2019年全国各省市 中考数学 真题汇编四（带答案解析）

2019年全国各省市中考数学真题汇编四（带答案解析）

姓名：班级：考号：

一、简答二、选择三、综合四、填空

题号总分

题题题题

得分

评卷人得分一、简答题

（每空？分，共？分）

1、如图，口4颇中，顶点4的坐标是（0,2）,4?〃x轴，宽交y轴于点色顶点C的纵坐标是-4,=/比7?的面积

k

是24.反比例函数y=x的图象经过点8和4,求：

（1）反比例函数的表达式；

（2）46所在直线的函数表达式.

2、如图1,。。经过等边AABC的顶点A,C（圆心。在AABC内）,分别与AB,CB的延长线交于点D,E,连结DE,

BF_LEC交AE于点F.

n।B2

(1)求证：BD=BE.

(2)当AF：EF=3:2,AC=6时,求AE的长。

AF

(3)设EF=x,tanZDAE=y.

①求y关于x的函数表达式;

②如图2,连结OF,OB,若△AEC的面积是△OFB面积的10倍，求y的值

3、定义：有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形，这两个角的夹边称为邻余线.

（1）如图1,在AABC中，AB=AC,AD是AABC的角平分线，E,F分别是BD,AD上的点.

求证：四边形ABEF是邻余四边形。

（2）如图2,在5X4的方格纸中，A,B在格点上，请画出一个符合条件的邻余四边形ABEF,使AB是邻余线，E,F

在格点上，

（3）如图3,在（1）的条件下，取EF中点M,连结DM并延长交AB于点Q,延长EF交AC于点N.若N为AC的中点，

DE=2BE,QB=3,求邻余线AB的长。

4、某风景区内的公路如图1所示，景区内有免费的班车，从入口处出发，沿该公路开往草甸，途中停靠塔林（上下

车时间忽略不计）.第一班车上午8点发车，以后每隔10分钟有一班车从入口处发车.小聪周末到该风景区游玩，上

午7：40到达入口处，因还没到班车发车时间，于是从景区入口处出发，沿该公路步行25分钟后到达塔林。离入口

处的路程y（米）与时间x（分）的函数关系如图2所示.

（1）求第一班车离入口处的路程y（米）与时间x（分）的函数表达式

（2）求第一班车从人口处到达塔林所蓄的时间。

（3）小聪在塔林游玩40分钟后，想坐班车到草甸，则小聘最早能够坐上第几班车?如果他坐这班车到草甸，比他在

塔林游玩结束后立即步行到草甸提早了几分钟？（假设每一班车速度均相同，小聪步行速度不变）

5、如图，已知正方形ABCD的边长为1,正方形CEFG的面积为&,点E在DC边上，点G在BC的延长线上，设

以线段AD和DE为邻边的矩形的面积为S2,且SLSZ.

(1)求线段CE的长.

(2)若点日为BC边的中点，连接HD,求证：HD=HG.

6、如图，在4ABC中;AC<AB<BC.

(1)已知线段AB的垂直平分线与BC边交于点P,连接AP,求证：ZAPC=2ZB.

(2)以点B为圆心，线段AB的长为半径画弧，与BC边交于点Q.连接AQ若/AQC=3/B,求NB的度数.

7、在矩形/比Z?中，/反1劭于点2,点P是边便上一点.

(1)若BP平济NABD,交于点G,PFLBD于点F,如图①，证明四边形〃79是菱形；

(2)若PELEC,如图②，求证：AE・AB=DE,AP；

(3)在(2)的条件下，若4?=1,BC=2,求4P的长.

8、已知一次函数y=4x+b的图象与反比例函数y=X的图象交于点4与x轴交于点夕(5,0),若OB=AB,且

15

="F.

(1)求反比例函数与一次函数的表达式;

（2）若点尸为x轴上一点，44第是等腰三角形，求点尸的坐标.

