2020-2021学年山东省济南市高新区八年级（下）期末数学试卷（含解析）

2020-2021学年山东省济南市高新区八年级（下）期末数学试卷

一、选择题（每小题4分，共48分.）

1.在直角坐标系中，点尸（2,0）向左平移3个单位长度后的坐标为（）

A.(3,2)B.(-3,2)C.(-1,0)D.(5,0)

2.4%2y和6孙3的公因式是（）

A.2xyB.3孙C.2x2yD.3xy3

3.要使分式:有意义，则x的取值范围是（

)

X-1

A.x>lB.C.x=lD.#0

4.如图，四边形ABC。是平行四边形，将延长至点E,若乙4=100。，则N1等于（）

A.110°B.35°C.80°D.55°

5.菱形的面积为12c/,一条对角线是6cm那么菱形的另一条对角线长为（）

A.3cmB.4cmC.5cmD.6cm

6.一元二次方程（a-2）N-2x+q2-4=0的一个根是0,则。的值是（）

A.2B.1C.2或-2D.-2

7.一个不透明的袋子中装有除颜色外其余均相同的3个白球，x个黑球，随机的从袋子中

摸出一个球，记录下颜色后，放回袋子中并摇匀，大量重复试验后，发现摸出白球的频

率稳定在0.3附近，则尤的值为（）

A.2B.3C.7D.13

8.计算（尤2_孙）七2二七的结果是（

X

A.NB.x2-yC.(%-y)2D.x

9.关于x的一元二次方程依2一2%+1=0有实数根，则〃的取值范围是（）

A.a>\B.a<lC.且QWOD.“VI且aWO

10.如图，将△ABC先向上平移1个单位，再绕点尸按逆时针方向旋转90°,得到△A8C,

则点A与点A的距离是（)

11.如图，在矩形ABCZ）中，AB=3,BC=4,点E在边BC上，若EA平分/BED则BE

A.V?B.4-A/7C.-|-D.-|V3

12.如图，已知正方形ABCD的边长为4,尸是对角线BD上一点，PELBC于点E,PFL

C。于点F,连接AP,ER给出下列结论：①尸。=&EC；②四边形PECT的周长为8；

③AP=EF；④EF的最小值为2、历.其中正确结论有几个（）

二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分.）

13.分解因式。2-1的结果是

14.如图，N1+/2+N3+N4的度数为

1

2

4

3

15.点尸（-2,1）与点Q（〃，b）关于原点对称，则a+b=.

16.将分式写”•化简的结果是__________________.

x-4

17.某文具店三月份销售铅笔100支，四，五两个月销售量连续增长.若四，五月平均增长

率为x,则该文具店五月份销售铅笔的支数是.（用含尤的代数式表示）

18.如图，等边三角形ABC中，点。是△ABC的和NC的角平分线的交点，/FOG=

120°,绕点。旋转/FOG,分别交线段A3、8c于点。、E两点，连接。E,若。4=2,

则△ODE周长最小值为.

三、解答题：（本大题共12个小题，共78分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

19.解方程：x2+6x+2=0.

2V

20.解方程：-O一+1=-

x-1x-1

21.如图，己知平行四边形A8C。中，E、尸是对角线8。上的两个点，且8£=。尸.

求证：四边形AEC尸为平行四边形.

AD

q

22.某景区检票口有A、B、C、。共4个检票通道.甲、乙两人到该景区游玩，两人分别

从4个检票通道中随机选择一个检票.

（1）甲选择A检票通道的概率是；

（2）求甲乙两人选择的检票通道恰好相同的概率.

23.如图所示，点。是菱形A8C。对角线的交点，CE//BD,EB//AC,连接OE,交8c于

F.

(1)求证：四边形02EC为矩形；

(2)如果OC：08=1：2,OE=2炳,求菱形A8C。的面积.

24.某中学兴趣小组准备围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边是由周长为30米

的篱笆围成.如图所示，已知墙长为20米，设这个苗圃园垂直于墙的一边长为x米

(1)若苗圃园的面积为108%2,求尤的值，

(2)苗圃园的面积能达到120:"吗？若能，求出x；若不能，说明理由.

