专题4.3 全等三角形的性质【八大题型】（举一反三）（北师大版）（解析版）

第=1+1页共sectionpages20页专题4.3全等三角形的性质【八大题型】【北师大版】TOC\o"1-3"\h\u【题型1全等图形的识别】 1【题型2将已知图形分割成几个全等图形】 3【题型3全等三角形对应元素的判断】 5【题型4利用全等三角形的性质求线段长度】 8【题型5利用全等三角形的性质探究线段关系】 10【题型6利用全等三角形的性质求角度】 12【题型7利用全等三角形的性质判断两直线的位置关系】 15【题型8利用全等三角形的性质解决面积问题】 18【知识点1全等图形】能完全重合的图形叫做全等图形.两个图形全等，它们的形状相同，大小相同.【题型1全等图形的识别】【例1】（2023春·广西南宁·八年级广西大学附属中学校考期末）下列四个图形中，属于全等图形的是（）A．①和② B．②和③ C．①和③ D．③和④【答案】A【分析】根据全等形的概念：能够完全重合的两个图形叫做全等形可得答案．【详解】解：①、②和④都可以完全重合，因此全等的图形是①和②．故选：A．【点睛】此题主要考查了全等图形，关键是掌握能够完全重合的两个图形叫做全等形．【变式1-1】（2023春·江苏淮安·八年级统考期中）下列说法正确的是（

）A．两个形状相同的图形称为全等图形 B．两个圆是全等图形C．全等图形的形状、大小都相同 D．面积相等的两个三角形是全等图形【答案】C【分析】根据全等图形的定义逐项进行判断．【详解】解：A.两个形状相同的图形，大小不一定相等，因此这样的两个图形不一定是全等图形，故A错误；B.两半径相同的圆是全等图形，故B错误；C.全等图形的形状、大小都相同，故C正确；D.面积相等的两个三角形不一定形状相同，不一定是全等图形，故D错误．故选：C．【点睛】本题主要考查了全等图形的定义，解题的关键是熟练掌握形状和大小都相同的图形是全等图形．【变式1-2】（2023春·山东德州·八年级统考期中）下列图形中被虚线分成的两部分不是全等形的是（）A．等腰梯形 B．正方形C．正六边形 D．正五角星【答案】A【分析】根据全等形的定义判断即可．【详解】观察选项可知，选项B，C，D中的虚线把图形分成两个完全重合的两部分，而选项A的虚线把图形分成两个不能重合的三角形，故选项A这两部分不是全等图形；故选：A．【点睛】本题考查全等图形的定义，解题的关键是理解全等图形的定义，属于中考基础题．【变式1-3】（2023春·黑龙江鸡西·八年级鸡西市第四中学校考期中）请观察图中的5组图案，其中是全等形的是________（填序号）；【答案】（5）【分析】根据全等形的定义：形状、大小相同，能够完全重合的两个图形进行判断即可．【详解】（1）形状、大小不相等，不是全等形；（2）大小不同，不是全等形；（3）形状，大小都不相同，不是全等形；（4）形状，大小都不相同，不是全等形；（5）形状，大小都相同，是全等形；故答案为：（5）．【点睛】本题考查全等形的识别．熟练掌握形状、大小相同，能够完全重合的两个图形是全等形是解题的关键．【题型2将已知图形分割成几个全等图形】【例2】（2023春·北京西城·八年级校考期中）作图题将4×4的棋盘沿格线划分成两个全等图形，参考图例补全另外几种（约定某种划分法经过旋转、轴对称得到的划分法与原划分法相同）．【答案】见解析【分析】能够完全重合的两个图形叫做全等形，可以利用图形的轴对称性和中心对称性来分割成两个全等的图形．【详解】解：如图所示，（答案不唯一）【点睛】本题主要考查了全等图形，解题的关键是掌握全等图形的定义：形状和大小完全相同的两个图形叫全等形．【变式2-1】（2023春·河南三门峡·八年级统考期中）下图所示的图形分割成两个全等的图形，正确的是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】直接利用全等图形的概念进而得出答案．【详解】解：图形分割成两个全等的图形，如图所示：故选B．【点睛】此题主要考查全等图形的识别，解题的关键是熟知全等的性质.【变式2-2】（2023春·湖南长沙·八年级统考期末）试在下列两个图中，沿正方形的网格线（虚线）把这两个图形分别分割成两个全等的图形，将其中一部分涂上阴影．【答案】见解析（第一个图答案不唯一）【分析】根据全等图形的定义，利用图形的对称性和互补性来分隔成两个全等的图形．【详解】解：第一个图形分割有如下几种：第二个图形的分割如下：【点睛】本题主要考查了学生的动手操作能力和学生的空间想象能力，牢记全等图形的定义是解题的重点．【变式2-3】（2023春·河南三门峡·八年级统考期末）如图所示，请你在图中画两条直线，把这个“+”图案分成四个全等的图形．(要求至少要画出两种方法)．

