专题2.8 平行线中的拐点问题的三大题型（北师大版）（解析版）

第=1+1页共sectionpages54页专题2.8平行线中的拐点问题的三大题型【北师大版】考卷信息：本套训练卷共30题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可加强学生对平行线中的拐点问题的三大题型的理解！【题型1平行线中的单拐点问题】1．（2023下·浙江宁波·七年级统考期末）如图，AB∥DE，BC⊥CD，设∠ABF=α，∠CDE=β，则α与β之间的数量关系正确的是（A．α−β=90∘ C．α+β=180∘ D．α与【答案】A【分析】过C作CM∥AB，得到CM∥DE，因此∠ABC=∠BCM，∠MCD=∠EDC=β，由垂直的定义得到∠ABC=90°−β，由邻补角的性质即可得到答案．【详解】解：过C作CM∥AB，∵AB∥DE，∴CM∥∴∠ABC=∠BCM，∠MCD=∠EDC=β，∵BC⊥CD，∴∠BCM=90°−∠MCD=90°−β，∴∠ABC=90°−β，∵∠ABC+∠ABF=180°，∴90°−β+α=180°，∴α−β=90∘

故选：A．【点睛】本题考查平行线的性质，关键是过C作CM//AB，得到CM//DE，由平行线的性质来解决问题．2．（2023下·云南玉溪·七年级统考期末）含45°的三角板ABC和含30°的三角板DEF如图摆放，若AB∥DE，∠C=45°，∠D=60°，则∠1的度数是（

）

A．75° B．90° C．100° D．105°【答案】D【分析】AC于DF交于G，作GH∥AB，可得AB∥DE∥【详解】解：如图，AC于DF交于G，作GH∥

因为AB∥DE，所以AB∥所以∠AGH=∠A=45°，∠DGH=∠D=60°，所以∠AGD=∠AGH+∠DGH=45°+60°=105°；故选：D．【点睛】本题考查了平行线的判定及性质，掌握判定方法及性质是解题的关键．3．（2023下·江苏苏州·七年级统考期末）如图，已知AB∥CD，∠EAF=23∠BAF,∠ECF=23

【答案】5【分析】过点F作FG∥AB，则GF∥CD，依据平行线的性质可证明∠AFG=∠BAF、∠GFC=∠FCD，同理可证明∠AEC=∠BAE+∠DCE，然后结合已知条件可得到问题的答案．【详解】解：如图所示：过点F作FG∥AB．∵FG∥AB，∴∠AFG=∠BAF．∵FG∥AB，∴GF∥CD，∴∠GFC=∠FCD．∴∠AFC=∠BAF+∠DCF．同理：∠AEC=∠BAE+∠DCE．∴∠AEC=∵∠AEC=m∠AFC，∴m=5故答案为：53

【点睛】本题主要考查的是平行线的判定和性质，掌握本题的辅助线的作法是解题的关键．4．（2023下·山东泰安·六年级统考期末）如图，已知直线AB∥CD，P为平面内一点，连接PA，PD．则∠A、∠D、∠APD之间的等量关系为

【答案】∠APD=180°+∠A−∠D【分析】过点P作PM∥AB，从而可得∠A=∠APM，再根据平行于同一条直线的两条直线平行可得PM∥【详解】解：如图，过点P作PM∥

