2022-2023学年江苏省镇江市扬中重点中学高二（下）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年江苏省镇江市扬中重点中学高二（下）期末数学

试卷

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.等差数列｛的J的前几项和为Sn,a5=11,S12=186,则cig=（）

A.18B.20C.21D.22

2.某校有1000人参加某次模拟考试，其中数学考试成绩近似服从正态分布N（105,M）9>

0）,试卷满分150分，统计结果显示数学成绩优秀（高于120分）的人数占总人数的喜，则此次数

学考试成绩在90分到105分之间的人数约为（）

A.150B,200C.300D.400

3.某快餐店并排有7个座位，甲、乙、丙三位顾客就餐，每人必须选择且只能选择一个座位，

要求两端座位不能坐人，并且连续空座至多有2个，则不同的坐法有（）

A.24种B.36种C.48种D.56种

4.已知双曲线捻一，=l（a>0,6>0）的左、右焦点分别为Fi，F2,过双曲线C上任意

一点P分别作C的两条渐近线的垂线，垂足分别为4B,\PA\•\PB\=l，I&F2I等于（2/—

展开式的常数项，则双曲线C的离心率为（）

A.3B.3或双2C.巫D,2丘或双工

444

5.己知正四棱锥P-力BCD的底面边长为2。,侧棱P力与底面4BCD所成的角为45。，顶点P,

A,B,C,。在球。的球面上，则球。的体积是（）

A.167rB.等兀C.8兀D,"2兀

6.在平面直角坐标系％0y中，已知48为圆C：（汽-m）2+（y+2）2=4上两个动点，且=

2「，若直线八y=-2%上存在唯一的一个点尸，使得反=同+而，则实数m的值为（）

A.1+V~或1—V~5B.-1+V~^或—1—V~5

C.V~5—1或V~5+1D.—V~5+1或—V~5—1

7.若函数+。/一2%在区间（1,2）内单调递增，则实数a的取值范围是（）

24111

A.（-8却B.C.G，+8）D.弓,+8）

8.已知数列｛厮｝的前几项和为Sn，数列中的每一项即可取1或2,且即取1和取2的概率均为3，

则£1.能被3整除的概率为（）

A1B—C-D—

325610242048

二、多选题（本大题共3小题，共15.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9.数列｛an｝为等比数列，公比为q>1,其前n项和为Sn,若。5-的=15,a2-a4=16,则

下列说法正确的是（）

A.Sn+i=2Sn+1

n

B.an-2

C.数列｛log3（Sn+l）｝是等比数列

D.对任意的正整数k（k为常数），数列｛10g2（Sn+k-Sn）｝是公差为1的等差数列

10.已知甲罐中在四个相同的小球，标号1,2,3,4；乙罐中有五个相同的小球，标号为1,

2,3,5,6.现从甲罐、乙罐中分别随机抽取1个小球，记事件4="抽取的两个小球标号之

和大于5"，事件B=”抽取的两个小球标号之积大于8”，贝女）

A.事件a发生的概率为2B.事件auB发生的概率为非

C.事件4nB发生的概率为|D.从甲罐中抽到标号为2的小球的概率为（

11.仇章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂

直的四棱锥称为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称为

鳖臆如图,在阳马P-ABCD中，侧棱PD1底面=1,

AD=1,CD=2,则下列结论正确的有（）

A.四面体P—4CD是鳖腌

B.阳马P-4BCD的体积为,

C.若前=|前，则丽=+jDP

D.D到平面P4c的距离为|

三、填空题（本大题共5小题，共25.0分）

12.已知双曲线C：盘—4=1似>。,6>0）的离心率为蜉，右顶点为4以4为圆心，b为

半径作圆4圆4与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点，则有

4渐近线方程为y=±0B.渐近线方程为y=士?%

C.AMAN=60°D.^MAN=120°

13.已知随机变量满足P(f=x)=a尤+一1,0,1),其中a,b€R,若E(f)=：,则

“9=.

14.我国古代数学名著僚法统宗》中有如下描述：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，

共灯三百八十一."意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一

层灯数的2倍.请问塔顶层有_(1)_盏灯，塔底层有_(2)_盏灯.

