2020-2021学年广东省惠州市高一（上）期末数学试卷 （含解析）

2020-2021学年广东省惠州市高一(上)期末数学试卷

一、单选题(共8小题).

1.设集合A={x|y<x<3],8={x|(x+D(x-2)<0}，则4U8=)

A.(x|y<x<2}B.{x\-l<x<3}C.{x|y<D.{x|l<x<2}

2.函数/(x)=/gx+后W的定义域为()

A.[0,2]B.(0,2JC.[0,+8)D.(-8,2]

ITR

3.已知a是第二象限角，cos(g+a)=-得，则tana=()

D.12

4.己知y=log«x(n>0,的图象经过点P(3,1),则>=%"的图象大致为()

i*

D.

lxx

5.已知〃=严，2=0.23,c=logo.23,则〃,b,c的大小关系是()

A.a>b>cB.b>a>cC.c>a>bD.c>b>a

6.酒驾是严重危害交通安全的违法行为!为了保障交通安全，根据国家有关规定：100〃?L血

液中酒精含量达到20〜79〃吆的驾驶员即为酒后驾车，达到80mg及以上认定为醉酒驾

车.假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了0.6mg//泣，如果在

此刻停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时20%的速度减少，那么他至少要经过

()小时后才可以驾独机动车.(参考数据：值2~0.30,/g3Po.48).

A.3B.4C.5D.6

7.已知f(x)=siiir4-cos2x,g(x)=-3siav-m,若对任意的XGR,f(x)2g(x)恒成

立，则实数次的最小值为()

A.述B.5C.1D.-1

2~x(x<0)

8.已知函数f(x)=1、，g(x)=/(x)-x-2".若g(x)有2个零点，则实

lrA(x>0)

x

数。的取值范围是()

A.(-8,-1]B.[1,+8)C.[-1,+8)D.[0,+8)

二、多选题：

9.已知c>d>0,则下列不等式成立的是()

A.a+c>b+dB.—^s--

dc

C.Ca+b)c>(a+b)dD.ca+b>(f'+b

10.下面选项中正确的有()

A.命题的否定是(lBx<2,x<4"

B.命题“Vx€R,f+x+ivo”的否定是“IrWR,f+x+l'O”

C.“a>l”是“工<1”的充要条件

a

D.设a,bER,则"0"是"abRO"的必要不充分条件

11.设函数/(x)=cos2x+sin2x,则下列选项正确的有()

A./(x)的最小正周期是n

JTJT

B.f(X)满足f(-^-+x)=f(丁-x)

JT

C./(x)在［a,切上单调递减，那么人-a的最大值是今

D.y=/(x)的图象可以由yf反cos2x的图象向右平移弓■个单位得到

12.已知函数/CO是定义在(-8,0)u(0,+8)上的偶函数，当x>0时，/(x)=

’2出11-1,0<x<2

<1,、、.以下说法正确的是()

yf(x-2),x>2

L乙

A.当2<xW4时，«)=2尻讣1卷

B.f(2n+l)=-(y)n(n€N)

C.存在项€(-8,0)U(0,+8),使得/(xo)=2

D.函数g(x)=V(x)-1的零点个数为10

三、填空题：

2

3计算再lg(10-2)+4、A——

14.若正实数x,y满足2x+y=l,则2xy的最大值为.

15.若扇形圆心角的弧度数是2,且该扇形弧长是4c7”，则这个扇形的面积为cm2.

16.某同学为研究函数f(x)=，l+x2+Vi+(l_x)2(O《x《l)的性质，构造了如图所示的

两个边长为1的正方形ABCD和BEFC,点尸是边BC上的一个动点，设CP=x,则AP+PF

=f(x).请你参考这些信息，推知函数/(外的图象的对称轴是；函数g(x)

四、解答题:

17.如图，点A、B在单位圆。上，点A的坐标为谆，力，点8在第二象限，"03为

55

正三角形，点C是单位圆与x轴正半轴的交点.

(1)求sinZCOA的值；

(2)求cos/COB的值.

