广东省东莞中学、惠州一中、深圳实验、珠海一中、中山纪念中学五校2022-2023学年高二下学期联考数学试题(学生版+解析)

东莞中学、惠州一中、深圳实验、珠海一中、中山纪念中学2022-2023学年高二下学期五校联考试题数学本卷满分150分，时间120分钟.注意事项：1.答题前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.并用2B铅笔将对应的信息点涂黑，不按要求填涂的，答卷无效.2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑字字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，只需将答题卡交回.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设函数，则()A. B. C. D.2.展开式中的系数为()A B. C. D.3.一种卫星接收天线(如图1)，其曲面与轴截面的交线可视为抛物线的一部分(如图2)，已知该卫星接收天线的口径米，深度米，信号处理中心位于焦点处，以顶点为坐标原点，建立如图2所示的平面直角坐标系，则该抛物线的方程为()A. B. C. D.4.各项均为正数的等差数列的前项和是，若，则的值为()A. B. C. D.5.一个盒子里装有大小，材质均相同的黑球10个，红球12个，白球3个，从中任取3个，其中白球的个数记为，则等于的是()A. B. C. D.6.将诗集《诗经》、《唐诗三百首》，戏剧《牡丹亭》，四大名著《红楼梦》、《西游记》、《三国演义》、《水浒传》7本书放在一排，下面结论成立的是()A.戏剧放在中间的不同放法有种 B.诗集相邻的不同放法有种C.四大名著互不相邻不同放法有种 D.四大名著不放在两端的不同放法有种7.已知定义在上的函数的导函数为，且对任意都有，，则不等式的解集为()A. B. C. D.8.双曲线的两个焦点为，，以的实轴为直径的圆记为，过作圆的切线与的两支分别交于，两点(点、在点的两侧)，且，则的离心率为()A. B. C. D.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分.9.已知，则下列结论正确的是()A. B.C. D.10.已知空间向量，，则下列结论正确的是()A. B.C. D.在上的投影向量的长度为11.有台车床加工同一型号零件，第台加工的次品率为，第，台加工的次品率均为，加工出来的零件混放在一起．已知第，，台车床加工的零件数分别占总数的，，，则()A.任取一个零件是第台生产出来的次品的概率为B.任取一个零件是次品的概率为C.如果取到的零件是次品，且是第台车床加工的概率为D.如果取到的零件是次品，且是第台车床加工的概率为12.设函数和，其中是自然对数的底数，则下列结论正确的为()A.的图象与轴相切B.存在实数，使得的图象与轴相切C.若，则方程有唯一实数解D.若有两个零点，则的取值范围为三、填空题：本大题共4小题.每小题5分.13.在等比数列中，，，则________.14.某大学派遣甲、乙、丙、丁、戊、己六位同学参加，，三个企业的调研工作，每个企业去2人，且甲去企业，则不同的派遣方案共有________.15.已知，若不等式恒成立，则实数的取值范围为________.16.若对任意的、，且当时，都有，则的最小值是________.四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知对于任意，函数在点处切线斜率为，是公比大于0的等比数列，，.(1)求数列和的通项公式；(2)设，求数列的前20项和.18.已知函数.(1)若，求的极值；(2)若函数在区间上单调递增，求的取值范围.19.如图，在三棱柱中，平面，，，为线段上一点.(1)求证：；(2)若直线与平面所成角为，求点到平面距离.20.第25届冬季奥林匹克运动会将于2026年举办.某国运动队拟派出甲、乙、丙三人参加自由式滑雪比赛，比赛分为初赛和决赛，其中初赛有两轮，只有两轮都获胜才能进入决赛.已知甲在每轮比赛中获胜的概率均为；乙在第一轮和第二轮比赛中获胜的概率分别为和；丙在第一轮和第二轮比赛中获胜的概率分别为和，其中.(1)求甲、乙、丙三人中，谁进入决赛的可能性大？(2)若甲、乙、丙三人都进入决赛概率为，求三人中进入决赛的人数的分布列和期望.21.如图，已知椭圆，其左､右焦点分别为，过右焦点且垂直于轴的直线交椭圆于第一象限的点，且.(1)求椭圆的方程；(2)过点且斜率为的动直线交椭圆于两点，在轴上是否存在定点，使以为直径的圆恒过这个点？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.22.已知函数.(1)当时，求函数的单调递增区间；(2)记函数的图象为曲线，设点、是曲线上两个不同点，如果曲线上存在，使得：①；②曲线在点处的切线平行于直线，则称函数存在“中值相依切线”.试问：函数是否存在中值相依切线，说明理由.

