2019年辽宁省丹东市中考数学试卷

2019年辽宁省丹东市中考数学试卷

一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的）

1.（3分）2019的相反数是（）

A.-2019B.2019C.--1—D.—?—

20192019

2.（3分）十年来，我国知识产权战略实施取得显著成就，全国著作权登记量已达到274.8

万件.数据274.8万用科学记数法表示为（）

A.2.748X102B.274.8X1045C.2.748X106D.0.2748X107

3.（3分）如图所示的几何体是由六个大小相同的小正方体组合而成的，它的俯视图为（）

4.（3分）下面计算正确的是（）

A.3。-2。=1B.2搭4a2=6/

C.(x3)D.

5.（3分）如图，点C在乙408的边。4上,用尺规作出了CP〃OB,作图痕迹中，FG是

A.以点C为圆心、。。的长为半径的弧

B.以点C为圆心、。用的长为半径的弧

C.以点E为圆心、DM的长为半径的弧

D.以点E为圆心、。。的长为半径的弧

6.（3分）在从小到大排列的五个整数中，中位数是2,唯一的众数是4,则这五个数和的

最大值是（）

A.11B.12C.13D.14

7.（3分）等腰三角形一边长为2,它的另外两条边的长度是关于x的一元二次方程?-6x+k

=0的两个实数根，则无的值是（）

A.8B.9C.8或9D.12

8.（3分）如图，二次函数y=a?+bx+c（aW0）的图象过点（-2,0）,对称轴为直线x=l.有

以下结论：

①“bc>0；

②8“+c>0；

③若A（xi,m）,B（%2,m）是抛物线上的两点，当x=xi+%2时，y=c；

④点M,N是抛物线与x轴的两个交点，若在x轴下方的抛物线上存在一点P,使得PM

LPN,则a的取值范围为

⑤若方程〃（x+2）（4-x）=-2的两根为xi,X2,且xi<x2,则-2WXI<X2<4.

二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）

9.（3分）因式分解：2?-8/+8X=.

10.（3分）在函数y=Ylz红中,自变量X的取值范围是

X

11.（3分）有5张无差别的卡片，上面分别标有-1,0,1,&,n,从中随机抽取1张,

3

则抽出的数是无理数的概率是.

（

12.（3分）关于x的不等式组|2x-4>0的解集是2Vx<4,则“的值为.

13.（3分）如图，在△ABC中，ZC=90°,OE是AB的垂直平分线，AO恰好平分NBAC.若

DE=\,则BC的长是.

14.（3分）如图，点4在双曲线），=2（x>0）上，过点4作ABLr轴于点B,点C在线

X

段A8上且8C：CA=1：2,双曲线y=&（x>0）经过点C,则上=

15.（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A,C分别在x轴、y轴上，四边形ABC。是边

长为4的正方形，点。为AB的中点，点尸为OB上的一个动点，连接OP,AP,当点P

满足OP+4P的值最小时，直线AP的解析式为.

16.（3分）如图，在平面直角坐标系中，OA=1,以0A为一边，在第一象限作菱形0A48,

并使/AO2=60°,再以对角线OAi为一边，在如图所示的一侧作相同形状的菱形

OA1A2B1,再依次作菱形OA2A382,。43A4&,.，则过点82018,82019，A2019的圆的

三、解答题（本大题共2小题，共16分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）

17.（8分）先化简，再求代数式的值：包二£.——,其中x=3cos60°.

x+1x-lx-2x+l

18.（8分）在下面的网格中，每个小正方形的边长均为1,ZVIBC的三个顶点都是网格线

的交点，已知B,C两点的坐标分别为（-3,0）,（-1,-1）.

（1）请在图中画出平面直角坐标系，并直接写出点A的坐标.

（2）将△ABC绕着坐标原点顺时针旋转90°,画出旋转后的△4'B'C'.

四、解答题（本大题共2小题，共20分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）

19.（10分）为纪念“五四运动”100周年，某校举行了征文比赛，该校学生全部参加了比

赛.比赛设置一等、二等、三等三个奖项，赛后该校对学生获奖情况做了抽样调查，并

将所得数据绘制成如图所示的两幅不完整的统计图.根据图中信息解答下列问题：

（1）本次抽样调查学生的人数为.

