2023届高考数学一轮复习单元双优测评卷-第二章直线和圆的方程A卷含解析

第二章直线和圆的方程

A卷基础过关必刷卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的

1.已知直线，：＞=丘与圆C：/+9-6》+5=0交于A8两点，若AA5C为等腰直角三角形,

则A的值为（）

V14

2.已知圆G：/+y2-履+2y=0与圆。2“2+丫2+0-4=0的公共弦所在直线恒过点

P（。/），且点尸在直线，京-〃y-2=0上，则加〃的取值范围是（）

-00,—-00,——

44

3.己知4（—1,0）,8（0,2）,直线/：2x—2ay+3+4=0上存在点p,满足|PA|+1PB|=不，则

/的倾斜角的取值范围是（）

712万］「人万］一「27、F7i3乃］，八万,「3万、

A.B.0,-U—,KC.D.0,-U—,K

［33」L3jL3）144」I4jL4）

4.2020年12月4日，嫦娥五号探测器在月球表面第一次动态展示国旗.1949年公布的《国

旗制法说明》中就五星的位置规定：大五角星有一个角尖正向上方，四颗小五角星均各有一

个角尖正对大五角星的中心点.有人发现，第三颗小星的姿态与大星相近.为便于研究,如图,

以大星的中心点为原点，建立直角坐标系，。。，OO2,OO3,。。4分别是大星中心点与

四颗小星中心点的联结线，a。16°,则第三颗小星的一条边AB所在直线的倾斜角约为（）

C.2'

5.已知圆C：xi+y2-lx-2y+\=Q,直线/：x+y-4=0,若在直线/上任取一点加作

圆C的切线M4,MB,切点分别为A,8,则ZACB最小时，原点。到直线A3的距离为()

A.迥B.72C.—D.2yli

22

6.直线〃x+y-l=O被圆d+y2-2x-8y+13=0所截得的弦长为26，贝!!”=()

43「.

A.—B.—C.V3D.2

34

7.已知点A(2,3),8(-3,-2)与直线/:丘-广上+1=0,且直线/与线段AB相交，则直线/的

斜率"的取值范围为()

33133

A.后N2或—B.kN-或—C.-4<AK—D.-WZW2

44444

8.已知直线1与单位圆0相交于A&,%)，8(%,必)两点，且圆心。到1的距离为日，

则归+)，||+上+%|的取值范围是()

A.佟,6B.甸C.与#D.［立行］

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得。分

9.已知圆C:x2-2“x+y2+a2-1=o与圆。:丁+丁=4有且仅有两条公共切线，则实数。的

取值可以是()

A.—3B.3C.2D.—2

10.一条斜率不为0的直线/：奴+勿+。=0,令/(x,y)=or+by+c,则直线1的方程可表

示为f(x,y)=0.现光线沿直线1射到x轴上的点&p,0),反射后射到y轴上的点B(0M),

再经反射后沿直线g(x,y)=o射出.若/(x,y)=o和g(x,y)=0中X和y的系数相同，则下列

结论正确的是()

A.4(p,l)+pg(l,<7)=0：

B.2/(p,y)+2g(x,4)=f(x,y)+g(x,y)

C.4(/+/)="(l,l)+g(l,l)］2

D.\f(x,y)-g(x,y)|<|f(p,4)+g(p,4)|

11.设为正数，若直线面:-切+1=0被圆丁+丁+4、-2产1=0截得弦长为4,则()

A.a+b=\B.2。+/?=1

12.下列说法正确的是()

A.直线丫=融一34+23€/?)必过定点(3,2)

B.直线y=3x-2在y轴上的截距为_2

C.直线百x+y+l=O的倾斜角为60°

D.过点(-1,2)且垂直于直线x-2y+3=0的直线方程为2x+y=0

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分

13.设点P是直线3x-4y+7=O上的动点，过点P引圆(x-l)2+y2=，(r>o)的切线PA,P8(切

点为A,B),若NA&?的最大值为g,则该圆的半径r等于_

14.己知函数/(x)=VT，+Mx-2)有两个不同的零点，则常数出的取值范围是

15.在平面直角坐标系xOy中，已知直线/：、=丘+2与圆C:(x-lf+y2=9交于A、8两

点，过点A、8分别作圆C的两条切线4与4，直线4与4交于点尸，则线段PC长度的最小

值是.