18.己知函数/(x)=2J^sirwcosx+2cos4-1.

(1)求函数f(x)的单调递增区间；

(2)用“五点法”画出f(x)在一个周期内的图象.

19.已知集合A={x|-¥+4x+i2>0},集合已={M/n-3VXV―-9}.

现有三个条件：条件①4n8=8,条件②BUCRA,条件③AUB=8.

请从上述三个条件中任选一个，补充在下面横线上，并求解下列问题：

(1)若根=4,求(CRA)n&

(2)若,求根的取值范围.

9

20.已知函数—(a>0),且/(0)=0.

2x+a

(1)判断了(x)的奇偶性，并证明你的结论；

(2)若f(x))弋恒成立，求〃，的最大值.

21.汽车“定速巡航”技术是用于控制汽车的定速行驶，当汽车被设定为定速巡航状态时，

电脑根据道路状况和汽车的行驶阻力自动控制供油量，使汽车始终保持在所设定的车速

行驶，而无需司机操纵油门，从而减轻疲劳，促进安全，节省燃料.某汽车公司为测量

某型号汽车定速巡航状态下的油耗情况，选择一段长度为240k〃7的平坦高速路段进行测

试.经多次测试得到一辆汽车每小时耗油量F(单位：L)与速度v(单位：km/h}(0

WuW120)的下列数据：

V0406080120

F020651020

38

为了描述汽车每小时耗油量与速度的关系，现有以下三种函数模型供选择：F(v)=

ax^+bv'+cv,v

F(v)=(y)+«-F(v)=k\o2tlv+b.

（1）请选出你认为最符合实际的函数模型，并求出相应的函数解析式.

（2）这辆车在该测试路段上以什么速度行驶才能使总耗油量最少？

22.对于函数/（x）,若在其定义域内存在实数即，使得f（沏+1）=f（xo）+f（l）成立，

则称/（X）有“漂移点”X0.

（1）判断函数/（x）=f+2”在［0,1］上是否有“漂移点”，并说明理由；

（2）若函数£6）=18（-—）在（0,+8）上有“漂移点”，求正实数a的取值范围.

x"+l

参考答案

一、单选题:

1.设集合A={x|y<x<3),B={x|(x+l)(x-2)<0),则AUB=(

A.{x|y<x<2]B.{x\-l<x<3}C.{x仔<x〈l}D.{x|l<x<2}

【分析[求出集合5,从而求出3和A的并集即可.

解：集合A=[xIy<x<3},B={x\(x+1)a-2)<0}={x|-l<x<2},

则AUB={x|-1VXV3},

故选：B.

函数f(x)=lgx+T2-x的定义域为(

A.[0,2]B.(0,2]C.[0,+oo)D.(-8,2]

【分析】根据函数的结构，要满足的条件为真数大于零、被开方式大于等于零.

解：要使函数f(x)有意义，只需要解得0<xW2,所以定义域为(0,2],

\

故选：B.

JTC

3.已知a是第二象限角，cos(?+<1)=-得，则tana=()

A.B.—C.—D.

1213125

【分析】利用诱导公式化简己知可求sina,进而根据同角三角函数基本关系式即可计算

求解.

冗5

解：'­*cos(-z-+CX)=-sinCI于

「♦sina

：a是第二象限角，

•••cosac.=--1j-2r->

JLO

.c5

••tanO-

故选：A.

4.已知y=log然(。>0,。#1)的图象经过点P(3,1),则y=d的图象大致为()

【分析】根据对数函数过的定点求出fl的值，进而求出幕函数的解析式，然后根据幕函

数的性质即可判断.

解：因为经过P(3,1),所以log“3=l,所以“=3,

所以幕函数为y=f,显然为奇函数，排除A、C,

又因为y=/在在(1,+8)时，增长趋势比y=x快速，所以排除。，

故选：B.

5.己知。=3叱Z?=0.23,c=logo,23,则a,b,c的大小关系是()

A.a>b>cB.b>a>cC.c>a>bD.c>b>a

【分析】利用指数函数与对数函数的单调性即可得出.