评卷人得分二、选择题

（每空？分，共？分）

9、如图，正方形力四9的边长为2颂，动点P,0同时从点/出发，在正方形的边上，分别按4-AC,/fAC的方

向，都以IM/S的速度运动，到达点。运动终止，连接掰，设运动时间为xs,△/凰的面积为yc加1则下列图象中

能大致表示y与x的函数关系的是（）

♦><cnr)

AXcnr)

°24万⑴

10、在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到的指令是：从原点。出发，按“向上一向右一向下一向右”的方向依

次不断移动，每次移动1个单位长度，其移动路线如图所示，第一次移动到点4,第二次移动到点4……第〃次移动

到点4,则点4019的坐标是（）

X

A.(1010,0)B.(1010,1)C.(1009,0)D.(1009,1)

11、如图，是。。的直径，C,。是。。上的两点，豆BC平■分NABD,49分别与灰；％相交于点区F,则下列结论

不一定成立的是()

A.OC//BDB.ADLOCC.△颂D.AF=FD

12、如图所示，矩形纸片ABCD中，AD=6cm,把它分割成正方形纸片ABFE和矩形纸片EFCD后，分别裁出扇形ABF和

半径最大的圆，恰好能作为一个圆锥的侧面和底面，则AB的长为()

A.3.5cmB.4cmC.4.5cmD.5cm

13、如图，矩形相切中，48=4,AD=2,月为48的中点，尸为上一动点，刀为彼中点，连接附则阳的最小值

是()

A.2B.4C.V2D

,272

14、如图，是。。的内接三角形，ZA=119°,过点。的圆的切线交加于点只则/P的度数为()

A.32°B.31°C.29°D.61°

评卷人得分三、综合题

(每空？分，共？分)

15、如图，已知锐角三角形ABC内接于00,ODLBC于点D,连接0A.

(1)若/BAC=60°,

1

①求证：0D=20A.

②当OA=1时，求4ABC面积的最大值。

(2)点E在线段0A上，(OE=OD.连接DE,设/ABC=m/OED.NACB=nNOED(m,n是正数).若/ABCXNACB,求证:

m-n+2=0.

16、如图，四边形4以力是正方形，△颜C是等腰直角三角形，点£在48上，且/侬=90°,FGLAD,垂足为点C

(1)试判断/C与刀。是否相等？并给出证明；

(2)若点〃为6F的中点，阳与诩垂直吗？若垂直，给出证明；若不垂直，说明理由.

17、若二次函数尸aV+6x+c的图象与x轴、y轴分别交于点4(3,0)>B(0,-2),且过点C(2,-2).

(1)求二次函数表达式;

(2)若点尸为抛物线上第一象限内的点，且见物=4,求点户的坐标；

(3)在抛物线上。夕下方)是否存在点弘使/力6。=/4M若存在，求出点"到y轴的距离；若不存在，请说明

理由.

18、在平面直角坐标系中，直线y—x+2与x轴交于点A,与y轴交于点B,抛物线y^ax+bx+c(a<0)经过点4、B.

(1)求a、6满足的关系式及c的值.

(2)当x<0时，若尸ax"+Z?x+c(a<0)的函数值随x的增大而增大，求a的取值范围.

(3)如图，当a=-l时，在抛物线上是否存在点尸，使△用8的面积为1?若存在，请求出符合条件的所有点尸的

坐标；若不存在，请说明理由.

评卷人得分四'填空题

(每空？分，共？分)

19、在平面直角坐标系中，直线/：y=x+l与y轴交于点4,如图所示，依次作正方形如心兄正方形G4民C,正

方形C&SG,正方形04以&,……，点4,4,4,4,在直线/上，点G,G,G,G,……在x轴正半轴上,

参考答案

一、简答题

1、【解答】解：(1),顶点4的坐标是(0,2),顶点C的纵坐标是-4,

；./£=6,

又口4比7?的面积是24,

：.AD=BC=4,

则D(4,2)

；.A=4X2=8,

8_

...反比例函数解析式为尸"7；

(2)由题意知6的纵坐标为-4,

其横坐标为-2,

则8(-2,-4),

设力6所在直线解析式为y=kx+b,

fb=2

将力(0,2)、6(-2,-4)代入，得：l-2k+b=-4,

[k=3

解得：ib=2,

所以所在直线解析式为尸3x+2.

