八年级数学上册角平分线的性质练习（含解析）

角平分线的性质专题练习

1.如图，在AABC中，ZC=90°,D,且AE=DE,BD平分/EBC（）

A.BE是AABD的中线B.BD是4BCE的角平分线

C.Z1=Z2=Z3D.SAAEB=SAEDB

2.如图，OP平分NAOB,PDLOA于点D,若PD=3,则PE的最小值（）

A.等于3B.大于3C.小于3D.无法确定

3.如图，在Rt△4BC中，4c=90。，以顶点力为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC,AB于点M,N,

再分别以点M,N为圆心，大于:的长为半径画弧，两弧交于点P,作射线AP交边BC于点D,若CD=6,

AB=20,则△ABD的面积是（）

A.30B.45C.60D.90

4.如图是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉

亭的位置应选在（）

B

AAABC的三条中线的交点

B.AABC三条角平分线的交点

C.AABC三边的中垂线的交点

D.A月BC三条高所在直线的交点

5.如图,已知点P到BE、BD、AC的距离恰好相等,则点P的位置:

①在NB的平分线上;

②在NDAC的平分线上;

③在/ECA的平分线上;

④恰是NB,ZDAC,NECA三个角的平分线的交点.

上述结论中,正确结论的个数有()

A.1个B.2个C.3个D.4个

6.如图,0P平分/MON,PjON于点A,若PA=2,则PQ的最小值为()

A.1B.2C.3D.4

7.如图，是等边三角形，ZiBDC是等腰三角形，BD=CD,MDC=120。,以点D为顶点作一

个60。的角，角的两边分别交AB,4c于M,/V两点，连接MN.

则以下结论:

①MN=BM+CN-,②DM是Z.BMN的平分线；③点D到△AMN三边所在直线的距离相等；©△DMN的

最小周长与AAMN的周长相等；⑤当MN〃BC时，5口*=；S四边形方〃，其中正确的有：（）

A.5个B.4个C.3个D.2个

8.如图，点儿B、C在一条直线上，△ABD和ABCE均为等边三角形，连接AE和CD,AE分别交CD,BD于

点M,P,CD交BE于点Q,连接PQ,BM,下面结论：①△ABEA^DBC;②々DMA=60。；③△BPQ为等

边三角形；④PE=CQ;⑤MB平分UAfC.其中结论正确的有（）

A.2个B.3个C.4个D.5个

9.如图,OP是NAOB的平分线，尸M_LOA于点M,点N是射线OB上的动点,则线段PN的最小值为

10.如图，在R7△4BC中，"=90。，BD平分UBC交AC于D,S^DC=4,BC=8,则AD=

11.如图所示，乙4OB=72。，CDJ.O4fD,CEJ.OB于E,且CD=CE,则4DOC=度.

12.已知，如图，点D是△ABC的两外角平分线的交点，下列说法：

①4D=CD②D到AB、BC的距离相等③D到△ABC的三边的距离相等④点D在4B的平分线上.

其中正确的说法的序号是.

13.如图，点P到乙4OB两边的距离相等，若"08=30。，则乙4。8=_____度.

14.如图所示，△ABC中，乙4=90。，BD是角平分线，DE1BC,垂足是E,AC=10cm,CD=则

DE的长为an.

15.如图所示，在△月BC中，根据作图痕迹，解答问题:

(1)若U=60。，zC=70°,则NBDC三O.

(2)若4B=18,BC=12,S*c=120,过点D作DE1AB于点E,则DE=

16.如图，在△ABC中乙48c和41CB平分线交于点。，过点。作。DJ.8C于点D,ZUBC的周长为18,OD=

4,则△ABC的面积是

17.如图，BD是△ABC的角平分线，DELAB于点E.△ABC的面积为20,48=12,BC=8,则DE的长

为________

18.如图所示，DBJ.AB,DCLAC,BD=DC,zB4C=80°,则々BAD=______度，LCAD=

度.

19.如图，在々△ABC中，4c=90。，以顶点4为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC,AB于点M,N.再

分别以点M,"为圆心，大于之MN的长为半径画弧，两弧交于点P,作射线4P交BC于点D,若CD=5,AB=

20.如图，已知△4BC,4c=90。，AD平分4B",BC=lOon,BD=7an,则D到AB的距离为多少cm?

21.如图，在△ABC中，4c=90。，AD平分4C4B,DE14B于点E,且E为4B的中点.DE=3.求BC的长.

AEB

22.如图，在△ABC中，OE,OF分别是AB,AC边的垂直平分线，cOBC,NOCB的角平分线相交于点/,

判断。/与BC的位置关系，并证明你的判断.