【答案】答案见解析【分析】根据能够完全重合的两个图形叫做全等形画线即可．【详解】解：如图所示：

故答案是：见解析【点睛】本题考查了全等图形的定义以及特征定义：能够完全重合的两个图形叫做全等图形；特征：形状大小相同，能够完全重合．【知识点2全等三角形的性质】全等三角形的对应边相等，对应角相等.（另外全等三角形的周长、面积相等，对应边上的中线、角平分线、高线均相等）【题型3全等三角形对应元素的判断】【例3】（2023春·八年级课时练习）如图，Rt△ABC沿直角边BC所在的直线向右平移得到△DEF，下列结论错误的是（

）A．△ABC≌△DEF B．∠DEF=90° C．BE=EC D．∠D=∠A【答案】C【分析】根据平移的性质，结合图形，对选项进行一一分析，选择正确答案．【详解】解：A、Rt△ABC沿直角边BC所在的直线向右平移得到△DEF，则△ABC≌△DEF成立，故正确，不符合题意；B、△DEF为直角三角形，则∠DEF=90°成立，故正确，不符合题意；C、BE=EC不能成立，故错误，符合题意；D、∠D=∠A为对应角，正确，不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查了平移的基本性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．【变式3-1】（2023·湖北恩施·八年级统考期中）下列说法：①能够完全重合的图形叫做全等形；②全等三角形的对应边相等、对应角相等；③全等三角形的周长相等、面积相等；④所有的等边三角形都全等；⑤面积相等的三角形全等．其中正确的说法有（）A．5个 B．4个 C．3个 D．2个【答案】C【详解】试题分析：理清全等形以及全等三角形的判定及性质，即可熟练求解此题．①中能够完全重合的图形叫做全等形，正确；②中全等三角形的对应边相等、对应角相等，正确；③全等三角形的周长相等、面积相等，也正确；④中所有的等边三角形角都是60°，但由于边不相等，所以不能说其全等，④错误；⑤中面积相等的三角形并不一定是全等三角形，⑤中说法错误；考点：全等三角形的判定与性质．【变式3-2】（2023春·八年级课时练习）如图，两个三角形△ABC与△BDE全等，观察图形，判断在这两个三角形中边DE的对应边为（