【点评】本题主要考查待定系数法求反比例函数解析式，解题的关键是掌握平行四边形的面积公式及待定系数法求反

比例函数和一次函数解析式的能力.

2、(1)证明：・••△ABC为等边三角形，

AZBAC=ZC=60...

VZDEB=ZBAC=60ZD=ZC=60..

.•,ZDEB=ZD.

.•.BD=BE

(2)解：如图，过点A作AGLEC于点G.

:△ABC为等边三角形，AC=6,

11

；.BG=2BC=2AC=3.

...在RtZXABG中，AG=VBG=343.

VBFXEC,

；.BF〃AG.

AF_BG

斯=丽

VAF:EF=3:2,

2

ABE=3BG=2.

・・・EG=BE+BG=3+2=5.

?

・••在RtZ^AEG中，AE二《心+EG?=《玷R5=2\/U

（3）解：①如图，过点E作EHLAD于点H.

VZEBD=ZABC=60°,

EHB

.•.在Rt^BEH中，BE=sin60..=2.

EH=^SH4BE

...诋BG=_A赤F_=；

VBG=xBE.

.,.AB=BC=2BG-2xBE.

1

.\AH-AB+BH=2xBE+2BE=(2x+2)BE.

EH

AH=

.,.在RtZkAHE中，tan£=

y=4,X+1

②如图，过点0作OMLEC于点M.

设BE=a.

...诋BG二_A赤F=

・・・CG=BG=xBE=x.

・・・EC=CG+BG+BE=a+2ax.

11

AM=2EC=2a+ax.

1

BM=EM-BE=ax-2a

VBF//AG

AEBF^AEGA.

BFBEa

AG-EG-a+ax-i-rx

«***<

VAG=VBG=Vax

1

；.BF=1+XAG=1.+X

BF'BM_1..

.-.△OFB的面积=2-2X十1

=JK再江vU+2a.x)

.♦.△AEC的面积=L11

VAAEC的面积是△OFB的面积10倍

.gx有侬(典-r勿.»=1GxgX

'k3

螂

得

-2

gB

7

或

K一

A,一

【考点】圆的综合题

【解析】【分析】(1)根据等边三角形的三个内角都等于60。得出/BAC=/C=60°,根据同弧所对的圆周角相等得

出/DEB=/BAC=60。,ZD=ZC=60°，故/DEB=/D,根据等角对等边得出BD=BE；

(2)如图，过点A作AGLEC于点G,根据等边三角形的三线合一得出BG=3,在Rt^ABG中，根据含30。角的直

角三角形的边之间的关系得出AG的长，根据同一平面内垂直于同一直线的两条直线互相平行得出BF〃AG,根据平行

线分线段成比例定理得出：EF=BG：EB,根据比例式即可算出EG的长，最后在Rt^AEG中，根据勾股定理即可算出AE

的长；

(3)①如图，过点E作EH_LAD于点H,在RtZkBEH中，根据锐角三角函数的定义，及特殊锐角三角函数值得出EH=

B1

BE,BH—宣BE一

2.1由于BG:EB=AF：EF=x,故BG=xBE,AB=2xBE,最后根据AH=AB+BH表示出AH,在RtAAHE中，

根据正切函数的定义，由tan/EAO=EH：AH,即可建立出函数关系式；②如图，过点0作OMLEC于点M,设BE为a,

根据BG：EB=AF：EF=x,得出CG=BG=xBE=ax,故EC=CG+BG+BE=a+2ax,根据垂径定理得出EM的长，进而根据线段的和

差表示出BM的长，根据平行于三角形一边的直线，截其它两边，所截的三角形与原三角形相似得出△EBFSAEGA,

根据相似三角形的对应边成比例表示出BF的长，根据三角形的面积计算公式分别表示出△OFB的面积及4AEC的面积，

然后根据4AEC的面积是△OFB的面积的10倍建立方程，求解算出x的值，进而即可得出答案。

3、(1)解：：AB=AC,AD是AABC的角平分线，

.\AD1BC.

