2020-2021学年成都市锦江区九年级上学期期末数学试卷(含答案解析)

2020-2021学年成都市锦江区九年级上学期期末数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）

1.如图是由几个相同的小正方体组成的一个几何体，若该几何体的俯视图的

面积为5,则这个几何体的主视图的面积为（）

A.3

B.4

C.5

D.6

2.等腰三角形的底角为30。，底边长为2百，则腰长为（）

A.4B.2V3C.2D.2迎

3.借助一面墙为长方形的长，再用13米的铁丝网围成一个面积为20平方米的长方形，求长方形的

长和宽.设长为久米，根据题意可得方程（）

A.x(13—x)=20Bn.x-1-3---x=20

2

C.x(13-0.5x)=20Dc.x-1-3-—-2x-=20

2

4.如图，平行四边形ABCD的周长是32cm,△ABC的周长是26cm,

E、F分别是边4B、BC的中点，则EF的长为（）

A.8cm

B.6cm

C.5cm

D.4cm

如图，点4、B为双曲线y=：（x>0）上两点，轴于点C,8。1丫轴于点。，交4c于点E,

当4D〃0E时，矩形。CED面积为I，贝腺的值为（）

6.如图所示，四边形/BCD内接于O。，^BOD=140°,贝叱BCD等于（）

A.140°

B.110°

C.70°

D.20°

7.某等腰三角形的周长为25,其中一边长为9,则等腰三角形底边长为（）

C.9或7D.以上均不对

8.下列关于抛物线y=2（＞-1）2+3的描述正确的是（）

A.由抛物线y=2x2+3向左平移一个单位得来

B.与y轴的交点是（0,3）

C.当久＞—1时，y随x增大而增大

D.与x轴无交点

9.如图，在菱形4BCD中，ND=60。，AB=2,以B为圆心、BC长为半径夕

画诧，点P为菱形内一点，连接P4PB,PC.当ABPC为等腰直角三角Aj

形时，图中阴影部分的面积为（）B—

A.白兀一匹B.-n--C.2兀D.2TT--

32322

10.根据下面表格中的取值，方程/+x-3=0的一个根的近似值（精确到0.1）是（）

X1.21.31.41.5

x2+x-3—0.36-0.010.360.75

A.1.1B.1.2C.1.3D.1.4

二、填空题（本大题共9小题，共36.0分）

11.如图，在菱形HBCD中，分别过B,。作对边的垂线，垂足分别为E,F,G,H,BF与DG相交于

点P,BE与。H相交于点Q,围成面积为V5的小菱形PBQD,若cosA=：,则菱形ZBCD的面积为

12.已知二次函数y=ax2+bx+c（a丰0）的图象如图所示，下列结论:

（T）b2—4ac>0；@abc>0；（3）a-b+c>0；④关于x的一元

二次方程a-+bx+c+2=0有两个相等的实数根，正确结论的

序号为.

13.一个袋子中装有4个红球和3个绿球，这些球除了颜色外都相同，从袋子中随机摸出两个球，则

摸到一个红球和一个绿球的概率是.

14.如图，正方形4BCD中，点M是边BC异于点8、C的一点，4M的垂直平

分线分别交4B、CD、BD于E、F、K,连接4K、MK.下列结论:①EF=AM；

@AE=DF+BM-.@BK=V2AK-.④乙4KM=90。,其中正确的结论

有个.

15.关于x的方程/-6x+p=0的两个根是a、夕，且2a+30=20,则

16.如图，数轴上点4B分别对应1,2,过点B作PQ14B,以点B为圆心，4B长为半径画弧，交PQ

于点C,以原点。为圆心，OC长为半径画弧，交数轴于点M,则点M对应的数是.

