2019-2020学年江苏省扬州市江都区八年级（上）期末数学试卷

2019-2020学年江苏省扬州市江都区八年级（上）期末数学试卷

一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分.每小题只有一个选项是正确的，请将

正确选项前的字母填在答题卡相应位置上）

1.（3分）下列四个实数中，属于无理数的是（）

A.0B.C.2D.J12

3

2.（3分）如图，一艘轮船停在平静的湖面上，则这艘轮船在湖中的倒影是（

B.

ZZ

D.

3.（3分）己知一等腰三角形的二边长分别为3,4,则其周长为（）

A.10B.11C.10或11D.13

4.（3分）如图，AB=AC,D、£分别是AB,AC上的点，下列条件不能判定

的是（）

B./B=NCC.AD=AED.BD=CE

5.（3分）如图，我们知道数轴上的点与实数一一对应，由图中的信息可知点P表示的数是

（）

C.A/13-2D.-A/13

6.（3分）满足下列条件的△ABC,不是直角三角形的是（）

A.BC：AC：AB=3：4：5B.ZA：ZB：NC=9：12：15

C./C=/A-/BD.AC2-BC^^AB1

7.（3分）下列有关一次函数y=-3x+2的说法中，错误的是（）

A.y的值随着无增大而减小

B.当尤>0时，y>2

C.函数图象与y轴的交点坐标为（0,2）

D.函数图象经过第一、二、四象限

8.（3分）如图，点尸在长方形OA8C的边OA上，连接BP,过点尸作8P的垂线，交射

线OC于点。，在点P从点A出发沿AO方向运动到点。的过程中，设AP=x,OQ=y,

则下列说法正确的是（）

A.y随尤的增大而增大

B.y随x的增大而减小

C.随x的增大，y先增大后减小

D.随x的增大，y先减小后增大

二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.请将答案填在答题卡相应位置上）

9.（3分）地球上七大洲的总面积约为149480000g2,将149480000%/用四舍五入法精

确到10000QOQkm2,并用科学记数法表示为knr.

10.（3分）比较大小：师3.（填”或“<”）

11.（3分）已知点尸的坐标为（4,5）,则点P到x轴的距离是.

12.（3分）如图，△ACB0ZkACB',若NACB=60°，/AC®=100°，则NBCA'=°.

13.（3分）如图，在中，PA=PB,D、E、尸分别是边抬，PB,4B上的点，且AD

=BF,BE=AF,若N£)FE=40°,则/尸=

14.（3分）如图，一艘轮船由海平面上的A地出发向南偏西45°的方向行驶50海里到达8

地，再由8地向北偏西15°的方向行驶50海里到达C地，则A、C两地相距海

里.

15.（3分）公元前3世纪，我国数学家赵爽曾用“弦图”证明了勾股定理.如图，“弦图”

是由四个全等的直角三角形（两直角边长分别为a、b且a<b）拼成的边长为c的大正方

形，如果每个直角三角形的面积都是3,大正方形的边长是任，那么.

16.（3分）一次函数y=kx+b的图象如图所示，则关于尤的不等式kx-m+b>0的解集

17.（3分）如图，等边△OA8的边长为2,以它的顶点。为原点，所在的直线为x轴，

建立平面直角坐标系.若直线y=x+>与△042的边界总有两个公共点，则实数b的范围

是

18.（3分）如图，在RtZ\ABO中，ZOBA=9Q°,点C在边AB上，且C（6,4）,

点。为08的中点，点P为边OA上的动点，当ZAPC=ZDPO时，点P的坐标为.

三、解答题（本大题共10小题，共96分.请将解答过程写在答题卡相应位置上，解答时应

写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明）

19.（8分）计算.

⑴圾‘

（2）|2--7si-（加）2+^y（-5）3

20.（8分）求下列各式中的x.

（1）3,-12=0

（2）（x-1）3=-64

21.（8分）已知y-1与x+3成正比例，当x=-2时，y=4.

（1）求出y与尤的函数关系式；

（2）设点（a,-2）在这个函数的图象上，求。的值.

22.（8分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为A（-4,-1）,B

（-5,-4）,C（-1,-3）.