（2）补全两个统计图，并求出扇形统计图中4所对应扇形圆心角的度数.

（3）若该校共有840名学生，请根据抽样调查结果估计获得三等奖的人数.

参加比赛获奖情况的扇形统计图

A:获得一等奖

B:获得二等奖

C:获得三等奖

D:未获得奖项

20.（10分）如图所示,甲、乙两人在玩转盘游戏时，分别把转盘A,8分成3等份和1等

份，并在每一份内标上数字.游戏规则：同时转动两个转盘，当转盘停止后，指针所在

区域的数字之积为奇数时，甲获胜；当数字之积为偶数时，乙获胜.如果指针恰好在分

割线上时，则需重新转动转盘.

（1）利用画树状图或列表的方法，求甲获胜的概率.

（2）这个游戏规则对甲、乙双方公平吗？若公平，请说明理由；若不公平，请你在转盘

A上只修改一个数字使游戏公平（不需要说明理由）.

五、解答题（本大题共2小题，共20分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）

21.（10分）甲、乙两同学的家与某科技馆的距离均为4000%甲、乙两人同时从家出发去

科技馆，甲同学先步行80S”，然后乘公交车，乙同学骑自行车.已知乙骑自行车的速度

是甲步行速度的4倍，公交车的速度是乙骑自行车速度的2倍，结果甲同学比乙同学晚

到2.5〃”〃.求乙到达科技馆时，甲离科技馆还有多远.

22.（10分）如图，在RtZXABC中，ZACB=90°，点。在A8上，以AO为直径的。。与

边8c相切于点E,与边AC相交于点G,且靠=窟，连接G。并延长交00于点F,连

接BF.

(1)求证:

①AO=AG.

②BF是00的切线.

（2）若80=6,求图形中阴影部分的面积.

六、解答题（本大题共2小题，共20分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）

23.Q0分）如图，在某街道路边有相距10〃1、高度相同的两盏路灯（灯杆垂直地面），小

明为了测量路灯的高度，在地面A处测得路灯PQ的顶端仰角为14°,向前行走25机到

达B处，在地面测得路灯MN的顶端仰角为24.3°,已知点A,B,Q,N在同一条直线

上，请你利用所学知识帮助小明求出路灯的高度.（结果精确到0」，〃.参考数据：sinl40

比0.24,cosl4°g0.97,tanl4°^0.25,sin24.3°g0.41,cos24.3°^0.91,tan24.3°心

0.45）

24.（10分）某服装超市购进单价为30元的童装若干件，物价部门规定其销售单价不低于

每件30元，不高于每件60元.销售一段时间后发现：当销售单价为60元时，平均每月

销售量为80件，而当销售单价每降低10元时，平均每月能多售出20件.同时，在销售

过程中，每月还要支付其他费用450元.设销售单价为x元，平均月销售量为），件.

（1）求出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围.

（2）当销售单价为多少元时，销售这种童装每月可获利1800元？

（3）当销售单价为多少元时，销售这种童装每月获得利润最大？最大利润是多少？

七、解答题（本大题共1小题，共12分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）

25.（12分）已知：在△ABC外分别以A8,4c为边作△AEB与

（1）如图1,△AEB与△/1八；分别是以AB,AC为斜边的等腰直角三角形，连接EF.以

EF为直角边构造RtZ\EFG,且EF=FG,连接8G,CG,EC.

求证：®/\AEF^/\CGF.

②四边形8GCE是平行四边形.

（2）小明受到图1的启发做了进一步探究：

如图2,在44次:外分别以AB,AC为斜边作RtAAEB与RtAAFC,并使//^C=/E48

=30°,取BC的中点。，连接OE,EF后发现，两者间存在一定的数量关系且夹角度

数一定，请你帮助小明求出皿的值及/QEF的度数.

EF

（3）小颖受到启发也做了探究：

如图3,在△A8C外分别以AB,AC为底边作等腰三角形AEB和等腰三角形AFC,并使

NCAF+NE4B=90°,取BC的中点。，连接OE,E尸后发现，当给定NEAB=a时，

两者间也存在一定的数量关系且夹角度数一定，若AE^m,AB=n,请你帮助小颖用含

图1图2图3

八、解答题（本大题共1小题，共14分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）

26.（14分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线），=-H+bx+c与x轴交于8,C两点，

2

与y轴交于点月，直线y=-L+2经过A,C两点，抛物线的对称轴与x轴交于点D,

2

直线MN与对称轴交于点G,与抛物线交于M,N两点（点N在对称轴右侧），且

x轴，MN=7.

