2020-2021学年北京市燕山区八年级上学期期末数学试卷(含解析)

2020-2021学年北京市燕山区八年级上学期期末数学试卷

一、选择题（本大题共8小题，共24.0分）

1.下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

A.正方形B.等腰三角形C.等腰梯形D.平行四边形

2.“十一”黄金周期间无锡市共接待游客约5349000人，该数据用科学记数法表示为（）

A.5349x103B.5.349x103C.5.349x106D.5.349x107

3.计算（38一的结果为（）

A.28-3V3B.10-3V3C.28-6V3D.10-6V3

4.下列说法正确的是（）

A.每条边相等的多边形是正多边形

B.每个内角相等的多边形是正多边形

C.每条边相等且每个内角相等的多边形是正多边形

D.以上说法都对

5.下列式子是最简二次根式的是（）

A.V8B.V3m2C.1D.V6

6.如图，在AABC中，AC=9cm,线段4B的垂直平分线交AC于点

N,△BCN的周长是14cm,则BC的长为（）

A.7cm

B.6cm

C.5cm

D.4cm

7.下面的多项式中，能因式分解的是（）

A.m2-mB-C.w*-nD.m:+27M—1

8.如图，在中,4B=3,BC=8,点。为BC的中点，将△48。

沿4。折叠，使点B落在点E处，连接CE,则CE的长为（）

A-I

B-T

二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）

9.已知分式空当包的值为0,则刀=____.

x-2

10.已知点4（4,0）、8（0,5）,点C在x轴上，且ABOC的面积是AABC的面积的3倍，那么点C的坐标

为.

11.如图，分另I］是锐角448。和2\&&的中8。、816边上的高，且ZB=4&，AD=A^,

请你补充一个适当的条件：__，使UBC三△4/16.

12.某数学兴趣小组8名同学在一次竞赛中的得分分别记为：一5,+3,-6,+5,+4,-1,-2--1（

以90分为标准，超过记为“+”，不足记为“-”），则此次竞赛该兴趣小组的平均分为

分.

13.己知（小一6》+6）（3工一2）的积中不含产项，则m=.

14.在一口2町/口丫2的空格口中，分别填上“+”或“一”，在所得的代数式中，能构成完全平方式的

概率是.

15.如图，在平面直角坐标系中，点4、B、C的坐标分别是（一1,一1）、（0,2）、（2,0）,点P在y轴上，

且坐标为（0,-2）.点P关于点4的对称点为点P］关于点B的对称点为P2,点P2关于点C的对称点

为P3,点P3关于点4的对称点为24，点「4关于点8的对称点为25，点关于点。的对称点为26，点

&关于点4的对称点为「7”按此规律进行下去，则点P2013的坐标是.

杉'

B

0C

A

P

16.等腰直角△ABC中，^.BAC=90°,AB=AC=8,点。为直线ZB上一点，连接CD,CD的垂直平

分线交直线4B于点E,若4。=4,则BE的长为

三、解答题（本大题共9小题，共52.0分）

17.(1)73-2V12+V27

(3)(73+1)(73-1)-V3X

V72-V24

(4)—---(2+痘¥

V8

18.(1)计算:(x+2)(x+3)；

(2)分解因式：3%2+6xy+3y2.

19.解方程：二一2=返国.

x-22-x

20.先化简代数式（1一j_）+卢再选择一个合适的a值代入求值.

、a2+aya2+2a+l

21.如图，正方形4BCD边长为4,点。在对角线DB上运动（不与点B,。重合），连接。4,作OP1OA,

交直线BC于点P.

（1）判断线段。4OP的数量关系，并说明理由.

(2)当0。=近时，求CP的长.

(3)设线段。。，OP,PC,CD围成的图形面积为S],△4。。的面积为52，求Si—52的最值.

22.深圳市某中学为了更好地改善教学和生活环境，该学校计划在2020年暑假对两栋主教学楼重新

进行装修.