苗圃园

25.如图，在平面直角坐标系中，点。为坐标原点，A8〃OC,点8,C的坐标分别为(15,

8),(21,0),动点M从点4沿A-8以每秒1个单位的速度运动；动点N从点C沿

C-。以每秒2个单位的速度运动.M,N同时出发，当一个点到达终点后另一个点继续

运动，直至到达终点，设运动时间为f秒.

(1)在r=3时，M点坐标,N点坐标；

(2)当t为何值时，四边形0AMN是矩形？

(3)运动过程中，四边形能否为菱形？若能，求出f的值；若不能，说明理由；

26.上数学课时，王老师在讲完乘法公式(a±b)2=〃±2必+/的多种运用后，要求同学

们运用所学知识解答：求代数式N+4x+5的最小值？同学们经过交流、讨论，最后总结

出如下解答方法：

解：x2+4.r+5—X2+4X+4+1—(x+2)-+1

,/(x+2)22。，

当尤=-2时，(尤+2)2的值最小，最小值是0,

(无+2)2+1》1

...当(尤+2)时，(x+2)2+1的值最小，最小值是1,

.,.x2+4x+5的最小值是1.

请你根据上述方法，解答下列各题

(1)知识再现：当x=时，代数式N-6X+12的最小值是；

(2)知识运用：若＞=72+2『3,当苫=时，y有最_____值(填“大”或“小”)，

这个值是;

(3)知识拓展：若-尤2+3x+y+5=0,求y+x的最小值.

27.如图1,在等边△ABC中，AB=2,点。是直线BC上一点，在射线D4上取一点E,

AD=AE,以AE为边作等边连接EC.

(1)若点。是8C的中点，则EA=,EC=；

(2)如图2,连接8凡当点。由8C中点向点C运动时，请判断8尸和EC的数量关系,

并说明理由；

(3)如图3,点。在8C延长线上，连接BEBE,当BE〃AC时，求的长.

参考答案

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，

只有一项是符合题目要求的.）

1.在直角坐标系中，点尸（2,0）向左平移3个单位长度后的坐标为（）

A.（3,2）B.（-3,2）C.（-1,0）D.（5,0）

【分析】根据平移变换与坐标变化规律：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，

下移减，可得答案.

解：点尸（2,0）向左平移3个单位长度后的坐标是（-1,0）,

故选：C.

2.4x2y和6孙3的公因式是（）

A.2xyB.3xyC.2x2yD.3xy3

【分析】利用公因式的确定方法可得答案.

解：4x2y和6xy3的公因式是2xy,

故选：A.

3.要使分式一二有意义，则x的取值范围是（）

X-1

A.x>\B.C.x=lD.xWO

【分析】直接利用分式有意义的条件分析得出答案.

解：要使分式一J有意义，则x-IWO,

x-1

解得：xWl.

故选：B.

4.如图，四边形ABC。是平行四边形，将BC延长至点E,若NA=100。，则N1等于（）

BCE

A.110°B.35°C.80°D.55

【分析】根据平行四边形的对角相等求出/BCD的度数，再根据平角等于180°列式计

算即可得解.

解：•・•平行四边形ABC。中，ZA=100°,

：.ZBCD=ZA=WO°,

.\Z1=18O°-ZBC£>=180°-100°=80°.

故选：C.

5.菱形的面积为12aH2,一条对角线是6MZ,那么菱形的另一条对角线长为（）

A.3cmB.4cmC.5cmD.6cm

【分析】根据菱形的面积等于两对角线乘积的一半列式求解即可.

解：设另一条对角线长为XCM,

则96・x=12,

解得尤=4.

故选：B.

6.一元二次方程（a-2）N-2尤+区-4=0的一个根是0,则。的值是（）

A.2B.1C.2或-2D.-2

【分析】把％=0代入方程-2）N-2x+/-4=。得a?-4=0,解得ai=2,ai--2,

然后根据一元二次方程的定义确定满足条件的a的值.

解：把x=0代入方程（a-2）N-2x+〃-4=。得〃-4=0,解得ai=2,ai=-2,

因为方程为一元二次方程，

所以a-2W0,

所以。=-2.

故选：D.