16.唐代诗人李顽的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗

中隐含着一个有趣的数学问题一一“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出

发，先到河边饮马再回到军营，怎样走才能使总路程最短?在如图所示的直角坐标系xOy中,

设军营所在平面区域为｛(了》)|*2+/4亍，河岸线所在直线方程为x+3y-10=0.假定将军

从点P(2』)处出发，只要到达军营所在区域即回到军营，则将军可以选择最短路程为

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤

17.已知圆M过C(l,-1),D(-1,1)两点，且圆心M在x+y-2=0上.

(1)求圆M的方程；

(2)设P是直线3x+4y+8=0上的动点，PA,PB是圆M的两条切线，A,B为切点，求四边形

PAMB面积的最小值.

18.点E,F分别是正方形ABCD的边AB,BC的中点，点M在边AB上，S.AB=3AM,沿图

1中的虚线DE,EF,FD将,折起使A,B,C三点重合，重合后的点记为

点P,如图2.

(1)证明：PF±DM；

(2)若正方形ABCD的边长为6,求点M到平面DEF的距离.

19.已知点尸在抛物线C：V=4x上，过点尸作圆M:(x-3>+y2=/(0<rw&)的两条切

线，与抛物线C分别交于A、8两点，切线尸4、P8与圆用分别相切于点E、尸.

(1)若点P到圆心用的距离与它到抛物线C的准线的距离相等，求点尸的坐标；

(2)若点尸的坐标为(1,2),且「=&时，求而•加的值；

(3)若点尸的坐标为(1,2),设线段A8中点的纵坐标为心求，的取值范围.

20.如图,为保护河上古桥OA,规划建一座新桥BC,同时设立一个圆形保护区.规划要求:新桥

BC与河岸AB垂直;保护区的边界为圆心M在线段0A上并与BC相切的圆,且古桥两端0和A

到该圆上任意一点的距离均不少于80m.经测量，点A位于点0正北方向60m处，点C位于

4

点0正东方向170m处（0C为河岸），tanNBCO=].

60mL

(9

（1）求新桥BC的长；

（2）当0M多长时，圆形保护区的面积最大?

21.如图，已知圆0的直径AB=4,定直线L到圆心的距离为4,且直线L,直线AB.点P

是圆0上异于A、B的任意一点，直线PA、PB分别交L与M、N点.

试建立适当的直角坐标系，解决下列问题：

(1)若NPAB=30°,求以MN为直径的圆方程；

(2)当点P变化时，求证：以MN为直径的圆必过圆0内的一定点.

22.已知圆(?:/+/+2乂-7=0内一点P(-1,2),直线/过点尸且与圆C交于A,8两点.

(1)求圆C的圆心坐标和面积；

(2)若直线/的斜率为出，求弦A8的长；

(3)若圆上恰有三点到直线/的距离等于近,求直线/的方程

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的

1.已知直线/：y=心与圆C：》2+丁-6犬+5=0交于4B两点，若AABC为等腰直角三角形,

则k的值为()

A.巫B.巫C.士巫D.土色

7227

【答案】D

【解析】

由工2+9一6工+5=0可得：(x-3)2+y2=4,

所以圆心C（3,0）,半径厂=2,

由AABC为等腰直角三角形知，

圆心C（3,0）到直线/：y=日的距离4=#，=0,

所以“=-^^=伉解得』上，

VF+17

故选：D.

2.已知圆G：x2+y2-日+2y=0与圆。2：/+丫2+0-4=0的公共弦所在直线恒过点

P（a，b）,且点P在直线〃ir-"y-2=0上，则如?的取值范围是（）

【答案】D

【解析】

将圆G与圆C2的方程相减得公共弦所在直线的方程为a+（"2）y-4=0,即

々（x+y）-（2y+4）=0,

[2y4-4=0[x=2.、

由八，得.，即点P2,-2,

[x+y=O[y=-2

m+nY1

因此，2m+2〃-2=0,.•.加+〃=1,由基本不等式可得〃皿4|、2J

当且仅当根=〃=g时，等号成立，

因此，如?的取值范围是1-8,；.

故选：D.