（1）求此抛物线的解析式.

（2）求点N的坐标.

（3）过点A的直线与抛物线交于点尸，当tan/用求点尸的坐标.

2

（4）过点。作直线AC的垂线，交AC于点H,交y轴于点K,连接CN,△AHK沿射

线AC以每秒1个单位长度的速度移动，移动过程中△AHK与四边形OGNC产生重叠,

设重叠面积为S,移动时间为/（OWfWjE）,请直接写出S与「的函数关系式.

2019年辽宁省丹东市中考数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的）

1.（3分）2019的相反数是（）

A.-2019B.2019C.-D.—L_

20192019

【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得答案

【解答】解：2019的相反数是-2019,

故选：A.

【点评】主要考查相反数的概念及性质.相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相

反数，0的相反数是0.

2.（3分）十年来，我国知识产权战略实施取得显著成就，全国著作权登记量已达到274.8

万件.数据274.8万用科学记数法表示为（）

A.2.748X102B.274.8X104C.2.748X106D.0.2748X107

【分析】科学记数法的表示形式为“X10”的形式，其中lW|a|V10,n为整数.确定n

的值时，要看把原数变成。时，小数点移动了多少位，"的绝对值与小数点移动的位数相

同.当原数绝对值＞10时，w是正数；当原数的绝对值＜1时，〃是负数.

【解答】解：数据274.8万用科学记数法表示为274.8X1（）4=2.748X106.

故选：C.

【点评】此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为“X10”的形式，其

中lW|a|＜10,〃为整数，表示时关键要正确确定a的值以及附的值.

3.（3分）如图所示的几何体是由六个大小相同的小正方体组合而成的，它的俯视图为（）

力/

正面

【分析】根据从上面看得到的图形是俯视图，可得答案.

【解答】解：从上面看第一层是两个小正方形，第二层是三个小正方形，俯视图为:

故选：D.

【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从上面看得到的图形是俯视图.

4.（3分）下面计算正确的是（）

A.3a-2a=1B.2a2+4a2=6a4

C.（x3）2=/D.X8-T-X2—X6

【分析】根据各个选项中的式子可以计算出正确的结果，本题得以解决.

【解答】解：..Fa-2a=〃，故选项A错误；

2a2+4a2=6a2，故选项B错误；

V（JC3）2=x6,故选项C错误；

故选项。正确；

故选：D.

【点评】本题考查整式的混合运算，解答本题的关键是明确整式混合运算的计算方法.

5.（3分）如图，点C在/AOB的边。4上，用尺规作出了CP〃08,作图痕迹中，而是

A.以点C为圆心、0。的长为半径的弧

B.以点C为圆心、。用的长为半径的弧

C.以点E为圆心、DM的长为半径的弧

D.以点E为圆心、。。的长为半径的弧

【分析】根据平行线的判定，作一个角等于已知角的方法即可判断.

【解答】解：由作图可知作图步骤为：

①以点。为圆心，任意长为半径画弧OM,分别交OA,0B于M,D.

②以点C为圆心，以0M为半径画弧EN,交。A于E.

③以点E为圆心，以0M为半径画弧FG,交弧EN于N.

④过点N作射线CP.

根据同位角相等两直线平行，可得CP〃。从

故选：C.

【点评】本题考查作图-复杂作图，平行线的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本

知识，属于中考常考题型.

6.（3分）在从小到大排列的五个整数中，中位数是2,唯一的众数是4,则这五个数和的

最大值是（）

A.11B.12C.13D.14

【分析】根据中位数和众数的定义分析可得答案.

【解答】解：因为五个整数从小到大排列后，其中位数是2,这组数据的唯一众数是4.

所以这5个数据分别是x,y,2,4,4,且x＜），V4,

当这5个数的和最大时，整数x,），取最大值，此时x=0,y=l,

所以这组数据可能的最大的和是0+1+2+4+4=11.

故选：A.