∴∠A=∠APM，∵AB∥∴PM∥∴∠D+∠DPM=180°，∴∠DPM=180°−∠D，∵∠APD=∠APM+∠DPM，∴∠APD=∠A+180°−∠D，则∠A、∠D、∠APD之间的等量关系为∠APD=180°+∠A−∠D，故答案为：∠APD=180°+∠A−∠D．【点睛】本题考查了平行线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．5．（2023上·陕西汉中·七年级统考期末）在综合与实践课上，同学们以“一个含30°的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动如图1，已知两直线a，b，且a∥b和直角三角形ABC，∠BCA=90°，(1)在图1中，∠1=46°，求∠2的度数；(2)如图2，创新小组的同学把直线a向上平移，并把∠2的位置改变，发现∠2−∠1=120°，说明理由；(3)竞赛小组在创新小组发现结论的基础上，将图2中的图形继续变化得到图3，当AC平分∠BAM时，此时发现∠1与∠2又存在新的数量关系，请写出∠1与∠2的数量关系并证明．【答案】(1)44°(2)理由见解析(3)∠1=∠2，理由见解析【分析】本题主要考查了平行的线的性质、直角三角形的性质，熟练掌握平行线的性质是解此题的关键．（1）由∠BCA=90°可得∠1+∠3=90°，从而得出∠3=90°−∠1=44°，最后再由两直线平行，同位角相等即可得出∠2的度数；（2）过点B作BD∥a，则∠ABD=180°−∠2，BD∥b，由平行线的性质可得∠CBD=∠1，结合∠ABC=60°可得180°−∠2+∠1=60°，即可得解；（3）过点C作CE∥a，则∠2=∠BCE，BD∥b，由角平分线的定义可得∠BAC=∠CAM=30°，从而得到∠MAB=60°，由平行线的性质可得∠1=∠MAB=60°，∠ACE=∠MAC=30°，计算出∠2=∠BCE=60°，即可得证．【详解】（1）解：如图，，∵∠ACB=90°，∠1+∠ACB+∠3=180°，∴∠1+∠3=180°−∠ACB=90°，∵∠1=46°，∴∠3=90°−∠1=44°，∵a∥b，∴∠2=∠3=44°；（2）解：如图，过点B作BD∥a，则∠ABD=180°−∠2，，∵a∥b，∴BD∥b，∴∠CBD=∠1，∵∠ABC=60°，∴180°−∠2+∠1=60°，∴∠2−∠1=120°；（3）解：∠1=∠2，理由如下：如图，过点C作CE∥a，则∠2=∠BCE，，∵AC平分∠BAM，∴∠BAC=∠CAM=30°，∴∠MAB=60°，∵a∥b，∴CE∥b，∴∠1=∠MAB=60°，∠ACE=∠MAC=30°，∴∠BCE=90°−∠ACE=60°，∴∠2=∠BCE=60°，∴∠1=∠2=60°．6．（2023下·黑龙江齐齐哈尔·七年级统考期末）在一次空间与图形的学习中，小明遇到了下面的问题：如图1，若AB∥CD，点P在AB、CD内部，探究∠B，∠D，∠BPD的关系．小明只完成了（1）的部分证明．(1)请你继续完成的证明并在括号内填入适当的理论依据同时完成过点P作PE∥AB．∵PE∥AB，AB∥CD∴____∥____（

