随机积分与Ito定理

章随机积分—Ito积分节引言节Ito积分的理论节Ito积分的特征节Ito定理及应用节更复杂情况下的Ito公式2021/5/91

第一节引言一、Ito积分的导出

在物理现象中是用微分方程来描述其模型，而建立微分方程是从导数定义出发。并可根据微分与积分的关系，建立相应的积分方程。

但在随机环境中，由于不可预测的“消息”不断出现，并且表示现象动态性的等式是这些噪音的函数，这就无法定义一个有效的导数，建立一个微分方程。然而，在某些条件下可以定义一个积分—Ito积分，建立积分方程。首页2021/5/92

前面讨论的随机微分等式，其中的项都只是近似讨论，而没给出精确的解释。但如果给出Ito积分的定义，反过来才能更确切地讨论。即若用微分方程代表资产价格的动态行为，那么能否对两边取积分，即也就是说，是否等式右边第二项的积分有意义？为解释此项积分的含义，需引进Ito积分首页2021/5/93也就是说，一旦定义Ito积分，则上积分等式才有意义即有其中h为一定的时间间隔。若则上等式改写为即或这正是在固定间隔下的随机微分方程表示式首页2021/5/94此表示式为一近似式，其精确公式为二、Ito积分的重要性首先随机微分方程只能根据Ito积分方程来定义，要理解随机微分方程的真正含义，必须首先理解Ito积分。其次在实际运用当中，经常先用固定的时间间隔，得出随机微分方程的近似值，然后再通过Ito积分就可以给出近似值的精确形式。返回首页2021/5/95第二节Ito积分的理论Ito积分是用来定义随时间的变化无法统计和不可预测的随机增量的总和。布朗运动如果标准布朗运动一、Ito积分的定义首页2021/5/96定义1满足作和式如果均方极限存在则称记为首页2021/5/97注意在定义中不能按通常的黎曼积分那样作和式原因是即所以这里取固定的左端点。定理1首页2021/5/98定理2则证令则首页2021/5/99因为0首页2021/5/910例1解试求故首页2021/5/911注表明Ito随机积分不同于黎曼积分二、Ito积分的性质性质1则（1）（2）证明与黎曼积分相仿（略）首页2021/5/912性质2则证明略首页2021/5/913性质3则存在且关于t是均方连续的。证明首页2021/5/914三、Ito微分法则则第二个积分作为Ito积分存在，且（1）这时称(1)式定义的随机过程有(Ito)随机微分并记为首页2021/5/915例2求随机微分解由例１可知即由随机微分的定义首页2021/5/916定理3Ito公式的二次微分函数，则且首页2021/5/917例3求随机微分解设因为所以由Ito公式得首页2021/5/918定理4都是连续函数．如果随机过程有随机微分则首页2021/5/919注是复合函数链式微分法则在随机微分中的表现，称为Ito公式首页2021/5/920四、Ito随机微分方程则在Ito积分和微分的基础上建立的随机微分方程称为Ito随机微分方程与Ito随机微分方程等价的Ito随机积分方程其中右边第一个积分是均值积分，第二个积分是Ito积分首页2021/5/921例4考虑Ito方程

取由Ito公式得即所以即注将看作普通函数，则解为返回首页2021/5/922第三节Ito积分的特征资产价格理论意义下Ito积分

其中在信息集下是非预期的一、Ito积分是鞅在间隔内影响资产价格不可预测的干扰总和可表示为则此Ito积分就是鞅。因为首页2021/5/923给定时间t的信息集，如果每个增量是不可预测的，则这些增量的总和也是不可预测的，即

于是故Ito积分是鞅。首页2021/5/924下面考虑两种有意思的情况：1．第一种情况假设此时Ito积分就等同于Riemann积分即有则即积分是鞅首页2021/5/925因为维纳过程的增量具有0均值且是非相关的，故此积分是鞅注当是常数时，Riemann和Ito积分是相同的且都是鞅首页2021/5/9262．第二种情况若此时Ito积分就不同于Riemann积分。Ito积分将保持鞅特性，而Riemman将不再具有鞅特性。例如如果衍生产品的标的资产具有几何分布，其方差则可表明Ito积分就不同于Riemann积分。用Riemann求和来大致估计Ito积分会导致自相矛盾，方法具体过程如下例：首页2021/5/9273．一个例子其中偏移量和方差率分别为假设资产价格满足随机微分方程即两个参数都比例于资产价格考虑一个小时间间隔，对随机微分方程积分现在用Rieman求和来讨论上式右边的第二项积分的近似计算，看会有什么结果？首页2021/5/928Rieman求和的一种近似计算是用子间隔的中点处的维纳过程测值来计算。首先计算然后再乘以矩形的底得从而有两项相关下面考虑上随机微分方程的简单形式则其新增项形式为首页2021/5/929用Riemann求和来大致估计这样一个积分，根据底和高为矩形的面积可得由于期望这意味着上式右边的条件期望不为0，即是可预测的，首页2021/5/930从而可知，用Riemann求和来估计Ito积分意味着新增干扰项有一个非零期望值，即但由于Ito积分存在条件：即有则Ito积分的近似计算必须是矛盾首页2021/5/931注如果被积函数不是非预期的，则不能保证用来构建Ito积分的部分求和的均方值会收敛为一个有效的随机变量，即Ito积分根本就不存在。二、路径积分考察在期间[0，T]内资产价格间隔长度为分割：且有首页2021/5/932假设一个金融分析家要计算积分其有限求和形式为取特殊路径则显然但路径积分在随机过程中并不一定收敛。如首页2021/5/933取符号函数则有即故此路径积分在随机过程中不收敛。注路径积分意义在计算路径积分时，没有用到与相联系的概率，而是用实际测值来计算的。另一方面，Ito积分是用均方收敛值来计算并由随机等式来决定。非预期重要性由于可预测的符号，函数能“看到未来情况”，则求和公式中各部分都为正，当n增加时，就会发散。首页2021/5/934三、Ito积分存在性存在的条件是也就是说的均方会收敛到某个称为Ito积分的随机变量首页2021/5/935四、相关性Ito积分是一随机过程，因此它有各种不同的量一次量即二次量协方差方差返回首页2021/5/936第四节Ito定理及应用在随机环境中，导数的概念是不存在的，资产价格的变动被认为是不可预测的，且在连续时间内变动太不规则，导致资产价格可能连续却不光滑，必须用随机微分来代替导数进行计算。Ito规则给出了一个简化随机微分的公式，并给出了详细的计算。一、导数类型