P

最、

-1012；M3

Q

17.已知P1(—l,yj,。2(2,丫2)是一次函数y=-彳+3的图象上的两点，则yi丫2(填“>"

或或

18.如图，在平面直角坐标系中，正方形041B1G，为4282c2,824383c3,…的顶点当，B2,B3,...在

x轴上，顶点G，C2,。3,…在直线y=kx+b上，若正方形。&B1C1，282c2的对角线=2,

B$2=3,则点C3的纵坐标是.

19.如图，在平面直角坐标系中，矩形4BC。的对角线交点。与原点重合，边

AD〃x轴，且矩形的边长CD=2,乙4DB=30。.将矩形ABCD绕点。进行

旋转，当点4落在x轴上时，点B的对应点的坐标是.

三、计算题(本大题共1小题，共12.0分)

20.-23+x(2016+3)°-(-i)-1.

四、解答题(本大题共8小题，共72.0分)

21.某音像制品公司将某一天的销售数据绘制成如下两幅尚不完整的统计图：请你根据图中提供的

信息解答下列问题：

(1)这一天的销售总量是张；

(2)扇形统计图中“流行歌曲”对应扇形的圆心角是°；

(3)在该店民歌，流行歌曲，故事片，其它等音像制品的销售中，若每张制品销售的利润分别为3元，

5元，8元，4元，求这一天的销售中，该公司共赢利了多少元?

统计图1

22.数学活动课上老师带领全班学生测量旗杆高度.如图垂直于地面的旗杆顶端4垂下一根绳子.小

明同学将绳子拉直钉在地上，绳子末端恰好在点C处且测得旗杆顶端4的仰角为75。；小亮同学

接着拿起绳子末端向前至。处，拉直绳子，此时测得绳子末端E距离地面1.5m且与旗杆顶端4的

仰角为60。根据两位同学的测量数据，求旗杆4B的高度.(参考数据：sm75°«0.97,cos75°«

0.26,sin60°«0.87,结果精确到1米)

23.如图，在平行四边形4BCC中，E为BC边上的一点.连结力E.

(1)如图(1),若AB=AE,求证：Z2=4D；

(2)如图(2),若点E为BC的中点，连接8D,交AE于F,求言的值.

24.如图，已知直线y=2x+b与y轴交于点C,与反比例函数y=§的图象交于a(-2,?i),B(m,4)两

点，AAOC的面积为2.

(1)求一次函数的解析式;

(2)求B点坐标和反比例函数的解析式.

25.(本小题满分14分)

平面上，矩形ZBCD与直径为QP的半圆K如图1摆放，分别延长DA和QP交于点。，且NDOQ=60°,

OQ=OD=3,OP=2,OA=AB=1.让线段OD及矩形4BCD位置固定，将线段OQ连带着半圆

K一起绕着点。按逆时针方向开始旋转，设旋转角为a(0。<a<60°).

图1

发现

⑴当a=0。，即初始位置时，点P直线4B上(填“在”或“不在”)

求当a是多少时，0Q经过点8;

(2)在0Q旋转过程中，简要说明a是多少时，点P,A间的距离最小，并指出这个最小值;

(3)如图2,当点P恰好落在BC边上时，求a及S阴影.

图2

拓展

如图3,当线段0Q与CB边交于点M,与BA边交于点N时，设BM=x(x>0),用含x的代数式表

示BN的长，并求x的取值范围.

0,----K：

图3

探究

当半圆K与矩形4BC。的边相切时，求sina的值.

备用图

26.如图，一座桥孔为抛物线形的拱桥，当水面宽4B为12加时，桥孔顶部离水面4巾,若水面上涨1m,

求此时水面的宽.

27.如图，平面直角坐标系中，在x轴正半轴截取线段04在y轴负半轴截取线段0B,使04=0B,

连接AB,AM,BN分别是N04B、N0BA内部一条射线，分别交0B、。4于M、N两点.

(1)如图1,若04=0B=4在，且AM、/.OBA,作OP_L4M交4M于点E,交4B

于点P,再过点P作PG1BN,交BN于F,交0B于H,交4M的延长线于点G.

