2020-2021学年河南省郑州市高一（下）期末数学试卷（解析版）

2020-2021学年河南省郑州市高一（下）期末数学试卷

一、选择题（共12小题，每题5分，共60分）.

1.如果a=-2,则a终边所在象限为（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

2.某工厂利用随机数表对生产的600个零件进行抽样测试，先将600个零件进行编号，编

号分别为001,002,…599,600从中抽取60个样本，现提供随机数表的第4行到第6

行：

32211834297864540732524206443812234356

773578905642

84421253313457860736253007328623457889

072368960804

32567808436789535577348994837522535578

324577892345

若从表中第6行第6列开始向右依次读取3个数据，则得到的第7个样本编号（）

A.522B.324C.535D.578

3.下列四个数中，数值最小的是（）

A.25（io）B.54（4）C.10110⑵D.10111⑵

4.掷铁饼是一项体育竞技活动.如图是一位掷铁饼运动员在准备掷出铁饼的瞬间，张开的

双臂及肩部近似看成一张拉满弦的“弓”.经测量此时两手掌心之间的弧长是器，“弓”

所在圆的半径为1.25米，估算这位掷铁饼运动员两手掌心之间的距离约为（）（参

考数据：A/2^1.414,73=1,732）

A.1.012米B.1.768米C.2.043米D.2.945米

QIT

5.已知sinB=3cos8,则cos(—^+28)=()

A.B.卫C.—D.—

5555

6.下列说法中正确的是()

A.若事件A与事件2是互斥事件，则尸(A)+P(B)=1

B.若事件A与事件B满足条件：P(AUB)=P(A)+P(B)=1,则事件A与事件B

是对立事件

C.一个人打靶时连续射击两次，则事件“至少有一次中靶”与事件“至多有一次中靶”

是对立事件

D.把红、橙、黄、绿4张纸牌随机分给甲、乙、丙、丁4人，每人分得1张，则事件

“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是互斥事件

7.已知3c的边BC上有一点D满足丽=一2衣，则菽可表示为()

——♦—♦——•——*1­2

A.AD=-AB+2ACB.AD3AB方AC

，♦—»—»*2.1,

c.AD=2AB-ACD.AD^AB%AC

8.如图程序框图是为了求出满足3"-2">2021的最小偶数〃，那么在。>和||两个

空白框中，可以分别填入()

A.A>2021和n=n+lB,A>2021和〃=〃+2

C.AW2021和n=n+\D.AW2021和n=n+2

□7rljr

9.已知tan(a+B)q,二，那么tan(a等于()

A.二B.堂C.1D,13

2323618

10.2021年某省实施新的“3+1+2”高考改革方案，“3”即为语文、数学、英语3科必选,

“1”即为从物理和历史中任选一科，“2”即为从化学、生物、地理、政治中任选2科,

则该省某考生选择全理科（物理、化学、生物）的概率是（）

A.—B.—C.—D.—

1051012

11.已知单位向量:［满足7，：，若向量7=有；1■”-R1则向量，与向量M夹角的正弦值

为（）

A.且B.返C.且D.返

3399

12.已知函数f（x）=Asin（3x+O）（A>0,W>0,I。I吟，x€R）在一个周期内的

图象如图所示.则>=/（X）的图象，可由函数〉=8$工的图象怎样变换而来（纵坐标不

变）（）

TT

A.先把各点的横坐标缩短到原来的/倍,再向左平移左个单位

0

再向右平移工个单位

B.先把各点的横坐标缩短到原来的■倍,

再向右平移a个单位

C.先把各点的横坐标伸长到原来的2倍,

再向左平移各个单位

D.先把各点的横坐标伸长到原来的2倍,

0

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分,共20分.

13.如图是一个边长为3的正方形二维码，为了测算图中黑色部分的面积，在正方形区域内

随机投掷1089个点，其中落入白色部分的有484个点，据此可估计黑色部分的面积

为

14.已知@=（2,0）,b=（l，2）,实数A湎足Ia—入U=则入=

15.甲、乙两名学生的六次数学测验成绩（百分制）的茎叶图如图所示.