ZADB=900.

.,.ZDAB+ZDBA=90°.

/FAB与/EBA互余.

四边形ABEF是邻余四边形

(2)解：如图所示(答案不唯一)

(3)解：,.,AB=AC,AD是△ABC的角平分线,

:.BD=CD.

VDE=2BE,

.,.BD=CD=3BE.

.,.CE=CD+DE=5BE.

VZEDF=90°,M为EF中点,

/.DM=ME.

ZMDE=ZMED.

VAB=AC,

ZB=ZC.

.,.△DBQ^AAECN.

QBBD3

vNC=C£=5

VQB=3,.,.NC=5.

,/AN=CN,

.•.AC=2CN=10.

.•.AB=AC=10.

【考点】等腰三角形的性质，直角三角形斜边上的中线，相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质

【解析】【解析】(1)解：：AB=AC,AD是△ABC的角平分线，

.•.ADXBC,

,ZADB=90°

.\ZDAB+ZDBA=90°.

/FAB与/EBA互余.

四边形ABEF是邻余四边形

【分析】(1)根据等腰三角形的三线合一得出ADLBC,故/ADB=90°,根据直角三角形的两锐角互余得出/FAB+

ZEBA=90°,根据邻余四边形的定义即可得出结论：四边形ABEF是邻余四边形；

(2)开放性的命题，答案不唯一：在过点A的水平线与过点B的竖直线上各取一个格点F,E再顺次连接A,F,E,B

即可得出所求的邻余四边形；

(3)根据等腰三角形的三线合一得出BD=CD,进而得出CE=5BE,根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得

出DM=ME,根据等边对等角得出/MDE=/MED,/B=/C,根据有两组角对应相等的两个三角形相似得出△DBQSZ\ECN,

根据相似三角形对应边成比例得出QB：NC=BD：CE=3：5,根据比例式得出NC的长，进而即可得出AC的长，最后根据

AB=AC即可得出答案。

4、(1)解：由题意得，可设函数表达式为：y=kx+b(kWO).

I0=204+方

把(20,0),(38,2700)代入y=kx+b,得(2700=^k^b,

\k=150

解得\b=-3000

第一班车离入口处的路程y(米)与时间x(分)的函数表达式为y=150x-3000(20<X<38).(注：x的取值范

围对考生不作要求)

⑵解:把y=1500代入y=150x-3000,解得x=30,

30-20=10(分)。

第一班车到塔林所需时间10分钟.

(3)解：设小聪坐上第n班车.

30-25+10(n-1)滨40,解得n24.5,

•••小聪最早坐上第5班车.

等班车时间为5分钟，

坐班车所需时间：1200+150=8(分)，

.,・步行所需时间：1200+(1500+25)=20(分)

20-(8+5)=7(分)。

.♦.小聪坐班车去草甸比他游玩结束后立即步行到达草甸提早7分钟。

【考点】一元一次不等式的应用，一次函数的实际应用，通过函数图象获取信息并解决问题

【解析】【分析】(1)利用待定系数法即可求出第一班车离入口的路程y与时间x的函数关系式；

(2)将y=1500代入(1)所求的函数解析式即可算出对应的自变量的值，进而再用该值减去该函数起点的横坐标

即可得出答案；

(3)设小聪能坐上第n班车，由于两班车的发车时间间隔10分钟，且每班车从入口行到塔林需要10分钟，则第

n班车到达塔林时，时间已经过了10n分，由于小聪比第一班车早出发20分钟，从入口到塔林用时25分，在塔林玩

了40分钟，故第n班车到达塔林的时间应该不少于45分钟，从而列出不等式求解再取出最小整数解即可；班车的速

度是1500+10=150米每分，小聪的速度是15004-25=60米每分，用小聪直接去草甸的时间-小聪等车的时间-坐车去

草甸的时间即可算出小聪节约的时间。

5、(1)解：根据题意，得AD=BC=CD=1,ZBCD=90°.