①求出点P的坐标；

②证明：APEG是等腰山△,并直接写出点G的坐标；

(2)如图2,若0M=ON,请写出线段4G、0P与PG之间的数量关系，并证明你的结论

28.如图，在平面直角坐标系内，点0为坐标原点,抛物线y=-*+|x+4交工轴负半轴于点4,

交x轴正半轴于点B,交y轴于点C.

(1)求4B长;

(2)同时经过4,B,C三点作。0,求点。的坐标；

(3)在(2)的条件下，横坐标为10的点E在抛物线、=一；/+|%+4上，连接4E,BE,求NAEB的度

数.

参考答案及解析

I.答案：B

解析：解：根据该几何体的俯视图的面积为5,可知每个小正方体的棱长为1,

从正面看有两层，底层是三个正方形，上层是一个正方形，所以这个几何体的主视图的面积为4.

故选：B.

根据从正面看所得到的图形，即可得出这个儿何体的主视图的面积.

本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图.

2.答案：C

解析:

作出底边上的高，根据等腰三角形的性质，在直角三角形中，根

据底角的余弦求出腰长.

本题很简单，根据等腰三角形的性质及特殊角的三角函数值解答.

解：作4D1BC于。点.

•••△ABC是等腰三角形，AD1BC,NB=30°,

.：BD=CD=^C=^2V3=V3.

,DBDy/3y/3

VCOSZ.B=COSO3N0O=—=—=——

ABAB2

・•・AB=2.

故选C.

3.答案：B

解析：解：设长方形的长为久米，那么宽为詈米，根据题意得

x--1-3-—--X=2n0c.

2

故选B.

设长方形的长为工米，那么宽为等米，可根据长方形的面积公式即可列方程进行求解.

本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件,

找出合适的等量关系.

4.答案:C

解析：解：•••平行四边形4BCD的周长是32cm,

・•・AB+BC=16cm,

48c的周长是26cm,

・•・AC=26-16=10cm,

•・•£、F分别是边48、BC的中点，

・•・EF=5cm,

故选：C.

根据平行四边形的性质得出58+BC=16cm,进而得出4c的长度，利用三角形中位线解答即可.

此题考查平行四边形的性质，关键是根据平行四边形的性质得出AB+BC=16sn,进而得出？1C的

长度.

5.答案：D

解析：解：•••AD//OE,AE//OD,

.•.四边形力DOE是平行四边形，

.・・OD=AE,

又•・・OD=CE,

:.AE—CE,

・•・AC=2CE,

'S矩形OCED=S〉OAC，

:・S=-\k\=§,

2112

又丁/c>0,

*,»/c—5.

故选：D.

根据题意：有S矩形OCKD=SM)AC；根据反比例函数中％的几何意义，图象上的点与原点所连的线段、

坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系即S=：|k|,列出方程，进而求出k的值.

主要考查了反比例函数系数k的几何意义和几何性质结合的综合应用，在反比例函数的图象上任意一

点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是?刈，且保持不变.

6.答案：B

解析：解：乙BOD=140°,

•••N4="。£>=70°,

2

乙BCD=180°—=110°.

故选：B.

由圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍.可求乙4==70。，再根据圆内接四边形

对角互补，可得4BCO=180°-44=110°.

本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆

心角的一半.以及圆内接四边形对角互补的性质.

7.答案：C

解析：解：当腰是9时，则另两边是9,7.

当底边是9时，另两边长是8,8,

则该等腰三角形的底边为9或7,

故选：C.

己知的边可能是腰，也可能是底边，应分两种情况进行讨论.

本题考查了等腰三角形性质和三角形的三边关系定理的应用，从边的方面考查三角形，涉及分类讨

论的思想方法.

8.答案：D

解析：解：4、抛物线y=2M+3向右平移一个单位得抛物线y=2(x-1/+3,所以4选项错误；

B、当x=0时，y=2(x-1)2+3=5,则抛物线y=2(x-I)2+3与y轴的交点坐标为(0,5),所以B

选项错误；

C、当x>l时，y随x增大而增大，所以C选项错误；

。、抛物线开口向上，最低点为(1,3),则抛物线与x轴无交点，所以。选项正确.