东莞中学、惠州一中、深圳实验、珠海一中、中山纪念中学2022-2023学年高二下学期五校联考试题数学本卷满分150分，时间120分钟.注意事项：1.答题前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.并用2B铅笔将对应的信息点涂黑，不按要求填涂的，答卷无效.2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑字字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，只需将答题卡交回.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设函数，则()A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用导数的定义可求得所求极限的值.【详解】因为，则，因此，.故选：A.2.展开式中的系数为()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】写出展开式通项，令的指数为，分别求出求出、参数的值，代入通项后即可得解.【详解】的展开式通项为，因为，在中，令，在，令，可得，因此，展开式中的系数为.故选：D.3.一种卫星接收天线(如图1)，其曲面与轴截面的交线可视为抛物线的一部分(如图2)，已知该卫星接收天线的口径米，深度米，信号处理中心位于焦点处，以顶点为坐标原点，建立如图2所示的平面直角坐标系，则该抛物线的方程为()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】结合图形知抛物线经过，设出抛物线方程，求出即可.【详解】由题意，结合图形可知，，由于该抛物线开口向右，可设，即，解得，于是.故选：B4.各项均为正数的等差数列的前项和是，若，则的值为()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据题干条件中下标的特点，结合等差中项进行化简先算出，然后利用求和公式求解.【详解】根据等差中项，，于是，即，而等差数列每一项均是正数，则解得，.故选：B5.一个盒子里装有大小，材质均相同的黑球10个，红球12个，白球3个，从中任取3个，其中白球的个数记为，则等于的是()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据已知条件分析概率值、对应的事件，即可得结果.【详解】由题设，取出3个球中没有白球的概率为，取出的3个球中有一个白球的概率，所以目标式表示.故选：C6.将诗集《诗经》、《唐诗三百首》，戏剧《牡丹亭》，四大名著《红楼梦》、《西游记》、《三国演义》、《水浒传》7本书放在一排，下面结论成立的是()A.戏剧放在中间的不同放法有种 B.诗集相邻的不同放法有种C.四大名著互不相邻的不同放法有种 D.四大名著不放在两端的不同放法有种【答案】D【解析】【分析】A选项，戏剧先排，其余书本全排列即可；B选项，利用捆绑法进行处理；C选项，利用插空法处理；D选项，先排四大名著，然后再排剩下书本.【详解】A选项，戏剧只有一本，放中间，有种放法，其余本书全排列，有种，一共有种放法，A选项错误；B选项，将诗集看作一个整体，内部排序有种，和剩下的本书共同形成本书，全排列有放法，故一共有种放法，B选项错误；C选项，先排列除了四大名著的本书，全排列有种，这本书之间会形成个空，把四大名著插进这个空，有，故有种，C选项错误；D选项，四大名著不能排在两端，于是只能排在中间的个位子，有种放法，剩下的本书在剩下的个位置全排列，有种，即，D选项正确.故选：D7.已知定义在上的函数的导函数为，且对任意都有，，则不等式的解集为()A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】令，利用导数法判断其单调性，再利用其单调性解不等式.