①甲同学成绩的中位数小于乙同学成绩的中位数；

②甲同学的平均分比乙同学的平均分高；

③甲同学的平均分比乙同学的平均分低；

④甲同学成绩的方差小于乙同学成绩的方差.

16.已知尸、M、N是单位圆上互不相同的三个点，且满足|而上|而则而.行的取值

范围是.

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤共6小题，共70分.

=

17.已知e[,e2是平面内两个不共线的非零向量AB=2e1+e2，BE"e1+Ae2'EC=

.-1♦

-2ei+e2，且A,E,C三点共线.

（I）求实数人的值；

（II）若ei=（2,1）,e2=（2,-2）,求加的坐标；

（III）已知。（3,5）,在（II）的条件下，若A,B,C,。四点按逆时针顺序构成平

行四边形，求点A的坐标.

18.某公司餐厅为了完善餐厅管理,提高餐厅服务质量,随机调查了50名就餐的公司职员.根

据这50名职员对餐厅服务质量的评分，绘制出了如图所示的频率分布直方图，其中样本

数据分组为[40,50）,[50,60）,[90,100].

(/)求频率分布直方图中。的值;

(II)若采用分层抽样的方式从评分在［40,60),［60,80),［80,100］的公司职员中

抽取10人，则评分在［60,80)内的职员应抽取多少人?

(III)该公司规定：如果职员对公司餐厅服务质量的评分低于75分，将对公司餐厅进行

内部整顿.用每组数据的中点值代替该组数据，试估计该公司职员对餐厅服务质量评分

的平均分，并据此回答餐厅是否需要进行内部整顿.

19.设函数f(x)=sin(Wx号~)(3>0)的最小正周期为为

(I)求3;

(II)若f(-^-+3：且(—?-»­?")>求sin2a的值•

ZoZDNN

(III)画出函数y=/(x)在区间［0,汨上的图象(完成列表并作图).

1

1

,o3n7nTT

4丁丁

-1

20.某同学在一次研究性学习中发现，以下四个式子的值都等于同一个常数:

①sin212°+cos2420+sinl2°cos42°；

(g)sin215°+cos245°+sinl5°cos45°；

@sin220°+cos250°+sin20°cos50°；

④sin230°+cos260°+sin30°cos60°.

(I)试从上述式子中选择一个，求出这个常数；

(II)根据(I)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论.

21.如图，单位圆。：/+产=1与天轴的非负半轴相交于点尸，圆。上的动点。从点尸出

发沿逆时针旋转一周回到点尸，设/尸OQ=x（0Wx<2it）,△OPQ的面积为y（当O,

P,。三点共线时，y=0）,y与尤的函数关系为如图所示的程序框图.

/*出），/

[结4]

（I）写出程序框图中①②处的函数关系式；

（II）若输出的y值为斗，求点Q的坐标.

22.设某城市的公交公司为了方便市民出行，科学规划车辆投放，在一个人员密集流动地段

增个起点站，为了研究车辆发车间隔时间X与乘客等候人数y之间的关系，经过调查得

到如下数据：

间隔时间X（分钟）101112131415

等候人数y（人）232526293032

调查小组先从这6组数据中选取4组数据求线性回归方程，再用剩下的2组数据进行检

验.检验方法如下：先用求得的线性回归方程计算间隔时间对应的等候人数，再求与

vy

实际等候人数y的差，若差值的绝对值不超过1,则称所求方程是“恰当回归方程”.

（I）从这6组数据中随机选取4组数据后，求剩下的2组数据的间隔时间不相邻的概

率;

（H）若选取的是前面4组数据，求y关于x的线性回归方程八,”，并判断程是否

y-bx+a

是“恰当回归方程”.

n___

£X：y--nxy

附：回归直线_卜上的斜率和截距的最小二乘估计分别为：|=包-----------=

y-bx+abn_

〉,叼-nx

i=l

n_一

2(xx-x)(yx-y),_4

-.....Z-----，a=，》1yl=1194.