设CE=x(0<x<l),则DE=l-x,

因为Si=Sz,所以x'l-x,

(2)证明：因为点日为BC边的中点,

所以CH=2,所以HD=2,

因为CG=CE=点H,C,G在同一直线上,

所以HG=HC+CG=2+2=2,所以HD=HG

【考点】正方形的性质

【解析】【分析】（1）由正方形性质得AD=BC=CD=1,ZBCD=90°,CE=CG,设小正方形边长CE=x,则DE=「x,由SFSZ

1I

列出方程，解之即可求得答案.（2）由中点定义得CH=2,在RtaDHC中，根据勾股定理求得HD=2，再由HG=HC+CG=

2,即HD=HG.

6、（1）证明：因为点P在AB的垂直平分线上，

所以PA=PB,

所以NPAB=/B,

所以ZAPC=ZPAB+ZB=2ZB.

（2）解：根据题意，得BQ=BA,

所以/BAQ=/BQA,

设NB=x,

所以ZAQC=ZB+ZBAQ=3x,

所以/BAQ=/BQA=2x,

在△ABQ中,x+2x+2x=180°.

解得x=36。，即/B=36。

【考点】三角形内角和定理，三角形的外角性质，线段垂直平分线的性质

【解析】【分析】（1）根据垂直平分线的性质得PA=PA,由等腰三角形性质得/PAB=/B,根据三角形外角性质即可

得证.（2）根据等腰三角形性质得/BAQ=/BQA,设/B=x,由三角形外角性质得与已知条件得/BAQ=/BQA=2x,再由

三角形内角和定理列出方程，解之即可得出答案.

7、【解答】（1）证明：如图①中,

・・•四边形/a7?是矩形，

AZBAD=90°,

■:AELBD,

：.ZAED=90°,

:・/BAE+/EAD=9G0,ZEAIKZADE=90°,

・•・ZBAE=/ADE,

VZAGP=ZBA&rZABG,/APD=/AD吩/PBD,/ABG=/PBD,

：.AAGP=/APG,

：.AP=AG,

*：PA.LAB,PFLBD,BP①分/ABD,

：.PA=PF,

:.PF=AG,

•:AELBD,PFLBD,

:.PF〃AG,

・•・四边形/G”是平行四边形，

■:PA=PF,

・・・四边形/诲是菱形.

(2)证明：如图②中，

B图②C

■:AELBD,PELEC,

：.ZAED=ZPEC=90°,

・•・ZAEP=/DEC,

■:/EA况/ADE=9G,/AD计/CDE=9G°,

JZEAP=/EDC,

：.XAEPsXDEC,

AEAP

DE=DC,

YAB=CD,

:・AE・AB=DE・AP：

(3)解：,・,四边形力aZ2是矩形，

:・BC=AD=2,ZBAD=90°,

BD—VAB^+AD

■:AE1BD,

：、SXABD=2・B%AE=2・AB・AD,

2V5

AE=5,

----W5

.­.Z?£=VAD2-AE=5,

■:AE・AB=DE・AP；

2^5

-^-xi

5

AP=5=2.

【点评】本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键

是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型.