7.一个不透明的袋子中装有除颜色外其余均相同的3个白球，x个黑球，随机的从袋子中

摸出一个球，记录下颜色后，放回袋子中并摇匀，大量重复试验后，发现摸出白球的频

率稳定在0.3附近，则尤的值为（）

A.2B.3C.7D.13

【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二

者的比值就是其发生的概率.

解：依题意得：——=0.3,

3+x

解得：尤=7.

故选：C.

8.计算（N-孙）+上二匕的结果是（）

x

A.尤2B.x2-yC.（尤-y）2D.x

【分析】原式利用除法法则变形，约分即可得到结果.

解：原式=x（x-y）*'*■

x-y

=x2.

故选：A.

9.关于尤的一元二次方程aN-2x+l=0有实数根，则。的取值范围是（）

A.a>\B.a<\C.aWl且a#0D.a<l且aWO

【分析】根据关于x的一元二次方程办2一2了+1=0有实数根知△=（-2）2-4X«Xl

20且aWO,解之即可.

解：•••关于尤的一元二次方程a/-女+1=0有实数根，

；.△=（-2）2-4><aXl20且aWO,

解得aWl且aWO,

故选：C.

10.如图，将AABC先向上平移1个单位，再绕点P按逆时针方向旋转90°,得到△A8C,

则点A与点A的距离是（）

【分析】先画出经过平移和旋转后的图形，求出点A坐标，由两点距离公式可求解.

解：如图,

△A'B'C即为所求，

则点A的对应点A'的坐标是(-1,4),

...点A与点A的距离=/(_b4)2+(4-2)2=6^，

故选：B.

11.如图，在矩形ABC。中，AB=3,BC=4,点E在边8C上，若EA平分/BED则BE

=()

【分析】方法一：根据题意，作辅助线AF±ED,然后根据角平分线的性质和全等三角

形的判定和性质，可以得到BE=FE,AB=AF,AD=DE,再根据矩形的性质，可以得

到AD的长，然后根据勾股定理可以得到。尸的长，从而可以得到FE的长，即BE的长.

方法二：根据矩形的性质和角平分线的性质，可以得到DE=AD,再根据勾股定理即可

得到CE的长，然后即可得到BE的长.

解：方法一：如图，作于点孔

:四边形A8C。是矩形，BC=4,

：.ZB=9Q°,AD=BC=4,AD//BC,

：.ZDAE=ZAEB,

TEA平分N3E。，BE_LAB,EF_LAFf

：.ZAEB=ZAEF,BE=FE,

：.ZAEF=ZDAE,

：.AD=DE=4f

在△ABE1和△A庄1中，

<AE=AE

<ZAEB=ZAEF,

LBE=FE

AABE^AAFE(SAS),

：.AB=AF,

VAB=3,

：.AF=3,

9

：AF_LFDf

DF=VAD2-AF2=V42-32=V7>

:.FE=DE-DF=4-H

；.BE=4-行

故选：B.

方法二：：四边形ABC。是矩形，BC=4,42=3,

ZB=90°,AD=BC=4,AB=QC=3,AD//BC,

:./DAE=NAEB,

；EA平分/BED,

：./AEB=ZAEF,

：./AEF=ZDAE,

：.AD=DE^4,

VZC=90°,

C£=VDE2-CD2=V42-32=V7>

:.BE=BC-CE=4-行

故选：B.

D

12.如图，已知正方形ABC。的边长为4,P是对角线8。上一点，PELBC于点、E,PFL

CD于点F,连接AP,EF.给出下列结论：①PD=aEC；②四边形PEb的周长为8；

③AP=EF；④EF的最小值为2五.其中正确结论有几个（）

A.1B.2C.3D.4

【分析】①证明是等腰直角三角形，则尸。=J^PF=&CE,即可判断；

②根据①可知四边形PECP为矩形，则四边形PEC尸的周长=2BC=8,即可判断;

③证明△4。尸0△COP,则AP=PC,根据矩形对角线相等得PC=EF即可判断;

④当4尸，&）时，即AP=%£>=2、历时，EP的最小值等于2、历，即可判断.

