2019年湖南省娄底市中考数学试卷（解析版）

2019年湖南省娄底市中考数学试卷

一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分，每小题给出的四个选项中，只

有一个选项是符合题目要求的）

1.（3分）（2019•娄底）2019的相反数是（）

A.-2019B.2019C.」—D.—

20092009

【考点】14：相反数.

【专题】511：实数.

【分析】直接利用相反数的定义分析得出答案.

【解答】解：2019的相反数是：-2019.

故选：A.

【点评】此题主要考查了相反数，正确把握相反数的定义是解题关键.

2.（3分）（2019•娄底）下列计算正确的是（）

A.（-2）3=8B.（a2）3=a6C.a'a=aD.4x2-2x=2x

【考点】46：同底数基的乘法；47：寨的乘方与积的乘方.

【专题】512：整式.

【分析】分别根据事的定义、累的乘方、同底数基的乘法法则以及合并同类项的法则逐

一判断即可.

【解答】解：A.（-2）3=-8,故选项A不合题意；

B.（J）3=/,故选项B符合题意；

C.a2,a3=a5,故选项C不合题意；

0.4x2与x不是同类项，故不能合并，所以选项。不合题意.

故选:B.

【点评】本题主要考查了累的运算以及合并同类项的法则，熟练掌握累的运算性质是解

答本题的关键.

3.（3分）（2019•娄底）顺次连接菱形四边中点得到的四边形是（）

A.平行四边形B.菱形C.矩形D.正方形

【考点】L6：平行四边形的判定；LA：菱形的判定与性质；LC：矩形的判定：LF：正

方形的判定；LN：中点四边形.

【专题】556：矩形菱形正方形.

【分析】作出图形，根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半判定出四

边形EFG”是平行四边形，再根据菱形的对角线互相垂直可得EFLFG,然后根据有一

个角是直角的平行四边形是矩形判断.

【解答】解：如图,•:E、/分别是48、8c的中点，

.'.EF//AC&EF=^AC,

2

同理，G”〃AC且GH=L1C,

2

:.EF〃GHSLEF=GH,

四边形EFGH是平行四边形，

•.•四边形A8C。是菱形，

J.ACVBD,

又根据三角形的中位线定理，EF//AC,FG//BD,

J.EFLFG,

平行四边形EFG4是矩形.

故选：C.

【点评】本题主要考查了三角形的中位线定理，菱形的性质，以及矩形的判定，连接四

边形的中点得到的四边形的形状主要与原四边形的对角线的关系有关，原四边形的对角

线相等，则得到的四边形是菱形，原四边形对角线互相垂直，则得到的四边形是矩形，

连接任意四边形的四条边的中点得到的四边形都是平行四边形.

4.（3分）（2019•娄底）一组数据-2、1、1、0、2、1.这组数据的众数和中位数分别是（）

A.-2、0B.1、0C.1、1D.2、1

【考点】W4：中位数；W5：众数.

【专题】542：统计的应用.

【分析】根据一组数据中出现次数最多的数据叫做众数，将一组数据按照从小到大（或

从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的

中位数进行分析即可.

【解答】解：这组数据的众数为1,

从小到大排列：-2,0,1,1,1,2,中位数是1,

故选：C.

【点评】此题主要考查了众数和中位数，关键是掌握两种数的定义.

5.（3分）（2019•娄底）2018年8月31日，华为正式发布了全新一代自研手机SoC麒麟980,

这款号称六项全球第一的芯片，随着华为Mafe20系列、荣耀相继搭载上市，它

的强劲性能、出色能效比、卓越智慧、顶尖通信能力，以及为手机用户带来的更强大、

更丰富、更智慧的使用体用，再次被市场和消费者所认可.麒麟980是全球首颗7〃〃?（

=10-9机）手机芯片.7〃机用科学记数法表示为（）

A.7X10-8wB.7X10?”c.0.7X10-8/nD.7X10-10/n

【考点】1J：科学记数法一表示较小的数.

【专题】511：实数.

【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为“义10一”，与较大

数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数累，指数由原数左边起第一个不为零的数

字前面的0的个数所决定.

【解答】解：7〃〃?用科学记数法表示为7义10

故选：B.

【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为其中lW|a|<10,

n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定.