8、【解答】解：(1)如图1,过点/作轴于2,

"B(5,0),

：.0B=5,

15

"S^OAB=2,

1_生

2X5XAQ2,

：.AD=Z,

'：OB=AB,

在RtZ\4庞中，jg0=VAB2-AD2=4,

：.OD=OB+BD=°>,

：.A(9,3),

ID

将点力坐标代入反比例函数尸X中得，/=9X3=27,

27

二反比例函数的解析式为尸x,

(9k+b=3

将点/(9,3),B(5,0)代入直线尸Ax+6中，l5k+b=0,

3_3_

直线4夕的解析式为尸4x-4；

(2)由(1)知，45=5,

•••△4第是等腰三角形，

①当45=%时，

:.PB=5,

：.P(0,0)或(10,0),

②当45=4一时，如图2,

由(1)知，BD=4,

易知，点?与点6关于助对称，

:.DP=BD=4,

，aR=5+4+4=13,：.P(13,0),

③当期=/尸时，设尸(a,0),

,：A(9,3),B(5,0),

；./尸=(9-a)2+9,BP=(5-a)2,

(9-a)?+9=(5-a)2

65

：.a—8,

65

:.P(8,0),

即：满足条件的点P的坐标为（0,0）或（10,0）或（13,0）或（8,。）.

二、选择题

9、A【分析】根据题意结合图形，分情况讨论：

①0WxW2时，根据8.=2/。/产，列出函数关系式，从而得到函数图象;

②2WxW4时，根据丛网=5正方形曲,-0-5k的列出函数关系式，从而得到函数图象，再结合四个选项即

可得解.

【解答】解：①当0WM2时，

•:正方形的边长为2M，

尸SAAPO—2AQ'AP—2x；

②当2WW4时，

y—SdAFQ

1

=S正方形ABCO-SACPFF~SxAWSk"D，

LL1

=2X2-2(4-x)2-2X2X(x-2)-2X2X(x-2)

=-2x+2x

所以，y与x之间的函数关系可以用两段二次函数图象表示，纵观各选项，只有/选项图象符合.

故选：A.

【点评】本题考查了动点问题的函数图象，根据题意，分别求出两个时间段的函数关系式是解题的关键.

10、C【分析】根据图象可得移动4次图象完成一个循环，从而可得出点的坐标.

【解答】解：4(0,1),A(1,1),4(1,0),4(2,0),4(2,1),4(3,1),…，

20194-4=504-3,

所以40M的坐标为(504X2+1,0),

则413的坐标是(1009,0).

故选：C.

【点评】本题考查了点的规律变化，解答本题的关键是仔细观察图象，得到点的变化规律，难度一般.

11、C【分析】由圆周角定理和角平分线得出//龙=90°,4OBC=2DBC,由等腰三角形的性质得出/。龙=/阪；

得出/DBC=ZOCB,证出OC//BD,选项/成立；

由平行线的性质得出ADV0C,选项6成立;

由垂径定理得出4月=依，选项。成立;

△Q尸和△物9中，没有相等的边，尸与△颁不全等，选项C不成立，即可得出答案.

【解答】解：：四是。。的直径，BC平分4ABD,

：.ZADB=90°,ZOBC=ZDBC,

：.ADVBD,

'：0B=OC,

：.AOCB=AOBC,

：.4DBC=40CB,

C.OC//BD,选项4成立;

：.ADVOC,选项6成立;

:.AF=FD,选项2成立;

,:丛CEF和丛BED中,没有相等的边,

与△质不全等，选项C不成立;

故选：C.

【点评】此题主要考查了圆周角定理，垂径定理，等腰三角形的性质，平行线的性质，角平分线的性质，解本题的关

键是熟练掌圆周角定理和垂径定理.

12、B

【考点】圆锥的计算

【解析】【解答】解：设AB=x,由题意,

得…90而霍♦―x=（」.一次\

解得x=4.

故答案为：B。

【分析】设AB=x,根据扇形的弧长计算公式算出弧AF的长，根据该弧长等于直径为（6-x）的圆的周长，列出方程,

求解即可。

13、D【分析】根据中位线定理可得出点点户的运动轨迹是线段48,再根据垂线段最短可得当第，42时，阳取得

最小值；由矩形的性质以及已知的数据即可知即，故第的最小值为即的长，由勾股定理求解即可.