）∴∠D=____（

）又∵PE∥AB∴∠B=∠BPE∴∠BPD=________．(2)小明猜想：是不是类似的问题都可以过点P作PE∥AB来实现等角转移从而推导出相应结论呢？．如图2，若AB∥CD，点P在AB、CD外部，∠B，∠D，∠BPD的关系是否发生变化？若发生变化请写出它们的关系，并证明；若没有发生变化，请说明理由．(3)探究：若AB∥CD，如图3，图4，请直接写出小于平角的∠ABP，∠CDP，∠BPD之间的数量关系．【答案】(1)PE；CD；平行于同一条直线的两条直线平行；∠EPD；两直线平行内错角相等；∠B+∠D(2)∠BPD=∠B−∠D(3)∠ABP+∠CDP+∠BPD=360°；∠BPD=∠CDP−∠ABP【分析】本题考查了平行线的性质与判定；（1）首先过点P作PE∥AB，根据平行线的性质，可得∠D=∠EPD，∠B=∠BPE，从而证得∠BPD=∠B+∠D；（2）同（1）的方法可得，∠D+∠EPD=180°，∠B+∠BPE=180°，进而即可得出结论；（3）同（1）的方法分别结合图3，图4，得出∠ABP，∠CDP，∠BPD的关系，即可求解．【详解】（1）解：过点P作PE∥AB．∵PE∥AB，AB∥CD∴PE∥∴∠D=∠EPD（两直线平行内错角相等）又∵PE∥AB∴∠B=∠BPE∴∠BPD=∠B+∠D．故答案为：PE；CD；平行于同一条直线的两条直线平行；∠EPD；两直线平行内错角相等；∠B+∠D．（2）发生变化，应是∠BPD=∠B−∠D．证明：如图2，过点P作PE∥AB．∵PE∥AB，AB∥CD∴PE∥∴∠D+∠EPD=180°又∵PE∥AB∴∠B+∠BPE=180°∴∠BPD=∠EPD−∠BPE=180°−∠D即∠BPD=∠B−∠D（3）如图3，过点P作PE∥AB，∵PE∥AB，AB∥CD，∴PE∴∠D+∠EPD=180°又∵PE∥AB∴∠B+∠BPE=180°∴∠BPD=∠BPE+∠DPE=180°−∠D即∠ABP+∠CDP+∠BPD=360°如图4，过点P作PE∥AB，∵PE∥AB，AB∥CD∴PE∴∠D+∠EPD=180°又∵PE∥AB∴∠B+∠BPE=180°∴∠BPD=∠BPE−∠DPE=180°−∠B即∠BPD=∠CDP−∠ABP7．（2023下·黑龙江哈尔滨·七年级统考期末）有一天李小虎同学用“几何画板”画图，他先画了两条平行线AD，BC，然后在平行线间画了一点E，连接CE，DE后（如图①），他用鼠标左键点住点E，拖动后，分别得到如图②，③，④等图形，这时他突然一想，∠C，∠D与∠DEC之间的度数有没有某种联系呢？接着小虎同学通过利用“几何画板”的“度量角度”和“计算”功能，找到了这三个角之间的关系．(1)请直接写出图①到图④各图中的∠C，∠D与∠DEC之间的关系吗？(2)请从图③④中，选一个说明它成立的理由．【答案】(1)图①：∠DEC=∠C+∠D；图②：∠DEC=360°−∠C−∠D；图③：∠DEC=∠C−∠D；图④：∠DEC=∠D−∠C(2)以图③为例说明理由见解析【分析】（1）分别过E作EF∥（2）选择③，过点E作EF∥AB，根据两直线平行，内错角相等可得∠D=∠DEF，∠B=∠BEF，再根据∠BED=∠DEF−∠BEF整理即可得证．【详解】（1）图①：∠DEC=∠C+∠D；如图，过点E作EF∥∵AD∥∴AD∥EF∥∴∠D=∠DEF，∠C=∠CEF，∴∠D+∠C=∠DEF+∠CEF，∴∠DEC=∠C+∠D图②：∠DEC=360°−∠C−∠D；如图，过点E作EF∥∵AD∥∴AD∥EF∥∴∠D+∠DEF=180°，∠C+∠CEF=180∴∠D+∠C+∠DEF+∠CEF=360°∴∠DEC=360°−∠C−∠D；图③：∠DEC=∠C−∠D；证明见小问2详解；图④：∠DEC=∠D−∠C；如图，过点E作EF∥∵AD∥∴AD∥EF∥∴∠D=∠DEF，∠C=∠CEF，∴∠D−∠C=∠DEF−∠CEF，∴∠DEC=∠D−∠C（2）以图③为例：如图，过点E作EF∥∵AD∥∴AD∥EF∥∴∠D=∠DEF，∠C=∠CEF．∵∠CED=∠CEF−∠DEF，∴∠CED=∠C−∠D．【点睛】本题考查了平行线的性质，此类题目解题关键在于过拐点作平行线，然后借助平行线的性质进行证明．8．（2023下·湖北孝感·七年级统考期末）已知AB∥CD，E，F分别是AB，CD上的点，点M在AB，CD两平行线之间．