23

解:Va=30->l,0</>=0.2<1,c=log0,23<0,

.".a>b>c.

故选：A.

6.酒驾是严重危害交通安全的违法行为!为了保障交通安全，根据国家有关规定：100,“血

液中酒精含量达到20〜79,咫的驾驶员即为酒后驾车，达到80〃琢及以上认定为醉酒驾

车.假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了0.6〃吆/〃/，如果在

此刻停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时20%的速度减少，那么他至少要经过

()小时后才可以驾驶机动车.(参考数据：妒=0.30,3-0.48).

A.3B.4C.5D.6

【分析】利用题中给出的信息，设他至少要经过f小时后才可以驾驶机动车，则60(1

-20%)'<20,然后利用指数与对数的互化以及对数的运算性质进行求解，即可得到答

案.

解：某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了0.6〃?g/"”，则100血血

液中酒精含量达到60ml,

在停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时20%的速度减少，

他至少要经过f小时后才可以驾驶机动车，则60(1-20%))<20,

0.8t<春

1_Ilg3lg30.48..c

=4,8

0go.8目-1°g鱼3--lg4_lg5-i-3ig2^1-3X0.3.

5

・•・整数1的值为5.

故选：A.

7.已知f(x)=siar4-cos2x,g(x)=-3siiiv-m,若对任意的xeR,f(x)2g(x)恒成

立，则实数机的最小值为()

A.75B.5C.D.-1

【分析】由不等式反解出m,由恒成立问题转化为最值问题，利用三角函数的性质求出

最值即可求解.

【解答】【解析】由题意知sinx+cos2x2-3sinx-m,.\m^2sin2x-4sinx-1对任意R恒

成立，

只需m2(Zsin—-4siri¥-1)max,

令g(x)=2sin2x-4sinx-1=2(sinx-1)2-3,

，当sinx=-1时，g(x)〃如=5,

・••根25,・・・实数〃z的最小值为5,

故选：B.

<2-x(x<0)

8.已知函数f(x)=41,、、，g(工)=f(x)-x-2a.若g(尤)有2个零点，则实

lrA(x>0)

x

数。的取值范围是()

A.(-°0,-1]B.[1,+°°)C.[-1,+8)D.[0,+8)

【分析】令g(x)=0,可得f(x)=x+2",作出函数y=f(x)与函数y=x+2"的图象，

通过函数y=g(x)有2个零点求解〃的范围即可.

解：令g(x)=0,可得F(x)=x+2",作出函数(x)与函数y=x+2"的图象如图所

示，

由图可知，当2"》1时，即时，函数y=/(x)与函数y=x+2"的图象有2个交点,

此时，函数y=g(x)有2个零点，因此，实数。的取值范围是［0,+~).

故选：A.

二、多选题：

9.已知〃>人>0,c>d>0,则下列不等式成立的是()

A.a+c>b+dB.—>—

dc

C.(a+b)c>(a+b)11D.ca+b>(f+b

【分析】根据不等式的基本性质可直接判断AB；取特殊值即可判断C；由幕函数的单调

性即可判断。.

解：'：a>b>0,c>d>0,

.•.由不等式的基本性质，知4和B都正确；

取a］，b4则a+b/（。，】），•••e）y号”，故c错误;

•.•幕函数y=x"+"，在（0,+8）上是增函数，

当c>d>0时，ca+h>d''h,故D正确.

故选：ABD.

10.下面选项中正确的有（）

A.命题“mx22,的否定是f<4"

B.命题“VxeR,x，x+l<0”的否定是“*R,f+x+lNO”

C.“a>l”是“工<1”的充要条件

a

D.设mb&R,则“aWO”是“"WO”的必要不充分条件

【分析】利用命题的否定，判断A，B的正误：充要条件的关系，判断C,£>的正误即可.