【点评】主要考查了根据一组数据的中位数来确定数据的能力.将一组数据从小到大（或

从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中

位数.注意：找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位

数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求.如果是偶数个则找中间两位数的平

均数.

7.（3分）等腰三角形一边长为2,它的另外两条边的长度是关于x的一元二次方程?-6x+k

=0的两个实数根，则无的值是（）

A.8B.9C.8或9D.12

【分析】根据一元二次方程的解法以及等腰三角形的性质即可求出答案.

【解答】解：当等腰三角形的底边为2时，

此时关于x的一元二次方程?-6x+k=0的有两个相等实数根，

.•.△=36-4仁0,

：.k=9,

此时两腰长为3,

：2+3>3,

:.k=9满足题意，

当等腰三角形的腰长为2时，

此时x=2是方程x2-6x+k=0的其中一根，

.,.4-12+Jt=0,

**•k=8,

此时另外一根为：x=4,

V2+2=4,

・・・不能组成三角形，

综上所述，k=9,

故选：B.

【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法以及等腰

三角形的性质，本题属于中等题型.

8.(3分)如图，二次函数y=a?+bx+c(a#O)的图象过点(-2,0),对称轴为直线x=l.有

以下结论：

①abc>0；

@8fl+c>0；

③若A(xi,m'),B(x2,/n)是抛物线上的两点，当x=xi+%2时，y=c；

④点M,N是抛物线与x轴的两个交点，若在x轴下方的抛物线上存在一点P,使得

LPN,则a的取值范围为

⑤若方程〃(x+2)(4-x)=-2的两根为xi,X2,且xi〈x2,则-2WXI〈X2<4.

其中结论正确的有()

A.2个B.3个C.4个D.5个

【分析】根据二次函数的图象与性质即可求出答案.

【解答】解：①由图象可知：«>0,c<0,

^->0,

2a

/.abc>0,故①正确；

@V抛物线的对称轴为直线x=\,抛物线的对称轴为直线x=\,

：._^-=1,

2a

.'.b--2a,

当x--2时，y—4a-2b+c—O,

/.4a+4a+c=Qf

.•.8〃+c=0,故②错误;

③YA(xi,加)，B(x2,m)是抛物线上的两点，

由抛物线的对称性可知：xi+%2=1X2=2,

当x=2时,y=4a+2b+c=4a-4a+c=c,故③正确；

④由题意可知：M,N到对称轴的距离为3,

当抛物线的顶点到x轴的距离不小于3时，

在工轴下方的抛物线上存在点尸，使得PMLPM

即4ac-b?w_3.

4a

•・・8〃+c=0,

•・c~~~8Q,

•:b=-2a,

•4a"(-8a)-(-2a)2/.

"W，

解得：〃*，故④错误；

⑤易知抛物线与x轴的另外一个交点坐标为(4,0),

y—ax2+bx+c—a(x+2)(x-4)

若方程a(x+2)(4-x)--2,

即方程a(x+2)(x-4)=2的两根为xi,X2,

则xi、x2为抛物线与直线y=2的两个交点的横坐标，

Vxi<x2,

.*.xi<-2<4<X2>故⑤错误；

故选：A.

【点评】本题考查二次函数，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，本题属于

基础题型.

二、填空题(本大题共8小题，每小题3分，共24分)

9.(3分)因式分解：2?-8JV2+8X=2X(X-2)2.

【分析】原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可.

【解答】解：原式=2x(x2-4x+4)

=2r(x-2)2.

故答案为：2x(x-2)2.

【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本

题的关健.

10.(3分)在函数五中，自变量x的取值范围是xW?且xWO.

【分析】函数关系中主要有二次根式和分式两部分.根据二次根式的性质和分式的意义,

被开方数大于等于0,分母不等于0,就可以求解.

【解答】解：根据二次根式的性质，被开方数大于等于0可知：1-2x》0,

即寸，二次根式行痘有意义.

2

又因为。做除数无意义，

所以xWO.

因此x的取值范围为且x#0.

2

故答案为：xW工且xWO.

2

【点评】主要考查了二次根式的意义和性质.概念：式子小（。20）叫二次根式.性质：

二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义.当二次根式在分母上时还

要考虑分母不等于零.