23.如图，PELAB^F,「尸，46?于广，且AE=4F,求证：点P在的平分线上.

24.数学来源于生活又服务于生活，利用数学中的几何知识可以帮助我们解决许多实际问题，李明准备与

朋友合伙经营一个超市，经调查发现他家附近有两个大的居民区4B,同时又有相交的两条公路，李明想

把超市建在到两居民区的距离、到两公路的距离分别相等的位置上，绘制了如下的居民区和公路的位置图,

聪明的你一定能用所学的数学知识帮助李明在图上确定超市的位置！请用尺规作图确定超市P的位置.(作图

不写手法，但要求保留作图痕迹.)

B

24.如图已知点B、D分别在乙4的两边上，C为乙4内一点，S.AB=AD,CD=BC,CELAD^E,CF1AB

于广.试判断CE与CF是否相等，并说明理由.

26.如图，利用尺规，在△ABC的边AC上方作“AE=UCB,在射线AE上截取AD=BC,连接CD,并证明:

CD//AB（尺规作图要求保留作图痕迹，不写作法）

R

27.已知，如图，8。是NABC的平分线，点尸在8。上，PM1AD,垂足分别是〃、N.试说明：PM=PN.

参考答案与试题解析

专题06:角的平分线的性质

1.【答案】C

解：4.\'AE=DE,

■­BE是AABD的中线，故本选项不符合题意；

B.•.飞力平分NEBC,

.•.2。是的角平分线，故本选项不符合题意;

C.:台力平分/6口仁

.,.Z2=Z3,

但不能推出N8、N3和N1相等；

D.YSAEB=LXAEXBC,SAEDB=LXDEXBC,

23

，SAAEB=SAE£>B,故本选项不符合题意；

故选：C.

2.【答案】A

解：过P点作于”，如图，

,.•。。平分403,PDVOA,

：.PH=PD=3,

V点E是射线OB上的一个动点,

.•.点E与4点重合时，PE有最小值.

故选：A.

3.【答案】C

【解答】

解：作DEJ.AB于E,

由基本作图可知，AP平分乙CAB,

,/AP平分乙C4B,2c=90°,DELAB,

；・DE=DC=6,

△ABD的面积=；xABxDE=60,

故选：C.

4.【答案】B

【解答】

解：：凉亭到草坪三条边的距离相等，

/.根据角平分线上的点到边的距离相等，

可得凉亭选择△月BC三条角平分线的交点.

故选乩

5.【答案】D

6.解：由角平分线性质的逆定理，可得①②③④都正确.

故选：D.

6.【答案】B

解：

:垂线段最短，

.•.当时，PQ有最小值，

又：OP平分NMON,PA1,ON,

：.PQ=PA=2,

故选：B.

7.【答案】A

【解答】

解：延长4c到E,使CE=BM,如图,

A

vBD=CDy

••乙DBC=LDCB,

,:乙BDC=120°,

:•乙DBC=3CB=30°,

・・,等边三角形ABC,

:,LABC=AACB=60°,

/.ZJ4BD=ZU4CD=90°,

乙DBM=Z.DCE,

在48。河与4EDC中，

・・・BD=CD,乙DBM=乙DCE,BM=CE,

・・・ABDMdCDEGAS),

/.DM=DE,乙BDM=LCDE,

7LBDC=120°,z3fDiV=60°,

・・・乙EDN=LCDE+乙CDN=乙BDM+乙CDN=60°,

・"EDN=zJVfDiV,

在^。加7与4DNE中,

vDM=DE,AIDN=LEDN,DN=DN,

△DMNSADENG45),

:.MN=NE,

/.MN=NC+CE=NC+BM,故①正确;

•••△BDMSACDE,

/.乙BMD=乙E,

•••4DMN三ADEN,

・・・乙DMN=乙E,

・・・乙BMD=乙DMN,

即DM是/BMW的平分线，故②正确；

连接AD,

"AB=AC,BD=DC,AD=AD,

:,^ABD^ACDCSSS),

/.BAD=/.CAD,

即AD是4BAC的平分线，

二点D到直线4B、AC的距离相等，

•••△DMN三ADEN,

:.ADNM=Z.DNC,

即DN是4CNM的角平分线，

二点D到直线MMAC的距离相等,

•••点D到直线48、AC.MN的距离相等，故③正确；

作点D关于AB、AC的对称点D，，D2,连接D/我68、4c于此，乂，如图,

此时，△DMN的周长最小，周长为久。二的长.

连接皿、AD:.AD.