故选：D.

利用抛物线的平移规律可对4进行判断；计算自变量为0的函数值可对B进行判断；利用二次函数的

性质可对C进行判断；利用抛物线的顶点坐标可对。进行判断.

本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛

物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求

出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式.也考查.了二次函数的性质.

9.答案：A

AD

解析：解：连接4C,延长4P,交BC于E,

在菱形ABCC中，4。=60。，AB=2,A/

BEC

・・・Z,ABC=4=60°,AB=BC=2,

・••△48C是等边三角形，

・•・AB=AC,

在△APB和△力PC1中，

AB=AC

AP=AP>

PB=PC

・・・△APB三△4PC(SSS),

・•・Z.PAB=乙PAC,

­.AEIBC,BE=CE=1,

•••△BPC为等腰直角三角形，

PE=-BC=1,

2

在Rt△ABE中，AE-AB-V3»

2

:・AP=遥一1，

S阴影=S扇形ABC_SAPAB-S&PBC=-i(V3-l)xl-|x2xl=|7T-等，

故选:A.

连接AC,延长力P,交BC于E,根据菱形的性质得出△ABC是等边三角形，进而通过三角形全等证得

AE1BC,从而求得ZE、PE,利用5用影=S扇形Age一SAPAB-SAPBC即可求得.

本题考查了扇形的面积，菱形的性质，等边三角形的判定和性质，求得P4、PE是解题的关键.

10.答案：C

解析：

本题考查了二次函数与一元二次方程的知识，掌握函数y=ax2+bx+c的图象与支轴的交点与方程

ax2+bx+c=。的根的关系是解决此题的关键所在.

根据函数y=x2+x-3的图象与x轴的交点的横坐标就是方程/+%一3=0的根来解决此题.

解：方程“2+%-3=0的一个根就是函数y=x2+x-3的图象与x轴的一个交点，

即关于函数y=/+%-3,y=0时x的值，

由表格可得：当x的值是1.3时，函数值y与0最接近.

因而方程的解的近似值是1.3.

故选C.

11.答案：4V5

解析：解：vBFLADfDG1AB,

・•・乙4”=Z.AGP=90°,

・・・+匕FPG=180°,

又•・•乙DPF+乙FPG=180°,

・•・Z.A=乙DPF,

・•・cosA=-=cosZ-DPF=—,

5DP

・••设PF=3%,DP=5%,

...DF=Vpp2_pF2=4Xf

・・•四边形DPBQ是菱形，

・・.BP=DP=5%,

.・.BF=8%,

・•・5%x4%=V3»

,2_W

X=—，

20

3AF„门

•・,co4sA=-=—,nBF=8%,

5AB

・•・AB=10%,AF=6x,

菱形4BC0的面积=10xX8x=80x2=“5,

故答案为4

设PF=3x,DP=5x,在直角三角形DPF中，由勾股定理可求DF,由菱形面积公式可求/=更

20

由三角函数可求4B=10x,由菱形的面积公式可求解.

本题考查了菱形的性质，锐角三角函数，勾股定理等知识，利用参数解决问题是解本题的关键.

12.答案：①③④

解析：解：••・抛物线与x轴有两个交点，

:/?2-4ac>0,故①正确；

••・抛物线的开口向上，与y轴的交点在y轴的正半轴上，对称轴在y轴的右侧，

a>0,c>0,——>0,

b<0,

•1•abc<0,故②错误;

当x=-1时，y=a/+bx+c=a—b+c>0,故③正确；

•••抛物线的开口向上，顶点坐标是

y=ax2+bx+c+2是抛物线y=ax2+bx+c向上平移两个单位长度得出的抛物线，

即抛物线y=ax2+bx+c+2的顶点在久轴上，

••・关于x的一元二次方程a/+必+c+2=。有两个相等的实数根，故④正确；

所以正确结论的序号为①③④，

故答案为：①③④.