6.（3分）（2019•娄底）下列命题是假命题的是（）

A.到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上

B.等边三角形既是轴对称图形，又是中心对称图形

C.〃边形（«>3）的内角和是180°n-360°

D.旋转不改变图形的形状和大小

【考点】01：命题与定理.

【专题】554：等腰三角形与直角三角形；555：多边形与平行四边形.

【分析】利用垂直平分线的判定、等边三角形的性质、多边形的内角和及旋转的性质分

别判断后即可确定正确的选项.

【解答】解：人到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，正确，是真命题；

B、等边三角形是轴对称图形，但不是中心对称图形，错误，是假命题；

C、“边形（〃》3）的内角和是180°n-360°,正确，是真命题；

。、旋转不改变图形的形状和大小，正确，是真命题，

故选：C.

【点评】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解垂直平分线的判定、等边三

角形的性质、多边形的内角和及旋转的性质，难度不大.

7.（3分）（2019•娄底）如图，。。的半径为2,双曲线的解析式分别为），=上和尸」，则

XX

阴影部分的面积是（）

A.4nB.3nC.2TTD.IT

【考点】G5：反比例函数系数k的几何意义；MO：扇形面积的计算.

【专题】534：反比例函数及其应用.

【分析】根据反比例函数的对称性得出图中阴影部分的面积为半圆面积，进而求出即可.

【解答】解：双曲线y=上和厂上的图象关于x轴对称，

XX

根据图形的对称性，把第二象限和第四象限的阴影部分的面积拼到第一和第三象限中的

阴影中，可以得到阴影部分就是一个扇形，

并且扇形的圆心角为180°,半径为2,

所以：S阴影=18°.X22=2m

360

故选：C.

【点评】本题考查的是反比例函数，题目中的两条双曲线关于x轴对称，圆也是一个对

称图形，可以得到图中阴影部分的面积等于圆心角为180°,半径为2的扇形的面积，用

扇形面积公式计算可以求出阴影部分的面积.

8.（3分）（2019•娄底）如图，边长为2y的等边△ABC的内切圆的半径为（)

o

B

A.1B.如C.2D.25/3

【考点】KK：等边三角形的性质；MI：三角形的内切圆与内心.

【专题】55B：正多边形与圆.

【分析】连接AO、CO,C。的延长线交AB于如图，利用内心的性质得C”平分N

BCA,A0平分N8AC,再根据等边三角形的性质得/C48=60°,CHLAB,则/OAH

=30°,AH=BH=1AB=3,然后利用正切的定义计算出。”即可.

2

【解答】解：设△ABC的内心为O,连接AO、BO,CO的延长线交A8于H,如图，

•:△ABC为等边三角形，

...CH平分NBCA,A。平分NBAC,：/XABC为等边三角形，

：.ZCAB=60Q,CHA,AB,

.•.NOAH=30°,AH=BH=1AB=-JS，

2

在RtAAOH中，VtanZOAH=tan30°,

_AH

OH=叵又V3=1-

3

即△ABC内切圆的半径为1.

故选：A.

【点评】本题考查了三角形的内切圆与内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等；

三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角.也考查了等边三角形的性质.

9.（3分）（2019•娄底）将y=L的图象向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度

所得图象如图，则所得图象的解析式为（)

A.y=1+1B.y=——-1C.y=--+1D.y=---1

x+1x+1x~lx-l

【考点】G2：反比例函数的图象.

【专题】534：反比例函数及其应用.

【分析】直接根据函数图象的变换规律进行解答即可.

【解答】解：由“左加右减”的原则可知，

y=L的图象向右平移1个单位所得函数图象的关系式是：y=,；

XX-1

由“上加下减”的原则可知，

函数y=上的图象向上平移1个单位长度所得函数图象的关系式是：），=工+1.

X-1X-1

故选：C.

【点评】本题考查的是反比例函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答

此题的关键.

10.（3分）（2019•娄底）如图，直线y=x+6和丫=履+2与x轴分别交于点A（-2,0）,点

B(3.0),则卜解集为()

kx+2>0

C.xV-2或x>3D.-2<x<3

【考点】FD：一次函数与一元一次不等式.

【专题】538：用函数的观点看方程（组）或不等式.

【分析】根据两条直线与X轴的交点坐标及直线的位置确定不等式组的解集即可.

【解答】解：：直线y=x+6和y=fcc+2与X轴分别交于点A（-2,0）,点B（3,0）,

'x+b>0

解集为-2<x<3,

kx+2>0

故选：D.