在标准计算中，所有变量都是确定型的，可以有三种类型的导数：首页2021/5/937偏导数全微分链式导数导数在金融市场中作用偏导数为计算资产价格相对于风险因子的变化反应提供了一个“乘数”。典型例子：是在计算套期保值参数中用到偏导数，假设一个市场参与者知道的函数形式，1则首页2021/5/938因此对维纳过程定义一个关于时间的导数不会有任何困难，但需要知道的不是随时间的变化，而是假定在时间固定情况下，它对的小变化有什么反应。23全微分是在假定时间和标的资产的价格都发生变动，而导致的变化，其结果就是随机微分。它代表了在时间间隔内衍生资产价格的变化，对市场交易者很有用。在标准计算中，链式导数表示一个变量相对于初始变量经过某些连锁效应的最终变化速率。在随机计算中，链式导数指的是随机微分相互间的关系，也就是全微分的随机形式。首页2021/5/939例1且则注但全微分同随机事件的实际发生率有关，二者不同。上式给出的是对为非随机变量的情况。首页2021/5/940二、Ito定理的应用（一）Ito定理则有Ito公式可得或首页2021/5/941说明在分析金融衍生产品时，一旦知道标的资产的随机微分方程，运用Ito公式就可得到金融衍生产品的随机微分方程，即知道衍生资产价格的变化。例2求解因故有Ito定理可得首页2021/5/942因此得到在信息集下的的随机微分方程，其偏移率和方差项为即漂移率是常数，方差依赖于信息集。例3若则有此时得到在信息集下的的随机微分方程，其偏移率和方差项为首页2021/5/943例4计算Ito积分解设得其相关积分等式故即注这个结果与本章第二节计算出来的结果相同，可作为计算Ito积分的工具。首页2021/5/944例5计算积分解定义由Ito定理得其对应的积分等式故首页2021/5/945注用Ito定理计算Ito积分的步骤123对新得到的随机微分方程两边进行积分处理，得到一个新的积分等式，该等式所包含的积分的计算要比原积分简单。4重新排列积分等式各项，得到最终结果。首页2021/5/946（二）伊托定理在远期合约定价中的应用（补充内容）

现在以不支付股息的股票为例说明伊托定理在远期合约领域中的应用。

假定各个时期的无风险利率

r

等于常数，远期价格用F表示，则远期价格F与即期价格S之间的关系可表示为所以首页2021/5/947如果股票价格S遵循几何布朗运动，并且预期收益和波动率分别是和，即

那么由伊托公式可得远期价格F变化的随机过程为将代入上式，得可见，远期价格F与股票价格S一样，也遵循几何布朗运动。但是，远期价格的预期增长率是，而不是。首页2021/5/948三、Ito定理的积分形式微分形式进而可得Ito定理的另一特性：两边取积分，得积分形式该式说明关于维纳过程和其它连续时间随机过程的积分是用时间的积分函数表达出来的。注返回首页2021/5/949第五节更复杂情况下的Ito公式第一种是在某些条件下，函数可能不只是依赖于单一随机变量，这样就要用到多变量的Ito公式。不能直接使用Ito公式的两种情况：第二种考虑金融市场受到小概率事件影响，这样需要对随机微分方程加上跳跃过程来决定资产价格，相应的Ito公式会改变很多。首页2021/5/950一、多变量情况设为两个受维纳过程影响的随机过程其中则首页2021/5/951

是两个独立的维纳过程的增量结果这个问题可由下面Ito定理的多变量形式得到解决：由于在单变量Ito定理中，等交叉项在均方意义下都等于0。且若在一个固定的间隔内，有则在均方意义下，有首页2021/5/952由此可得这些等式代入上式即得双变量Ito公式首页2021/5/953例1（金融衍生品）

在评价利率期权衍生品的价值时，收益曲线起到很大作用。

利率期权的模型之一是假设收益曲线依赖于两个状态变量，分别是短期利率和长期利率则利率衍生品的价格就可表示为假定利率服从随机微分方程其中，长短期利率误差项具有相关性，在固定间隔h内，相关系数为首页2021/5/954市场参与者可通过参数的选择，由该等式得到长短期利率的相关性和方差特性。在评估利率期权时，需要知道期权价格对收益曲线的变化和会怎样变化，也就是要知道随机微分，即有Ito公式的多变量形式可得首页2021/5/955例2财富假设市场有n种资产，

都是受同一随机变动影响的连续时间的随机过程投资总价格可由财富函数