解：对于选项A,特称命题的否定是全称命题，

“张》2,才-4"的否定是“vx>2,f<4"，故A错误；

对于选项B,全称命题的否定是特称命题，

“任意X6R,则，+x+lV0”的否定是“存在xeR,则f+x+l》O"，故B正确；

对于选项C,工<］_今三工（a-1）>OQaVO或

aa

则是“工〈1”的充分不必要条件，故C错误；

a

对于选项D,abW0oa#0且人W0,

则ZWO"是'勿力W0”的必要不充分条件，故。正确.

故选：BD.

11.设函数/（x）=cos2x+sin2x,则下列选项正确的有（）

A.于3的最小正周期是11

兀兀

B・f（x）满足f（式+x）=f（z--x）

JT

C.f（x）在［a,b］上单调递减，那么b-a的最大值是.

TT

D.y=f（x）的图象可以由yf为cos2x的图象向右平移彳个单位得到

【分析】利用两角和的正弦公式化简函数解析式，利用正弦函数的周期公式即可求函数

最小正周期，即可判断A；分别求解了(亍-苫)和,即可判断B；利用正弦

函数的单调性即可判断C；利用三角函数的平移变换即可判断D.

,..V2ATQJI

解：*•f(x)=cos2x+sin2x=\/2(-^cQs2x+-^sin2x)=V^sin(2x+^^~)，

对于选项A：丁=等=兀，即A正确：

对于选项

B：f(---+x)=V2sin[2(-^-+x)+~^-]=V2sin(2x+J^-)=V2sin(-^-2x)，

f今7)=扬碓弓一)+?=V^in(平-2x)=，^cos

即X—不是y=/(x)的对称轴，故3错误：

对于选项C：+2k兀42x-—+2k兀时，y=/(无)单调递碱，

故减区间为[；+k冗，浮+kTT],依Z,人〃的最大值是器-(；)2,故C正

OOOO2

确;

对于D：y=V2cos2x的图象向右平移亍个单位得到

y=V^cos[2(x--^-)]=V^cos(2x--7^-)=V^sin2xWV^sin(2x+~^-),故D错误.

故选：AC.

12.已知函数/(x)是定义在(-8,o)u(0,+8)上的偶函数，当x>0时，/(%)=

‘2-1-1,0<x<2

,以下说法正确的是()

(x-2),x>2

A.当2<xW4时，f&)=2}3卜

B-f(2n+l)=-(y)n(n€N)

C.存在松6(-8,0)u(o,+8),使得/(M)=2

D.函数g(JC)=4f(x)-1的零点个数为10

【分析】4根据分段函数，求出2<xW4的解析式即可;

B：举反例，取一个特殊值验证选项的正误；

C：作出函数的图象，发现函数/(x)的值域为[0,1],不可能存在/(x)=2；

£>：数形结合的思想，将函数的零点问题转化为方程的根，进而转化为两个函数的交点个

数问题，再结合图象即可得解.

解：对于4选项，当2VxW4时，0<x-2W2,所以/(%-2)=2U-31-1,所以

|x-3|1

f(x)=yf(X-2)=2'-1,即A正确；

对于8选项，当〃=0时，f⑴=-弓)°=-：［与/'(I)=”T-1=0矛盾，即8错误;

对于C选项，由/(X)为偶函数，可作出正半轴的图象如下：

观察图象，/(x)的值域为［0,1］,即C错误；

对于。选项，函数g(x)的零点个数即为方程f(x)=］的根的个数，即f(x)与y1的

交点个数，

观察图象，在x>0时，有,5个交点，

根据对称性可得尤<0时，也有5个交点，共10个交点，即。正确.

故选：AD.

三、填空题：

2

B计算F+lg(10-2)+J°gQq.

【分析】利用指数、对数的性质、运算法则直接求解.

2

解：原式=(，23)、彳3+l,gl«O-2+3=4-2+3=5.

故答案为：5.

14.若正实数x,y满足2x+y=l,则加的最大值为

【分析】利用基本不等式即可求解.

解：因为正数X,y满足2r+y=l,

所以2x+y=l》2d2xy，所以

解得2xy<1，当且仅当x］，丫=和取等号，

故答案沏I

15.若扇形圆心角的弧度数是2,且该扇形弧长是4a”，则这个扇形的面积为4c〃工

【分析】根据扇形的弧长公式先求出半径，然后根据扇形的面积公式进行计算即可.