【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式的知识，解题的关键是能够结合图象作

出判断，难度不大.

11.（3分）（2019•娄底）二次函数y=0?+灰+。的图象如图所示，下列结论中正确的是（）

①

@lf-4ac<0

（3）2a>b

④（a+c）2</?2

【考点】H4：二次函数图象与系数的关系.

【专题】535：二次函数图象及其性质.

【分析】由函数图象可知“V0,对称轴-l<x<0,图象与y轴的交点c>0,函数与x

轴有两个不同的交点；即可得出b-2a>0,h<0；△=加-44>0；再由图象可知当x

=1时，yVO,即a+b+cVO；当x=-l时、y>0,即〃-b+c>0；即可求解.

【解答】解：由函数图象可知。<0,对称轴-IVxVO,图象与y轴的交点c>0,函数

与x轴有两个不同的交点，

：.b-2a>09b<0；

△=7-4〃c>0；

abc>0；

当x=l时，y<0,即q+b+cVO；

当x=-I时，y>0,即a-6+c>0；

（a+b+c）（a-b+c）<0,即（a+c）2<b1；

•••只有④是正确的；

故选：A.

【点评】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握函数的图象及性质，能够通过图象

获取信息，推导出a,b,c,△,对称轴的关系是解题的关键.

12.（3分）（2019•娄底）如图，在单位长度为1米的平面直角坐标系中，曲线是由半径为2

米，圆心角为120°的会多次复制并首尾连接而成.现有一点P从A（A为坐标原点）

出发，以每秒4米的速度沿曲线向右运动，则在第2019秒时点尸的纵坐标为（）

【考点】D5：坐标与图形性质.

【专题】2A：规律型.

【分析】先计算点P走一个窟的时间，得到点P纵坐标的规律：以1,0,-1,0四个

数为一个周期依次循环，再用2019+4=504…3,得出在第2019秒时点P的纵坐标为是

-1.

【解答】解：点运动一个定用时为120兀*2+21T=2秒.

1803

如图，作CD1.AB于D,与源交于点E.

在中，VZADC=90°,N4C£>=L/AC8=60°,

2

.•.NCA£>=30°,

：.CD=XAC=LX2=\,

22

：.DE=CE-CD=2-1=1,

第1秒时点P运动到点E,纵坐标为1；

第2秒时点尸运动到点B,纵坐标为0；

第3秒时点P运动到点F,纵坐标为-1；

第4秒时点P运动到点G,纵坐标为0；

第5秒时点P运动到点H,纵坐标为1；

.•.点P的纵坐标以1,0,-1,0四个数为一个周期依次循环,

V20194-4=504-3,

.•.第2019秒时点尸的纵坐标为是-1.

【点评】本题考查了规律型中的点的坐标，解题的关键是找出点P纵坐标的规律：以1,

0,-1,0四个数为一个周期依次循环.也考查了垂径定理.

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）

13.（3分）（2019•娄底）函数尸的自变量x的取值范围是一^

【考点】E4：函数自变量的取值范围.

【分析】根据被开方数非负列式求解即可.

【解答】解：根据题意得，x-320,

解得x23.

故答案为：xN3.

【点评】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：

（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；

（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；

（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负.

14.（3分）（2019•娄底）如图，随机闭合开关＞，S3中的两个，能让灯泡发光的概率

是1.

一J-

S,

【考点】X6：列表法与树状图法.

【专题】543：概率及其应用.

【分析】利用树状图列举出所有可能出现的结果总数，从中找到符合条件的结果数，进

而求出概率.

【解答】解：用树状图表示所有可能出现的结果有：

第一个第二个所有可能出现的结果

⑸能

s6能

2S2)

⑸S3)能

科

S,)匕

匕

(S2S23)能

(S3

•♦•能让灯泡发光的概率：尸=马上，

63

故答案为：2.

3

【点评】考查用树状图或列表法求等可能事件的概率，方法是用树状图或列表法列举出

所有可能出现的结果总数，找出符合条件的结果数，用分数表示即可，注意每种情况发

生的可能性相等.

15.（3分）（2019•娄底）如图，AB//CD,AC//BD,/1=28°,则/2的度数为28°.

【考点】JA：平行线的性质.

【专题】551：线段、角、相交线与平行线.

【分析】由平行线的性质得出Nl=/4,再由平行线的性质得出N2=/A,即可得出结

果.

