－602,60×90)＞2.706，解得a＞7.19或a＜2.04．又因为a＞5，且15－a＞5，a∈Z，所以当a取8或9时，有90%以上的把握认为“X与Y之间有关系”．答案：8或9三、解答题7．考察小麦种子经过灭菌与否跟发生黑穗病的关系，经试验观察，得到数据如下表所示：种子灭菌种子未灭菌总计黑穗病26184210无黑穗病50200250总计76384460试根据上述数据判断种子灭菌与发生黑穗病是否有关．解：χ2＝eq\f(460×26×200－184×502,210×250×76×384)≈4.804．由于4.804＞3.841，所以有95%的把握认为种子灭菌与发生黑穗病是有关系的．8．有甲、乙两个班级进行数学考试，按照大于等于85分为优秀，85分以下为非优秀统计成绩后，得到如下的列联表.优秀非优秀总计甲班10乙班30总计105已知在全部105人中随机抽取1人为优秀的概率为eq\f(2,7)．(1)请完成上面的列联表；(2)根据列联表的数据，若按95%的可靠性要求，能否认为“成绩与班级有关系”？(3)若按下面的方法从甲班优秀的学生中抽取一人：把甲班优秀的10名学生从2到11进行编号，先后两次抛掷一枚均匀的骰子，出现的点数之和为被抽取人的序号．试求抽到6或10号的概率．参考公式：χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)附表：P(χ2≥k)0.100.050.0250.010k2.7063.8415.0246.635解：(1)优秀非优秀总计甲班104555乙班203050总计3075105(2)根据列联表中的数据，得到χ2＝eq\f(105×10×30－45×202,55×50×30×75)≈6.109＞3.841，因此有95%的把握认为“成绩与班级有关系”．(3)设“抽到6或10号”为事件A，先后两次抛掷一枚均匀的骰子，出现的点数为(x，y)．所有的基本事件有(1,1)，(1,2)，(1,3)，…，(6,6)，共36个．事件A包含的基本事件有(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)，(4,6)，(5,5)，(6,4)，共8个，∴P(A)＝eq\f(8,36)＝eq\f(2,9)．一、选择题1．硕士学位与博士学位的一个随机样本给出了关于所获取学位类别与学生性别的分类数据如表所示：学位性别硕士博士总计男16227189女1438151总计30535340根据以上数据，则()A．性别与获取学位类别有关B．性别与获取学位类别无关C．性别决定获取学位的类别D．以上都是错误的解析：由列联表可得χ2＝eq\f(340×162×8－27×1432,189×151×305×35)≈7.34＞6.635，所以有99%的把握认为性别与获取学位的类别有关．答案：A2．某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这4个变量的关系，随机抽查52名中学生，得到统计数据如表1至表4，则与性别有关联的可能性最大的变量是()表1成绩性别不及格及格总计男61420女102232总计163652表2视力性别好差总计男41620女122032总计163652表3智商性别偏高正常总计男81220女82432总计163652表4阅读量性别丰富不丰富总计男14620女23032总计163652A．成绩 B．视力C．智商 D．阅读量解析：因为χeq\o\al(2,1)＝eq\f(52×6×22－14×102,20×32×16×36)＝eq\f(52×82,20×32×16×36)，χeq\o\al(2,2)＝eq\f(52×4×20－16×122,20×32×16×36)＝eq\f(52×1122,20×32×16×36)，χeq\o\al(2,3)＝eq\f(52×8×24－12×82,20×32×16×36)＝eq\f(52×962,20×32×16×36)，χeq\o\al(2,4)＝eq\f(52×14×30－6×22,20×32×16×36)＝eq\f(52×4082,20×32×16×36)，则有χeq\o\al(2,4)＞χeq\o\al(2,2)＞χeq\o\al(2,3)＞χeq\o\al(2,1)，所以阅读量与性别有关联的可能性最大．答案：D二、填空题3．