£(x£-x)21

i=l

参考答案

一、选择题（共12小题，每题5分，共60分）.

1.如果a=-2,则a终边所在象限为（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

解：•••-冗<-2<Y，

2

•••a终边所在象限为第三象限.

故选：C.

2.某工厂利用随机数表对生产的600个零件进行抽样测试，先将600个零件进行编号，编

号分别为001,002,…599,600从中抽取60个样本,现提供随机数表的第4行到第6

行:

32211834297864540732524206443812234356

773578905642

84421253313457860736253007328623457889

072368960804

32567808436789535577348994837522535578

324577892345

若从表中第6行第6列开始向右依次读取3个数据,则得到的第7个样本编号）

A.522B.324C.535D.578

解：第6行第6列的数开始的数为808,不合适，436,789不合适，535,577,348,994

不合适，837不合适，522,535重复不合适，578,324；

所以抽取的7个编号为436,535,577,348,522,578,324；

即第7个样本编号为324.

故选：B.

3.下列四个数中，数值最小的是（）

A.25（10）B.54（4）C.10110⑵D.10111⑵

解:•・,对于5,54⑷=20+4=24（10）；

对于C10110喙=0+2+4+16=22<10）；

对于10111(2)=1+2+4+16=23<10)；

故四个数中10110⑵最小,

故选：C.

4.掷铁饼是一项体育竞技活动.如图是一位掷铁饼运动员在准备掷出铁饼的瞬间，张开的

双臂及肩部近似看成一张拉满弦的“弓”.经测量此时两手掌心之间的弧长是器，“弓”

O

所在圆的半径为1.25米，估算这位掷铁饼运动员两手掌心之间的距离约为()(参

考数据：加g1.414,73=1.732)

A.1.012米B.1.768米C.2.043米D.2.945米

解：根据题意作出下图，弧AD的长为铝，八…兀，

16NAOCM逵F

所以AB=2AO2X1.25*siny^l.768.

故选：B.

5.已知sin8=3cos。，贝!)cos(三1L+28)=()

4

D.

解：因为sin9=3cos8,

〜一,371八、2sin0cos02X3cos8Xcos83

所以cos(-^-+28)=sin29=.22T

9cos^9+cos^65

乙sin+cos0

故选：C.

6.下列说法中正确的是()

A.若事件A与事件5是互斥事件，则尸(A)+尸(B)=1

B.若事件A与事件3满足条件：P(AUB)=P(A)+P(B)=1,则事件A与事件B

是对立事件

C.一个人打靶时连续射击两次，则事件“至少有一次中靶”与事件“至多有一次中靶”

是对立事件

D.把红、橙、黄、绿4张纸牌随机分给甲、乙、丙、丁4人，每人分得1张，则事件

“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是互斥事件

解：把红、黑、蓝、白4张纸牌随机地分发给甲、乙、丙、丁四个人，每人分得1张，

事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”

由互斥事件和对立事件的概念可判断两者不可能同时发生，故它们是互斥事件，

故选：D.

7.已知△ABC的边上有一点。满足丽=一2反，则而可表示为（）

A.AD=-AB+2ACB.ADAB4^

C.AD=2AB-ACD-AD^|-ABAC

解：因为△ABC的边3c上有一点£＞满足丽=-2立，

所以BD=2CD，则BC=BD+D*BD，

所以而=AB+BD=AB+2BC=AB+2（AC-AB）=-AB+2菽，

故选：A.

8.如图程序框图是为了求出满足3"-2"＞2021的最小偶数小那么在＜＞和||两个

空白框中，可以分别填入（）

A.A>2021和n=n+lB.A>2021和n=n+2

C.AW2021和n=n+\D.AW2021和n=n+2

解：•••程序框图为当型循环，

•••当A满足条件，才会进行循环，显然判断框中，不能填A>2021,故排除A、B,

:输出n为偶数，且n的初始值为0,

处理框中应填n=n+2.