【解答】解：

'JAB//CD,

；.N2=NA,

・・・N2=/1=28°,

故答案为：28°.

【点评】本题考查了平行线的性质等知识，熟练掌握两直线平行同位角相等是解题的关

键.

16.（3分）（2019•娄底）如图，C、。两点在以AB为直径的圆上，A2=2,/ACD=30°,

则A£>=1.

【考点】M5：圆周角定理.

【专题】559：圆的有关概念及性质.

【分析】利用圆周角定理得到NAOB=90°,NB=NACO=30。，然后根据含30度的

直角三角形三边的关系求求AD的长.

【解答】解：为直径，

AZADB=90°,

VZB=ZACD=30°,

；.4）=L18=LX2=1.

22

故答案为1.

【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都

等于这条弧所对的圆心角的一半.推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的

圆周角所对的弦是直径.

17.（3分）（2019•娄底）已知方程/+反+3=0的一根为遥+、历，则方程的另一根为_近二

V2_-

【考点】A3：一元二次方程的解；AB：根与系数的关系.

【专题】45：判别式法；523：一元二次方程及应用.

【分析】设方程的另一个根为c,再根据根与系数的关系即可得出结论.

【解答】解：设方程的另一个根为c,

V（V5+V2）c=3,

:・。=舟近.

故答案为：yfs~V2-

【点评】本题考查的是根与系数的关系，熟记一元二次方程根与系数的关系是解答此题

的关键.

,,|kx+b-y|

18.（3分）（2019•娄底）已知点「（3，即）到直线）二履+6的距离可表示为d=——n1Un,

Vl+k2

例如：点（0,1）到直线y=2x+6的距离d=-平+6-11=代.据此进一步可得两条

VH?

平行线y=x和y=x-4之间的距离为，返

【考点】F5：一次函数的性质；FF：两条直线相交或平行问题.

【专题】23：新定义；533：一次函数及其应用.

【分析】利用两平行线间的距离定义，在直线y=x上任意取一点，然后计算这个点到直

线y=x-4的距离即可.

【解答】解：当x=0时，y=x=0,即点（0,0）在直线y=x上，

因为点（0,0）到直线y=x-4的距离为：d=」，4-吐=m=2点,

TH?也

因为直线y=x和y—x-4平行，

所以这两条平行线之间的距离为2近.

故答案为2&.

【点评】此题考查了两条直线相交或平行问题，弄清题中求点到直线的距离方法是解本

题的关键.考查了学生的阅读理解能力以及知识的迁移能力.

三、解答题（本大题共2小题，每小题6分，共12分）

19.（6分）（2019•娄底）计算：（92019-1）0-（y）-'+1-V3-2sin60°

【考点】2C：实数的运算；6E：零指数嘉；6F：负整数指数基；T5：特殊角的三角函数

值.

【专题】511：实数.

【分析】直接利用负指数基的性质、特殊角的三角函数值、绝对值的性质、零指数基的

性质分别化简得出答案.

【解答】解：原式=l-2+«-2X喙

=1-2+F-Vs

【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键.

22_

20.（6分）（2019•娄底）先化简，再求值：a-2ab+b+（J__j_）.其中h

a-bba

=V^i.

【考点】6D：分式的化简求值；76：分母有理化.

【专题】II：计算题；513：分式.

【分析】根据分式的除法和减法可以化简题目中的式子，然后将人人的值代入化简后的

式子即可解答本题.

【解答】解：a2-2ab+b24.（1-1）

a-bba

=（a-b）2.a-b

a-bab

_a-bab

1a-b

—ab,

当时，原式=1）X（J^l）=1.

【点评】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法.

四、解答题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）

21.（8分）（2019•娄底）湖南省作为全国第三批启动高考综合改革的省市之一，从2018年

秋季入学的高中一年级学生开始实施高考综合改革.深化高考综合改革，承载着广大考

生的美好期盼，事关千家万户的切身利益，社会关注度高.为了了解我市某小区居民对

此政策的关注程度，某数学兴趣小组随机采访了该小区部分居民，根据采访情况制做了

如统计图表：

关注程度频数频率

A.高度关注m0.4

B.一般关注1000.5

C.没有关注20n

（1）根据上述统计图表，可得此次采访的人数为200,m=80,n=0.1

（2）根据以上信息补全图中的条形统计图.