【详解】解：令，则，所以在R上递增，又，则不等式等价于，所以，故选：A8.双曲线的两个焦点为，，以的实轴为直径的圆记为，过作圆的切线与的两支分别交于，两点(点、在点的两侧)，且，则的离心率为()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】过作，利用特殊三角形，三角形的中位线求出双曲线焦点三角形的边长，然后根据双曲线的定义进行求解.【详解】如图，设圆和相切于，圆的直径为双曲线的实轴，即，过作，垂足为，又，则//，又为的中点，则为中位线，则，又，则为等腰直角三角形，即.由，，则，于是，故，根据双曲线的定义，，则，故，.故选：C二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分.9.已知，则下列结论正确的是()A. B.C. D.【答案】ABD【解析】【分析】由通项公式可判断B，由特值法可判断ACD【详解】令得，，故A正确；因为的通项为，所以，故B正确；令，则，又，所以，故C错误；令，则，故D正确；故选：ABD10.已知空间向量，，则下列结论正确的是()A. B.C. D.在上的投影向量的长度为【答案】BD【解析】【分析】根据向量坐标运算，验证向量的平行垂直，向量的模，向量的投影向量的长度即可解决.【详解】对于A，由题得，而，故A不正确；对于B，因为，所以，故B正确；对于C，因为，故C不正确；对于D，因为在上的投影向量的长度为，故D正确；故选：BD.11.有台车床加工同一型号的零件，第台加工的次品率为，第，台加工的次品率均为，加工出来的零件混放在一起．已知第，，台车床加工的零件数分别占总数的，，，则()A.任取一个零件是第台生产出来的次品的概率为B.任取一个零件是次品的概率为C.如果取到的零件是次品，且是第台车床加工的概率为D.如果取到的零件是次品，且是第台车床加工的概率为【答案】ABD【解析】【分析】运用条件概率公式对每个选项逐一分析即可.【详解】记为事件“零件为第台车床加工”，记为事件“任取一个零件为次品”，则，，，对于A，即，故A正确；对于B，，故B正确；对于C，，故C错误；对于D，，故D正确.故选：ABD12.设函数和，其中是自然对数的底数，则下列结论正确的为()A.的图象与轴相切B.存在实数，使得的图象与轴相切C.若，则方程有唯一实数解D.若有两个零点，则的取值范围为【答案】ACD【解析】【分析】通过导数的几何意义分别判断函数，与x轴的相切情况；时，求得的单调区间及最值，判断方程是否有唯一实数解；对分类讨论，求得有两个零点时应满足的条件，从而判断选项正误.【详解】，若的图象与轴相切，则，又，则切点坐标为，满足条件，故A正确；，，当时，易知恒成立，不存在为0的解，故不存在实数，使得的图象与轴相切，B错误；由上所述，在上单减，上单增，则；若，，，在上单增，上单减，，故方程有唯一实数解，故C正确；，，当时，恒成立，单增，不存在2个零点，故舍去；当时，在上单增，在上单减，且时，，时，，故若有两个零点，则应使最大值，即，令，易知单调递减，且，因此的解集为，D正确；故选：ACD【点睛】关键点点睛：利用导数来研究函数的单调性，最值问题，把方程的根的问题，零点问题转化为图像交点问题，利用导数求得最值，从而得证.三、填空题：本大题共4小题.每小题5分.13.在等比数列中，，，则________.【答案】【解析】【分析】设等比数列的公比为，根据已知条件求出的值，进而可求得的值.【详解】设等比数列的公比为，则，所以，，因此，.故答案为：.14.某大学派遣甲、乙、丙、丁、戊、己六位同学参加，，三个企业的调研工作，每个企业去2人，且甲去企业，则不同的派遣方案共有________.【答案】【解析】【分析】先选一个人和甲作伴，然后剩下的个人平均分组进行处理.【详解】由题意，先在除了甲的剩下的人选一个和甲作伴，一起去企业，有种方法，剩下的人，平均分成两组，有种方法，将这些分组分配到两个企业，有种，于是一共有种.