(1)由于时间紧迫，需要雇佣建筑工程队完成这次装修任务.现在有甲，乙两个工程队，从这两个工

程队资质材料可知：如果甲工程队单独施工，则刚好如期完成，如果乙工程队单独施工则要超

过期限6天才能完成，若两队合做4天，剩下的由乙队单独施工，则刚好也能如期完工，那么，

甲工程队单独完成此工程需要多少天？

(2)装修后，需要对教学楼进行清洁打扫，学校准备选购4、B两种清洁剂共100瓶，其中4种清洁剂6

元/瓶，B种清洁剂9元/瓶.要使购买总费用不多于780元，则4种清洁剂最少应购买多少瓶？

23.如图，直角坐标系中，A/IBC的顶点都在网格点上，其中，C点

坐标为(1,2),

(1)写出点4、B的坐标：4(,)、B()

(2)将△力BC先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，得

到△4'B'C',画出△4'B'C'

(3)写出三个顶点坐标4(、)、B'(、)、C、)

(4)求AABC的面积.

24.在任意n(n>l且为整数)位正整数K的首位后添加6得到的新数叫做K的“顺数”，在K的末位前

添加6得到的新数叫做K的“逆数”.若K的“顺数”与“逆数”之差能被17整除，称K是“最佳

拍档数”.比如1324的“顺数”为16324,1324的“逆数”为13264,1324的“顺数”与“逆数”

之差为16324-13264=3060,30604-17=180,所以1324是“最佳拍档数”.

⑴请根据以上方法判断31568(填“是”或“不是”)“最佳拍档数”；若一个首位是5的四位

“最佳拍档数”N,其个位数字与十位数字之和为8,且百位数字不小于十位数字，求所有符合

条件的N的值.

(2)证明：任意三位或三位以上的正整数K的“顺数”与“逆数”之差一定能被30整除.

25.在A48c与△4DE中，/.BAC=/.DAE=90°,AB=AC,AD=AE,延长DE交BC于点凡连接

DC,BE.

(1)如图1,当点B,A,。在同一直线上时，且乙4BE=30。，AE=2,求BF的长.

(2)如图2,当NBE4=90。时,求证：BF=CF.

⑶如图3,当点E在NABC的平分线上时，BE交DC于点G,请直接写出EG、CG、CG之间的数量关系.

参考答案及解析

1.答案：A

解析：解：4是轴对称图形，也是中心对称图形.故选项正确；

B.是轴对称图形，不是中心对称图形.故选项错误；

C.是轴对称图形，不是中心对称图形.故选项错误；

。.不是轴对称图形，是中心对称图形.故选项错误.

故选A.

根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解.

本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对

称轴折叠后可重合；

中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合.

2.答案：C

解析：解:5349000=5.349x106,

故选：C.

科学记数法的表示形式为ax1(P的形式，其中lw|a|<10,n为整数.确定n的值时，要看把原数

变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值>1时，n是正

数；当原数的绝对值<1时，n是负数.

此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为ax的形式，其中lS|a|<10,n为

整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值.

3.答案：C

解析：解：原式=27-6旧+1

=28-6V3.

故选：C.

利用完全平方公式计算.

本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化简为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除

运算，再合并即可.在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选

择恰当的解题途径，往往能事半功倍.

4.答案：C

解析：解：菱形的每条边相等，但不是正多边形，

长方形的每个角线段，但不是正多边形，

每条边相等且每个内角相等的多边形是正多边形，

故说法正确的是选项C.

故选：C.

根据正多边形的定义，可得答案.

本题考查了多边形，各边都相等，各角都相等的多边形是正多边形，注意：一个n边形5>3）有n条

边，n个内角.

5.答案：D

解析：解：4、原式=2遮，不符合题意；

B、原式=百摩|,不符合题意；

C、原式=①，不符合题意；

2

D、乃是最简二次根式，符合题意，

故选：D.

利用最简二次根式定义判断即可.

此题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式定义是解本题的关键.

6.答案：C

解析：解：：MN是线段AB的垂直平分线，

•••BN=AN,

•••BC+CN+BN=14,

.-.BC+AN+CN=14,即BC+AC=14,

BC=14-AC=5,

故选：C.