（3）请估计在该小区1500名居民中，高度关注新高考政策的约有多少人?

【专题】541：数据的收集与整理.

【分析】（1）根据上述统计图表，可得此次采访的人数为100+0.5=200（人），«7=200

X0.4=80（人），n=l-0.4-0.5=0.1；

（2）据上信息补全图中的条形统计图；

（3）高度关注新高考政策的人数：1500X0.4=600（人）.

【解答】解：（1）根据上述统计图表，可得此次采访的人数为100+0.5=200（人），

w=200X0.4=80（人），〃=1-0.4-0.5=0」；

故答案为200,80,0.4；

（2）补全图中的条形统计图

答：高度关注新高考政策的约有600人.

【点评】本题考查的是统计表和扇形统计图的综合运用.读懂统计图，从不同的统计图

中得到必要的信息是解决问题的关键.统计表能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统

计图直接反映部分占总体的百分比大小.

22.（8分）（2019•娄底）如图，某建筑物C£＞高96米，它的前面有一座小山，其斜坡4B

的坡度为i=l：1.为了测量山顶A的高度，在建筑物顶端。处测得山顶A和坡底B的

俯角分别为a、p.已知tana=2,tan|3=4,求山顶A的高度AE（C、B、E在同一水平

面上).

【考点】T9：解直角三角形的应用-坡度坡角问题；TA：解直角三角形的应用-仰角俯

角问题.

【专题】55E：解直角三角形及其应用.

【分析】作AFLCZ)于F.设AE=x米.由斜坡A8的坡度为i=l：1,得出BE=AE=x

米.解RtZ\BDC,求得BC=⑶=24米,则AF=EC=(X+24)米.解RtZXADF,

tanP

得出DF=AF-tana=2(x+24)米，又DF=DC-CF=DC-AE=(96-%)米，列出方

程2(x+24)=96-x,求出x即可.

【解答】解：如图，作AFLCC于F.设AE=x米.

•.•斜坡A8的坡度为i=l：1,

/.BE=AE=x米.

在中，VZC=90°，C£>=96米，ZDBC=Zp,

BC=CD=-^-=24(米)，

tanp4

：.EC=EB+BC=(x+24)米，

：.AF=EC^(x+24)米.

在/中，VZAFD=90°,ZDAF=Za,

DF=AF*tana=2(x+24)米，

VDF=DC-CF=DC-AE=(96-x)米，

：.2(x+24)=96-x,解得x=16.

故山顶4的高度4E为16米.

【点评】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，解直角三角形的应用-坡度坡

角问题，要求学生能借助俯角构造直角三角形并解直角三角形.解此题的关键是掌握数

形结合思想与方程思想的应用.

五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）

（9分）（2019•娄底）某商场用14500元购进甲、乙两种矿泉水共500箱，矿泉水的成

本价与销售价如表（二）所示：

类别成本价（元/箱）销售价（元/箱）

甲2535

乙3548

求：（1）购进甲、乙两种矿泉水各多少箱？

（2）该商场售完这500箱矿泉水，可获利多少元？

【考点】9A：二元一次方程组的应用.

【专题】34：方程思想；521：一次方程（组）及应用.

【分析】（1）设购进甲矿泉水x箱，购进乙矿泉水y箱，根据该商场用14500元购进甲、

乙两种矿泉水共500箱，即可得出关于x,y的二元一次方程组，解之即可得出结论；

（2）根据总利润=单箱利润X销售数量，即可求出结论.

【解答】解：（1）设购进甲矿泉水x箱，购进乙矿泉水y箱，

依题意，得：付尸500,

l25x+35y=14500

解得：卜=300.

ly=200

答：购进甲矿泉水300箱，购进乙矿泉水200箱.

(2)(35-25)X300+(48-35)X200=5600(元).

答：该商场售完这500箱矿泉水，可获利5600元.

【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组

是解题的关键.

24.(9分)(2019•娄底)如图，点。在以AB为直径的上，AO平分NBAC,DCLAC,

过点B作。。的切线交AD的延长线于点E.

(1)求证：直线CQ是0。的切线.

(2)求证：CD'BE=AD'DE.

【考点】KF：角平分线的性质；M5：圆周角定理；ME：切线的判定与性质：S9：相似

三角形的判定与性质.

【专题】55A：与圆有关的位置关系；55D：图形的相似.