故选：D.

OTT11T

9.已知tan(a+B)至，那么tan(a•^■丁)等于()

A.—B.—C.—D.—

2323618

QJT1

解：由于tan(a+B)二,tan(P--

b44

兀

冗7rtan(CL+p)-tan(P-

所以tan(=tan[(a+p)-(p—)]=-----------------------——二

l+tan(a+6)tan(P

31

一T二7

南区

故选：A.

10.2021年某省实施新的“3+1+2”高考改革方案，“3”即为语文、数学、英语3科必选,

“1”即为从物理和历史中任选一科，“2”即为从化学、生物、地理、政治中任选2科,

则该省某考生选择全理科(物理、化学、生物)的概率是()

A.—B.—C.—D.—

1051012

解：“3+1+2”高考改革方案，“3”即为语文、数学、英语3科必选，

“1”即为从物理和历史中任选一科，“2”即为从化学、生物、地理、政治中任选2科,

基本事件总数”=cgc；c/=i2,

该省某考生选择全理科(物理、化学、生物)包含的基本事件个数m=1,

则该省某考生选择全理科(物理、化学、生物)的概率是P=皿=士.

n12

故选：D.

11.已知单位向量Ii满足若向量3=攻：+'匹7，则向量7与向量W夹角的正弦值

为()

A.且B.返C.瓜D.返

3399

解：根据题意，设向量7与向量W夹角为0,

向量五I，则值="n=3,

3=V7?+■4="

则有cos0=盘\=且,

Imllcl3

又由OWeWm则sine=4]_coS28

故选：B.

12.已知函数f（x）=Asin（3x+Q）（A>0,3>0,|0|<y,x€R）在一个周期内的

图象如图所示.则y=/（x）的图象，可由函数>=85%的图象怎样变换而来（纵坐标不

变）（）

A.先把各点的横坐标缩短到原来的〈1倍，再向左平移1T;个单位

26

B.先把各点的横坐标缩短到原来的51倍，再向右平移三J■T个单位

C.先把各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移工个单位

D.先把各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移各个单位

解：由图知，A=l,最小正周期T=4X（-三-）]=冗,

126

・T2兀

..T=----=冗，即3=2,

3

JTTT

把点（手？1）代入函数中，有l=sin（2*—+（p）,

兀兀兀

.•・一^-+隼=-^-+2加，左EZ,即（p=-^-+24IT,k£Z,

,,7T兀

•l（pl<—，・・（p=-^-，

乙O

，函数，（x）=sin⑵+工-）=sin（2x-2-+』-）

362

=cos(2x----)=cos2(x----)，

612

函数y=cosx的图象横坐标缩短为原来的得到y=cos2x,

再将其向右平移三个单位，得到y=cos2(X-3).

1212

故选：B.

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13.如图是一个边长为3的正方形二维码，为了测算图中黑色部分的面积，在正方形区域内

随机投掷1089个点，其中落入白色部分的有484个点，据此可估计黑色部分的面积为

5

解：根据题意，设黑色部分的面积为S,

正方形二维码的边长为3,则其面积夕=3X3=9,

则有一?一=§=1-黑■,

S'91089

解可得S=5,

故答案为：5.

14.已知彳=(2,0),b=(1，2),实数人满足Ia-入b1=贝I3或1

5

一2——

b=5,a*b=2;

二由la-Xbl^M，Q"E)2=；2+入书2一额蠢祗==4入=5；

；.5人2-4入-1=0；

解得X=4或1.

5

故答案为：金•或1.

5

15.甲、乙两名学生的六次数学测验成绩(百分制)的茎叶图如图所示.

①甲同学成绩的中位数小于乙同学成绩的中位数;

②甲同学的平均分比乙同学的平均分高；

③甲同学的平均分比乙同学的平均分低；

④甲同学成绩的方差小于乙同学成绩的方差.