11.（3分）有5张无差别的卡片，上面分别标有-1,0,1,n,从中随机抽取1张,

3

则抽出的数是无理数的概率是2.

一五一

【分析】先找出无理数的个数，再根据概率公式可得答案.

【解答】解：在-1,0,1,TT中，无理数有泥，7T,共2个，

3

则抽出的数是无理数的概率是2.

5

故答案为：2.

5

【点评】此题主要考查了概率公式和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：随

机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数+所有可能出现的结果数.

12.（3分）关于x的不等式组|f2x二-4>0的解集是2Vx<4,则a的值为3.

【分析】分别求出不等式组中两个不等式的解集，根据题意得到关于a的方程，解之可

得.

【解答】解：解不等式2%-4>0,得：x>2,

解不等式得：x<a+\,

•••不等式组的解集为2Vx<4,

/.a+1=4,即a=3,

故答案为：3.

【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知

“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键.

13.（3分）如图，在aABC中，ZC=90°,QE是AB的垂直平分线，恰好平分NBAC若

DE=1,则BC的长是3.

D

AEB

【分析】根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AD=BD,再根据等

边对等角的性质求出ND48=N8,然后根据角平分线的定义与直角三角形两锐角互余求

出N5=30°,再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出8。，然后求

解即可.

【解答】解：:A。平分NA4C,且ZC=90°,

:.CD=DE=1,

TOE是AB的垂直平分线，

：.AD=BD,

:./B=/DAB,

ZDAB=ZCAD9

:・/CAD=/DAB=/B,

VZC=90°,

AZCAD+ZDAB+ZB=90Q,

：.ZB=30°,

：.BD=2DE=2f

：.BC=BD+CD=1+2=3,

故答案为：3.

【点评】本题考查了角平分线的定义和性质，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距

离相等的性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，属于基础题，

熟记性质是解题的关键.

14.（3分）如图，点A在双曲线>=2（x>0）上，过点A作轴于点8,点C在线

X

段4B上且BC：CA=l：2,双曲线y=K（x>0）经过点C,则k=2.

【分析】根据反比例函数系数k的几何意义即可得到结论.

【解答】解：连接0C,

•.,点A在双曲线y=2(x>0)上，过点A作ABLx轴于点8,

X

X6=3,

2

*：BC：CA=\：2,

.*.SA(?BC=3XA=l,

3

•・,双曲线y=K(x>0)经过点C,

x

•\S^OBC=^\k\=11

•二因=2,

:双曲线y=K(%>0)在第一象限，

X

:.k=2.

【点评】本题考查了反比例函数的图象与性质，反比例函数图象上点的坐标特征，反比

例函数系数k的几何意义，熟练掌握反比例函数系数k的几何意义是解题的关键.

15.(3分)如图，在平面直角坐标系中，点A,C分别在x轴、y轴上，四边形ABC。是边

长为4的正方形，点。为AB的中点，点尸为。8上的一个动点，连接QP,AP,当点P

满足DP+AP的值最小时，直线AP的解析式为y=-2x+8

Ax

【分析】根据正方形的性质得到点A,C关于直线0B对称，连接CD交0B于P,连接

PA,PD,则此时，PC+4P的值最小，求得直线CO的解析式为y=-2+4,由于直线

。8的解析式为y=x,解方程组得到P(g,旦)，由待定系数法即可得到结论.

33

【解答】解：•.•四边形ABCO是正方形,

...点A,C关于直线0B对称，

连接CD交0B于P,

连接用，PD,

则此时，PD+AP的值最小，

OC=OA=4B=4,

：.C(0,4),A(4,0),

•.•。为AB的中点，

.,.AD=^AB=2,

：.D(4,2),

设直线C£＞的解析式为：y=kx+b,

.[4k+b=2

'lb=4

・"

,b=4

直线CD的解析式为：y=-1+4,

•.•直线OB的解析式为产x,

y=-^x+4

y=x

解得：x=y=—f

3

：.P（&,旦）,

33

设直线AP的解析式为：y=mx+nf

<4m+n=0

・,488，

寸=百

解得：了2,,

[n=8

...直线AP的解析式为y=-2x+8,

【点评】本题考查了正方形的性质，轴对称-最短路线问题，待定系数法求一次函数的

解析式，正确的找出点P的位置是解题的关键.