15.如图，在三棱锥S—A8C中,SAL^-\^ABC,SA=AC=BC=2,

ACIBC,D为线段AB的中点，E为侧棱SB上一动点.若SE=EB,则

异面直线CE与SA所成角的余弦值为；当ACDE的面积最小时,

DE=.

16.若a/+6%—M无一1之o对于%£(0,+8)恒成立.当。=0时，b的最小值为；当

a>0时，口的最小值是.

a

四、解答题(本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17.(本小题10.0分)

10双互不相同的鞋子混装在一只口袋中，从中任意取出4只，试求各有多少种情况出现下列

结果：

(1)4只鞋子没有成双的；

(2)4只鞋子恰有两双；

(3)4只鞋子有2只成双，另2只不成双.

18.(本小题12.0分)

已知数列｛即｝的前n项和为目,且an+Sn=l,neN*,数列｛%｝满足3=Togza”

(1)求数列｛an｝的通项公式；

(2)设cn=爷符辿，数列｛%｝的前几项和为荒，求证：Tn<\.

Dn°n+14

19.(本小题12.0分)

如图，四棱锥S—ABCD的底面是直角梯形,4B//CD,NB力£>=^ADC=90°.SD，平面力BCD,

M是S4的中点，AD=SD=CD=2AB=2.

(I)证明：DM1平面S4B；

(II)求二面角A—S8-C的大小；

（Ill）线段SC上是否存在一点E,使得直线SA〃平面8DE.若存在，确定E点的位置；若不存在,

说明理由.

20.（本小题12.0分）

网上购物就是通过互联网检索商品信息，并通过电子订购单发出购物请求，厂商通过邮购的

方式发货或通过快递公司送货上门，货到后通过银行转账、微信或支付宝支付等方式在线汇

款.根据2019年中国消费者信息研究，超过40%的消费者更加频繁地使用网上购物，使得网上

购物和送货上门的需求量激增，越来越多的消费者也首次通过第三方4PP、品牌官方网站和

微信社群等平台进行购物.某天猫专营店统计了2020年8月5日至9日这5天到该专营店购物的

人数y和时间第x,天间的数据，列表如表：

12345

%75849398100

（1）由表中给出的数据是否可用线性回归模型拟合人数y与时间x之间的关系？若可用，估计8

月10日到该专营店购物的人数（人数用四舍五入法取整数；若|”>0.75,则线性相关程度很

高，可用线性回归模型拟合，计算r时精确到0.01）.

参考数据：V4340«65.88.

X忆1（々一支）（％一>）

附：相关系数「=J£仁1（々-5）2£之1（无一。）2，回归直线方程的斜率：b=a=

型式Z一x）2

y—bx'

（2）运用分层抽样的方法从第1天和第5天到该专营店购物的人中随机抽取7人,再从这7人中任

取3人进行奖励，求这3人取自不同天的概率；

（3）该专营店为了吸引顾客，推出两种促销方案：

方案一，购物金额每满10。元可减10元；

方案二，一次性购物金额超过800元可抽奖三次，每次中奖的概率均为全且每次抽奖互不影

响，中奖一次打9折，中奖两次打8折，中奖三次打6折.

某顾客计划在此专营店购买1000元的商品，请从实际付款金额的数学期望的角度分析选哪种

方案更优惠.

21.(本小题12.0分)

已知函数/(久)=Inx+tzx+1.

(1)若〃久)在久=1处有极值，求实数a的值；

(2)求函数f(x)的单调区间；

(3)若函数f(x)有两个零点，求实数a的范围.

22.(本小题12.0分)

已知双曲线C：卷-，=1(口〉0,6>0)的离心率为2,过点P(0,I司且斜率为1的直线Z交双

曲线C于48两点，且布.凉=3.

(1)求双曲线C的标准方程；

(2)设Q为双曲线C右支上的一个动点，尸为双曲线C的右焦点，在%轴的负半轴上是否存在定点

M,使得NQFM=2NQMF?若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.