上面说法正确的是①③④.

对于①，甲同学成绩的中位数是Jx(80+82)=81,乙同学成绩的中位数是(87+88)

=87.5,

所以甲的中位数小于乙的中位数，①正确；

对于②，甲同学的平均分为』X(72+76+80+82+86+90)=81,

6

乙同学的平均分为工义(69+78+87+88+92+96)=85,

6

所以甲同学的平均分比乙同学的平均分低，②错误；

对于③，甲同学的平均分比乙同学的平均分低，③正确；

对于④，计算甲的方差为aX[(-9)2+(-5)2+(-1)2+12+52+92]=-^,

63

乙的方差为2X[(-16)2+(-7)2+22+32+72+112]=建

63

所以甲的方差小于乙的方差，④正确.

所以正确的命题序号是①③④.

故答案为：①③④.

16.已知尸、M、N是单位圆上互不相同的三个点，且满足|而|=|曲|，则而•百的取值

范围是[4•，4).

一L2一

解：如图：设圆心为O,由圆的性质以及|而1=1而可设=

a6S,-y-)-

连接。尸，OM,ON,则OP=OM=ON=1,且尸M=PN=2cosa,即|而|=|PN|=2cosCI-

ZMPN=2a,

所以F'M•言=4cos2a•cos2a=2(1+cos2a),cos2a=2(cos2a)2+2cos2a=

2［（cos2a总产一］，cos2aG（-1,1）,

由二次函数的性质可知：当cos2afl时，原式一4,当cos2a=-/■时，原式取得最小值

1

»，

故百J•百3的取值范围是[4，4）.

故答案为：[4，4）.

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤共6小题，共70分.

17.已知eye?是平面内两个不共线的非零向量AB=2e[+e2，BE=一e注入e2，EC=

-2ei+e2，且A,E,C三点共线.

（I）求实数人的值；

（II）若e[=（2,1）,e2=（2,-2）,求欢的坐标；

（III）已知。（3,5）,在（II）的条件下，若A,B,C,。四点按逆时针顺序构成平

行四边形，求点A的坐标.

解：（I）AE=AB+BE=（2e[+e2）+（-ei+入％）=e[+（1+入）e2，

因为A,E,C三点共线，所以存在实数左，使得近=k沃，

......

即e[+（1+入）e2=k（-2e[+巴），得（l+2k）e1=（k-l-入）e

因为巳1，巳2是平面内两个不共线的非零向量，

（l+2k=0

所以解得k=V，入

lk-1-入=0

（II）BC=BE+EC=-3eiNe尸（-6,-3）+（-1,1）=（-7,-2：；

12乙

（III）因为A,B,C,。四点按逆时针顺序构成平行四边形，所以通二丈,

设A(x,y),则AD=(3-X,5-y),

因为前=(-7,-2)，所以［尸《解得卜”，

l5-y=-2Iy=7

即点A的坐标为(10,7).

18.某公司餐厅为了完善餐厅管理,提高餐厅服务质量,随机调查了50名就餐的公司职员.根

据这50名职员对餐厅服务质量的评分，绘制出了如图所示的频率分布直方图，其中样本

数据分组为［40,50),［50,60),［90,100］.

(/)求频率分布直方图中。的值；

(II)若采用分层抽样的方式从评分在［40,60),［60,80),［80,100］的公司职员中

抽取10人，则评分在［60,80)内的职员应抽取多少人？

(III)该公司规定：如果职员对公司餐厅服务质量的评分低于75分，将对公司餐厅进行

内部整顿.用每组数据的中点值代替该组数据，试估计该公司职员对餐厅服务质量评分

的平均分，并据此回答餐厅是否需要进行内部整顿.

解：(I)由(0.004+a+0.022+0.028+0.022+0.018)X10=l,解得。=0.006.