【分析】(1)连接OQ,由角平分线的定义得到NBA。，根据等腰三角形的性质

得到N84O=NA£>O,求得/C4O=NA£>O,根据平行线的性质得到CDLOD,于是得

到结论；

(2)连接BD,根据切线的性质得到NA8E=N8DE=90°,根据相似三角形的性质即

可得到结论.

【解答】证明：(1)连接O。，

••・AD平分N8AC,

：.ZCAD=ZBADf

・・・04=03,

：.ZBAD=ZADO,

：.ZCAD=ZADO,

：.AC//ODf

VCD±AC,

:.CDLOD,

直线CO是。。的切线；

(2)连接8£>,

是OO的切线，AB为。。的直径,

:.NABE=NBDE=90°,

•/CD±AC,

；.NC=NBDE=90°,

NC4£>=NBAE=NDBE,

：.MACDsABDE,

.CD=AD

*'DEBE'

：.CD'BE=AD-DE.

【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，角平分线的定义.圆周角定理，切线的

判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键.

六、综合题（本大题共2小题，每小题10分，共20分）

25.（10分）（2019•娄底）如图，点E、F、G、H分别在矩形ABC。的边AB、BC、CD、

DA（不包括端点）上运动，且满足AE=CG,AH=CF.

（1）求证：△AM^ZXCGF；

（2）试判断四边形EFGH的形状，并说明理由.

（3）请探究四边形EFGH的周长一半与矩形ABCD一条对角线长的大小关系，并说明

理由.

AHD

BC

【考点】KD：全等三角形的判定与性质；LB：矩形的性质.

【专题】553：图形的全等；556：矩形菱形正方形.

【分析】(1)根据全等三角形的判定定理SAS证得结论；

(2)由(1)中全等三角形的性质得到：EH=GF,同理可得FE=HG,即可得四边形

EFG，是平行四边形；

(3)由三角形中位线定理得到：四边形EFGH的周长一半等于矩形ABCD一条对角线

长度.

【解答】证明：(1)I•四边形A3。是矩形，

,ZA=ZC.

'AE=CG

...在与ACGF中，.NA=/C，

AH=CF

△CGF(SAS)；

(2)•.•由(1)知，会△CGF,则EH=GF,同理证得△EBF之△GDH,则EF=

GH,

...四边形EFGH是平行四边形；

(3)四边形EFG”的周长一半等于矩形ABC。一条对角线长度.理由如下：

如图，连接AC,BD.

•.•四边形48co是矩形，

：.AC=BD.

：E、”分别是边AB,AC的中点，

；.EH是AABD的中位线，

:.EH=LBD.

2

同理，FG=UD,EF=HG=LC.

22

：.l.(EH+HG+GF+EF)=工(AC+BO)=AC.

22

四边形EFGH的周长一半等于矩形ABCD一条对角线长度.

【点评】考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质.灵活运用这些性质进行推理证

明是本题的关键.

26.(10分)(2019•娄底)如图，抛物线y=a/+6x+c与x轴交于点A(-1,0),点3(3,

0),与y轴交于点C,且过点。(2,-3).点P、。是抛物线丫=依2+—+。上的动点.

(1)求抛物线的解析式；

(2)当点P在直线。。下方时，求△P。。面积的最大值.

图1图2

【考点】HF：二次函数综合题.

【专题】16：压轴题；31：数形结合；32：分类讨论；55D：图形的相似.

【分析】(1)函数的表达式为：y=a(x+1)(x-3),将点。坐标代入上式，即可求解；

(2)5APOD=—XOG(.XD-xp}=—(3+2/n)(2-wz)=-m2+^-ni+3,即可求解；

222

(3)分NACB=/B。。、ZBAC=ZBOQ,两种情况分别求解，通过角的关系，确定直

线。。倾斜角，进而求解.