）A．BE B．AB C．CA D．BC【答案】B【分析】观察图形，找到与DE长度相等的线段即可．【详解】观察图形可知：BE＞AB，BE＞BC，∴BE和AC是对应边，显然BD和BC是对应边，∴DE和AB是对应边．故选B．【点睛】本题考查了全等三角形的定义．注意全等的规范书写方式，要求各对应点的位置一致．【变式3-3】（2023春·八年级课时练习）如图，如果△ABC≌△CDA，∠BAC=∠DCA，∠B=∠D，对于以下结论：①AB与CD是对应边；②AC与CA是对应边；③点A与点A是对应顶点；④点C与点C是对应顶点；⑤∠ACB与∠CAD是对应角，其中正确的是（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【答案】B【分析】由全等三角形的对应边相等、对应角相等对以下结论进行判定．【详解】解：△ABC≌△CDA，∠BAC=∠DCA，∠B=∠D．①AB与CD是对应边．故①正确；②AC与CA是对应边．故②正确；③点A与点C是对应顶点．故③错误；④点C与点A是对应顶点．故④错误；⑤∠ACB与∠CAD是对应角．故⑤正确．综上所述，正确的结论是①②⑤，共有3个．故选B．【点睛】本题考查了全等三角形的性质．解题时应注重识别全等三角形中的对应边、对应角．【题型4利用全等三角形的性质求线段长度】【例4】（2023春·辽宁大连·八年级校联考期中）如图，△ABC≌△EBD，AB=4cm，BD=7cm，则CE的长度为（）A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm【答案】D【分析】根据全等三角形的性质可得BE=AB，BC=BD，进而得到BE=3cm，BC=7cm，再根据线段的和差关系进行计算即可．【详解】解：∵△ABC≌△EBD，∴BE=AB，BC=BD，∵AB=3cm，BD=7cm，∴BE=3cm，BC=7cm，∴CE=7cm-3cm=4cm，故选D．【点睛】此题主要考查了全等三角形的性质，关键是掌握全等三角形的对应边相等．【变式4-1】（2023春·江苏南京·八年级统考期中）已知△ABC三边的长分别为3，5，7，△DEF三边的长分别为3，7，2x−1，若这两个三角形全等，则x=______．【答案】3【分析】利用全等的性质列式计算即可．【详解】解：∵△ABC与△DEF全等，∴2x−1=5，解得：x=3，故答案为：3．【点睛】本题主要考查三角形全等的性质，能够通过全等得到对应边相等并列式是解题关键．【变式4-2】（2023春·湖南岳阳·八年级校考期中）如图，△ABC≌△DEC，点B、C、D在同一直线上，且BD=12，AC=7，则CE长为____________．【答案】5【分析】由△ABC≌△DEC可得出BC=EC，AC=DC，再根据BC=BD−DC求解即可．【详解】解：∵△ABC≌△DEC，∴BC=EC，AC=DC，∵BD=12，AC=7，∴CE=BC=BD−DC=BD−AC=12−7=5．故答案为：5．【点睛】本题主要考查全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．【变式4-3】（2023春·四川泸州·八年级校考期中）如图，△ADE≌△BDE，若△ADC的周长为12，AC的长为5，则BC的长为(

)A．8 B．7 C．6 D．5【答案】B【分析】根据全等三角形的对应边相等得到DA=DB，根据三角形的周长公式计算即可．【详解】解：∵△ADE≌△BDE，∴DA=DB，△ADC的周长=AC+CD+AD=AC+CD+BD=AC+BC=12，又AC=5，∴BC=7，故选：B．【点睛】本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等、全等三角形的对应角相等是解题的关键．【题型5利用全等三角形的性质探究线段关系】【例5】（2023春·山东滨州·八年级统考期中）如图，A，D，E三点在同一直线上，且△BAD≌△ACE，试说明：（1）BD=DE+CE；（2）△ABD满足什么条件时，BD∥CE．【答案】（1）证明见解析；（2）∠ADB=90°．【分析】（1）根据全等三角形的性质求出BD=AE，AD=CE，代入求出即可；（2）根据全等三角形的性质求出∠E=∠BDA=90°，推出∠BDE=90°，根据平行线的判定求出即可．【详解】解：（1）∵△BAD≌△ACE，∴BD=AE，AD=CE，∴BD=AE=AD+DE=CE+DE，即BD=DE+CE；（2）△ABD满足∠ADB=90°时，BD∥CE，理由是：∵△BAD≌△ACE，∴∠E=∠ADB=90°，∴∠BDE=180°−90°=90°=∠E，∴BD∥CE．【点睛】本题考查了全等三角形的性质和平行线的判定等的应用，关键是通过三角形全等得出正确的结论，通过做此题培养了学生分析问题的能力．【变式5-1】（2023春·北京·八年级101中学校考期中）如图，已知△ABE≌△ACD，下列选项中不能被证明的等式是（