（1）画△A8C',使△ABC与△ABC关于y轴对称；

（2）在y轴上作一点P,使得出+PC最短；

（3）将△ABC向右平移机个单位，向上平移"个单位，若点A落在第二象限内，且点

C在第四象限内，则机的范围是，〃的范围是

23.（10分）如图，在△ABC中，AB=AC,点。是3c边上的中点，G是AC边上一点,

过G作EFL8C,交BC于点E,交8A的延长线于点F.

（1）求证：AD//EF-,

（2）求证：△APG是等腰三角形.

24.（10分）如图，NMON=9Q°,点A、8分别在边ON和0M■上（NOABW45。）.

（1）根据要求，利用尺规作图，补全图形：

第①步：作/M0N的平分线OC,作线段的垂直平分线/,OC和/交于点P,

第②步：连接出、PB；

（2）结合补完整的图形，判断融和尸8有什么数量关系和位置关系？并说明理由.

25.（10分）某商场计划购进A,8两种新型节能台灯共80盏，这两种台灯的进价、售价如

下表所示:

价格进价（元/盏）售价（元/盏）

类型

A型4060

B型5075

（1）若商场的进货款为3700元，则这两种台灯各购进了多少盏?

（2）若商场规定B型台灯的进货数量不超过A型台灯数量的2倍，应怎样进货才能使商

场在销售完这批台灯时获利最多？此时利润为多少元？

26.（10分）【提出问题】课间，一位同学拿着方格本遇人便问：“如图所示，在边长为1的

小正方形组成的网格中，点A、B、C都是格点，如何证明点A、B、C在同一直线上呢？”

【分析问题】一时间，大家议论开了.同学甲说：“可以利用代数方法，建立平面直角坐

标系，利用函数的知识解决”，同学乙说：“也可以利用几何方法…”同学丙说：“我还有

其他的几何证法”……

【解决问题】请你用两种方法解决问题

方法一（用代数方法）：

方法二(用几何方法):

C

27.(12分)在Rt^ABC中，ZACB=90°,AC=15,A8=25,点。为斜边AB上动点.

(1)如图1,当C£)_L4B时，求CZ)的长度；

(2)如图2,当AD=AC时，过点。作。交8C于点E,求CE的长度；

(3)如图3,在点。的运动过程中，连接CD,当△AC。为等腰三角形时，直接写出A。

的长度.

28.(12分)如图1,在Rt^ABC中，ZACB=90°,动点M从点4出发沿A-C-8向点

8匀速运动，动点N从点8出发沿8-C-A向点A运动.设MC的长为yi(cm),NC

的长为"(czn),点M的运动时间为x(s),yi>”与x的函数图象如图2所示.

(1)线段AC=c〃z,点M运动s后点N开始运动；

(2)求点P的坐标，并写出它的实际意义；

(3)当NCMN=45°时，求x的值.

2019-2020学年江苏省扬州市江都区八年级（上）期末数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分.每小题只有一个选项是正确的，请将

正确选项前的字母填在答题卡相应位置上）

1.（3分）下列四个实数中，属于无理数的是（）

A.0B.C.2D.VI2

3

【分析】根据无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有It

的数，找出无理数的个数.

【解答】解：A.0是整数，属于有理数；

区虫=3是整数，属于有理数；

C.2是分数，属于有理数；

3

。小适=2石，是无理数・

故选：D.

【点评】本题考查了无理数的知识，解答本题的关键是掌握无理数的三种形式：①开方

开不尽的数，②无限不循环小数，③含有7T的数.

2.（3分）如图，一艘轮船停在平静的湖面上，则这艘轮船在湖中的倒影是（）

C,D,

【分析】易得所求的图形与看到的图形关于水平的一条直线成轴对称，找到相应图形即

可.

【解答】解：如图所示:

故选：D.

【点评】此题主要考查了镜面对称，解决本题的关键是找到相应的对称轴；难点是作出

相应的对称图形，也可根据所给图形的特征得到相应图形.

3.（3分）己知一等腰三角形的二边长分别为3,4,则其周长为（）

A.10B.11C.10或11D.13

【分析】由于题中没有指明哪边是底哪边是腰，则应该分两种情况进行分析.

【解答】解：①3是腰长时，三角形的三边分别为3、3、4,

能组成三角形，周长=3+3+4=10,

②3是底边长时，三角形的三边分别为3、4、4,

能组成三角形，周长=3+4+4=11,

综上所述，这个等腰三角形的周长是10或11.

故选：C.