根据二次函数的图象逐个判断即可.

本题考查了二次函数图象上点的坐标特征和根的判别式、二次函数的性质等知识点，能根据图象得

出正确信息是解此题的关键.

13.答案：?

解析：解：画树状图为:

红

红红

球红红红建球绿红红红凝盥季红红红凝球

红绿凝

球红红红球凝红红红红绿绿红红红红球球

球

红红红红四球

共有42种等可能的结果数，其中摸到一个红球和一个绿球的结果数为24,

所以摸到一个红球和一个绿球的概率=a=点

故答案为右

画树状图展示所有42种等可能的结果数，找出摸到一个红球和一个绿球的结果数，然后根据概率公

式计算.

本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n,再从中选出符合事

件4或B的结果数目m,然后利用概率公式计算事件4或事件B的概率.

14.答案：3

解析：解：如图，作FGJ.4B于G,则4D=GF=4B,

vAM1EF,

・・・Z,BAM=乙GFE,

•:乙

BAM=LGFE,Z.ABM=ZFGF,GF=ABf

ABM=△FGE,

・・・EF=AM,

故①正确；

由题可得：AG=DF,GE=BM,

•••AE=AG+GE=DF+BM；

故②正确；

如图，过K作KQJLAB,KT1BC,

v乙KBQ=45°,

・•.△BQK是等腰直角三角形，

•••BK=五KQ<五AK,

故③错误；

•••DB平分/ABC,

•••KQ=KT,

又•••AM的垂直平分线交ED于K,

KA=KM,

RtAAQKmRt&MTK,

•••乙AKQ=乙MKT,

又•••"KT=乙MKT+乙MKQ=90°,

4AKQ+4MKQ=90°,

即乙4KM=90°,

故④正确；

故答案为：3.

作FG14B于G,根据三角形的全等得出AABM三AFGE,进而得出EF=4M,再利用矩形的性质可

得出4E=0F+BM；再利用等腰直角三角形的性质以及全等三角形的性质，判断出线段之间的关系

即可得出正确答案.

此题主要考查了正方形的性质以及全等三角形的判定和垂直平分线的性质等知识，作辅助线构造全

等三角形，利用全等三角形的对应边相等是解决问题的关键.

15.答案：—16

解析：解：根据题意得a+0=6①，a/?=p②，

而2a+3£=20(3),

由①③得a=—2,0=8,

所以p=-2x8=-16.

故答案为-16.

根据根与系数的关系得到a+/?=6,邱=p,而2a+3£=20,先解方程组求出a和夕，然后计算p

的值.

本题考查了根与系数的关系：若Xi，犯是一元二次方程a/+bx+c=0(a#0)的两根时，/+%2=

bc

与犯=/

16.答案：V5

解析：

此题主要考查了勾股定理，根据题意得出CO的长是解题关键.

直接利用勾股定理得出0C的长，进而得出答案.

解：如图所示：

一“b。.B1上

012U3

O

连接0C,

由题意可得：0B=2,BC=1,

则0C=V22+I2=V5，依题可知。。=OM,

故点M对应的数是：V5.

故答案为：V5.

17.答案：〉

解析：先根据一次函数y=-/+3中卜=-1<0判断出函数的增减性，再根据-3<2进行解答即可.

•••一次函数y=-x+3中k=-i<o,

.1•y随x的增大而减小,

V-1<2,

•••>'!>yi.

故答案为〉.