解：•.•扇形圆心角的弧度数是2,且该扇形弧长是4am

•••扇形的半径为，=《=2，

2

又由扇形面积公式得该扇形的面积为：-^X4X2=4.

故答案为：4.

16.某同学为研究函数f(x)=jn“i正二y(o<x<i)的性质，构造了如图所示的

两个边长为1的正方形ABCD和BEFC,点、P是边BC上的一个动点，设CP=x,则AP+PF

=/(X).请你参考这些信息，推知函数/(x)的图象的对称轴是_x；；函数g(%)

=^(x)-9的零点的个数是2.

【分析】从运动的观点看，当点P从C点向点8运动的过程中，在运动到8c的中点之

前，P4+P尸的值渐渐变小，过了中点之后又渐渐变大，可得函数f(x)的图象的对称轴;

函数g(x)=4/'(X)-9的零点的个数就是/(*)=?的解的个数.

解：由题意可得函数f(x)—AP+PF,从运动的观点看，当点P从C点向点B运动的过

程中，在运动到BC的中点之前，PA+PF的值渐渐变小，过了中点之后又渐渐变大，

•••当点P在BC的中点上时，即C、B、P三点共线时，即尸在矩形AOFE的对角线AF

上时，PA+P/取得最小值；当尸在点8或点C时，PA+PE取得最大值

函数f(x)的图象的对称轴是x^；

g(x)-4f(x)-9=0,即f(x)=9.故函数g(x)—4f(x)-9的零点的个数就是

4

f(x)的解的个数.

而由题意可得/(X)=?的解有2个，

4

故答案为：2

四、解答题：

17.如图，点A、B在单位圆。上，点A的坐标为谆，力，点B在第二象限，AAOB为

55

正三角形，点C是单位圆与x轴正半轴的交点.

(1)求sin/COA的值；

(2)求cosNCOB的值.

【分析】(1)由题意利用任意角的三角函数的定义，计算求得结果.

(2)由题意利用任意角的三角函数的定义、两角和的余弦公式，计算求得结果.

解：(I)因为a点的坐标为造，4)＞根据三角函数定义，

55

A

可知sin/COA^^

D

(2)根据三角函数定义知cosNC0A-1，

因为三角形A03为正三角形，所以NAOB=60°,

所以，cosZCOB=cos(NCOA+60°)=cosZCOAcos60°-sinZCOAsin60°

_31_4V33-473

10

18.已知函数/(x)=2^/3sirircosx+2cos2x-1.

(1)求函数f(x)的单调递增区间；

(2)用“五点法”画出/(x)在一个周期内的图象.

【分析】(1)利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式，进而根据正弦函数的单调

性即可求解.

(2)根据列表、描点、连线的基本步骤，画出函数在一个周期［0,22的大致图象即可.

7T

解：(1)f(x)=2V3sinxcosx+2cos2x-l=V3sin2x+cos2x=2sin(2x+-^~)»

令2k兀2k71+^-(kEZ)»

得k兀一^兀+-r*(k€Z)•

因此，函数)，=/(x)的单调递增区间为［k兀-；，k兀哈］(k£Z)；

(2)列表如下:

兀

0nIT3兀2n

2+

XTT2

X兀n5打2兀UK

12612312

f(x)020-20

现有三个条件：条件①ADB=B,条件②BUCRA，条件③AU3=8.

请从上述三个条件中任选一个，补充在下面横线上，并求解下列问题：

(1)若,"=4,求(CRA)QB；

(2)若,求根的取值范围.

【分析】求出集合A={x|-2<xV6},CRA={X|XW-2或x，6}.

(1)%=4时，求出集合8,由此能求出(CRA)AB.

(2)选①：AQB—B,则BUA,若B=0,则〃若列出不等式组,

由此能求出，〃的取值范围.

选②：BUCRA,若B=0,则％-32疗-9,若BW0,列出不等式组，由此能求出，〃的

取值范围.