根据线段垂直平分线的性质得到BN=AN,根据三角形的周长公式计算即可.

本题考查的是线段垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等

是解题的关键.

7.答案：A

解析：本题主要考查因式分解的概念。在进行因式分解时，首先提公因式，然后考虑用平方差和完

全平方公式。如果项数较多，要分组分解，分解到每个因式不能再分解为止。4项可用提公因式法进

行因式分解。B项不符合完全平方公式。C项没有公因式。。不符合完全平方公式。故选A.

8.答案：D

解析：解：如图所示：连接BE交4。于0,

•.•将AABD沿4。折叠，使点B落在点E处，

・•・AD±BE,OB=0E,BD=DE,

在中，BC=8,AB=3,。为BC的中点，

BD=-CB=4,

2

AD=ylAB2+BD2=V32+42=5，

■■ShABD=--B0-AD=l-AB-BD,

.・.OcBc=-A-B-B-D=——3x4=一12,

AD55

24

・・・BE=20B

vDE=DB=DC,

•••△BCE是直角三角形,乙BEC=90。,

在Rt^BCE中，CE=>JBC2-BE2=J82-(y)2=

故选：D.

连接BE交4。于。.首先证明4。垂直平分线段BE,△BCE是直角三角形，由勾股定理求出4D=5,求

出。8、BE,在RtABCE中，利用勾股定理即可解决问题.

本题考查了翻折变换、直角三角形的斜边中线的性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用面

积法求高.

9.答案：-3

解析：解：..•分式(>为+3)的值为0,

X—£

・•・x+3=0,%—2W0,

解得：x=-3.

故答案为：-3.

直接利用分式的值为零则其分子为零，分母不为零，进而得出答案.

此题主要考查了分式的值为零的条件，正确把握定义是解题关键.

10.答案:(3,0)或(6,0)

解析：

本题考查了点的坐标和三角形的面积，能求出符合的所有情况是解此题的关键，用了分类讨论思想.

先求出04=4,OB=5,分为三种情况：①当C在x轴的负半轴上；②当C在x轴的正半轴上，且在

点4的右边；③当C点在0、4之间.分别画出图形，根据三角形的面积公式得出方程，求出方程的解

即可.

解：如图，

•.•点4(4,0)、8(0,5),

・•・OA=4,OB=5,

设OC=a(a>0),

有三种情况：①当C在%轴的负半轴上时，

•••△BOC的面积是44BC的面积的3倍，

•••ixax5=3xix(4+a)x5,

解得：a=-6,不符合a>0,舍去；

②当C在x轴的正半轴上，且在点4的右边时,

BOC的面积是448c的面积的3倍，

|xax5=3x|x(a-4)x5,

解得：a=6,

此时点C的坐标是(6,0),

③当C点在。、4之间时，

•••△BOC的面积是44BC的面积的3倍，

1xax5=3xix(4-a)x5,

解得：a=3,

此时点C的坐标是(3,0),

所以点C的坐标为(3,0)或(6,0),

故答案为(3,0)或(6,0).

11.答案：CD=Ci。1(或AC=&Ci，或NC=4cl或NCAD=46为5)

解析：解：我们可以先利用HL判定A4BD三△&B1G得出对应边相等，对应角相等.

此时若添加CD=Ci。]，可以利用S4S来判定其全等；

添加NC=4G，可以利用A4s判定其全等；

还可添加AC=AG，/.CAD=等，

故答案为：CD=的。1(或4c=&6，或4c=NG或NC4。=4的4。1).

根据判定方法，结合图形和已知条件，寻找添加条件.

本题考查三角形全等的判定方法；判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS.4s力、24S、HL.添

加时注意：444SSA不能判定两个三角形全等，不能添加，根据已知结合图形及判定方法选择条件

是正确解答本题的关键.

12.答案:89.625

解析：解：之x[(90-5)+(90+3)+(90-6)+(90+5)+(90+4)+(90-1)+(90-2)+(90-

8

•2

3)]=90-^=89.625.

