一元一次方程的应用

一元一次方程的应用主讲人：我的速度是12千米/小时我的速度是15千米/小时1、什么是方程？答案：含有未知数（通常用“”表示）的等式。2、什么是一元一次方程？

答案：“元

”表示未知数的种类，“次”表示未知数的最高次数。一元一次方程指的是含有1个未知数，并且未知数的最高次数是“1”的方程。

桃花缘桃花坞里桃花庵，桃花庵下桃花仙。课前回顾：一元一次方程的应用实质上就是列一元一次方程解与生产生活相关的应用题。列一元一次方程解应用题主要有以下几个步骤：找等量关系（分析思路，不包括在解答过程中）；设未知数；解方程；答；

在以上四个步骤中，最重要的就是找等量关系。这就要求我们要熟悉生产生活中常见的等量关系。如：路程=时间速度，利润=售价-成本等；能正确找出等量关系，列一元一次方程解应用题就成功了一半。总体概括，一元一次方程的应用主要包括以下8个方面：桃花缘一元一次方程的应用行程问题的基本题型：1、基本行程；2、相遇问题；3、追击问题；4、

航行问题（顺逆流）；5、环形跑道问题；例题1

某人从甲村去乙村，在乙村停留一个小时后又绕道去丙村，再停

留半个小时返回甲村，去时的速度是5千米/小时，回时的速度是4千米/小时，来回包括停留时间共用去6小时30分钟，回来因绕

道多走了2千米，求去时所走的路程。等量关系：来回时间+停留时间=6小时30分钟；设未知数：设去时所走的路程为千米，则回时的路程是千米。列方程：解方程：解得答：去时所走的路程为10千米。桃花缘1、行程问题例题2

甲、乙两站相距480公里，一列慢车从甲站开出，每小时行90公里，一列快车从乙站开出，每小时行140公里。

（1）慢车先开出1小时，快车再开。两车相向而行。问快车开出多少小时后两车相遇？分析：相遇问题，可画图表示为：

桃花缘1、行程问题等量关系：慢车走的路程+快车走的路程=480公里。设未知数：设快车开出小时后两车相遇；列方程：解方程：解得答：快车开出小时后两车相遇。（2）两车同时开出，相背而行多少小时后两车相距600公里？分析：相背而行，可画图为：桃花缘1、行程问题等量关系：两车所走的路程和+480公里=600公里。设未知数：设小时后两车相距600公里；列方程：解方程：…（3）两车同时开出，慢车在快车后面同向而行，多少小时后快车与慢车相距600公里？等量关系：快车所走路程-慢车所走路程+480公里=600公里。作图如下：

桃花缘1、行程问题（4）两车同时开出同向而行，快车在慢车的后面，多少小时后快车追上慢车？（5）慢车开出1小时后两车同向而行，快车在慢车后面，快车开出后多少小时追上慢车？桃花缘1、行程问题例题3

某船从A码头顺流而下到达B码头，然后逆流返回，到达A、B两码头之间的C码头，一共航行了7小时，已知此船在静水中的速度为7.5千米时，水流速度为2.5千米/时。A、C两码头之间的航程为10千米，求A、B两码头之间的航程。分析：这属于行船问题，这类问题中要弄清（1）顺水速度=船在静水中的速度+水流速度，（2）逆水速度=船在静水中的速度-水流速度。相等关系：顺流航行的时间+逆流航行的时间=7小时；设未知数：设A、B两码头之间的航程为千米，则B、C间的航程为千米。列方程：

解方程：解得答：A、B两码头之间的航程为30千米。桃花缘1、行程问题变式1

环城自行车赛，最快的人在开始48分钟后遇到最慢的人，已知最快的人的速度是最慢的人速度的3倍，环城一周是20千米，求两个人的速度。

桃花缘1、行程问题等量关系：（1）生产甲部件的人数+生产乙部件的人数=总人数；（2）甲部件的数量和乙部件的数量按配套要求保持倍数（或比例）关系；（3）生产各部分所需原料之和=原料总量；例4