解：连接PC,

①：8。是正方形的对角线，则/PZ）P=45

而则△2£>尸为等腰直角三角形,

:.PD=MPF,

'：PE±BC,

：.ZPEC=ZPFC=90°,

:四边形ABC。为正方形，

：.ZBCD=90°,

四边形PECF是矩形，

：.CE=PF,

:.PD=\[^CE；

故①正确；

②..•四边形PECE为矩形，

四边形PECF的周长=2CE+2PE=2CE+2BE=2BC=8；

故②正确；

③•••四边形PECF为矩形，

:.PC=EF,

:四边形ABC。为正方形，

：.AD=CD,ZADC=ZCDP,

在△AOP和△(7£)尸中，

'AD=CD

<ZADP=ZCDP，

LDP=DP

AADP^ACDP(SAS),

：.AP=PC,

：.AP^EF；

故③正确；

④由EF=PC=AP,

...当AP最小时，EF最小,

则当AP_L8O时，即AP=/BO=2我时，EF的最小值等于2企；

故④正确；

综上，①②③④正确.

故选：D.

二、填空题：(本大题共6个小题，每小题4分，共24分.)

13.分解因式因-1的结果是(a-1)(a+1).

【分析】直接利用平方差公式分解因式得出答案.

解：原式=(a-1)(a+1).

故答案为：(a-1)(a+1).

【分析】根据多边形的外角和是360。即可得解.

解：：多边形的外角和是360。，

.\Zl+Z2+Z3+Z4=360o,

故答案为:360°.

15.点尸(-2,1)与点。(a,b)关于原点对称，则a+b=1.

【分析】根据关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，可得答案.

解：由点尸(-2,1)与点。(A,6)关于原点对称，得

a=2,b=-1,

则a+b=2+(-1)=1,

故答案为：L

16.将分式9xf-1—8化简的结果是TQr-

【分析】先将分子、分母因式分解，再约分即可得.

9x-18g(x-2)—9

X2-4(X+2)(X-2)x+2'

故答案为：一

x+2

17.某文具店三月份销售铅笔100支，四，五两个月销售量连续增长.若四，五月平均增长

率为x,则该文具店五月份销售铅笔的支数是100(l+x)2.(用含尤的代数式表示)

【分析】设出四、五月份的平均增长率，则四月份的市场需求量是100(1+尤)，五月份

的产量是100(1+x)2,

解：若月平均增长率为X,则该文具店五月份销售铅笔的支数是：100(1+X)2,

故答案为：100(1+x)2.

18.如图，等边三角形ABC中，点。是△ABC的和NC的角平分线的交点，/FOG=

120°,绕点。旋转NFOG,分别交线段A8、8C于点。、E两点，连接。E,若。4=2,

则△OOE周长最小值为—2m

【分析】由“ASA”可证△B。。也△口?£,可得BD=CE,OD=OE,可求△(?£)£周长=

OD+OE+DE=2OD+M()D,当。。取最小值时，△ODE周长有最小值，即可求解.

解：连接。&OC,过点H作。于"，如图，

VAABC为等边三角形，

ZABC^ZACB^6Q°,

•..点。是AABC的和/C的角平分线的交点，

OB=OC=AO=2,ZABO^ZOBC^ZOCB=30°

：.ZBOC=120°,即/8OE+NCOE=120°,

又：/。。£=120°,即/2。石+/2。。=120°,

：.ZBOD=ZCOE,

在△80。和△COE中，

'NBOD=NCOE

<OB=OC，

,ZOBD=ZOCE

:.△BODQXCOE(.ASA),

:.BD=CE,OD=OE,

又：NQOE=120°,OHIDE,

：.ZODH=ZOED=30°,

△(?£)£周长=OD+OE+OE=2OZ)+代。D,

...当O。取最小值时，△OOE周长有最小值，

当DOLAB时，OD的最小值为1,

△ODE周长的最小值为2+收，

故答案为

三、解答题：(本大题共12个小题，共78分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)

19.解方程：N+6X+2=0.

【分析】方程移项后，利用完全平方公式配方，再利用平方根定义开方转化为两个一元

一次方程，求出解即可.