(II)由频率分布直方图可知，

评分在［40,60),L60,80),［80,100］内公司职员人数之比为：

(0.004+0.006)X10：(0.022+0.028)X10：(0.022+0.018)X10=l：5：4,

R

所以评分在［60,80)内的公司职员应抽取10X「^=5(人).

1+5+4

(III)由题中数据可得公司职员对餐厅服务质量评分的平均分为：

7=45X0,004X10+55X0.006X10+6!X0.022X10+75X0.028X10+85X0.022X

10+95X0.018X10=76.2.

因为76.2>75.所以餐厅不需要内部整顿.

以设函数f（x）=sin（Sx平）卬＞。）的最小正周期为兀

(I)求0)；

/TT、.4-p,Q3兀、24i-i尸/TTTT、,心,/士

（II）右f（丁+2且a£（——,—）＞求sin2a的值•

ZoZD乙乙

（III）画出函数y=/（x）在区间［0,汨上的图象（完成列表并作图）.

1

1

103n7nn

T-T

-1

解:（I）•.•函数£G）=$壮（3*丹~）（3＞0）的最小正周期为兀

.2K=n.

.*.0)=2.

・・・函数的解析式为：f(x)=sin(2x/11)，

(II)由(I)知f(x)=sin(2x，4-)'

4/a3兀、24目口s.in/a3兀3兀、24

由fW(2X--H——X2—)

282528425

7日,rr一24

倚：sina.

兀<a<

2T

7

cosa

25

故得sin2a=2sinacosa=-：二)

625

（III）由（I）知f（x）=sin（2x」^），于是有（1）列表

713兀7兀

X0x€[o,K

T88

V2V2

y-1010

22

描点，连线，函数y=/（x）在区间［0,汨上图象如下:

20.某同学在一次研究性学习中发现，以下四个式子的值都等于同一个常数:

①sir?12°+cos242°+sinl2°cos42°；

②sin215°+cos245°+sinl5°cos45°；

③sin2200+cos250°+sin20°cos50°；

@sin230°+cos260°+sin30°cos60°.

(I)试从上述式子中选择一个，求出这个常数;

(II)根据(I)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论.

解：(I)由④式可得

sin230°+COS2600+sin300cos60°=百)2+得)之年义十二卷，

(II)由(I)的计算结果可得推广的三角恒等式为

sin2a+cos2(Q.+30°)+sinClcos(a+30°)4.

证明：左边=sin2a+cos2(a+30°)+sinacos(a+30°)

_l-cos2Cll+cos(2a+60°),门.o

-----------+------------------+smO-kfcosO-cos30-sin。nsin320n

-1cos2a11V3..炳.1.2a

~2----2----^■|^'cos2a--sin2a+-^-sin2CLsina

=l=cos2a-z-sin2a=l^r(l-2sin?a)-^-sin2a='=右面，

42424

，原式得证.

21.如图，单位圆。：尤2+,2=1与x轴的非负半轴相交于点尸,圆。上的动点。从点P出

发沿逆时针旋转一周回到点尸，设/尸OQ=x(0Wx<2ir),尸。的面积为y(当。,

P,。三点共线时，y=0),y与x的函数关系为如图所示的程序框图.

（T）写出程序框图中①②处的函数关系式;

（II）若输出的了,求点。的坐标.

解：(I)当xE[O,n]时，y=-^-fc|OP|ksinx=-^sinx»

当(n,2n)时，y=^'|0P|“sin(2兀-x)|二^~sinx，

故程序框图中①②处的函数关系式分别是yn/sinx，y=~^sinx-

(II)当xe[0,n]时，令《sinx二贝所以或x=^y

24244

所以点。的坐标为

当疣（m2Tr）时，令f讯咚则sinx=考,所以x耳或L与

所以点。的坐标为）或

故点。的坐标为（土乎，±

22.设某城市的公交公司为了方便市民出行，科学规划车辆投放，在一个人员密集流动地段

增个起点站，为了研究车辆发车间隔时间X与乘客等候人数y之间的关系，经过调查得

到如下数据：

间隔时间X（分钟）