某服装厂生产一批西装，每2米宽面布可以裁上衣3件或裁裤子4条，现有宽面布245米，为了使上衣和裤子配套，裁上衣和裤子应该各

用宽面布多少米？

找等量关系：“配套”上衣=裤子；

设位置数：设裁上衣用米布，则裁裤子用（245-）米布；

列方程：

解方程：解得；

答：裁上衣用宽面布140米，裁裤子用宽面布105米。桃花缘2、配套问题说明：销售的盈亏问题，涉及盈利、亏损、保本（既不盈利也没有亏本）

三个方面，一般的商家在销售过程中，总是要追求盈利的，即要

获得利润。1、利润是指商品售价与商品成本（进价）的差，即利润=售价-成

本；2、利润率是指利润与进价的比率，即；等量关系：桃花缘3、商品销量问题

在以上相等关系中，共有标价、折数、进价、利润（利润率）四个量，任意已知三个量，就可以求第四个量。例5

商店对某种商品进行调价，按标价的8折出售，此时商品的利润率

是10%，此商品进价是1600元，求商品的标价是多少元？找等量关系：售价-进价=利润，即：设未知数：设商品的标价是元；列方程：解方程：解得：答：商品的标价是2200元。

桃花缘3、商品销量问题等量关系：本息和=本金+利息（本金利率存期）-利息税（利息利息税率）例6

爸爸为小明存了一个三年期的教育储蓄（3年期的年利率为2.7%），三年后能取5405元，那么刚开始他存入了多少元？等量关系：本息和=本金+利息；设未知数：设刚开始他存入了元；列方程：解方程：解得：答：刚开始他存入银行5000元。桃花缘4、银行储蓄问题说明：数字问题常见的解题思路是抓住数字间或新数与原数间的关系寻

找等量关系。列方程的前提还必须正确地表示多位数的代数式。

如：一个三位数，百位数上的数字是，十位数字是，各位数

字是，则这个三位数为。例7

一个两位数，个位数字是十位数字的2倍，如果把十位数字与个位对

调，那么所得的两位数比原两位数大36，求原两位数。

等量关系：新数-原数=36；设未知数：设原数十位数字为，则原数个位数字为；列方程：；解方程：解得；答：原两位数为48。桃花缘5、数字问题例8

某项工作，甲单独做需要4小时，乙单独做需要6小时，甲先做30

分钟，然后甲乙合作。问甲乙合作还需要多长时间才能完成全部

工作？等量关系：甲工作量+乙工作量=总工作量；设未知数：设甲乙合作还需要小时才能完成全部工作，则甲乙两人的工作效率、工作时间和工作量如下表：列方程：解方程：解得答：甲乙合作还需要2.1小时才能完成全部工作。桃花缘6、工程问题说明：体育比赛中的积分多少与胜负的场数有关，同时也与比赛的积分

规定有关，需先弄清胜一场积几分，负一场积几分，平一场积几

分。球队胜、负、平场数，所得分数之间有如下基本等量关系：

比赛总场数=胜场数+负场数+平场数；

比赛总积分=胜场积分+负场积分+平场积分。例9

在某校举办的足球比赛中规定：胜一场得3分，平一场得1分，负

一场得0分，某班足球队参加了12场比赛，共得了22分，已知这个

队只输了2场，那么此队胜了几场？平了几场？找等量关系：胜场得分+平场得分+负场得分=总得分；设未知数：设胜了场，则平了场；列方程：…桃花缘7、体育比赛中的积分问题例10

有甲乙丙三个圆柱形容器（如下图所示），甲的内径为10厘米，

高为40厘米；乙的内径为20厘米，高为40厘米。甲乙两容器都盛

满水，问把甲乙两容器的水都倒入内径为40厘米的丙容器中，而

使水不溢出来，丙容器至少要多高？等量关系：甲容器容量+乙容器容量=丙容器最小容量。设丙容器至少高为，则可列方程：___________________；桃花缘8、等周长、等体积变形问题华新商场“五一”期间搞促销，一次性购物不超过200元不优惠；超过200元不优惠；超过200元，但不超过500元，按九折优惠；超过