故答案为：15.已知，若不等式恒成立，则实数的取值范围为________.【答案】【解析】【分析】恒成立问题，可以用参变分离求最值的方法，即可得答案.【详解】因为，所以，令，若不等式恒成立，只需.因为，所以当时，单调递增；当时，单调递减，所以，所以，即实数的取值范围为.故答案为：16.若对任意的、，且当时，都有，则的最小值是________.【答案】【解析】【分析】由已知不等式变形得出，令，可知函数在上为增函数，利用导数求出函数的增区间，即可得出实数的取值范围，即可得解.【详解】由题意可知，、均为正数，则，所以，，因为，由可得，所以，，令，，则，所以，函数在上为增函数，由，可得，所以，函数的单调递增区间为，所以，，则，即实数的最小值为.故答案为：.四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知对于任意，函数在点处切线斜率为，是公比大于0的等比数列，，.(1)求数列和的通项公式；(2)设，求数列的前20项和.【答案】(1)；；(2).【解析】【分析】(1)由导数的几何意义可求得；设等比数列的公比为，由求得，从而可求得；(2)求得，再结合分组求和法、裂项相消法即可求解.【小问1详解】因为，所以，所以；设等比数列的公比为，则，化简整理，得，解得(舍去)或，.小问2详解】，所以.18.已知函数.(1)若，求的极值；(2)若函数在区间上单调递增，求的取值范围.【答案】(1)，(2)【解析】【分析】(1)利用导数分析函数的单调性，求解极值即可；(2)在上单调递增转化为在上恒成立，分离参数，构造函数，利用二次函数求解最值即可求解.【小问1详解】当时，，则，由，得或，由，得，则在和上单调递增，在上单调递减，故，；【小问2详解】因为，所以，因为函数在区间上单调递增，所以在上恒成立，即在上恒成立，设，又，因为，所以，所以，所以，所以，故的取值范围是.19.如图，在三棱柱中，平面，，，为线段上一点.(1)求证：；(2)若直线与平面所成角为，求点到平面的距离.【答案】(1)证明过程见解析；(2).【解析】【分析】(1)建立空间直角坐标系，利用空间向量数量积的坐标运算公式进行证明即可；(2)利用空间向量夹角公式，结合空间点到面距离公式进行求解即可.【小问1详解】因为平面，平面，所以，而，因此建立如图所示的空间直角坐标系：，，因为，所以，即，【小问2详解】设平面的法向量为，，所以有，因为直线与平面所成角为，所以，解得，即，因为，所以点到平面的距离为：.【点睛】20.第25届冬季奥林匹克运动会将于2026年举办.某国运动队拟派出甲、乙、丙三人参加自由式滑雪比赛，比赛分为初赛和决赛，其中初赛有两轮，只有两轮都获胜才能进入决赛.已知甲在每轮比赛中获胜的概率均为；乙在第一轮和第二轮比赛中获胜的概率分别为和；丙在第一轮和第二轮比赛中获胜的概率分别为和，其中.(1)求甲、乙、丙三人中，谁进入决赛的可能性大？(2)若甲、乙、丙三人都进入决赛的概率为，求三人中进入决赛的人数的分布列和期望.【答案】(1)甲；(2)分布列见解析，.【解析】【分析】(1)根据题意求出甲、乙、丙三人初赛的两轮中均获胜的概率并比较大小即可；(2)根据题意先求出与所有的可能取值，然后分别求出每一个值对应的概率，列出分布列并计算出期望即可求解.【小问1详解】甲在初赛的两轮中均获胜的概率为，乙在初赛的两轮中均获胜的概率为，丙在初赛两轮中均获胜的概率为.因为，所以，所以，即甲进入决赛的可能性最大.【小问2详解】设甲、乙、丙都进入决赛的概率为，则，且，解得.所以丙在初赛的第一轮和第二轮获胜的概率分别为和，两轮中均获胜的概率为.进入决赛的人数的可能取值为0，1，2，3，则，，，.所以的分布列为0123所以.21.如图，已知椭圆，其左､右焦点分别为，过右焦点且垂直于轴的直线交椭圆于第一象限的点，且.(1)求椭圆的方程；(2)过点且斜率为的动直线