3.己知A（T,O）,B（0,2）,直线（:2%-2做+3+a=0上存在点、P,满足|PA|+|P3|=6,则

/的倾斜角的取值范围是（）

712^1「,、乃]一「2》、「乃3万D(c7r~\.,r3乃、

A.B.0,-U—,7rC.-m州彳臼

133」L3jL3J144」

【答案】D

【解析】

将A（—1,0）代入2x—2ay+3+a=0得a=-1,

将3(0,2)代入2》-2欧+3+。=0得4=1,

所以A,B不在直线1上，

又|明=6,|以|+|尸8|=/上,

所以点P在线段AB上，

直线AB的方程为:y=2x+2,xw[T,0],

y=2x+2

..2x+32x+32x+3

由《2x-2〃y+3+〃=0,解传“-2y-l-2（2工+2）-1-41+3'

-l<x<0

直线方程2X-2冲+3+4=0,即为y=Jx+孚，

a2a

设直线/的倾斜角为a,

.14x+3.3

则nIltana=—=----=2------

a2x+32x+3

因为—lWxWO,

所以l<2x+3<3,

3

则

3

所以心广，

即-14tana<1,

因为aw（O,万）,

所以心(。,科耳㈤,

故选：D

4.2020年12月4日，嫦娥五号探测器在月球表面第一次动态展示国旗.1949年公布的《国

旗制法说明》中就五星的位置规定：大五角星有一个角尖正向上方，四颗小五角星均各有一

个角尖正对大五角星的中心点.有人发现，第三颗小星的姿态与大星相近.为便于研究,如图,

以大星的中心点为原点，建立直角坐标系，。。，OO2,OO3,OQ,分别是大星中心点与

四颗小星中心点的联结线，ax16%则第三颗小星的一条边AB所在直线的倾斜角约为(）

A.o°B.rC.2°D.3,

【答案】C

【解析】

Q。，。3都为五角星的中心点，，。。3平分第三颗小星的一个角，

又五角星的内角为36。，可知/BAQ=18。，

过Q作x轴平行线O,E,则NOO,E=a=16,所以直线AB的倾斜角为18°-16°=2。,

故选：C

5.己知圆C：x2+y2-2x-2y+l=0,直线/：x+y-4=0,若在直线/上任取一点M作

圆C的切线M4,MB,切点分别为A,8,则ZACB最小时，原点。到直线A3的距离为()

A.—B.72C.—D.272

22

【答案】A

【解析】

由彳2+、2_2刀_2"]=0得(*_1)2+(”1)2=],

所以圆心C(l,l),半径厂=1,

Ar।

在RtNCAM中，cosZACM=-----=------,

MCMC

当NACB最小时，NACM最小，cos/ACM最大，MC最小，此时MC_U,

粤昌=应，此时cosZACM=」==也,

MC的最小值为圆心C到直线I的距离:

V1+1\J22

ZACM=-

4

因为MCLAB,所以AB〃/,所以圆心C到直线A3的距离为立,

2

所以两平行直线/与AB之间的距离为&-等考,

因为原点o到直线I的距离为1”言,=20,

所以原点。到直线A3的距离为2&-曰=半.

故选：A

6.直线《x+y-l=0被圆x2+y2-2x-8y+13=0所截得的弦长为26,则"=()

A.—B.—C.^3D.2

34

【答案】A

【解析】

x2+y2-2x-Sy+\3=0,即(x-l)?+(y-4『=4,该圆圆心为(1,4),半径为r=2

直线⑪+y-l=0截圆所得的弦长为2百，则圆心(1,4)到直线ar+y-l=0的距离为

4=炉一阴2=1

.」“：：一k1,解得q=

4-13

故选：A

7.已知点A(2,3),8(-3,-2)与直线/:玄7-无+1=0,且直线/与线段A8相交，则直线/的

斜率％的取值范围为()

33133

A.k>2^k<—B.k>—^k<一一C.-4WAK二D.—<k<2

44444

【答案】A

【解析】

解：已知点42,3),8(-3,-2)与直线/:"一丁一斤+1=0,且直线/与线段A3相交，

直线/：履-y-《+l=O,即直线-y+l=O,它经过定点M（U）,

3—1_o_1a

M4的斜率为―—-=2,MB的斜率为―—-=—，

2-1-3-14

3

则直线/的斜率上的取值范围为2之2或攵4二，

4

故选：A.