故答案是：89.625.

根据有理数的加法，可得总分数，再根据总质量除以人数，可得答案.

本题考查了有理数的混合运算以及正数和负数，相反意义的量用正数和负数表示.

13.答案：一|

解析：解：原式=3%3-2x2—3mx2+2mx+18%—12

=3x3—(3m+2)x24-(2m+18)x—12,

由积中不含/项，得到3zn+2=0,

解得:m=-|,

故答案为：-1

原式利用多项式乘多项式法则计算，合并后根据积中不含i项，确定出m的值即可.

此题考查了多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键.

14.答案:50%

解析：解：能有的共有4种情况，能构成完全平方式的有两种情况,

£2=1=50%.

42

故能构成完全平方式的概率是50%.

故答案为:50%.

能构成完全平方式的情况有+,+；—>+两种情况，共有的情况为+,+；—，-；+,-；-,+共

四种情况，根据概率公式求解即可.

本题考查完全平方式的概念，求出构成完全平方式有几种情况，能填几种情况，从而可求出概率.

15.答案：(2,-4)

解析：

本题是对点的变化规律的考查，作出图形，观察出每6次对称为一个循环是解题的关键，也是本题的

难点.

根据对称依次作出对称点，便不难发现，点P6与点P重合，也就是每6次对称为一个循环，用2013除

以6,根据商和余数的情况确定点P2013的位置，然后写出坐标即可.

•••点P2013是第336循环组的第3个点，与点P3重合，

点P2O13的坐标为(2,—4).

故答案为：(2,—4).

16.答案：14或2

E

解析：解：分两种情况：①点。在48边上时，如图1所示:

vABAC=90°,AD=4,AC=8,

CD=V424-82=4V5,

・・,EM是CD的垂直平分线，

：.DM=CM=^CD=2V5,

vZ.DAC=(CMN=90°,Z-ACD=乙MCN,

ACDFMCN,

,CN_CM日门CN2Vs

••—，Up—~=,

CDAC4758

解得：CN=S,

AN=AC-CN=3,

同理：^AENfACD,

AE_AN

*t,~~,

ACAD

图2

ar\AE3

184

解得：AE=6,

・•・BE=AB+AE=8+6=14；

②点。在延长线上时，如图2所示：同①得：AE=6,

：.BE=AB-AE=8-6=2；

综上所述，BE的长为14或2；

故答案为：14或2.

分两种情况：①点。在A8边上时，由勾股定理求出CC="T/=4西，由线段垂直平分线得出

DM=CM=\CD=2V5,证出△ACD7MCN,得出震=器,求出CN=5,求出AN=AC-CN=3,

/UUZi

同理：AAENs&ACD,得出若=黑求出4E=6,即可得出BE的长；

ACAD

②点。在B4延长线上时，同①得：AE=6,即可求出BE的长.

本题考查了等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质以及

分类讨论等知识；熟练掌握勾股定理，证明三角形相似是解题关键.

17.答案：解：(1)原式=遍—4V5+3遮=遮；

(2)原式=J：x[x:=1；

(3)原式=3-1+j3xR

V6

=2Q----;

6

(4)原式=后一J|一(4+46+3)

=3-V3-7-4V3

——4—5V3.

解析：(1)先把二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；

(2)利用二次根式的乘除法则运算；

(3)利用平方差公式和二次根式的乘法法则运算：

(4)利用完全平方公式和二次根式的除法法则运算.

本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可.在

二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往

往能事半功倍.

18.答案:解:(1)(%+2)(%+3)

=x2+3x+2%+6

=x2+5x+6；

(2)3/+6xy+3y2

=3(x2+2xy+y2)

=3(x+y)2.

解析：(1)直接利用多项式乘以多项式运算法则计算得出答案；

(2)首先提取公因式进而运用公式法分解因式得出答案.

此题主要考查了多项式乘以多项式以及提取公因式法、公式法分解因式，正确掌握相关运算法则是

解题关键.