16.（3分）如图，在平面直角坐标系中，OA=1,以0A为一边，在第一象限作菱形0A4B,

并使NAOB=60°,再以对角线OAi为一边，在如图所示的一侧作相同形状的菱形

OA\AlB\,再依次作菱形OA2A3作,OA3A4B3,.,则过点B2018,82019,A2019的圆的

圆心坐标为（-（正）2°艮（巫）2019）.

【分析】过A1作AiCLx轴于C,由菱形的性质得到OA=A4i=l,/AiAC=/A08=

60°,根据勾股定理得到OAI=JOC2+A[C2=F，求得/A281A3=60°,解直角三角

形得至UB1A3=2F，A2A3—3,求得O43=05I+BIA3=3«=（F）得到菱形OAM3B2

的边长=3=（百）2,设8143的中点为01，连接0142,。归2,推出过点Bi,B2,42

的圆的圆心坐标为01（0,2次），以此类推，于是得到结论.

【解答】解：过4作AiCLx轴于C,

;四边形0A41B是菱形，

：.OA=AA\^\,ZAiAC^ZAOB=60°,

.•.4C=返,AC=A,

22

OC=OA+AC=3,

2

在RtZ\04C中，OAI=JOC2+A[C2=E，

2c=N8IA2O=30°,/&42。=120°,

3A2劭=90°,

NA281A3=60°,

.,.8IA3=2/§,AM3=3,

/.OA3=OB]+B\A3=3^/3=（F）3

菱形OAM382的边长=3=（J5）2,

设51A3的中点为Oi,连接01A2,。1及，

于是求得，OiA2=O\B2=O]B\=y[3=（F）I

・•.过点Bi,B2,A2的圆的圆心坐标为01（0,2«）,

・・,菱形OA3A4&的边长为3«=（«）3,

.\OA4=9=（F）4,

设及44的中点为3,

连接OM3,。2与3,

同理可得，OM3=Q83=0282=3=（J5）2,

，过点B2,B3,A3的圆的圆心坐标为02（-3,3«）,…以此类推，菱形菱形

。42019A202032019的边长为（«）2°19,

042020=（«）2°2°,

设82018/42020的中点为。2018，连接02018/42019,0201852019，

求得，02018X2019=02（）18&（）19=3（）1852018=（«）2018，

，点O2018是过点32018,32019,A2019的圆的圆心,

V20184-12=168-2,

...点O2018在射线OB2上，

则点。2018的坐标为（-（V3）20,8.（百）2019）,

即过点B2018,B20I9,A2019的圆的圆心坐标为（-（百）238,（«）2019）,

故答案为：（-（«）238,（6）2019）.

【点评】本题考查了菱形的性质，解直角三角形，勾股定理，正确的作出辅助线是解题

的关键.

三、解答题（本大题共2小题，共16分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）

17.（8分）先化简，再求代数式的值：其中x=3cos60°.

x+1x2-1x-2x+l

【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化筒原式，再利用锐角三角函数值得出X

的值，继而代入计算可得.

2

【解答】解：原式=2-,2（7:2）

x+1（x+1）（x-1）x-2

_2x_2x-2

x+1x+1

=2

TH?,

当x=3cos60。=3X_L=3时，

22

原式=万"=&.

7+15

【点评】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算

法则.

18.（8分）在下面的网格中，每个小正方形的边长均为1,4ABC的三个顶点都是网格线

的交点，己知B,C两点的坐标分别为（-3,0）,（-1,-1）.

(1)请在图中画出平面直角坐标系，并直接写出点A的坐标.

(2)将AABC绕着坐标原点顺时针旋转90°,画出旋转后的AA'B'C.

B,C；

(3)先利用勾股定理计算出OA,然后利用弧长公式计算点4所经过的路径长.

【解答】解：(1)如图，4点坐标为(-2,3)；

(2)如图，AB'C为所作；

(2)如图，OA=｛会2+32=713,

所以点A所经过的路径长=90'兀二/亘=」虱.

1802

【点评】本题考查了作图-旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转

角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，

找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形.也考查了弧长公式.