8.己知直线1与单位圆0相交于8（马,%）两点，且圆心0到1的距离为等,

则|%+乂|+卜+%］的取值范围是（）

A.怪nB.［属厨C.怪石D.［&,向

【答案】A

【解析】

圆的方程为一+丁=1,

圆心到直线y=行1+8的距离为坐，交于A（x,,yJ与B（盯%）,

…或~2

由y=Gx+6与Y+y2=1联立得

X=0回

丫2=2

x/3+l

则上+%|+区+力|=<72,排除BD；

2

的距离为平,交于A（%,*）和8优,为）

圆心到直线y=-x+回

2

•\/6+y/2,V6—^2

设）,=—+区与人号联立得.4

成“

-2底-垃

以1

则|%+)|+区+%|=#＞百,排除D,

故选：A.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得。分

9.已知圆C:x2-2ax+y2+/_i=。与圆。:^+丁=4有且仅有两条公共切线，则实数”的

取值可以是()

A.—3B.3C.2D.—2

【答案】CD

【解析】

圆C方程可化为：(x—4+丁=1,则圆心C(〃,O),半径4=1；

由圆。方程知：圆心0(0,0),半径弓=2；

•・•圆C与圆。有且仅有两条公切线，.••两圆相交，

又两圆圆心距4=同，.■.2-l<|a|<2+l,Bp1<|a|<3,解得：一3<a<-l或1<a<3,

可知CD中的。的取值满足题意.

故选：CD.

10.一条斜率不为0的直线/：ar+6y+c=0,f{x,y)=ax+by+c,则直线1的方程可表

示为f(x,y)=0.现光线沿直线1射到x轴上的点A(p,0),反射后射到y轴上的点B(0,q),

再经反射后沿直线g(x,加=0射出.若f(x,y)=0和g(x,y)=0中x和y的系数相同,则下列

结论正确的是()

A.4(p，i)+pg(Lq)=0'

B.2/(p,y)+2g(x,q)=f(x,y)+g(x,y)

c.4(p2+q2)="(l,l)+g(l,l)]2

D.|/(x,y)-g(x,y)\<\f(p,q)+g(p,q)\

【答案】AB

【解析】

由题意知/(x,y)=0的图象过点(Of)和(p,0),所以直线/:产"-P),.f(x,y)="-

p>-pq=°，又/(x,y)=0和g(x,y)=0中x和y的系数相同，且g(x,y)=0的图象过(0国),

所以g(x,y)=qx-py+pq=。.

对于A,qf(p,l)+pgQq)=q(qxp-pxl-pq)+p(qxl-pxq+pq)=0,所以A正确；

对于B,2/(p,y)+2g(x,q)=2(pq-py-pq)+2(qx-pq+pq)=-2py+2qx,

f(x,y)+g(x,y)=qx-py-pq+qx-py+pq=2qx-2py,所以2/(p,y)+2g(x，4)=/(x,y)+g(x,y),选

项B正确；

对于C,"(l』)+g(l,l)]2=[(g_p_pq)+g_p+pg)]2=4q—p)2w4(p2+q2),所以c错误；

对于D,If(x,y)-g(x,y)|=|-2pq|,|/(p,q)+g(p,q)|二O,所以D错误.

故选AB.

11.设。"为正数，若直线办-刀+1=0被圆/+丁+4.2尹1=0截得弦长为4,则()

A.a+b=\B.2Q+Z?=1

a+2h

C.ab<—D.>9

8ab

【答案】BCD

【解析】

由x?+y2+4x-2y+l=0可得(x+2)2+(y-l)2=4,

故圆的直径是4,

所以直线过圆心(-2,1),即2a+b=l,故B正确；

又“，〃均为正数，所以由均值不等式2a+b=lW2"而当且仅当。=：力=g时

等号成立；故C正确；

_a+2ha2h12

又-----=—+—=—+—

abababba

当且仅当学=竺，即4=6,即a=b=!时，等号成立，故D正确.

ba3

故选：BCD

12.下列说法正确的是()

A.直线y=Gf-3a+2(aeR)必过定点(3,2)

B.直线y=3x-2在y轴上的截距为_2

C.直线Jix+y+l=0的倾斜角为60°

D.过点(-1,2)且垂直于直线x-2y+3=0的直线方程为2x+y=0

【答案】ABD

【解析】

y=or-3a+2(aeR)可化为y-2=a(x—3),则直线y=or-3a+2(aeR)必过定点(3,2),

故A正确；

令x=0,则丫=-2,即直线y=3x-2在y轴上的截距为—2,故B正确；

代x+y+l=O可化为y=-Gx-l,则该直线的斜率为-内，即倾斜角为120。，故C错误;