答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：由数列的性质得的+a12=a5+a8,

-12

又因为S12=彳x(a[+a12)=186,

所4al+a12=a$+=31,

因为。5=11,

所以ag=20.

故选艮

由数列的性质得为+a12=a5+cig又因为S12=yx(a1+a12)=186所以a1+a12=a5+a8-

31所以=20

本题主要考查数列的性质即若m+n=1+k则a„i+an=at+ak.

2.【答案】C

【解析】

【分析】

本题主要考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义等基础知识，考查运算求解能力，属于基

础题.

1

由已知求出P(X<90)=P(X>120)=0.2,进一步求出P(90WXW105)=|?(90<X<120)=

0.3,则答案可求.

【解答】

解：•••P(X<90)=P(X>120)=0.2,

•••P(90<X<120)=1-0.4=0.6,

•••P(90<X<105)=if(90<X<120)=0.3,

...此次数学考试成绩在90分到105分之间的人数约为1000x0.3=300.

故选：C.

3.【答案】C

【解析】解：根据题意，假设7个座位依次为1、2、3、4、5、6、7,

要求两端座位不能坐人，则甲乙丙只能在2、3、4、5、6号入座，有废=60种排法，

其中3个空位相连，有2x41=12种排法，

则有60-12=48种连续空座至多有2个的坐法；

故选：C.

根据题意，假设7个座位依次为1、2、3、4、5、6、7,先分析甲乙丙只在2、3、4、5、6号入座

的情况数目，排除其中有3个连续空位的情况，即可得答案.

本题考查排列组合的应用，注意用间接法分析.

4.【答案】B

23rrr3r63r

【解析】解：(2/一；)3展开式的通项为图+1=C^(2x)-(-i)=(-l)2-q%-,

由6—3r=0,可得r=2,则(2久2一；尸展开式的常数项为6.

设双曲线的半焦距为c,贝k=3.

设P(xo，yo),则与-与=1,得方2就一=a2b2,

ab

P到两条渐近线的距离分别为田川=牛岩，\PB\=牛詈1,

[a2+b｛崔+/

|曲一Qy0|.g%o+Qyol_面.一。2%|_02匕2_g

A\PA\-\PB\=

c299,

a2b2=8,又a?+房=©2=9,解得仁二:攵或乜Z

e=£=3或红1

a4

故选：B.

根据二项式定理求得c,再由点到直线的距离公式结合|P*•|PB|=《，求得a的值，代入离心率公

式即可得答案.

本题考查双曲线的离心率，考查点到直线距离公式的应用，考查函数与方程思想，考查运算求解

能力，是中档题.

5.【答案】B

【解析】解：在正四棱锥P中，连接AC,BD,ACCBD=

O',连P0',如图，

易知P。'1平面4BCD,

NPA。'为侧棱P4与底面4BCD所成的角，；.NP4。'=45°,

O'P=O'A=O'B=O'C=O'D=号AB=2.

・・・顶点P,A,B,C,。在以。'为球心，2为半径的球面上，即点。与。'重合,

.•.球。的体积是U=^7TX23=y?r.

故选：B.

探求正四棱锥P-4BCD的顶点P在底面上射影O'与球。的球心关系，即可计算作答.

本题考查正四棱锥的外接球问题，解三角形，球的体积公式的应用，化归转化思想，属中档题.

6.【答案】B

【解析】解：设力Qi，%)，BQ2,%)，AB的中点M(空，空),

圆C：(%—zn)2+(y-2)2=4的圆心C(?n,2),半径厂=2,

圆心C到48的距离|CM|=J22—(/3)2=1，

直线八y=-2%上存在唯一的一个点P,使得k=同+而，

设P(%,-2%),贝|(%i-+2%)+(%2-x,y2+2%)=(m,2),

•••xr+x2—2x=m；yi+丫2+4%=2；

.%l+%2»_L7n%+及1n

2-=%+E，2=1-2%，

rn

***M(%+y,1—2x),

\CM\=J(x+y-m)2+(l-2x-2)2=1,

整理，得5/+(4—+乎=0，

••・直线I：y=—2x上存在唯一的一个点P,使得云=西+而，

2

•••△=(4-m)2-4x5x?=0.