19.答案：解：方程两边同乘(X-2)得：x-2(x-2)=-3(x4-2),

解得：%=—5,

检验：当x=-5时，%—20,

•••原方程的解为x=-5.

解析：本题的最简公分母是2),方程两边都乘最简公分母，可把分式方程转换为整式方程求解.

20.答案：解：原式=(笠一品).湍晨

_a?(a+i)2

a(a+l)(a+l)(a-l)

a

=二，

当a=2时，原式=2.

解析：原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到

最简结果，把a的值代入计算即可求出值.

此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键.

21.答案：解：(l)04=0P,理由是：

如图1,过。作。G14B于G,过。作OHJ.BC于H,

图1

•••四边形4BCC是正方形,

：•乙

Z-ABO=CBO,AB=BC9

・・・0G=OH,

•・•乙OGB=乙GBH=(BHO=90°,

・・・四边形0G8H是正方形，

・•・BG=BH,乙GOH=90°,

•・•Z.AOP=乙GOH=90°,

・・・/,AOG=乙POH,

•••△4G0WAPH0(4S4),

・・.OA=OP；

(2)如图2,过。作0Q1CD于Q,过0作OH1BC于H,连接OC,

图2

・・・Z,OQD=90°,

•••Z.ODQ=45°,

・•・△ODQ是等腰直角三角形，

v0D=V2>

・・.OQ=DQ=1,

vAD=CD,Z-ADO=Z.CDO,OD=OD,

•••△400wZkCD0(S4S),

:.AO=OC—OP,

vOWlPC,

:.PH=CH=OQ=1,

・•.PC=2；

(3)如图3,连接OC,过。作0G18C于G,OHLCD于H,

图3

设O4=x,则=CH=OG=4-x,PC=2x,

由(2)知：△^O£)=ACOD,

•,SAAOD=SACOD，

22

•••S1-S2=S1-SACOD=s4Poe=1-PC-OG=1-2x-(4-x)=-x+4x=-(x-2)+4,

当x=2时，Si-S2有最大值是4.

解析：本题考查了正方形的性质、勾股定理、等腰直角三角形的性质、三角形全等的性质和判定等

等知识的综合运用，熟练掌握正方形的性质是关键.

(1)过。作0G1AB于G,过。作OH1BC于H,证明四边形OGBH是正方形，得BG=BH,乙GOH=90°,

再证明△AGO七4PHOQ4S4),则。4=OP-.

(2)如图2,作辅助线，证明△ODQ是等腰直角三角形，得OQ=DQ=1,证明△AD。三△C00(S4S),

再由等腰三角形的性质可得PC的长；

(3)如图3,作辅助线，构建三角形全等，设。，=%,则DH=x,CH=OG=4-x,PC=2x,根

据SMOD=SACO。，则SI-$2=SAP℃=；,PC・OG=-/+钛，配方后可得结论.

22.答案：解：(1)设甲工程队单独完成此工程需要x天，则乙工程队单独完成此工程需要(％+6)天,

依题意有士+三=1,

XX+o

解得x=12,

经检验，x=12是原方程的解.

故甲工程队单独完成此工程需要12天；

(2)设4种清洁剂应购买a瓶，则B种清洁剂应购买(100-a)瓶，

依题意有6a+9(100-a)<780,

解得a>40.

故A种清洁剂最少应购买40瓶.

解析：(1)可设甲工程队单独完成此工程需要x天，则乙工程队单独完成此工程需要(x+6)天，根据

工作总量的等量关系，列出方程即可求解；

(2)可设4种清洁剂应购买a瓶，则B种清洁剂应购买(100-a)瓶，根据购买总费用不多于780元，列

出不等式即可求解.

考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关

系和不等关系是解决问题的关键.

23.答案：(1)2；—1；4；3；

(2)如图所示：

A

(3)1；1；3；5；0；4；

(4)△ABC的面积：3x4-gxlx3-gx2x4-qxlx3=5.