18.答案：3

解析：解：如图，连接41G，42c2,43c3,

分别交x轴于点E、F、G,

•••四边形O481G，814282c2,824383c3

都是正方形，OB]=2,B$2=3,

OE=EC^=EBr=-^OB1=1,B]F=

137

FC2=FB2==pOF=0B14-BrF=

7R

・•.G(i,i),c2(|)|),

将点G，C2的坐标代入y=kx+b中，

k=-

得：除(k+b解=1得:5

b=-

5

・••直线解析式为y="+],

设BzG=C3G=t,则有C3坐标为(5+t,t),

代入直线解析式得：t=g(5+t)+3，

解得：t=[,

4

・・•点C3的纵坐标是，

故答案是三

4

连接4G，42c2,43c3,分别交X轴于点E、F、G.根据正方形的性质，由。B1=2,B/2=3可求点

G，。2的坐标，将点G，C2的坐标代入y=kx+b中，得到关于k与b的方程组，求出方程组的解得

到k与b的值，从而求出直线解析式，设BzG=C3G=3表示出C3的坐标，代入直线方程中列出关于

t的方程，求出方程的解得到t的值，确定出C3的纵坐标.

此题考查了一次函数图象上点的坐标特征，正方形的性质，利用待定系数法求一次函数解析式，求

出点G，C2的坐标是解本题的关键.

19.答案：(-1,-遮)或(-1,遮)或(1,-b)或(1,V3)

解析：解：当点4落在x轴负半轴时,

①逆时针旋转时，点B的对应点落在第四象限夕处，连接。夕,

轴于P,如图1所示:

•••四边形4BCD是矩形,图1

•••AB=CD=2,ABAD=90°,OA=OC,OB=OD,

:.OA=OB=00,

・•・/-0AD=Z.ADB=30°,

:.Z-AOB=Z.OAD+Z-ADB=60°,

・・・△40B是等边三角形，

・•・OB=AB=2,

由旋转的性质得:LA!OB'=60°,

•:B'P_Lx轴，

•••Z.OB'P=30°,

•1•OP=^OB'=1,BP'=V3OP=V3»

B'(—1,—V^);

②顺时针旋转时，点B的对应点落在第二象限，与B'关于x轴对称，坐标为（一1,遮）；

当点4落在x轴正半轴时，

①逆时针旋转时，点B的对应点落在第三象限B'处，连接。B',过B'作B'P1x

轴于P,如图2所示：

同上得：OP=；OB'=1,BP'=V3OP=V3,

.­.Bz（l,-V3）;

②顺时针旋转时，点B的对应点落在第一象限，与B'关于x轴对称，坐标为（1,国）；

综上所述，点B的对应点的坐标是（一1,一百）或（一1,遮）或（1,一百）或（1,遮），

故答案为：（-1,-b）或（-L遮）或（1,-遥）或（1,V3）.

分情况讨论，由矩形的性质、等边三角形的判定与性质、含30。角的直角三角形的性质分别求解即可.

本题考查了矩形的性质、旋转的性质、坐标与图形性质、等边三角形的判定与性质、轴对称的性质、

含30。角的直角三角形的性质等知识；熟练掌握矩形的性质和旋转的性质，进行分类讨论是解题的关

键.

20.答案：解：-23+打(2016+3)°-(-9-[

1

=-8+-xl-(-3)

1

=-5+3

2

=-4-

3

解析：首先计算乘方，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可.

此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理

数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号

里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行.另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用.

21.答案：40090

解析：解：(1)90+22.5%=400(张)，

即这一天的销售总量是400张，

故答案为：400；

(2)扇形统计图中“流行歌曲”对应扇形的圆心角是：处啜产2x360。=90。，

故答案为：90：

(3)3X90+5x(400-90-130-80)+8x130+4x80=3120(元),

即这一天的销售中，该公司共赢利了3120元.

(1)根据民歌的销售量和所占的百分比可以这一天的销售总量；

(2)根据条形统计图中的数据和(1)中的结果，可以计算出扇形统计图中“流行歌曲”对应扇形的圆

心角的度数；

(3)根据统计图中的数据和题意，可以计算出这一天的销售中，该公司共赢利了多少元.

本题考查条形统计图、扇形统计图，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答.