【阅读探究】(1)平行线具有“等角转化”的功能，将∠AEM和∠CFM通过转化“凑”在一起，得出角之间的关系．如图1，若∠AEM=45°，∠CFM=25°时，则∠EMF=___________．【方法运用】(2)如图2，试说明∠EMF=360°−∠AEM−∠CFM；【应用拓展】(3)如图3，作∠AEM和∠CFM的平分线EP，FP，交于点P（交点P在两平行线AB，CD之间）若∠EMF=60°，求∠EPF的度数．【答案】(1)70°(2)见解析(3)150°【分析】（1）过点M作MN∥AB，根据平行可得∠EMF=∠AEM+∠CFM即可求解；（2）由平角定义得∠BEM=180°−∠AEM，∠DFM=180°−∠CFM，再由（1）的结论即可得出答案；（3）先由角平分线的定义得∠AEP=12∠AEM【详解】（1）解：过点M作MN∥AB，如图，

∵AB∥CD∴AB∥MN∥CD，∴∠EMN=∠AEM，∠NMF=∠CFM，∴∠EMN+∠NMF=∠AEM+∠CFM，即∠EMF=∠AEM+∠CFM，∵∠AEM=45°，∠CFM=25°，∴∠EMF=70°；（2）解：过点M作MN∥AB，如图2所示：

∵AB∥CD，∴MN∥CD，∴∠EMN=∠BEM，∠FMN=∠DFM，∵∠BEM=180°−∠AEM，∠DFM=180°−∠CFM，∴∠EMF=∠EMN+∠FMN=180°−∠AEM+180°−∠CFM=360°−∠AEM−∠CFM，∴∠EMF=360°−∠AEM−∠CFM；（3）解：∵EP、FP分别是∠AEM和∠CFM的平分线，∴∠AEP=12∠AEM过点P作PH∥AB，如图3所示：

∵AB∥CD，∴PH∥CD，∴∠EPH=∠AEP，∠FPH=∠CFP，∴∠EPF=∠EPH+∠FPH=∠AEP+∠CFP=1由第（2）得：∠EMF=360°−∠AEM−∠CFM，∴∠AEM+∠CFM=360°−∠EMF=360°−60°=300°，∴12∴∠EPF=150°．【点睛】此题主要考查了平行线的性质，解答此题的关键是准确识图，熟练掌握平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补；平行于同一条直线的两条直线平行．9．（2024下·全国·七年级假期作业）在综合与实践课上，老师以“两条平行线AB，CD和一块含60°角的直角三角尺EFG（∠EFG=90°，∠EGF=60°）”为主题开展数学活动．(1)如图①，若直角三角尺的60°角的顶点G放在CD上，∠2=∠1，求∠1的度数；(2)如图②，小颖把直角三角尺的两个锐角的顶点E，G分别放在AB和CD上，请你探索并说明∠AEF与∠FGC之间的数量关系；(3)如图③，小亮把直角三角尺的直角顶点F放在CD上，30°角的顶点E放在AB上．若∠AEG=α，∠CFG=β，则∠AEG与∠CFG的数量关系是什么（用含α，β的式子表示）？请说明理由．【答案】(1)∠1=60°(2)∠AEF+∠FGC=90°，理由见解析(3)α+β=300°．理由见解析【详解】解：（1）因为AB∥所以∠1=∠EGD．因为∠2+∠EGF+∠EGD=180°，∠2=∠1，所以∠1+60°+∠1=180°，解得∠1=60°．（2）如图，过点F作FP∥因为CD∥所以FP∥所以∠AEF=∠EFP，∠FGC=∠GFP，所以∠AEF+∠FGC=∠EFP+∠GFP=∠EFG．因为∠EFG=90°，所以∠AEF+∠FGC=90°．（3）α+β=300°．理由如下：因为AB∥所以∠AEF+∠CFE=180°，即∠AEG−30°+∠CFG−90°=α−30°+β−90°=180°，整理可得α+β=180°+120°=300°．10．（2023下·江苏泰州·七年级统考期末）已知l1∥l2，李想同学将△ABC放置在这两条平行线上展开探究，其中△ABC三边与两条平行线分别交于点D、E、