【点评】本题考查了等腰三角形的性质，难点在于分情况讨论并利用三角形的三边关系

判断是否能组成三角形.

4.（3分）如图，AB=AC,D、E分别是AB,AC上的点，下列条件不能判定

的是（)

B.ZB=ZCC.AD=AED.BD=CE

【分析】欲使△ABE四△AC。，已知A2=AC,可根据全等三角形判定定理A4S、SAS.

ASA添加条件，逐一证明即可.

【解答】解：NA为公共角,

A、如添BE=CD,因为SSA,不能证明所以此选项不能作为添加的条

件;

B、如添NB=NC,利用ASA即可证明△ABE1四△ACD；

C、如添加AO=AE,利用SAS即可证明△ABEg/XACZ）；

D、如添8O=CE,可证明AO=AE,利用SAS即可证明△ABE附△AC。；

故选：A.

【点评】此题主要考查学生对全等三角形判定定理的理解和掌握，此类添加条件题，要

求学生应熟练掌握全等三角形的判定定理：SSS、SAS,ASA、A4S、HL.

注意：AA4、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，

若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角.

5.（3分）如图，我们知道数轴上的点与实数■■对应，由图中的信息可知点尸表示的数是

（）

A.-A/13-2B.-^/13+2c.A/13~2D.-\[l3

【分析】根据图示，点P是以-2为圆心，以05（*币=/石）为半径的圆与数

轴的交点，据此求出点尸表示的数是多少即可.

【解答】解：根据图示，点尸是以-2为圆心，以后（^22+32=V13）为半径的圆

与数轴的交点，

.".点P表示的数是-\fl3■2.

故选：A.

【点评】此题主要考查了实数与数轴的特征和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是判

断出点P是哪个圆与x的交点.

6.（3分）满足下列条件的△ABC,不是直角三角形的是（）

A.BC：AC：AB=3：4：5B.ZA：ZB：ZC=9：12：15

C.ZC=ZA-ZBD.AC2-BC1=AB2

【分析】根据勾股定理逆定理：如果三角形的三边长a,b,c满足/+房=02,那么这个

三角形就是直角三角形；三角形内角和定理进行分析即可.

【解答】解：A、：32+42=52,.•.是直角三角形，故此选项不合题意；

B、ZA：ZB：/C=9：12：15,则NC=180°X—范—=75°,不是直角三角形，

9+12+15

故此选项符合题意；

C>ZC^ZA-ZB,ZA+ZB+ZC=180°,/.ZA=90°..是直角三角形，故此选

项不合题意；

D.\'AC2-BC2=AB2,即AC2=AB2+8C2,.•.是直角三角形，故此选项不合题意.

故选：B.

【点评】此题主要考查了勾股定理逆定理，以及三角形内角和定理，关键是正确掌握如

果三角形的三边长a,b,C满足/+k=C2,那么这个三角形就是直角三角形.

7.（3分）下列有关一次函数y=-3X+2的说法中，错误的是（）

A.y的值随着x增大而减小

B.当x>0时，y>2

C.函数图象与y轴的交点坐标为（0,2）

D.函数图象经过第一、二、四象限

【分析】利用一次函数的性质逐一判断后即可确定正确的选项.

【解答】解：A、•:k=-3<0,

当x值增大时，y的值随着x增大而减小，选项A不符合题意；

B、当x=0时，y=-3尤+2=2,

Vy的值随着x增大而减小，

当尤>0时，y<2,

，选项8符合题意；

C、当x=0时，y=-3x+2=2,

函数图象与y轴的交点坐标为（0,2）,选项C不符合题意；

D、,:k=-3<0,b=2>0,

.•.一次函数y=-3x+2的图象经过第一、二、四象限，选项。不符合题意；

故选：B.

【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及一次函数的性质，逐一分析四个

选项的正误是解题的关键.

8.（3分）如图，点尸在长方形0ABe的边OA上，连接BP,过点P作BP的垂线，交射

线OC于点Q,在点尸从点A出发沿A。方向运动到点。的过程中，设AP=x,0。=»

则下列说法正确的是（

A.y随x的增大而增大

B.y随x的增大而减小

C.随x的增大，y先增大后减小

D.随x的增大，y先减小后增大

2

【分析】通过证明可得y=-X（A8,A。是定值），由二次

函数的性质可求解.