22.答案：解：过E作EFJ.AB于尸，设4c=4E=x,

•••四边形FBDE为矩形,

BF=1.5,

CBD

在Rt△AEF中，sinzjlEF=—,

AE

••AF=xsin60°,

••・AB=AF+BF=xsin600+1.5

在Rt△力CB中，

vsinZ-ACB=—AC,

・••AB=xsin75°,

・1.5

••xsin750=xsin600+1.5xsin750-sin600'

・・.AB=sin75°x.,~；=0.97x15«15（米），

sin750-rsoin600'J

答：旗杆AB的高度约是15米.

解析：过E作于G设AC=4E=x,根据题意分别表示出48、的长，进而得出等式求出

答案.

本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角

形.

23.答案：证明：（1）在平行四边形4BCD中，AD//BC,

：•Z1=42,

vAE=AB,

・♦・乙ABE=Z1,

・••乙B=Z2,

v乙B=乙D,

・•・z2=Z.D；

(2),・•四边形4BCD是平行四边形,

:・AD〃BC,AD=BC,

〉

•••△BEFsAFDf

EF_BE

•・FA~ADf

•；E为BC的中点，

•••BE=2-BC=2-AD,

/.EF：FA=1：2.

解析:⑴根据平行四边形的对边互相平行可得4D〃8C,再根据两直线平行，内错角相等可得乙4EB=

^EAD,根据等边对等角可得NABE=N4EB,即可得证；

(2)由四边形4BCD是平行四边形，可证得△BEF-Zk/IFD,即可求得EF：凡4的值.

此题考查了相似三角形的判定与性质与平行四边形的性质.熟练掌握平行四边形的性质是解题的关

键.

24.答案：解:(1)作AHLy轴于H,

vA(-2,n)f

・・・AH=2,

••,△40C的面积为2,

■■■\OC-AH=2,

・•・OC=2.

・・・C(0,2),

把C(0,2)代入y=2x+b中得，b=2,

・•・一次函数的解析式为y=2%+2.

(2)把4、B的坐标代入y=2%+2得n=2x(-2)+2,4=2m+2

解得，n=-2,m=1,

・•・8(1,4),

把B(l,4)代入y=1中，求得k=4,

•••反比例函数的解析式为y=

解析：(1)作AHly轴于H,利用三角形的面积求得C的坐标，即可求得b=2,从而求得直线的解析

式；

(2)把4、B代入直线解析式求得-2,m=l,即可求得B(l,4),进而根据待定系数法求得反比例

函数的解析式.

本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，求得交点坐标是解题的关键.

25.答案:(1)在;15°；

(2)60°;1;

⑶工+里;

k72416

拓展：0<xW2J^—1；

探究：士或史21或坐.

10102

解析：⑴在.（1分）

当OQ过点B时，在Rt△。力B中，AO=AB,得NDOQ=乙48。=45。，

a=60°-45°=15°.（3分）

（2）如图1,连结4P,有04+4PN0P,当OP过点4即a=60。时等号成立.

AP>OP-OA=2-1=1.

.•.当a=60。时，P,A间的距离最小.（5分）

P4的最小值为1.（6分）

图1

(3)如图1,设半圆K与PC交点为R,连结RK,过点P作PH于点H,过点R作/?E1KQ于点E.

在RtAOPH中，PH=AB=1,OP=2,Z.POH=30°,

a=60°-30°=30。.(7分)

由力D//BC知，4RPQ=乙POH=30°.

•••LRKQ=2x30°=60°.

2

•••S房松KQ吧：1)n

24

360

在RtARKE中，RE=RK-sin600=—

4

S^RKP=3PK，RE=

••・S屐技+率（8分）

拓展如图3,Z.OAN=Z.MBN=90°,乙ANO=(BNM,

.♦△AONMBMN,

.AN_AO即1-BN_1

BNBMBNx

x,,

•1•BN=.（io分）

如图2,当点Q落在BC上时，x取最大值，作QF_L4。于点F.