【解答】解：如图:

当点尸与点C重合时，点尸在&处，CP尸DR,

当点尸与点£重合时，点尸在g处，EP尸DP2,

:.P\Pz〃CE旦P\Pz=2CE

当点尸在尾上除点a后的位置处时，有DP=FP

由中位线定理可知：P\P〃CE豆P#=2CF

.•.点尸的运动轨迹是线段PlPz,

当罚UA2时，阳取得最小值

:矩形4a/中，48=4,49=2,£为/夕的中点，

:ACBE、丛ADE、△应貂为等腰直角三角形，CP、=2

:.NADE=/CDE=NCP、B=45°,ZDEC=90°

:./DPF、=9Q°

二/）记=45°

.1/245=90°,即班_LA2,

郎的最小值为班的长

在等腰直角式X中，CP、=BC=2

:.BP\=2®

二必的最小值是2点

故选：D.

14、A【分析】连接。C、CD,由切线的性质得出N0CP=9O°,由圆内接四边形的性质得出/收=180°-ZA=G1°,

由等腰三角形的性质得出/“力=/如占61°,求出N〃QC=58°,由直角三角形的性质即可得出结果.

【解答】解：如图所示：连接oaCD,

•・•力是。。的切线,

:.pc±oa

：.Z0CP=9Q°,

VZA=119°,

：.ZODC=180°-N4=61°,

•：OC=OD,

：.AOCD=AODC=^1°,

：.ZDOC=180°-2X61°=58°,

：.ZP=9Q°-ZDOC=32°；

故选：A.

【点评】本题考查了切线的性质、等腰三角形的性质、直角三角形的性质、三角形内角和定理；熟练掌握切线的性质

是解题的关键.

三、综合题

15、(1)①证明：连接OB,0C,

因为0B=OC,OD±BC,

11

所以/BOD=2ZBOC=2X2ZBAC=60°,

I1

所以OD=2OB=2OA.

②作AFLBC,垂足为点F,

3

所以AFWADWAO+OD=2,等号当点A,0,D在同一直线上时取到.

由①知，BC=2BD=

11r33r

所以4ABC的面积=2BC•AFW2x2=4H

即AABC面积的最大值是

(2)证明：设/0ED=/0DE=a,ZC0D=ZB0D=P.

因为4ABC是锐角三角形，

所以NA0C+NA0B+2/B0D=360°,

即(m+n)a+6=180°.(*)

又因为/ABCX/ACB,

所以ZEOD=ZA0C+ZD0C

=2ma+fJ,

因为N0ED+N0DE+NE0D=180°,

所以2(m+1)a+6=180°.(**)

由(*),(**),得m+n=2(m+1),

即m-n+2=0.

【考点】圆周角定理，圆的综合题

1

【解析】【分析】(1)①连结0B、0C,根据圆周角定理得/B0C=120°,由等腰三角形性质得/B0D=2ZB0C=60°,

由直角三角性质即可得证.

②作AFLBC,垂足为F,由三角形三边关系得AFWADWAO+OD,当点A、0、D三点共线时才能取等号，由①知BC=2BD=

p14广3

必，由SAAB而2•BC•AFW2X归X2,计算即可求得答案.(2)设/0ED=/0DE=a,ZC0D=ZB0D=P,由周

角定义得/人0。+/人08+2/8(»=360°,即(m+n)a+0=180°①，由大边对大角得/ABC</ACB,可得/E0D=2ma+

B,由三角形内角和定理得2(m+1)a+8=180°②，①②联立即可得证.