选③：AUB=B,则AUB.列出不等式组，由此能求出”?的取值范围.

解：集合A=3-f+4x+i2>0}={X-2<x<6},

CRA={RxW-2或x>6}.

(1)若m=4,B—{x\\<x<1},

则(CRA)AB={X|6VXV7}.

(2)选①：ADB^B,则胆A,

若8=0,则〃i-32疗-9,

解得-2WmW3

nr3Vm2-9

若B手。,则<m-3)-2

内2-946

解得3<m<，话

综上得-24irt5^,'/15;

选②:胆CRA,

若B=0,则机-32机2_9,

解得-2W/MW3

(o9

m-3<mz-9m-3<mz-9

若BW0,则«或<

LIR2-94-2Lm-3^6

解得-2或，心9；

综上得3或机29.

选③：AUB=fi,则AU8.

m-3<m2-9111<-2或111>3

则，nr34-2>解得，irt<1

LIR2-9》6

所以

2

20.已知函数f(x)=l-;^—(a>0),且/(0)=0.

2x+a

(1)判断/(x)的奇偶性,并证明你的结论;

(2)若f(x))弋恒成立,求，〃的最大值.

2X

【分析】(1)求出。的值,根据函数的奇偶性的定义证明即可;

n

(2)问题转化为11<(2'+1)=---3IH成立，设f=2'+l,则总(1,+8),得到

2X+1

g(t)=t+1-3>2\历-3(当且仅当t=五时，等号成立)，从而求出川的最大值即可.

92

解：if(o)=1—r^=0,解得〃=1，故f(x)二1-七,

1+a2+1

(1)证明：/(x)为定义域在R上的奇函数，证明如下:

991+2”

Vf(x)+f(-x)=l——+1——=2-(-A2-2(1-)=0,

2X+12^+12X+12X+12X+1

即/(-x)=-/(x),所以/(X)为奇函数；

nn

(2)由条件得—),EPn<(2x+l)^——-3恒成立，

2X+12X+1

设f=2”+L则生(1,+8),

g(t)=t*-3>2加-3(当且仅当t=M时，等号成立)

所以g(f)的最小值是2&-3,所以inE(-8,2V2-3］.

即，”的最大值是2&-3.

21.汽车“定速巡航”技术是用于控制汽车的定速行驶，当汽车被设定为定速巡航状态时，

电脑根据道路状况和汽车的行驶阻力自动控制供油量，使汽车始终保持在所设定的车速

行驶，而无需司机操纵油门，从而减轻疲劳，促进安全，节省燃料.某汽车公司为测量

某型号汽车定速巡航状态下的油耗情况，选择一段长度为240fon的平坦高速路段进行测

试.经多次测试得到一辆汽车每小时耗油量F(单位：L)与速度v(单位：km/h)(0

<W120)的下列数据:

V0406080120

F020651020

TV

为了描述汽车每小时耗油量与速度的关系，现有以下三种函数模型供选择：F(p)=

i2v

av+bv+cv,p(v)=+a,F(v)=ldogav+b.

(1)请选出你认为最符合实际的函数模型，并求出相应的函数解析式.

(2)这辆车在该测试路段上以什么速度行驶才能使总耗油量最少？

【分析】(1)由题意可知，符合本题的函数模型必须满足定义域为［0,120］,且在［0,

120］上为增函数；函数F(v)=(/)v+a在［0,120］是减函数，所以不符合题意；而函数F

(v)="log"V+8的丫#0,即定义域不可能为［0,120］,也不符合题意；所以选择函数F

(v)=av3+bv2+cv.列出方程组，解出即看得出.

(2)设这辆车在该测试路段的总耗油量为y,行驶时间为3由题意得：y=F^t=

(vvu+v)"=1丫2_丫+70=(v-80)2+30’利用二次函

3840024024'v*：・=160160K7

数的单调性即可得出.

解：(1)由题意可知，符合本题的函数模型必须满足定义域为［0,120］,且在［0,120］

上为增函数：

函数F(v)=g)v+a在［0，120］是减函数，所以不符合题意；