【解答】'：BP±PQ,

：.ZAPB+ZOPQ=9Q°,MZAPB+ZPBA=90°,

ZABP^ZOPQ,且/O=/A=90°,

：.△ABPSAOPQ,

•••AB=---OP

APOQ

•••—AB"--A-O---x

xy

2

；.y=-x+A0・x（AB,AO是定值）

AB

.•.当xW也时，y随x的增大而增大，

2

当尤>迫时，y随X的增大而减小，

2

故选：C.

【点评】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，二次函数的性质，求出y

与x的函数关系式是本题的关键.

二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.请将答案填在答题卡相应位置上）

9.（3分）地球上七大洲的总面积约为149480000km2,将149480000km2用四舍五入法精

确到10000000km2,并用科学记数法表示为1.5X1（）8流.

【分析】科学记数法的表示形式为10"的形式，其中lW|a|<10,n为整数.确定n

的值是易错点，由于149480000有9位，所以可以确定"=9-1=8.

有效数字的计算方法是：从左边第一个不是0的数字起，后面所有的数字都是有效数字.

用科学记数法表示的数的有效数字只与前面的a有关，与10的多少次方无关.

【解答】解：149480000=1.4948X108«1.5X108.

故答案为：1.5义1。8

【点评】此题考查科学记数法的表示方法，以及用科学记数法表示的数的有效数字的确

定方法.

10.（3分）比较大小：A/W>3.（填“>”、"=”或“<”）

【分析】先求出3=«,再比较即可.

【解答】解：：32=9<10,

•■•V10>3，

故答案为：>.

【点评】本题考查了实数的大小比较和算术平方根的应用，用了把根号外的因式移入根

号内的方法.

11.（3分）已知点尸的坐标为（4,5）,则点P到x轴的距离是5.

【分析】根据点P到x轴的距离即为P点纵坐标的绝对值进而得出答案.

【解答】解：：点尸的坐标为（4,5）,

，点尸到x轴的距离是：5.

故答案为：5.

【点评】此题主要考查了点的坐标，正确理解点的坐标特点是解题关键.

12.（3分）如图，△ACB名△ACS,若/AC3=60°,ZACS'=100°,则NBCA[=20°.

【分析】先利用三角形全等的性质得到/A'CB'=NAC8=60°,再计算出/ACA'=

40°,然后利用/8CA'^ZACB-ZACA'进行计算.

【解答】解：•.•△ACB0Z\A'C8,

AZA,CB1=ZACB=60°,

VZACB'=100°,

AZACA'^ZACB'-ZACB=100°-60°=40°,

：.ZBCA'^ZACB-ZACA'=60°-40°=20°.

故答案为：20.

【点评】本题考查了全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应

角相等.

13.（3分）如图，在中，PA^PB,D、E、尸分别是边B4,PB,上的点，且A。

=BF,BE=AF,若/E=40°,则/尸=100°.

【分析】根据等腰三角形的性质得到证明△AD尸丝△BEE,得到

BFE,根据三角形的外角的性质求出乙4=/。/芭=42°,根据三角形内角和定理计算即

可.

【解答】解："：PA=PB,

：.NA=NB,

在尸和中，

'AD=BF

<ZA=ZB-

,AF=BE

/.AADF^ABFE（SAS）,

：.ZADF^ZBFE,

'：ZDFB=ZDFE+ZEFB=ZA+ZADF,

：.ZA^ZDFE=4Q°,

.\ZP=180°-ZA-ZB=100°,

故答案为：100.

【点评】本题考查的是等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质、三角形的外角的

性质，掌握等边对等角、全等三角形的判定定理和性质定理、三角形的外角的性质是解

题的关键.

14.（3分）如图，一艘轮船由海平面上的A地出发向南偏西45°的方向行驶50海里到达2

地，再由8地向北偏西15°的方向行驶50海里到达C地，则A、C两地相距50海

里.

北

【分析】由己知可得△ABC是等边三角形，即可得出结果.

【解答】解：连接AC,••♦一艘轮船由海平面上的A地出发向南偏西45°的方向行驶50

海里到达8地，再由8地向北偏西15°的方向行驶50海里到达C地，

/.ZABC=60°,A8=8C=50海里，

：.AABC是等边三角形，

.•.AC=AB=50海里.

故答案为：50.

北

【点评】本题考查了解直角三角形中的方向角问题，根据题意得出△ABC为等边三角形

是解题的关键.