【解答】解：(1)函数的表达式为：y=a(x+1)(x-3),将点。坐标代入上式并解得：

(2=1,

故抛物线的表达式为：y=/-2x-3…①；

(2)设直线尸。与y轴交于点G,设点尸(胆，，/_2〃?-3),

将点P、。的坐标代入一次函数表达式：y=sx+f并解得：

直线的表达式为：y=mx-3-2m,贝ij0G=3+2如

SAPOD——XOG(.XD-xp)——(3+2，〃)(2-=-m2+^m+3,

222

V-l<0,故SzsPOD有最大值，当,"=1寸，其最大值为驾；

416

(3)VOfi=OC=3,.•./OCB=NOBC=45°,

；/ABC=NOBE,故△OBE与△ABC相似时，分为两种情况：

①当乙4cB=/80。时・，

AB=4,BC=3-\[2<AC—\flQ,

过点A作AH_LBC与点H,

S^ABC=—XAHXBC=1ABXOC,解得：AH=2近,

22

则sin/ACB=>^=g,则tan/ACB=2,

ACV5

则直线OQ的表达式为：y=-…②，

联立①②并解得：x=（舍去负值），

故点。（遥，-2如）

②NR4c=/80。时，

tan/B4C=£＞金=3=tanNB0。，

OA-1

则直线0Q的表达式为：尸-3x…③，

联立①③并解得：x=±逗，

2

故点Q（士且1

22__

综上，点Q（遥，-2A/3）或（WH,上Y亘）.

22

【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到解直角三角形、三角形相似、面积的

计算等，其中（3）,要注意分类求解，避免遗漏.

考点卡片

1.相反数

（1）相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数.

（2）相反数的意义：掌握相反数是成对出现的，不能单独存在，从数轴上看，除。外，互

为相反数的两个数，它们分别在原点两旁且到原点距离相等.

（3）多重符号的化简：与“+”个数无关，有奇数个“-”号结果为负，有偶数个“-”

号，结果为正.

（4）规律方法总结：求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加“-如a的相反

数是的相反数是-（,〃+〃），这时机+”是一个整体，在整体前面添负号时，要用

小括号.

2.科学记数法一表示较小的数

用科学记数法表示较小的数，一般形式为“X10?其中1W间＜10,〃为由原数左边起第

一个不为零的数字前面的0的个数所决定.

【规律方法】用科学记数法表示有理数x的规律

X的取值范围表示方法a的取值n的取值

W^IOaXlO"iwia整数的位数-1

M<1aX10n<10第一位非零数字前所有0的个数（含小数点前的0）

3.实数的运算

（1）实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、

乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方.

（2）在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算

乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到有的顺序进行.

另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用.

【规律方法】实数运算的“三个关键”

1.运算法则：乘方和开方运算、弃的运算、指数（特别是负整数指数，0指数）运算、根

式运算、特殊三角函数值的计算以及绝对值的化简等.

2.运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从

左到右依次运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算.

3.运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度.

4.同底数募的乘法

（1）同底数累的乘法法则：同底数基相乘，底数不变，指数相加.

a，,an—a'n+nCm,”是正整数）

mnpn+n+p

（2）推广：a-a-a=（/Cm,n,p都是正整数）

在应用同底数基的乘法法则时，应注意：①底数必须相同，如2?与2§,（/6）3与

4,（x-y）2与（、-）.）3等；②〃可以是单项式，也可以是多项式；③按照运算性质，只

有相乘时才是底数不变，指数相加.

（3）概括整合：同底数累的乘法，是学习整式乘除运算的基础，是学好整式运算的关键.在

运用时要抓住“同底数”这一关键点，同时注意，有的底数可能并不相同，这时可以适当变

形为同底数基.

5.塞的乘方与积的乘方

（1）幕的乘方法则：底数不变，指数相乘.

（*）"=a"'n（m,〃是正整数）

注意：①幕的乘方的底数指的是基的底数；②性质中“指数相乘”指的是累的指数与乘方

的指数相乘，这里注意与同底数募的乘法中“指数相加”的区别.

（2）积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的基相乘.

（而）（〃是正整数）

注意：①因式是三个或三个以上积的乘方，法则仍适用；②运用时数字因数的乘方应根据

乘方的意义，计算出最后的结果.

6.分式的化简求值

先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值.

在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简.化简的最后结果分子、分母要进行约分，注

意运算的结果要化成最简分式或整式.

【规律方法】分式化简求值时需注意的问题

1.化简求值，一般是先化简为最简分式或整式，再代入求值.化简时不能跨度太大，而缺

少必要的步骤，代入求值的模式一般为“当…时，原式=…t

2.代入求值时，有直接代入法，整体代入法等常用方法.解题时可根据题目的具体条件选

择合适的方法.当未知数的值没有明确给出时，所选取的未知数的值必须使原式中的各分式

都有意义，且除数不能为0.