）．A．∠B=∠C B．AD=AE C．AB=2BD D．BD=CE【答案】C【详解】∵△ABE≌△ACD，∴∠B=∠C，AD=AE，AB=AC，∴AB−AD=AC−AE，即：BD=CE，∴选项A、B、D均正确，只有C中结论无法证明是成立的.故选C．【变式5-2】（2023春·河北唐山·八年级校联考期中）如图，△ACE≌△DBF，AC＝6，BC＝4．（1）求证：AE∥DF；（2）求AD的长度．【答案】（1）证明见解析（2）8【分析】（1）根据全等三角形的性质可得∠A＝∠D，再根据内错角相等两直线平行可得AE∥DF；（2）根据全等三角形的性质得出AC＝DB，进而解答即可．【详解】（1）∵△ACE≌△DBF，∴∠A＝∠D，∴AE∥DF；（2）∵△ACE≌△DBF，∴AC＝DB，∴AB＝DC＝AC﹣BC＝6﹣4＝2，∴AD＝AC+CD＝6+2＝8．【点睛】此题主要考查了全等三角形的性质，关键是掌握全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等．【变式5-3】（2023春·全国·八年级专题练习）如图，△ACF≌△DBE，∠E=∠F，若AD=11，BC=7．（1）试说明AB=CD．（2）求线段AB的长．【答案】(1)见解析;(2)2.【分析】(1)由△ACF≌△DBE，得AC=DB，故AC﹣BC=DB﹣BC；（2）由（1）结论可得AB=12【详解】解：（1）∵△ACF≌△DBE，∴AC=DB，∴AC﹣BC=DB﹣BC，即AB=CD（2）∵AD=11，BC=7，∴AB=12（AD﹣BC）=1即AB=2【点睛】本题考核知识点：全等三角形性质.解题关键点：熟记全等三角形性质.【题型6利用全等三角形的性质求角度】【例6】（2023春·安徽安庆·八年级校联考期末）如图，已知△ABC≌△DEF，CD平分∠BCA，若∠A=30°，∠CGF=88°，则∠E的度数是（）A．30° B．50° C．44° D．34°【答案】D【分析】根据角平分线的性质得到∠ACD=∠BCD=12∠BAC，根据全等三角形的性质得到∠D=∠A=30°，根据三角形的外角性质求出∠BCD，再求出∠B【详解】解：∵CD平分∠BCA，∴∠ACD=∠BCD=1∵△ABC≌△DEF，∴∠D=∠A=30°，∠B=∠E，∵∠CGF=∠D+∠BCD，∴∠BCD=∠CGF−∠D=58°，∴∠BCA=116°，∴∠B=180°−30°−116°=34°，∴∠E=∠B=34°，故选：D．【点睛】本题考查的是全等三角形的性质、三角形内角和定理，掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键．【变式6-1】（2023春·广东江门·八年级统考期中）已知图中的两个三角形全等，则∠αA．72° B．60° C．58° D．50°【答案】D【分析】根据全等三角形对应角相等可知∠α是a、c边的夹角，可得对应角，则∠α=50°，从而可得答案．【详解】解：∵如图，两个三角形全等，∠α与50°的角是a、c边的夹角，∴∠α的度数是50°．故选：D．【点睛】本题考查的是全等三角形的性质，掌握“全等三角形的对应角相等”是解本题的关键．【变式6-2】（2023春·江苏南通·八年级启东市长江中学校考期中）如图，已知△ABC≌△DBE，点D恰好在AC的延长线上，∠DBE=20°，∠BDE=41°．则∠BCD的度数是_____【答案】61【分析】根据三角形内角和定理求出∠E，根据全等三角形的性质求出∠ACB，根据补角的概念（如果两个角的和是一个平角，那么这两个角叫互为补角）计算，得到答案．【详解】解：在△BDE中，∠DBE=20°，∴∠E=180°−∠DBE−∠BDE=119°，∵△ABC≌△DBE，∴∠ACB=∠E=119°，∴∠BCD=180°−119°=61°，故答案为：61．【点睛】本题考查的是全等三角形的性质的应用，掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键．【变式6-3】（2023春·广东梅州·八年级校考开学考试）如图，△ABC≌△A1B1C1，若∠A=50°，∠AA．15° B．25° C．20° D．