解：方程x2+6x+2=0,

配方得：(x+3)2=7,

开方得：x+3=土被，

解得：xi=-3+^7，X2=~3-V7.

【分析】依据解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结

论求解可得.

解：方程两边都乘以(尤+1)(x-1),得：2+(尤+1)(x-1)—X(x+1),

解得：x=l,

检验：x=l时，(x+1)(x-1)=0,

则尤=1是分式方程的增根，

所以分式方程无解.

21.如图，已知平行四边形A8C。中，E、尸是对角线8。上的两个点，1.BE=DF.

求证：四边形AECB为平行四边形.

【分析】连接对角线AC交对角线8。于点O,运用OA=OC,OE=OF,即可判定四边

形AECF是平行四边形；

【解答】证明：连接对角线AC交对角线8。于点。

：.OA=OC,OB=OD,

,:点、E,尸是对角线3。上的两点，且BE=DF,

：.OB-BE=OD-DF,

即OE=OF,

...四边形AECF是平行四边形.

22.某景区检票口有A、B、C、。共4个检票通道.甲、乙两人到该景区游玩，两人分别

从4个检票通道中随机选择一个检票.

(1)甲选择A检票通道的概率是4；

(2)求甲乙两人选择的检票通道恰好相同的概率.

【分析】(1)直接利用概率公式计算；

(2)利用列表法展示所有16种等可能的结果数，再找出甲乙两人选择的检票通道恰好

相同的结果数，然后根据概率公式计算.

【解答】(1)解：甲选择A检票通道的概率==

故答案为京

(2)解:列表如下:

ABCD

结果乙

甲

A(A,A)(A,B)(A,C)(A,D)

B(B,A)(B,B)(B,C)(B,D)

c(C,A)(C,B)(C,C)(C,D)

D(D,A)(D,B)(D,C)(DD)

共有16种可能结果，并且它们的出现是等可能的，“甲、乙两人选择相同检票通道”记

为事件E,它的发生有4种可能：(A,A)、(B,B)、(C,C)、(D,D)

：.P(£)=34=j1

164

23.如图所示，点。是菱形ABC。对角线的交点，CE//BD,EB//AC,连接OE,交8c于

F.

(1)求证：四边形OBEC为矩形；

(2)如果。C：OB=1：2,0E=28求菱形ABC。的面积.

【分析】(1)先证四边形08EC为平行四边形，再由菱形的性质可得出/BOC=90°,

即可得出结论；

(2)设OC=x,贝I］。3=2无，由勾股定理可得出再由BC=QE=2代，得x

=2,求出0C、08的值，然后由菱形的面积公式求解即可.

【解答】(1)证明：：CE〃B。，EB//AC,

四边形08EC为平行四边形.

:四边形ABC。为菱形，

J.ACLBD,

；./BOC=90°,

.••四边形08EC为矩形；

(2)解：由(1)得：四边形O8EC为矩形，

：.OE=CB,

设OC=x,则0B=2x,

BC=VOC2-K)B2=VX2+(2X)

,:BC=0E=2辰,

*.x=2,

AOC=2f08=4,

・・・AC=2OC=4,BD=2OB=8,

X4X8=16.

24.某中学兴趣小组准备围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边是由周长为30米

的篱笆围成.如图所示，已知墙长为20米，设这个苗圃园垂直于墙的一边长为x米

（1）若苗圃园的面积为108根2,求工的值,

（2）苗圃园的面积能达到120/吗？若能，求出x；若不能，说明理由.

20m

苗圃园

【分析】（1）根据题意列出方程即可求出答案.

（2）根据题意列出方程即可求出答案.

解：（1）由题意可知：（30-2无）尤108,

解得：x=6或x=9,

由于0<30-2xW20,

解得:5Wx〈15,

答：若苗圃园的面积为108/"2,x的值为6〃z或9:w.

（2）由题意可知：（30-2x）x=120,

.,.x2-15x+60=0,

.♦.△=152-4X60=-15<0,

此时方程无解,

答：苗圃园的面积不能达到120源

25.如图，在平面直角坐标系中，点。为坐标原点，AB〃OC,点、B,C的坐标分别为（15,

8）,（21,0）,动点M从点A沿A-8以每秒1个单位的速度运动；动点N从点C沿

C-。以每秒2个单位的速度运动.M,N同时出发，当一个点到达终点后另一个点继续

运动，直至到达终点，设运动时间为/秒.