设过点(T,2)且垂直于直线x-2y+3=0的直线的斜率为々

因为直线x-2y+3=O的斜率为所以解得％=—2

贝D过点(一1,2)且垂直于直线x-2y+3=O的直线的方程为y-2=-2(x+l),即2x+y=0,故D

正确；

故选：ABD

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分

13.设点P是直线3x-4y+7=O上的动点，过点P引圆(》-1)2+丫2=产(厂＞0)的切线丛,28(切

点为A3),若N4P3的最大值为?，则该圆的半径r等于一

【答案】1

【解析】

设圆的圆心为C(l,0),

因为点P是直线3x-4)，+7=0上的动点，

所以当点P到点C的距离最小时，/4P3取得最大值，此时CP与直线3x-4y+7=0垂直,

因为N4m为TT所以4PC=TJT

36

|3-0+7|

点C到直线的距离为〃==2,

"+4

在MAAPC中，r=\AC\=-d=\,

故答案为：1

14.已知函数/(x)=VT节+Mx-2)有两个不同的零点，则常数k的取值范围是

【答案】Q&k心

3

【解析】

由函数f（x）=5/匚P+k（x-2）有两个不同的零点,

可知丫=5/［二7与），=-％（》-2）的图象有两个不同的交点,

故作出如下图象，

当丫=>/^7与丫=一乂》一2）的图象相切时，=即k=±且，

yjk+\3

由图可知-&<0,故相切时&=立，

3

因此结合图象可知，当04A时，丫=，37与卜=一灯》一2）的图象有两个不同的交点,

即当04A邛时，函数,f（x）=5/T，+Nx-2）有两个不同的零点.

故答案为：（）44<立■.

3

15.在平面直角坐标系xOy中，已知直线/：y="+2与圆C：（x—l），y2=9交于A、B两

点，过点A、8分别作圆C的两条切线乙与4,直线4与4交于点尸，则线段PC长度的最小

值是.

【答案】|V5

【解析】

圆C:（x—炉+产=9的圆心坐标为C（l,0）,半径为3.

直线/：丫="+2过定点G（0,2）,连接BC、AC,如图，

・••BC为圆的半径是定值，|PC|=_忸♦

11cosNPCB

.,.要使|PC|最小，贝Ijcos/PCB最大，即NPC8最小，也就是|AB|最小，此时A8_LCG,

•••c(l,o),G(0,2),.-.|CG|=75.求得cosNPCB=,

39遍

线段PC长度的最小值是:万二三一.

3

故答案为：竽

16.唐代诗人李顽的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗

中隐含着一个有趣的数学问题一一“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出

发，先到河边饮马再回到军营，怎样走才能使总路程最短?在如图所示的直角坐标系X0，中,

设军营所在平面区域为｛(匚丫)|/+丁4力，河岸线所在直线方程为x+3y-10=0.假定将军

从点P(2,l)处出发，只要到达军营所在区域即回到军营，则将军可以选择最短路程为

【答案-】；7

【解析】

设点尸(2,1)关于直线x+3y-10=0的对称点P仅力)，

a=3

解得，所以P(3,4),

2+a_b+1__b=4

------+3x---------10=0

22

将军从P出发到达直线上点A再到营区，IM=|PA|,

所以本题问题转化为求点P'(3,4)到营区的最短距离，

根据圆的几何性质可得最短距离为伊=

7

故答案为：—

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤

17.己知圆M过C(l,-1),D(-l,1)两点，且圆心\1在x+y-2=0上.

(1)求圆M的方程；

(2)设P是直线3x+4y+8=0上的动点，PA,PB是圆M的两条切线，A,B为切点，求四边形

PAMB面积的最小值.

【答案】(D(x-l)?+(y—炉=4；(2)2石.

【解析】

解:(1)设圆M的方程为：(i)2+(i)2=，(r>0),

\l-a)2+(-l-b)2=r2a=1

根据题意得(-J4+(1-疗=产=>b=l,

a+b-2=0r=2

故所求圆M的方程为：(x-l『+(y-l)2=4；

(2)如图,

四边形PAMB的面积为5=久.+1网,即S=g(|AM|P4|+忸

y.\AM\=\BM\=2,\PA\=\PB\,所以S=2|E4|,

而陷=，即S=2j|PM『Y.

因此要求S的最小值，只需求|PM|的最小值即可，

归闸的最小值即为点时到直线3x+4y+8=0的距离

|3+4+8|=3

所以

732+42

四边形RU仍面积的最小值为2PM『-4=2亚.

18•点E,F分别是正方形ABCD的边AB,BC的中点，点M在边AB上，且=沿图

1中的虚线DE,EF,FD将,折起使A,B,C三点重合，重合后的点记为

点P,如图2.

图1图2

(1)证明：PF±DM；

(2)若正方形ABCD的边长为6,求点M到平面DEF的距离.