整理，得TH?+2m—4=0,

角军得m=-1+亏或TH=-1—V-5-

故选：B.

设4(*1，%),8(^2,%)，圆C：(%—m)2+(y—2)2=4的圆心C(m,2),半径r=2,求出圆心到2B

的距离为1,设P。,一2x),求出4B中点M以及CM的表达式，由直线心y=2久上存在唯一的一个

点P,得到△=0,由此能求出6.

本题考查实数值的求法，考查点到直线的距离公式、直线与圆相切、中点坐标公式等基础知识，

考查运用求解能力，考查函数与方程思想，是中档题.

7.【答案】D

【解析】解：由函数/(X)=Inx+ax2-2%可得f'(x)=j+2ax-2,

若/(x)在区间(1,2)内单调递增，

则/'(X)>0在xe(1,2)恒成立，

即a>—，^在％6(1,2)恒成立，

令或乃=；一去

由柒41)，

1

•••g(X)<g(i)=2)

故a.

即实数a的取值范围是整，+8).

故选：D.

求出函数的导数，将问题转化为a2：-9在xe(1,2)恒成立，令g(x)=(一白，求出g(X)的最

小值，从而可求得a的取值范围.

本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题.

8.【答案】C

【解析】解：由古典概型可知，数列｛%J(1<n<11)共有21i种情况，5口能被3整除，有以下4种

情况：

①5｝中有10个1，1个2,有喏=11种情况；

②｛an｝中有7个1,4个2,有C；i=330种情况；

③｛即｝中有4个1，7个2,有片=330种情况；

④｛册｝中有1个1，10个2,有凡=1种情况，

所以，Sn被3整除的概率为11+33程3°+11=舐.

故选：C.

按古典概型得出数列｛册｝(1<n<11)共有211种情况，讨论％能被3整除的4种情况计算即可.

本题考查古典概型的问题，熟记概率的计算公式即可，属于常考题型.

9.【答案】AD

【解析】解：因为公比为q〉l,由f5二%=25

•a4=16,

可得产4一？=量即/1=拼

(ciiq-(1也3=16q’4

所以4q4-15q2-4=0,

解得q2=4,

n

所以］，二^，所以％I=2"T，Sn=2-1,

n+1n

所以%+i=2—1=25^+1,Sn+1=2,

所以logsOn+1)=nlog32,

n+kk

所以数列｛10g3(Sn+1)｝是等差数列，对任意的正整数n,k,Sn+k-Sn=2-2"=(2-1)2",

k

所以数列log2(Sn+k-Sn)=n+log2(2-1),

所以数列｛10g2(Sn+k-Sn)｝是公差为1的等差数列，

故正确的为4D.

故选：AD.

n

由已知利用等比数列的性质可得4q4-15q2—4=0,解得q,进而可得与=2"T,Sn^2-1,

逐项分析即可得解.

本题主要考查了等比数列的性质，意在考查学生的数学运算素养，属于中档题.

10.【答案】BC

【解析】解：甲罐中在四个相同的小球，标号1,2,3,4；乙罐中有五个相同的小球，标号为1,

2,3,5,6.

现从甲罐、乙罐中分别随机抽取1个小球，记事件a=”抽取的两个小球标号之和大于5”，事件

B="抽取的两个小球标号之积大于8”，

对于4,从甲罐、乙罐中分别随机抽取1个小球，基本事件总数n=4x5=20,

事件4包含的基本事件有：(1,5),(1,6),(2,5),(2,6),(3,3),(3,5),(3,6),(4,2),(4,3),(4,5),

(4,6),共11个，

P(X)=故A错误；

对于B,事件4UB包含的基本事件有：(1,5),(1,6),(2,5),(2,6),(3,3),(3,5),(3,6),(4,2),

(4,3),(4,5),(4,6),共11个，

・•.P(B)=5故8正确;

对于C,事件4nB包含的基本事件有(2,5),(2,6),(3,3),(3,5),(3,6),(4,3),(4,5),(4,6),共

8个，

82

•••P(C)=元一

对于D,从甲罐中抽到标号为2的小球的概率为=：,故。错误.