7.零指数幕

零指数基：«O=1(a#0)

由a"=a"'=1,可推出〃°=1(a#0)

注意：O°W1.

8.负整数指数嘉

负整数指数累：aP=lap(aWO,p为正整数)

注意：①a#0；

②计算负整数指数基时，一定要根据负整数指数基的意义计算，避免出现(-3)一2=(-

3)X(-2)的错误.

③当底数是分数时，只要把分子、分母颠倒，负指数就可变为正指数.

④在混合运算中，始终要注意运算的顺序.

9.分母有理化

(1)分母有理化是指把分母中的根号化去.

分母有理化常常是乘二次根式本身(分母只有一项)或与原分母组成平方差公式.

例如：①3=以瞋=返；②咨哗

VaVaWaaVa+VbWa+Vb)Wa7b)a-b

(2)两个含二次根式的代数式相乘时，它们的积不含二次根式，这样的两个代数式成互为

有理化因式.

一个二次根式的有理化因式不止一个.

例如：的有理化因式可以是扬我，也可以是。(扬我)，这里的〃可以是任意

有理数.

10.二元一次方程组的应用

(一)、列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤：

(1)审题：找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系.

(2)设元：找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来.

(3)列方程组：挖掘题目中的关系，找出两个等量关系，列出方程组.

(4)求解.

(5)检验作答：检验所求解是否符合实际意义，并作答.

(二)、设元的方法：直接设元与间接设元.

当问题较复杂时，有时设与要求的未知量相关的另一些量为未知数，即为间接设元.无论怎

样设元，设几个未知数，就要列几个方程.

11.一元二次方程的解

(1)一元二次方程的解(根)的意义：

能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解.又因为只含有一个未知

数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根.

(2)一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解.这为,超是一元二次方程ox+bx+c

=0(。/0)的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量.

ajci"+hx\+c=0(〃W0),ax2+bx2+c=0(〃W0).

12.根与系数的关系

(1)若二次项系数为1,常用以下关系：为，X2是方程/+px+q=0的两根时，为+及=-P，

x\X7=q,反过来可得p=-(xi+x2),q=XiX2,前者是已知系数确定根的相关问题，后者是

已知两根确定方程中未知系数.

(2)若二次项系数不为1,则常用以下关系：制，X2是一元二次方程以2+法+C=0(a#0)

的两根时，两+必=上，XiX2——＜反过来也成立，即卜=-(X1+X2),——XIX2-

aaaa

(3)常用根与系数的关系解决以下问题：

①不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根.②已知方程及方程的一个根，求

另一个根及未知数.③不解方程求关于根的式子的值，如求，苫/+必2等等.④判断两根的

符号.⑤求作新方程.⑥由给出的两根满足的条件，确定字母的取值.这类问题比较综合，

解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑“#0,△》()这两个前提条件.

13.坐标与图形性质

1、点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的，表现在两个方面：①到x轴的距离与纵

坐标有关，到y轴的距离与横坐标有关；②距离都是非负数，而坐标可以是负数，在由距

离求坐标时，需要加上恰当的符号.

2、有图形中一些点的坐标求面积时，过已知点向坐标轴作垂线，然后求出相关的线段长，

是解决这类问题的基本方法和规律.

3、若坐标系内的四边形是非规则四边形，通常用平行于坐标轴的辅助线用“割、补”法去

解决问题.

14.函数自变量的取值范围

自变量的取值范围必须使含有自变量的表达式都有意义.

①当表达式的分母不含有自变量时，自变量取全体实数.例如y=2r+13中的北

②当表达式的分母中含有自变量时，自变量取值要使分母不为零.例如y=x+2x-1.

③当函数的表达式是偶次根式时，自变量的取值范围必须使被开方数不小于零.

④对于实际问题中的函数关系式，自变量的取值除必须使表达式有意义外，还要保证实际

问题有意义.

15.一次函数的性质

一次函数的性质：

4>0,y随x的增大而增大，函数从左到右上升；后<0,y随x的增大而减小，函数从左到

右下降.

由于>=丘+匕与y轴交于（0,b）,当。>0时，（0,b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交

于正半轴；当6V0时，（0,b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴.

16.一次函数与一元一次不等式

（1）一次函数与一元一次不等式的关系

从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于（或小于）0的自变量x的取值范

围；

从函数图象的角度看，就是确定直线），=丘