16、【解答】解：(1)AG=FG,

理由如下：如图，过点尸作同〃四交力的延长线于点〃

・・•四边形/发力是正方形

：.AB=BC,/B=90°=ZBAD

•:FMLAB,ZMAD=90°,FGVAD

・•・四边形/6W是矩形

：.AG=MF,AM=FG,

•・・N呼=90°,

:・/FEg/BEC=9G°,ZBEOZBCE=90°

:./FEM=/BCE,且N-N6=90°,EF=EC

:.△EFg^CEB(AAS)

：.BE=MF,ME=BC

：.ME=AB=BC

：.BE=MA=MF

：.AG=FG,

(2)DHLHG

理由如下：如图，延长阳交切于点儿

■:FGLAD,CDLAD

：.FG//CD

FG二FH二GH

/.CN-CH-NH,dCH=FH,

：.GH=HN,NC=FG

:.AG=FG=NC

又'：AD=CD,

：.GD=DN,且GH=HN

17、【分析】(1)用4B、,三点坐标代入，用待定系数法求二次函数表达式.

(2)设点尸横坐标为3用t代入二次函数表达式得其纵坐标.把力当常数求直线毋解析式，进而求直线第与x

轴交点「坐标(用力表示)，即能用t表示/「的长.把△加以x轴为界分成△49。与△/〃,即得到&腮=2A(XOffrPD)

=4,用含t的式子代入即得到关于：的方程，解之即求得点尸坐标.

(3)作点。关于直线46的对称点笈根据轴对称性质即有46垂直平分阳连接庞交抛物线于点弘即有龙=阳

根据等腰三角形三线合一得仇题即在抛物线上(加下方)存在点M使NABO=NABM.设，夕与应'交于点G,

则G为庞'中点且%_L/6,利用△勿方面积即求得必进而得庞'的长.易求得/OAB=NBOG,求/勿夕的正弦和余弦

值，应用到Rt△应产即求得据项的长，即得到点6坐标.求直线庞解析式，把座解析式与抛物线解析式联立，

求得x的解一个为点方横坐标，另一个即为点"横坐标，即求出点"到y轴的距离.

【解答】解：(1)I.二次函数的图象经过点4(3,0)、6(0,-2)、。(2,-2)

2

a=?3

9a+3b+c=0b

«0+0+c=-2H

=-

L4a+2b+c2解得:c=-2

2_4_

二.二次函数表达式为尸3*-3x-2

(2)如图1,设直线第交X轴于点C,过点尸作轴于点。

2_±

设尸(33t12-3t-2)(t>3)

2_4_

/.0片t,PD=3t2-3r-2

设直线即解析式为y=kx-2

2_1

把点尸代入得：4一2=3/-3t-2

2A

k=3t-3

2_4_

直线朋尸(3-3)x-2

2_13

当y=0时，(3-3)X-2=0,解得：x=t-2

3

:.c(t-2,o)

Vt>3

At-2>1

-^-<3

/.t-2，即点。一定在点/左侧

3二3(t-3)

:.AC^3-t-2-t-2

111

,/SMBA=8.+&«■=2AO0B+2AOPD=24c(0侪PD)=4

1?3(t-3)•(2+,t2VL2)

2t-2=4

解得：ti=4,t2=-1(舍去)

2132.1610

10

...点尸的坐标为（4,3）

(3)在抛物线上(46下方)存在点弘使//比=//弧

如图2,作点。关于直线46的对称点E,连接0E交于点G,连接座交抛物线于点M,过点2作叫y轴于点F

.•.46垂直平分0E

:.BE=OB,OG=GE

：.ZABO=AABM

"A(3,0)、6(0,-2),ZAOB=90°

.,.(24=3,(25=2,A5=VOA2+OB2=V13

OB_2A/13OA^3V13

sinZOAB=AB13,cosAOAB=AB13

"：SMOB=2OA-0B=2AB-OG

OA，OB=

：.0G=AB-13

12后

：.0E=20G=13

Z0AB+ZA0G=AAO&rAB0G=90°

:"0AB=/BOG

EF2V13OF_3V13

；.Rt△戚中，sinZB0G=0E-13,cosZBOG=0E~13

2旧2436

:.EF=13的=13,0F=13OE^13

2436

'-E(13,-13)

设直线