NU4

故选：BC.

对于4,从甲罐、乙罐中分别随机抽取1个小球，基本事件总数律=4x5=20,利用列举法求出

事件4包含的基本事件有11个，从而P(a)=|J；对于B,利用列举法求出事件力UB包含的基本事

件有11个，从而P(B)=~对于C,利用列举法求出事件anB包含的基本事件有8个，从而P(C)=

号对于D,从甲罐中抽到标号为2的小球的概率为

54

本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.

H.【答案】BCD

【解析】解：连接4C,•••△PAC^P，PA=<2,PC=y/~5,AC=屋,

・•.△PAC不是直角三角形，.•.四面体P-4CD不是鳖腌，错；

12

^P-ABCD=§xlx2xl=y,8对";

21

丽

-而+

3-3-

C对；

设。到平面P4C的距离为d,

5心4c=1-J(门尸一(殍尸=I'

由竽XL得d=|,则。到平面P4C的距离为I，二。对.

D乙D乙DD

故选：BCD.

由△0北不是直角三角形否定选项A；求得阳马P-ABC。的体积判断选项&以a，虎，而为基

底表示向量而进而判断选项C；求得。到平面P4C的距离判断选项D.

本题考查新定义，三棱锥的体积的求解，点面距的求解，属中档题.

12.【答案】B,C

【解析】

【分析】

本题考查双曲线的方程和性质，主要是离心率和渐近线方程，考查直线和圆的位置关系，弦长公

式的运用，考查运算能力，属于中档题.

运用双曲线的离心率公式，可设c=23a=Ct,t>0,求得b=t,可得双曲线的渐近线方程，

以及圆心力和半径r,由弦长公式可得|MN|,判断AMM4的形状，可得NM4V的大小.

【解答】

解：由题意可得e=£=4f,

a3

可设c=2t,a=Gt,t>0,

则b=Vc2—a2=t,0),

圆人的圆心为0),半径丁为3

双曲线的渐近线方程为丫=±?*,即丫=±11比，

圆心a到渐近线的距离为d=与萼=?,

弦长|MN|=2Vr2-d2=2=t=b，

可得三角形MM4为等边三角形,

即有NM2N=60°.

故答案为：B,C.

13.【答案】

【解析】

【分析】

本题考查了随机变量的分布列的性质以及求解方差的问题，考查运算能力，属于中档题.

根据分布列的性质以及期望求出a,6的值，由此即可求出方差.

【解答】

解：由己知可得：P(f=-1)=—a+b,P(f=O)=b,P(f=l)=a+6,

则-a+b+b+a+b—1,即b=

又——1x(—a+6)+0x6+lx(a+b)=—,所以a——,

DO

所以f的分布列如下：

-101

111

P

632

所以=j(-l-5)2+j(0-|)2+|(i-1)2=l，

故答案为：|.

14.【答案】3

192

【解析】解：设从上向下的灯的数记为｛&J,

7

则数列｛即｝是以2为公比的等比数列且s7=。式1-2)=381，

解可得，臼=3,

所以=3X26=192.

故答案为：3,192

设从上向下的灯的数记为｛即｝,数列｛an｝是以2为公比的等比数列且S7=381,结合等比数列的求

和公式可求的，进而可求.

本题主要考查了等比数列的求和公式及通项公式的简单应用，属于基础试题.

isr答索】62

【解析】解：•・•£)、E分别为48、SB的中点，••・DE〃S4

NCED或其补角为异面直线CE与S4所成的角，

•••SA_L平面ABC,DE，平面ABC,•••DE1CD,

DE-^SA-1,CD-—V-2>CE=y/_3>

在Rt△CDE中，coszCFD=器=晨=华,

CEV33

.•.异面直线CE与sa所成角的余弦值为三1

•••SA_L平面ABC,SA1CD,

在等腰RtAABC中，。为斜边48的中点，CD148,

SAr\AB=A,SA,ABu平面SAB,

CD_L平面SAB,

•••DEu平面SAB,CDIDE,

•••SACDE=^CD-DE=QDE，

要使ACDE的面积最小，则DE最小，此时DEISB,

在Rt△SAB中，SB=VSA2+AB2=V4+8=2\T3>sin/SBA=经=~^==?，

SD2v33

在出△DEB中，DE=BD-sin乙SBA=C.乂号=殍.