四、解答题(本大题共2小题，共20分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)

19.(10分)为纪念“五四运动”100周年，某校举行了征文比赛，该校学生全部参加了比

赛.比赛设置一等、二等、三等三个奖项，赛后该校对学生获奖情况做了抽样调查，并

将所得数据绘制成如图所示的两幅不完整的统计图.根据图中信息解答下列问题：

(1)本次抽样调查学生的人数为40.

(2)补全两个统计图，并求出扇形统计图中A所对应扇形圆心角的度数.

(3)若该校共有840名学生，请根据抽样调查结果估计获得三等奖的人数.

参加比赛获奖情况的扇形统计图

A:获得一等奖

B:获得二等奖

C:获得三等奖

D:未获得奖项

【分析】(1)根据8的人数和所占的百分比可以求得本次抽样调查学生人数；

(2)根据统计图中的数据和(1)中的结果可以将统计图中所缺的数据补充完整并计算

出扇形统计图中A所对应扇形圆心角的度数；

(3)根据统计图中的数据可以计算出获得三等奖的人数.

【解答】解：(1)本次抽样调查学生的人数为：8+20%=40,

故答案为：40；

(2)A所占的百分比为：-2_X100%=5%,

40

。所占的百分比为：^Lx100%=50%,

40

C所占的百分比为：1-5%-20%-50%=25%,

获得三等奖的人数为：40X25%=10,

补全的统计图如右图所示，

扇形统计图中A所对应扇形圆心角的度数是360°X5%=18°；

(3)840X25%=210(人),

答：获得三等奖的有210人.

参加匕匕赛获奖情况的扇形统计图

B:获得二等奖

C:获得三等奖

D:未获得奖项

【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确

题意，利用数形结合的思想解答.

20.（10分）如图所示，甲、乙两人在玩转盘游戏时，分别把转盘A,8分成3等份和1等

份，并在每一份内标上数字.游戏规则：同时转动两个转盘，当转盘停止后，指针所在

区域的数字之积为奇数时，甲获胜；当数字之积为偶数时，乙获胜.如果指针恰好在分

割线上时，则需重新转动转盘.

（1）利用画树状图或列表的方法，求甲获胜的概率.

（2）这个游戏规则对甲、乙双方公平吗？若公平，请说明理由；若不公平，请你在转盘

A上只修改一个数字使游戏公平（不需要说明理由）.

【分析】（1）列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式

计算可得；

（2）先计算出数字之积为偶数的概率，判断概率是否相等即可得知游戏是否公平.

【解答】解：（1）列表如下：

-2-323

1-2-323

2-4-646

3-6-969

由表可知，共有12种等可能结果，其中指针所在区域的数字之积为奇数的有4种结果，

所以甲获胜概率为_故=工；

123

（2）♦.•指针所在区域的数字之积为偶数的概率为方-=2,

123

这个游戏规则对甲、乙双方不公平，

将转盘4上的数字2改为1,则游戏公平.

【点评】此题考查了游戏的公平性，判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相

等就公平，否则就不公平，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.

五、解答题（本大题共2小题，共20分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）

21.（10分）甲、乙两同学的家与某科技馆的距离均为4000〃?.甲、乙两人同时从家出发去

科技馆，甲同学先步行800皿，然后乘公交车，乙同学骑自行车.已知乙骑自行车的速度

是甲步行速度的4倍，公交车的速度是乙骑自行车速度的2倍，结果甲同学比乙同学晚

到2.5加〃.求乙到达科技馆时，甲离科技馆还有多远.

【分析】设甲步行的速度为x米/分，则乙骑自行车的速度为4x米/分，公交车的速度是

8x米/分钟，根据题意列方程即可得到结论.

【解答】解：（1）设甲步行的速度为x米/分，则乙骑自行车的速度为4x米/分，公交车

的速度是8x米/分钟，

根据题意得400°+2.5=£20+4000-800,

4xx8x

解得x=80.经检验，x=8O是原分式方程的解.

所以2.5X8X80=1600（相）

答：乙到达科技馆时，甲离科技馆还有1600〃7.

【点评】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键.

22.（10分）如图，在中，NACB=90°，点。在A8上，以AO为直径的。。与

边BC相切于点E,与边AC相交于点G,且前=立，连接G。并延长交。。于点尸，连

接BE

（1）求证:

①AO=AG.