(1)在/'=3时，M点坐标(3,8),N点坐标(在，0)；

(2)当t为何值时，四边形。WW是矩形？

(3)运动过程中，四边形MNCB能否为菱形？若能，求出，的值；若不能，说明理由;

【分析】(1)根据点8、C的坐标求出AB、。4、OC,然后根据路程=速度X时间求出

AM,CN,再求出ON,然后写出点V、N的坐标即可；

(2)根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，当AM=ON时，四边形0AMN是矩形,

然后列出方程求解即可；

(3)先求出四边形MNCB是平行四边形时的t值，并求出CN的长度，然后过点B作

BCLOC于，得到四边形OABD是矩形，根据矩形的对边相等可得OD=AB,BD=OA,

然后求出CD,再利用勾股定理列式求出BC,然后根据邻边相等的平行四边形是菱形进

行验证.

1、2

(4)分S四边形40八M=石5梯形A0CB或S四边彩A0NM=wS梯形40cB两种情况进行讨论即可.

OO

解：(1)；B(15,8),C(21,0),

：.AB=15,OA=8,OC=21,

当t=3时，AM=1X3=3,CN=2X3=6,

：.ON=OC-CN=21-6=15,

.•.点M(3,8),N(15,0)；

故答案为：(3,8)；(15,0)；

(2)根据题意：AM=t,CN=2t,ON=OC-CN=21-2t,

当四边形。4MN是矩形时，AM=ON,

：.t=21-2t,

解得：f=7,

；，=7时，四边形OAMN是矩形;

(3)四边形MNCB能是菱形；

理由如下：四边形MNCB是平行四边形时，BM=CN,

解得：f=5,

此时CN=5X2=10,

过点B作8DL0C于。，则四边形0A8。是矩形，

：.0D=AB=15,B£)=0A=8,CD=OC-0D=21-15=6,

在RtZXBC。中，BC=VBD24CD2=10,

：.BC=CN,

平行四边形MVCB是菱形，

故存在f=5时，四边形跖VCB为菱形；

(4)根据题意，S梯形AOCB=/(AB+OC)XOA=](15+21)X8=144,

：AB=15,

:动点M从点A沿A-B以每秒1个单位的速度运动，

运动时间共15秒，

V21-2f=0,即f=10.5时，点N与点。重合，

分情况讨论：

①当0</W10.5时，S四边形AONM=-y(r+21-2力X8=84-43

当S四边形AONM=Js梯形AOCB=48时，84-4r=48,解得f=9,

o

9

当S四边形AONM=^S梯形AOCB=96时，84-4%=96,解得£=-3(舍去)，

o

②当10.5V/W15时，点N到达。点，S^AMN~XtXS=4tf

当S®/N=["S梯形AOC6=48时，X8t=书=48,解得力=12,

o/

9

当£^^=石5梯形AOC8=96时，由=96,解得£=24(舍去)；

O

综上所述，当MN分四边形OABC的面积为1：2两部分时，/的值为9或12.

故答案为：9或12.

26.上数学课时，王老师在讲完乘法公式(a±6)2=々2±2"+〃的多种运用后，要求同学

们运用所学知识解答：求代数式N+4无+5的最小值？同学们经过交流、讨论，最后总结

出如下解答方法：

解：尤2+4芯+5=尤2+4、+4+1=(X+2)2+1

(x+2)22。，

...当x=-2时，(尤+2)2的值最小，最小值是0,

(尤+2)2+1

...当(龙+2)2=0时，(尤+2)2+1的值最小，最小值是1,

：.x2+4x+5的最小值是1.

请你根据上述方法，解答下列各题

(1)知识再现：当尤=3时,代数式尤2-6x+12的最小值是3；

(2)知识运用：若y=-x2+2x-3,当-=1时,y有最大值(填“大”或“小”),

这个值是-2；

(3)知识拓展：若-尤2+3x+y+5=0,求y+元的最小值.

【分析】(1)配方后即可确定最小值；