由对称性质可得A2=AD=ADZ,

vZJ4DD1=UDD二=60°

二△4%即△AD?D都是等边三角形，

乙"工；乙

4D[M]=4Ah=ID^M=L.DZAN1=30°,

二DMX-74M1DN、-N1D2=ANlt

DM,+MM+DM=AM,++AN1,即^DM1M周长=△4%乂周长,

：，△DMN的最小周长与△AMN的周长相等，故⑥正确;

■：MN//BC,

A^AMN.4BDM、△CDN、△DMN都是等边三角形，

易证△AMNSABDMSACDNDMN,

S』tDN=肱豳88，故⑤正确・

故选a

8.【答案】D

9.解：【答案】B

当PN±OB时，线段PN的值最小，

；0P是/A02的平分线，PMLOA,PM=3,

:.PN=PM=3,

即PN的最小值是4,

故答案为：3.

10.【答案】1

【解答】

解：过D点作DELBC,垂足为E,

由S,Km-=4得

1

-xBCxDE=4

解得DE=1

BD平分乙4BC交AC于D,

AD=DE=1.

11.【答案】36

【解答】

解：：CD104于D,CELOB于E,CD=CE,

0c平分U0B,

二/.DOC=^zAOB=1x72°=36°.

故答案为：36.

12.【答案】②③④

【解答】

解：如图，过点D作DEJ.AB于E,作DF_LBC于F,作DGJ.AC于G,

点。是4月BC的两外角平分线的交点，

,DE=DG,DF=DG,

/.DE=DF=DG,

；•点D在48的平分线上，故②③④正确，

只有点G是4C的中点时，AD=CD,故①错误，

综上所述，说法正确的是②③④.

13.【答案】60

【解答】

解：：点P到A4OB两边的距离相等

...OP^LAOB

:.UOB=2"OB=60°.

14.【答案】4

【解答】

解：：乙4=90。，8D是角平分线，DE1BC,

...DE=AD（角的平分线上的点到角的两边的距离相等）

AD=AC-CD=10—6=4on,

DE=4cm.

故填4.

15.【答案】

85

8

【解答】

解：（1）由题意知：8D是乙4BC的角平分线，

乙4=60。，“=70。，

...LABC=180-60-70=50,

:.Z.BDC=180'-70-25'=85：

故答案为：85.

（2）连结PM,PN,过D作DF1BC于F,

UBD="BD,DELAB,DF1BC,

DE=DF.

=S0BD+SdCBD>

即:xABxDE+:xBCxDF=120,

ix18xDE+|x12xDE=120.

解得DE=8.

故答案为：8.

16.【答案】36

【解答】

作OE1/1B于E,OFLAC^F,连接。儿

OB是UBC的平分线，。DJ.BC,OEJ.4B,

0E=0D=4,

同理0F=0D=4,

△ABC的面积=：xA8x4+=xACx4+=xBCx4=36.

【解答】

解：作DFJ.BC于F,

；BD是△月BC的角平分线，DEJ.AB,DFLBC,

二DF=DE,

^xABxDE+-xBCxDF=20,即；x12xDE+：x8xDF=20,

DF=DE=2.

18.【答案】40,40

【解答】

解：DBLAB,DC1AC,且BD=DC

二AD是血C的平分线

，NBAD=NC4D=：x80°=40度.

故分别填40、40.

19.【答案】45

【解答】

作DE_LAB于E,

由基本尺规作图可知，4D是△月BC的角平分线，

；4c=90。,DEIAB,

:.DE=DC=S,

：.△ABD的面积==xABxDE=：x5x18=45,

20.【答案】

解：如图，过点D作DEIAB于E,

BC=IOCTH,BD=7an,

CD=10-7=3cm,

zC=90°,AD平分NBAC,

DE=CD=3cm,

解：如图，过点D作DEIAB于E,

BC=IOCTH,BD=7an,

CD=10—7=3cm,

•：“=90。，AD平分加C,

DE=CD=3cm,

"=90°

DCLAC

AD平分"AB,DELAB

DC=DE=3,z.DAB=z.DAC,

又•••E为4B的中点,

DE垂直平分力3,

:.DB=AD,

/.乙DAB=^B,

:.^CAD=z.DAB=z.B=30°9

在Ht△BED中,BD=2DE=6,

：.8C=CD+BD=6+3=9.

22.【答案】

证明：:OE、OF分别垂直平分A3、AC

:.OA=OB=0C

：.2/JBC=2Z/CB

；・L1BC=UCB

・•・BI=IC

又;Z0B1=LOCI

・・・在^。引与△0C/中

NOB/=zOC/

Bl=IC

OB=OC

・・・△OBIOCI

・・・BOI=Z.COI

又丁OB=OC

。/垂直平分BC.

23.【答案】

证明：连接AP,

,/PELAB,P