故答案为：£3；?.

由。£7/SA,知ZTED或其补角即为所求，在RMCDE中，求出cosaED的值，即可；先利用线面

垂直的判定定理证明CD1平面S48,得CDIDE,从而推出当。ELSB时，S^DE最小，再结合三

角函数的知识，即可得解.

本题考查异面直线夹角的求法，利用平移法，找出异面直线的夹角是解题的关键，考查学生的空

间立体感、逻辑推理能力和运算求解能力，属于中档题.

16.【答案】1--

e

【解析】解：ax2+bx—Inx—1>0对于％G(0,+8)恒成立，

等价于<ax+b对于％e(0,+8)恒成立，

令以玲="i,则/(*)=要，

令f'Q)>0,解得0<久<1,

令((久)<0,解得%>1,

故f(x)在(0,1)递增，在(1,+8)递减，

WWmax=/(I)=1，

加

因为<ax+6对于％e(0,+8)恒成立，

只需y=ax+b>1在(0,+8)恒成立即可，

①a=0时，y=b>l,故6的最小值是1,

②a>0时，令ax+6=0,解得％=-2,

，取最小值时，直线y=Q%+b在汽轴的截距最大，

令/(%)=0,解得：%=-,故一2=工，

eae

即2的最小值是一L

ae

故答案为：

1;-e

令〃%)=修，求出函数的导数，根据函数的单调性求出f(%)的最大值，求出b的最小值即可，

。>0时，令a%+b=0,解得：x=-自取最小值时，直线y=a%+b在光轴的截距最大，求出

aa

2的最小值即可.

a

本题主要考查函数恒成立问题，考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及转化思想，

是中档题.

17.【答案】解：(1)从10双鞋子中选取4双，有Cfo种不同选法，

每双鞋子中各取一只，分别有2种取法，

根据分步乘法计数原理，选取种数为N=Cfox24=3360种.

(2)从10双鞋子中选2双有C/o种取法，即有45种不同取法.

(3)先选取一双有Cfo种选法，再从9双鞋中选取2双有牖种选法，

每双鞋只取一只各有2种取法，

根据分步乘法计数原理，不同取法为N=盘0*X22=1440(种).

【解析】(1)首先从10双鞋子中选取4双，再从每双鞋子中各取一只，利用分步乘法计数原理即可

求解；

(2)从10双鞋子中选2双即可求解;

(3)先选取一双，再从9双鞋中选取2双，每双鞋只取一只，利用分步乘法计数原理即可求解.

本题考查组合数的应用，是基础题.

18.【答案】解：⑴由an+Sn=l,neN*,可得的+S[=%+%=1,解得的=：,

九之2时，an_t+Sn_1=1,又册+5九=1,两式相减可得Q九—Q九_]+S九-S九_i=0,

艮口为—1+=0,即a九=1，

可得an='G)"T=G)'

n

数列｛,｝满足垢=-log2an=-log2(^)=n；

⑵证明…=骑警=]^^忌一品局’

1,11..111

所以%=万弓一超+标_薮1+…+於-(n+i""】]

=早_____1_I<1

Ln+1J

_22(n+l).24-

【解析】本题考查数列的递推式和等比数列的通项公式，以及数列的裂项相消求和，考查转化思

想和运算能力、推理能力，属于中档题.

(1)由数列的递推式和等比数列的通项公式，可得与；由对数的运算性质可得6“；

⑵推得.==[丛-7]，由数列的裂项相消求和和不等式的性质，即可得证.

誓Dn件^n±+12z71z(n+Jl)-2河

19.【答案】证明：(I)因为SD1平面2BCD,

DA,DCu平面力BCD.

所以SD1ZM,SD1DC,XDA1DC.

如图，以D为原点建立空间直角坐标系.

由题意得。(0,0,0),4(2,0,0),8(2,1,0),C(0,2,0),S(0,0,2),

所以两=(1,0,1),襦=(2,0,—2),AB=(0,1,0).