10°【答案】C【分析】根据全等三角形的性质得出∠ABC=∠A1B【详解】解：∵△ABC≌△A∴∠ABC=∠A在△ABC中，∠ACB=180°−∠A−∠ABC=180°−50°−45°=85°，∴∠α=∠ACB−∠ACB故选：C．【点睛】本题考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理，掌握全等三角形的性质是解题的关键．【题型7利用全等三角形的性质判断两直线的位置关系】【例7】（2023春·全国·八年级期末）如图，点A，O，B在同一直线上，且△ACO≌(1)点C，O，D在同一直线上；(2)AC∥【答案】(1)见解析；(2)见解析．【分析】（1）由全等三角形的性质可知∠AOC＝∠BOD，由题意可知∠AOD+∠DOB＝180°，故此可求得∠AOD+∠AOC＝180°，从而可证明点C，O，D在同一直线上；（2）由全等三角形的性质可知∠A＝∠B，由平行线的判定定理可证明AC∥BD．【详解】（1）证明：∵△ACO≌△BDO，∴∠AOC=∠BOD．∵点A，O，B在同一直线上，∵∠AOD+∠DOB＝180°，∴∠AOD+∠AOC＝180°，，∴点C，O，D在同一直线上；（2）证明：∵△ACO≌△BDO，∴∠A＝∠B，∴AC【点睛】本题主要考查的是全等三角形的性质、平行线的判定，掌握全等三角形的性质、平行线的判定定理是解题的关键．【变式7-1】（2023·全国·八年级专题练习）如图，△ABC≌△DEF，∠A=33°，∠E=57°，CE=5cm．（1）求线段BF的长；（2）试判断DF与BE的位置关系，并说明理由．【答案】(1)5cm；(2)见解析【分析】(1)根据全等三角形的性质得出BC=EF，求出EC=BF即可；(2)根据全等三角形的性质可得∠A=∠D=33°，根据三角形内角和定理求出∠DFE的度数，即可得出答案．【详解】1∵△ABC≌△DEF∴BC=EF，∴BC+CF=EF+CF，即BF=CE=5cm2∵△ABC≌△DEF，∠A=33°∴∠A=∠D=33°，∵∠D+∠E+∠DFE=180°，∠E=57°，∴∠DFE=180°−57°−33°=90°，∴DF⊥BE．【点睛】本题考查了全等三角形的性质和三角形内角和定理，能灵活运用全等三角形的性质进行推理是解此题的关键．【变式7-2】（2023春·河北石家庄·八年级统考阶段练习）如图所示，△ADF≌△CBE，且点E，B，D，F在一条直线上，判断AD与BC的位置关系．【答案】AD//BC【分析】根据全等三角形的性质得出∠ADF=∠CBE，进而得出∠ADB=∠CBD，利用平行线判定解答即可．【详解】解：AD与BC的位置关系为AD//BC．∵ΔADF≅ΔCBE，∴∠ADF=∠CBE．又∵∠ADF+∠ADB=180°，∠CBE+∠CBD=180°，∴∠ADB=∠CBD．∴AD//BC．【点睛】本题考查全等三角形的性质，解题关键是根据全等三角形的性质得出∠ADF=∠CBE．【变式7-3】（2023春·山东枣庄·八年级校考期末）如图所示，已知AE⊥AB，△ACE≌△AFB，CE、AB、BF分别交于点D、M．证明：CE⊥BF．【答案】见解析.【分析】先利用垂直定义得到∠BAE=90°，在利用三角形全等的性质得∠CAE=∠BAF，∠ACE=∠F，则∠CAF=∠BAE=90°，然后根据三角形内角和定理易得∠FMC=∠CAF=90°，然后根据垂直的定义即可得到结论．【详解】证明：∵AE⊥AB，∴∠BAE=90°，∵△ACE≌△AFB，∴∠CAE=∠BAF，∠ACE=∠F，∴∠CAB+∠BAE=∠BAC+∠CAF，∴∠CAF=∠BAE=90°，而∠ACE=∠F，∴∠FMC=∠CAF=90°，∴CE⊥BF．【点睛】本题考查了全等三角形的性质：全等三角形的性质是证明线段和角相等的理论依据，应用时要会找对应角和对应边．【题型8利用全等三角形的性质解决面积问题】【例8】（2023春·重庆九龙坡·八年级重庆市育才中学校考期中）如图，若△ABC≌△EBD，且BD=4，AB=8，则阴影部分的面积S△ACE=______．【答案】8

【详解】解：∵△ABC≌△EBD，BD=4，AB=8，

∴AB=EB=8，BC=BD=4，

∴EC=EB−BC=