在吸烟与患肺病是否相关的判断中，有下面的说法：①若统计量χ2>6.635，则在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为吸烟与患肺病有关系，那么在100个吸烟的人中必有99人患有肺病；②从独立性检验可知在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为吸烟与患肺病有关系时，若某人吸烟，则他有99%的可能患有肺病；③从独立性检验可知在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为吸烟与患肺病有关系时，是指有5%的可能性使得推断错误．其中说法正确的是________．(填序号)解析：统计量χ2是检验吸烟与患肺病相关程度的量，是相关关系，而不是确定关系，是反映有关和无关的概率，故说法①错误；说法②中对“确定容许推断犯错误概率的上界”理解错误；说法③正确．答案：③4．两个分类变量X，Y，它们的取值分别为x1，x2和y1，y2，其列联表为YXy1y2总计x1aba＋bx2cdc＋d总计a＋cb＋da＋b＋c＋d若两个分类变量X，Y独立，则下列结论：①ad≈bc；②eq\f(a,a＋b)≈eq\f(c,c＋d)；③eq\f(c＋d,a＋b＋c＋d)≈eq\f(b＋d,a＋b＋c＋d)；④eq\f(c＋a,a＋b＋c＋d)≈eq\f(b＋d,a＋b＋c＋d)；⑤eq\f(a＋b＋c＋dad－bc,a＋bb＋da＋cc＋d)≈0．其中正确的序号是________．解析：因为分类变量X，Y独立，所以eq\f(a,a＋b＋c＋d)≈eq\f(a＋c,a＋b＋c＋d)·eq\f(a＋b,a＋b＋c＋d)，化简得ad≈bc，故①⑤正确；②式化简得ad≈bc，故②正确．答案：①②⑤三、解答题5．现对某市工薪阶层关于“楼市限购政策”的态度进行调查，随机抽查了50人，他们月收入(单位：百元)的频数分布及对“楼市限购政策”的赞成人数如下表：月收入[15,25)[25,35)[35,45)[45,55)[55,65)[65,75]频数510151055赞成人数4812521(1)根据以上统计数据填写下面2×2列联表，并回答是否有99%的把握认为当月收入以5500元为分界点时，该市的工薪阶层对“楼市限购政策”的态度有差异；月收入不低于5500元月收入低于5500元总计赞成不赞成总计(2)若从月收入在[55,65)的被调查对象中随机选取两人进行调查，求至少有一人不赞成“楼市限购政策”的概率．解：(1)2×2列联表为月收入不低于5500元月收入低于5500元总计赞成32932不赞成71118总计104050假设月收入以5500元为分界点时，该市的工薪阶层对“楼市限购政策”的态度没有差异，根据列联表中的数据，得到χ2＝eq\f(50×3×11－29×72,32×18×10×40)≈6.272＜6.635，所以没有99%的把握认为当月收入以5500元为分界点时，该市的工薪阶层对“楼市限购政策”的态度有差异．(2)已知在收入[55,65)中共有5人，2人赞成，3人不赞成，设至少有一个不赞成“楼市限购政策”为事件A，则P(A)＝1－eq\f(C\o\al(2,2),C\o\al(2,5))＝eq\f(9,10).故所求概率为eq\f(9,10)．6．为了研究教学方式对教学质量的影响，某高中数学老师分别用两种不同的教学方式对入学数学平均分数和优秀率都相同的甲、乙两个高一新班进行教学(勤奋程度和自觉性都一样)．以下茎叶图为甲、乙两班(每班均为20人)学生的数学期末考试成绩.甲乙090156877328012566898422107135987766578988775(1)现从甲班数学成绩不低于80分的同学中随机抽取两名同学，求成绩为87分的同学至少有一名被抽中的概率；(2)学校规定：成绩不低于75分的为优秀．请填写下面的2×2列联表，并判断有多大把握认为“成绩优秀与教学方式有关”.甲班乙班总计优秀不优秀总计下面临界表仅供参考：P(χ2≥k)0.150.100.050.0250.0100.0050.001k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828参考公式：χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)．解：(1)记成绩为87分的同学为A，B，其他不低于80分的同学为C，D，E，“从甲班数学成绩不低于80分的同学中随机抽取两名同学”的一切可能结果