15.（3分）公元前3世纪，我国数学家赵爽曾用“弦图”证明了勾股定理.如图，“弦图”

是由四个全等的直角三角形（两直角边长分别为人6且a<b）拼成的边长为c的大正方

形，如果每个直角三角形的面积都是3,大正方形的边长是旧，那么6-a=1.

【分析】根据4个直角三角形的面积和大正方形的面积求得小正方形的面积，于是得到

结论.

【解答】解：•••大正方形的边长是J石，

大正方形的面积是13,

;每个直角三角形的面积都是3,

，小正方形的面积为13-4X3=1,

••h~

故答案为：1.

【点评】此题主要考查了勾股定理、完全平方公式、四边形和三角形面积的计算，利用

数形结合的思想是关键.

16.（3分）一次函数的图象如图所示，则关于x的不等式区-机+6>0的解集是_x

【分析】结合图象得到当-3时，y^kx+b>m,从而得到不等式Ax-根+6>0的解集.

【解答】解：当x<-3时，y=kx+b>m,

所以关于x的不等式kx-m+b>0的解集为x<-3.

故答案为：尤<-3.

【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函

数y=丘+6的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确

定直线y=fcv+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合.

17.（3分）如图，等边△048的边长为2,以它的顶点。为原点，所在的直线为x轴，

建立平面直角坐标系.若直线>=尤+6与△042的边界总有两个公共点，则实数b的范围

是--1.

【分析】若直线y^x+b与线段△042的边界总有公共点，当直线过点A时，将点A坐

标代入直线的表达式，解得b=J5-l，当直线过点B时，将点8坐标代入直线的表达

式，解得6=-2,即可求解.

【解答】解：：等边的边长为2,以它的顶点。为原点，。2所在的直线为x轴，

.*.A(1,遮)，B(2,0),

若直线y^x+b与线段△04B的边界总有公共点，

当直线过点A时，将点A坐标代入y=x+6得：愿=l+b,解得：匕=«-1,

当直线过点B时，将点3坐标代入y=x+/?得：0=2+。，解得：b=-2,

故：若直线y=x+b与△OA8的边界总有两个公共点，则实数6的范围为：

1;

故答案为：-2<b〈a-i.

【点评】本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，等边三角形的性质，一次函数图

象上点的坐标特征.

18.(3分)如图，在中，NOA4=90°,AB=OB,点C在边AB上，且C(6,4),

点。为08的中点，点P为边OA上的动点，当NAPC=/DPO时，点尸的坐标为(迪,

__5__

18、

【分析】根据已知条件得到AB=OB=6,NAO3=45°,求得OD=BD=2,得到。(0,

3),作。关于直线。4的对称点E,连接EC交OA于P,则此时/APC=/O尸O,E(0,

3),求得直线EC的解析式为>=工+3,解方程组即可得到结论.

6

【解答】解：.在RtZXAB。中，NO3A=90°,C(6,4),

：.AB=OB=6,ZAOB=45°,

;点。为02的中点，

：.OD=BD=3,

：.D(3,0),

作D关于直线。4的对称点E,连接EC交。4于P,

则此时，ZAPC=ZDPO,四边形PO8C周长最小，E（0,3）,

•.•直线的解析式为y=尤，

设直线EC的解析式为y=kx+b,

.（b=3,

[6k+b=4，

f=l

解得：k6，

b=3

「・直线EC的解析式为y=L+3,

6

'_1*与

解.产针+3得:

18

y=x

点尸的坐标为（也，殁），

55

故答案为：（也，也）.

55

【点评】本题考查了轴对称-最短路线问题，等腰直角三角形的性质，正确的找到P点

的位置是解题的关键.

三、解答题（本大题共10小题，共96分.请将解答过程写在答题卡相应位置上，解答时应

写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明）

19.（8分）计算.

⑴我-'年3。

⑵|2-Vsi-（V6）2+,（-5）3

【分析】（1）首先计算乘方、开方，然后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可.

（2）首先计算绝对值、乘方、开方，然后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可.

【解答】解：（1）病一届3。

=2-4+1

=-1

⑵|2-Vsl-（加）?+.（-5）3

=V5-2-6+（-5）

=炳一13

【点评】此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行

实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最

后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行.另外，

有理数的运算律在实数范围内仍然适用.

20.（8分）求下列各式中的x.