所以丽•耳？=0，DM-AB=0-

所以DM1S4DM1AB,S4Cl4B=4

SA,2Bu平面S4B,

所以DM_L平面S2B.

解：(II)设平面SBC的法向量为元=(x,y,z),

因为元=(0,2,—2),BC=(-2,1,0).

所以区？=。，即代二六U，

(BC•记=0k-2x+y=0

令x=1,贝！Jy=2,z=2,于是元=(1,2,2).

因为DM,平面S2B,所以丽为平面S4B的法向量,

又两=(1,0,1).

五•丽_。

所以<n,DM>=

cos|n|-|DM|——

因为所求二面角为钝角，所以二面角力-SB-C大小为135。.

(III)设定=ASC=(0,2/—22).(A£[0,1]),

~DE=DS+SE=(0,22,2-24)，

DB=(2,1,0)，S4=(2,0,-2).

设平面BDE的法向量电=Oo，yo，Zo)，

,n

则怦2=0；即124yo+2(1-A)z0=0,

{DB-n2—0(2工0+7o=0

令Xo=1，丫0=-2,z()=总于是沅=(1,一2,昌),

1—A1—A

如果直线S4〃平面BDE,

那么•布=0，解得4=

所以，存在点E为线段SC靠近S点的三等分点，使得直线S4〃平面BDE.

【解析】本题考查线面垂直、二面角的大小、线面平行的判定，考查空间中线线、线面、面面间

的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.

(1)推导出5。1力4,SD1DC,DALDC,以。为原点建立空间直角坐标系，利用向量法能证明

DM1平面SA8.

(II)求出平面SBC的法向量和平面S4B的法向量，利用向量法能求出二面角A-SB-C大小.

(III)求出平面BDE的法向量，利用向量法能求出存在点E为线段SC靠近S点的三等分点，使得直线

SH〃平面BDE.

20.【答案】解：(1)由表中的数据可得，x=3,y=90,

-%)2=10,£之式％-y)=434,毙式/一光)(％-y)=64,

______£i=l（Xir）（y「y）64

-0.97>0.75

故「/一2一2V4340

所以变量y与x具有很强的线性相关性,

故可以用线性回归模型拟合人数y与天数x之间的关系,

所以小菱―i

a=y—bx=90—6,4x3=708

所以y=6.4久+70.8,

令x=6,则有y=109.2，

故8月10日到该专营店购物的人数为109人；

(2)因为75：100=3：4,

所以第1天和第5天取的人数分别为3人和4人，

3人取自不同天的种数为废番+CjCl，

故概率为P=©■追=6

(3)若选方案一，则需付款1000-100=900元,

若选方案二，设需付款X元，则X的可能取值为600,800,900,1000,

相应的概率为P(X=600)=废©)3=焉

P(X=800)=Cfx(|)2x|=捺，

P(X=900)=废x3*(扔=H，

P(X=1000)=C°x(|)3=捺,

所以E(X)=600X^-+800X+900x+1000X4<900.

乙/乙/乙/乙/乙/

故选项方案二更划算.

【解析】本题考查了相关性的判断以及线性回归方程的求解，要掌握线性回归方程必过样本中心

这一知识点，考查了逻辑推理能力与运算能力，属于中档题.

⑴利用题中给出的数据和公式,求出相关系数r的值，由此判断变量y与x具有很强的线性相关性，

再求解6和a，得到线性回归方程，令X=6代入求解即可；

(2)先利用分层抽样得到第1天和第5天取的人数分别为3人和4人，然后由古典概型求解即可；

(3)分别求出方案一和方案二所需付款数，比较即可得到答案.

21.【答案】解:(1)函数f(x)在%=i处有极值1(1)=0,

又♦•"'(*)=；+a=手，解得a=-l，

当a=-l时，列出表格如下:

X(0,1)1(1,+8)

rw+0—

f(X)7极大值1

a=-1,在x=l处有极大值.

(2)f(x)=i+a=^(%>0),

当aNO时,/'(%)>0,/(%)在(0