解析：

解：(1)4(2,-1),8(4,3)；

(2)见答案;

(3)4(1,1),B'(3,5),C'(0,4)：

(4)见答案.

(1)根据图可直接写出答案；

(2)根据平移的方向作图即可；

(3)根据所画的图形写出坐标即可；

(4)利用长方形的面积减去四周三角形的面积可得答案.

此题主要考查了平移作图，以及点的坐标，关键是正确画出图形.

24.答案:⑴是；

(2)证明：设三位正整数K的个位数字为x,十位数字为y,百位数字为z,

它的“顺数”：1000z+600+10y+x,

它的“逆数”：1000z+100y+60+x,

•••(lOOOz+600+10y+x)—(1000z+100y+60+%)=540—90y=90(6—y),

••・任意三位正整数K的“顺数”与“逆数”之差一定能被30整除，

设四位正整数K的个位数字为x,十位数字为y,百位数字为z,千位数字为a,

•••(10000a+6000+100z+10y+%)—(10000a+lOOOz+lOOy+60+x)=5940—900z—

90y=90(66-lOz-y),

••・任意四位正整数K的“顺数”与“逆数”之差一定能被30整除，

同理得：任意三位或三位以上的正整数K的“顺数”与“逆数”之差一定能被30整除.

解析：(1)解：31568的“顺数”为361568,31568的“逆数”为315668,31568的“顺数”与“逆

数”之差为36为68-315668=45900,45900+17=2700,所以31568是“最佳拍档数”；

设“最佳拍档数”N的十位数字为x,百位数字为y,则个位数字为8-x,y>x,

N=5000+100y+10%+8—x=100y+9x+5008,

•••N是四位“最佳拍档数”，

:.50000+6000+100y+10x+8-x-[50000+1000y+100x+60+8-x],

=6000+lOOy+9x+8-lOOOy-lOOx-68+x,

=5940—90x—900y,

=90(66-x-lOy),

66-x-lOy能被17整除，

①x=2,y=3时，66-x-10y=34,能被17整除，此时N为5326；

②久=3,y=8时，66-x-10y=-17,能被17整除，此时N为5835；

③x=5,y=l时，66—x-10y=51,能被17整除，但x>y,不符合题意；

④x=6,y=6时，66-x-10y=0,能被17整除，此时N为5662；

⑤x=8,y=3时，66-x-lOy=28,不能被17整除，但x>y,不符合题意;

⑥当x=9,y=4时，66-x-10y=17,能被17整除，但x>y,不符合题意;

综上，所有符合条件的N的值为5326,5835,5662；

故答案为：是;

(2)见答案.

(1)根据定义表示31568的“顺数”与“逆数”，计算它们的差能否被17整除，可判断31568是“最

佳拍档数”；根据定义设这个首位是5的四位“最佳拍档数”N,并表示出来，计算的它的“顺数”

与“逆数”之差，根据“最佳拍档数”的定义，分情况讨论可得结论；

(2)先证明三位的正整数K的“顺数”与“逆数”之差一定能被30整除，再证明四位的正整数K的

“顺数”与“逆数”之差一定能被30整除，同理可得结论.

本题主要考查了“顺数”、“逆数”、”最佳拍档数”的定义及应用，熟练掌握几位数的表示方法，

理解新定义，计算“顺数”与“逆数”之差，分解因式是解题的关键.

25.答案：(1)解：•••NB4C=90。，^ABE=30°,AE=2,3

BE=2AE=4,A/\

・・・△4DE是等腰直角三角形，//\]E\

DE=V2AE=2V2,n[\\

D--1------

•・•△4BC也是等腰三角形，图1F

/.ABC=/.ADE=45°,

4DFB=90°,BF=DF,

设BF=X,则EF=DF-DE=X-2夜，

在RtABEF中，由勾股定理得：42=X2+(X-2V2)2,

解得：=V24-V6,%2=鱼—遥(舍)，

・•・BF=V24-V6;

(2)证明：如图2,连接4F,

•••ABAC=^LEAD=90°,/4义\

•••