⑴3?-12=0

（2）（x-1）』-64

【分析】（1）根据平方根定义开方，再求出方程的解即可；

（2）根据立方根定义开方，再求出方程的解即可.

【解答】解：（1）3/-12=0,

3?=12,

X2=4,

x—+2；

••xi:=2,X2=:2.

（2）（x-1）=-64,

x-1=-4,

x=-3.

【点评】本题考查了立方根和平方根定义的运用，解此题的关键是能根据平方根和立方

根定义得出一元一次方程.

21.（8分）已知y-1与x+3成正比例，当x=-2时，y=4.

（1）求出y与尤的函数关系式；

（2）设点（a,-2）在这个函数的图象上，求。的值.

【分析】（1）设出函数关系式，把尤=-2,y=4代入，求出待定系数即可确定函数关系

式，

(2)把点(a,-2)代入函数关系式即可求出。的值.

【解答】解:(1)设y-l=Z(x+3),即，y=k(x+3)+1,把尤=-2,y=4代入得.

4=k(-2+3)+1,解得，k=3,

.'.y—3(x+3)+1=3尤+10,

(2)把点(a,-2)代入y=3x+10得，a—-4,

故a的值为-4.

【点评】考查待定系数法求出函数关系式的方法，把点的坐标代入是常用的方法.

22.(8分)如图，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为A(-4,-1),B

(-5,-4),C(-1,-3).

(1)画△AB'C,使△ABC与△ABC关于y轴对称；

(2)在y轴上作一点P,使得出+PC最短；

(3)将△ABC向右平移机个单位，向上平移"个单位，若点A落在第二象限内，且点

C在第四象限内，则m的范围是1＜一＜4，”的范围是1＜力＜3.

【分析】(1)根据网格结构找出点A、B、C关于y轴的对称点A'、"、C'的位置,

然后顺次连接即可；

(2)根据轴对称的性质即可得到结论；

(3)根据平移的性质解答即可.

【解答】解：(1)如图所示；△A8C即为所求；

(2)连接CA'交y轴于P,点P即为所求；

(3)由图可知，l＜n＜3,

故答案为：1<根<4,1<n<3.

【点评】本题考查了利用旋转变换作图，利用平移变换作图，利用轴对称变化作图，熟

练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键.

23.(10分)如图，在△ABC中，AB=AC,点。是边上的中点，G是AC边上一点，

过G作跖，8C,交BC于点E,交8A的延长线于点？

(1)求证：AD//EF-,

(2)求证：△人■?是等腰三角形.

【分析】(1)根据等腰三角形三线合一的性质得到AD±BC,然后根据平行线的判定即

可得到结论；

(2)根据等角的余角相等，得到进而得到即可证得结论.

【解答】(1)证明：点。是BC边上的中点，

：.AD是等腰三角形底边BC的中线，

：.AD±BC,

'：EF1BC,

：.AD//EF；

(2)证明：\-AB^AC,

：.ZB=ZC,

'JEFLBC,

，NB+NF=ZC+ZEGC,

：.NF=ZEGC,

'：NEGC=ZAGF,

：.ZAGF=ZF,

：.AG=AF,

.•.△APG是等腰三角形.

【点评】本题考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的判定，熟练掌握性质定理是解

题的关键.

24.（10分）如图，ZMON=9Q°，点A、8分别在边ON和。M■上（/OABW45。）.

（1）根据要求，利用尺规作图，补全图形：

第①步：作NMON的平分线OC,作线段A2的垂直平分线/,0c和/交于点P,

第②步：连接必、PB；

（2）结合补完整的图形，判断出和PB有什么数量关系和位置关系？并说明理由.

【分析】（1）根据线段中垂线和角平分线的尺规作图可得；

（2）过点P作PE_LO4于点E,作P7LLOM于点R由中垂线的性质知外=尸3,再证

RtE乌RdPBF得/APE=/8PR证四边形PEOF是矩形知NEPF=90°,即ZBPF+

/BPE=90°,结合/APE+N2PE=90°,即44尸2=90°,据此可得答案.