图2

BQ=AF=l0Q2-QF2-AO=)32-12-1=2^-1.

x的取值范围是0<xS2"-1.(11分)

［注：如果考生答"X<2^T或x<2叵-1"均不扣分］

探究半圆与矩形相切，分三种情况:

①如图3,半圆K与BC切于点7,设直线K7与4D和OQ的初始位置所在直线分别交于点S,0',则

Z.KSO=Z.KTB=90°,作KG1。。'于点G.

0S=JOK2-SK2=J(|)2_02=2.

/?£△OSK中，

3

RtAOS。'中，SO'=OS-tan60°=2,KO'=2.

3

KG--

RMKGO'中，Z-0'=30°,4

Rt△OGK中，sina=—=三a=生三.

OK110

②半圆K与4D切于点7,如图4,

0

图4

4(OTKT)

同理可得sina=

5

22

22

5

③当半圆K与C。相切时，点Q与点。重合，且为切点.

VJ

・•・a—60°,:.sina=sin60°=—.

综上所述，sina的值为生生或史21或里.(14分)

10102

26.答案：解：如图，建立以4B所在直线为%轴，AB垂直平分线为y轴的平面直角坐标系,

由图可得4(一6,0),8(6,0),C(0,4),

设其解析式为y=ax2+4(a*0),

将4(一6,0)代入得：0=36a+4,

解得：a=-g,

所以y=-1x2+4,

当y=l时，解得：x=+3V3,

所以此时水面宽度为：3百-(-3百)=6次(m),

答：此时水面的宽为6百小.

解析：根据题意可以建立相应的平面直角坐标系，从而可以求得抛物线的解析式，进而求得当水面

上涨1m时，水面的宽.

本题考查二次函数的应用，解答此类问题的关键是建立合适的平面直角坐标系，求出相应的函数解

析式，利用二次函数的性质解答.

27.答案：解：（1）①如图1,过点P作PC1A0于C,

图1

•••力时平分4340,

・•・Z,OAE=乙BAE,

又•・.AE=AE,Z.AEO=Z.AEP=90°,

•••△4E0wZk4EP(4SA),

40=4P=4vL

•••OA=OB=472，4AOB=90°,

•••AOAB=/.OBA=45°,点4(4夜,0)，

•••乙OAB=/.CPA=45°,

■■AC=CP,AP=y/2AC,

CP=AC=4,

AOC=4V2-4,

•'•点P(4>/^—4,—4);

(2)-.-AM,BN分别平分N04B、/.OBA,

AMAB=-^OAB,4NBA=-^OBA,

22

v4OAB+^OBA=90°,

・•・Z,MAB+乙NBA=45°,

vGP1BN,

・・•乙NBA+乙GBP=90°,

・・・乙NBA+4G+^MAB=90°,

・・・Z-G=45°,

•・•OP1AM,

・・・zG=Z.GPE=45°,

・・・GE=PE,

.•.△GEP是等腰直角三角形；

•・•△AEO=l^AEP,

・・,OE=EP,

■:点P—4,—4),点。(0,0),

•••点E(2V^-2,-2),

又•・,点力(4鱼,0),

・,・直线4E解析式为y=(V2-l)x+4V2-8，

设点G[a,(V2-1)Q+4V2—8]>

•・・GE=PE,

A(a-2V2+2)2+[(V2-l)a+4&-8+2]2=(4V2-4一2企+2/+(-4+2尸,

:.a=2V2—4»

・,•点G(2或一4,一2处;

(2)AG=GP+OP,

理由如下：延长GP至D,使OP=PD,连接40,

•••△4OMW2XBON(SAS),

工乙OAM=^OBN,

・•・乙OAB-/LOAM=Z-OBA-乙OBN,

・•・Z.BAM=乙NBA,

•・・AM1OP,BN1GP,

・•・Z.OPA=乙BPH,

・•・Z.OPA=