②BF是00的切线.

(2)若80=6,求图形中阴影部分的面积.

【分析】(1)①先利用切线的性质判断出NAC8=N0EB,再用平行线结合弧相等判断

出NA0G=NAG。，即可得出结论；

②先判断出aAOG是等边三角形，进而得出/BOF=NAOG=60°,进而判断出/£。8

=60°,得出△OFB丝△OE8,得出/OF8=90°,即可得出结论；

(2)先判断出NA8C=30°,进而得出0B=2BE,建立方程6+r=2r,继而求出4G=6,

A8=18,AC=9,CG=3,再判断出△OGE是等边三角形，得出GE=0E=6,进而利用

根据勾股定理求出CE=3我，即可得出结论.

【解答】解：(1)证明：①如图1,连接OE,

与BC相切于点E,

:.NOEB=90°,

,：ZACB=90°,

NACB=NOEB,

：.AC//OE,

：.NGOE=ZAGO,

VAG=EG.

ZAOG=ZGOE,

：.ZAOG^ZAGO,

：.AO=AG；

②由①知，AO=AG,

'：AO=OG,

：.NAO=OG=AG,

*'•/\AOG是等边二角形，

AZAGO=ZAOG=ZA=60°,

：.ZBOF=ZAOG=60Q,

由①知，NGOE=NAOG=60°,

AZEOB=180°-ZAOG-ZGOE=180°-60°-60°=60°,

：.ZFOB=ZEOBf

*：OF=OE,OB=OB,

:•△OFBQAOEB(SAS),

：・/OFB=NOEB=90°,

OF±BF,

:。尸是。。的半径，

・・・8/是。。的切线；

(2)如图2,连接GE,

VZA=60°,

ZABC=90°-NA=30°,

OB=2BE,

设O。的半径为r,

•/OB=OD+BD,

/.6+r=2r,

6,

：.AG=OA=6fAB=2r+BD=18f

：.AC=1AB=9,：.CG=AC-AG=3,

2

由(1)知，NEOB=60°,

,:OG=OE,

**./\OGE是等边三角形，

・•・GE=OE=6,

根据勾股定理得，CE=JGE2_cG2=｛铲_§2=3W，

6071-62=27«6冗

-1(6+3)X3J3-

-r―6加

2360

图1

【点评】此题是圆的综合题，主要考查了切线的性质和判定，勾股定理，含30度角的直

角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，梯形和扇形的

面积公式，判断出。。的半径是解本题的关键.

六、解答题（本大题共2小题，共20分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）

23.（10分）如图，在某街道路边有相距10，〃、高度相同的两盏路灯（灯杆垂直地面），小

明为了测量路灯的高度，在地面A处测得路灯PQ的顶端仰角为14°,向前行走25m到

达B处，在地面测得路灯MN的顶端仰角为24.3°,已知点A,B,Q,N在同一条直线

上，请你利用所学知识帮助小明求出路灯的高度.（结果精确到0.1〃?.参考数据：sin14°

■0.24,cosl4°-0.97,tanl4°七0.25,sin24.3°-0.41,cos24.3°-0.91,tan24.30%

【分析】设PQ=MN=xm,根据正切的定义分别用x表示出AQ、BN,根据题意列式计

算即可.

【解答】解：设PQ=MN=xm,

在RtZ\APQ中，tanA=世，

AQ

则AQ=--—%—--=4x,

tanA0.25

在RtZiMBN中，tanNMBN=H,

BN

则BN—___儿N___〜x=2°.丫：

tanZMBN0.459

'：AQ+QN=AB+BN,

.,4+10=25+幽＞

9

解得，k«8.4,

答：路灯的高度约为84”.

【点评】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟

记锐角三角函数的定义是解题的关键.

24.(10分)某服装超市购进单价为30元的童装若干件，物价部门规定其销售单价不低于

每件30元，不高于每件60元.销售一段时间后发现：当销售单价为60元时，平均每月

销售量为80件，而当销售单价每降低10元时，平均每月能多售出20件.同时，在销售

过程中，每月还要支付其他费用450元.设销售单价为x元，平均月销售量为y件.

(1)求出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围.

(2)当销售单价为多少元时，销售这种童装每月可获利1800元？

(3)当