【解答】解：（1）如图所示：

（2）B4=P8且

理由如下：

:直线/是线段A8的中垂线，

：.PA=PB,

过点P作PELOA于点E,作PFL0M于点F,

则/PE4=/PFB=90°,

；0C平分/MON,

：.PE=PF,

；.Rt△用E丝RtZXPBF（HL）,

则/APE=/BPF,

•；/MON=/PEA=ZPFB=90°,

四边形PEOF是矩形，

：.ZEPF^90°,BPZBPF+ZBPE=90°,

/.ZAPE+ZBPE=90°,即N4PB=90°,

：.AP1BP,

综上，且

【点评】本题主要考查作图-复杂作图，解题的关键是掌握线段中垂线、角平分线的尺

规作图及全等三角形的判定与性质、矩形的判定与性质等知识点.

25.（10分）某商场计划购进A,2两种新型节能台灯共80盏，这两种台灯的进价、售价如

下表所示：

价格进价（元/盏）售价（元/盏）

类型

A型4060

2型5075

(1)若商场的进货款为3700元，则这两种台灯各购进了多少盏？

(2)若商场规定B型台灯的进货数量不超过A型台灯数量的2倍，应怎样进货才能使商

场在销售完这批台灯时获利最多？此时利润为多少元？

【分析】(1)设商场应购进A型台灯x盏，表示出2型台灯为(80-x)盏，然后根据进

货款=A型台灯的进货款+8型台灯的进货款列出方程求解即可；

(2)设商场销售完这批台灯可获利y元，根据获利等于两种台灯的获利总和列式整理，

再求出x的取值范围，然后根据一次函数的增减性求出获利的最大值.

【解答】解：(1)设商场应购进A型台灯无盏，则B型台灯为(80-无)盏，

根据题意得，40x+50(80-%)=3700,

解得尤=30,

所以，80-30=50,

答：应购进A型台灯30盏，2型台灯50盏；

(2)设商场销售完这批台灯可获利y元，

贝ijy=(60-40)尤+(75-50)(80-%),

=-5x+2000,

即y=-5尤+2000,

；B型台灯的进货数量不超过A型台灯数量的2倍，

80-

“三典

3

：k=-5<0,y随x的增大而减小，

；.x=27时，y取得最大值，为-5X27+2000=1865(元)，

80-x=80-27=53.

答：商场购进A型台灯27盏，8型台灯53盏，销售完这批台灯时获利最多，此时利润

为1865元.

【点评】本题考查了一次函数的应用，主要利用了一次函数的增减性，(2)题中理清题

目数量关系并列式求出x的取值范围是解题的关键.

26.（10分）【提出问题】课间，一位同学拿着方格本遇人便问：“如图所示，在边长为1的

小正方形组成的网格中，点A、B、C都是格点，如何证明点A、B、C在同一直线上呢？”

【分析问题】一时间，大家议论开了.同学甲说：“可以利用代数方法，建立平面直角坐

标系，利用函数的知识解决”，同学乙说：“也可以利用几何方法…”同学丙说：“我还有

其他的几何证法”……

【解决问题】请你用两种方法解决问题

方法一（用代数方法）：

方法二（用几何方法）:

【分析】方法一：以A为原点，构建如图，平面直角坐标系.求出直线AC的解析式,

证明点2在直线AC上即可.

方法二：如图，取格点E,F,构造RtZXBCE,RtAABF.证明NABC=180°即可.

【解答】解：方法一：以A为原点，构建如图，平面直角坐标系.

直线AC的解析式为y=2尤,

■/x=l时，y=2,

.•.点8在直线AC上，

.'.A,B,C三点共线.

方法二：如图，取格点E,F,构造RtZXBCE,RtAABF.

方法二（用几何方法）

tanZCBE=2,tanZBAF=^-=2,

BEAF

tanZCBE—tanZBAF,

：.ZCBE=ZBAF,

'：ZBAF+ZABF^90°,

：.ZABF+ZCBE^9Q°,

：.NABC=ZABF+ZFBE+ZCBE=180°,

B,C共线.

【点评】本题考查一次函数的应用，解直角三角形等知识，解题的关键是灵活运用所学

知识解决问题，属于中考常考题型.

27.（12分）在Rt^ABC中，ZACB=90°,AC=15,A8=25,点Z）为斜边AB上动点.

（1）如图1,当CD_LA8时，求CZ）的长度；

(2)如图2,当AD=AC时，过点D作。EL48交BC于点E,求CE的长度；

(3)如图3,在点。的运动过程中，连接CD当△AC。为等腰三角形时，直接写出A。

的长度.

图1图2图3

【分析】(1)求出8c=20,由可求出