2

【答案】(1)证明见解析；(2)

【解析】

(1)因为A8CO是正方形，

所以折起后有PEYPF.

又PD,PE交于点、P,

所以尸■平面PDE.

又DWu平面PDE,

所以PF

(2)设点尸到平面DE5的距离为人，

因为AB=3AM,所以PE=3ME,

所以点M到平面DEF的距离为《.

又两两垂直,

所以平面PEF.

9

因为S△叼=5，PD=6,

19

所以%-尸痔=§XQX6=9.

927

而SQEF=SA58-SA8£F—SAC0E-SACDF=36-耳一9一9二彳，

1I27

所以匕“产广皿鼻亍……=9,

解得h-2>

所以点”到平面。断的距离为?h=；2.

33

19.已知点尸在抛物线C：V=4x上，过点尸作圆M:(x-3)2+V=/(0<r«及)的两条切

线，与抛物线C分别交于A、8两点，切线尸A、PB与圆例分别相切于点E、尸.

(1)若点尸到圆心M的距离与它到抛物线C的准线的距离相等，求点尸的坐标；

(2)若点尸的坐标为(1,2),且「=&时;求丽・丽的值；

(3)若点P的坐标为(1,2),设线段A8中点的纵坐标为f,求，的取值范围.

【答案】(1)(2,2近)或(2,-2&)；(2)3；(3)[-10,-6).

【解析】

(1)设点尸的坐标为a，y),

y2=4x(x=2(x=2

则,/——；~7,1，解得.行或.八，

yJ(x-3Y+y=|x+l|[y=2\/2[y=-2y/2

叩点尸的坐标为(2,2«)或(2,-2&)；

(2)当点尸的坐标为0,2),且厂=&时，|=&1-3)2+22=2夜,

在直角三角形尸A阳中，|PE|=我二1=遥，且NMPE=30°,

同理，IPF1=瓜且NA/P尸=30°,

从而屋•而=|两一|而|cosNEPF=#xnxcos60o=3；

(3)由题意知切线总、M的斜率均存在且不为零，设切线方程为y-2=《x-i),

\2k+2\

由r,得（4--»2+8&+4_/=o,

yjk2+i

记切线抬、P8的斜率分别为则/2r2-4,

用2=1

由于切线始、心的方程分别为y-2=K（x-l）、y-2=&（x-l）,

联立[yv2-—4x,消去得37+8.=。,

44

设A&，M）、3（私力），则2+%=7,故,=7一2,

4。下曰,一乂+%_22「2化+初一16

同理,J2

k22ktk2k\k?r-4

因为。＜，4血，所以。（屋—4-2,-9士＜-!，

-8<-^F-<-4,-10<^F--2<-6.

r2-4/一4

所以17-2€[-10,-6).

广-4

即/的取值范围是［-10,-6）.

20.如图，为保护河上古桥0A,规划建一座新桥BC,同时设立一个圆形保护区.规划要求:新桥

BC与河岸AB垂直;保护区的边界为圆心M在线段0A上并与BC相切的圆,且古桥两端0和A

到该圆上任意一点的距离均不少于80m.经测量，点A位于点0正北方向60m处,点C位于

4

点0正东方向170m处（0C为河岸），tanZBCO=y.

（1）求新桥BC的长；

（2）当0M多长时，圆形保护区的面积最大?

【答案】（1）150m（2）|0M|=10m

【解析】

试题分析：本题是应用题，我们可用解析法来解决，为此以。为原点，以向东，向北为坐标

轴建立直角坐标系.（1）C点坐标为（170,0）,A（0,60）,因此要求8c的长，就要求得

8点坐标，己知1211/8口9=；4说明直线BC斜率为4这样直线BC方程可立即写出，

又AB1BC,故48斜率也能得出，这样AB方程已知，两条直线的交点8的坐标随之而

得；(2)实质就是圆半径最大，即线段上哪个点到直线8c的距离最大，为此设

由M(O,f),圆半径r是圆心M到直线BC的距离，而求它的最大值，要考虑条件古桥两端

。和A到该圆上任一点的距离均不少于80m,列出不等式组，可求得1的范围，进而求得

最大值.当然本题如果用解三角形的知识也可以解决.

试题解析：

(1)如图，以OCOA为x，y轴建立直角坐标系，则C(170,0),40,60),由题意噎=-；

直线BC方程为y---(x-170).又怎8=-丁=彳，故直线方程为y=?x+60,由

3544

4

U_170)、=80,----------——?

{3',解得{v=12(),即