(1)【特例探究】如图1，∠C=90°．①∠CED+∠CGF=______度；②若∠CED与∠CGF的角平分线相交于点P，则∠EPG=______度；(2)【一般探索】如图2，∠C=α，∠EPG=β．①若∠DEP=13∠CED，∠FGP=13②若∠DEP=1n∠CED，∠FGP=1n∠CGF（n≥2且(3)【拓展应用】如图3，∠CED与∠CGF的角平分线相交于点P1，∠P1ED与∠P1GF的角平分线相交于点P2，【答案】(1)①270°，②135°(2)①α+3β=360°；②α+nβ=360°(3)2【分析】（1）①利用平行线的性质证明∠CED+∠CGF+∠ACB=360°即可；②证明∠EPG=∠PED+∠PGF=1（2）①利用平行线的性质证明∠CED+∠CGF+∠ACB=360°和∠EPG=∠PED+∠PGF=1②利用平行线的性质证明∠CED+∠CGF+∠ACB=360°和∠EPG=∠PED+∠PGF=1（3）利用（2）中的结论计算即可．【详解】（1）①过点C作CM平行于l1，过点P作PN平行于

∵l1∴CM∥l2，∴∠DEC+∠ECM=180°，∠MCG+∠FGC=180°，∠DEP=∠EPN，∠NPG=∠FGP，∴∠DEC+∠ECM+∠MCG+∠FGC=360°，∠DEP+∠FGP=∠EPN+∠NPG，∵∠ECG=∠ECM+∠MCG=90°，∠EPN+∠NPG=∠EPG∴∠DEC+∠ECG+∠FGC=360°，∠DEP+∠FGP=∠EPG，∴∠CED+∠CGF=270°，②∵∠CED与∠CGF的角平分线相交于点P，则∠EPG=______度；∴∠DEP=12∠CED∴∠EPG=∠PED+∠PGF=故答案为：①270°，②135°；（2）①α+3β=360°过点C作CM平行于l1，过点P作PN平行于

∵l1∴CM∥l2，∴∠DEC+∠ECM=180°，∠MCG+∠FGC=180°，∠DEP=∠EPN，∠NPG=∠FGP，∴∠DEC+∠ECM+∠MCG+∠FGC=360°，∠DEP+∠FGP=∠EPN+∠NPG，即∠DEC+∠ECG+∠FGC=360°，∠DEP+∠FGP=∠EPG，∴∠DEC+∠FGC=360°−∠ECG=360°−α，∵∠DEP=13∠CED∴∠EPG=∠DEP+∠FGP=1∴β=13360°−α②α+nβ=360°同①可得∠DEC+∠FGC=360°−∠ECG=360°−α，∵∠DEP=1n∠CED∴∠EPG=∠DEP+∠FGP=1∴β=1n360°−α（3）∵∠CED与∠CGF的角平分线相交于点P1，∠P1ED与∠P1GF的角平分线相交于点P∴∠DEP2023∴由（2）得∠C+∴360°−∠C∠E【点睛】本题考查平行线的性质，根据平行线的性质、角平分线的定义，利用平行线的性质证明∠CED+∠CGF+∠ACB=360°和∠EPG=∠PED+∠PGF=111．（2023下·湖北孝感·七年级统考期末）在一次数学活动课上，同学们用一个含有60°角的直角三角板和两条平行线展开探究．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=60°，EF

(1)如图1，点C在EF上，点A在GH上，AB与EF交于点D，若∠1=20°，求∠2的度数；(2)如图2，点C在EF上，点A在EF上方，点B在GH下方，BC与GH交于点Q，作∠ACE的角平分线并反向延长与∠CQH的角平分线交于点O，求∠O的度数；(3)如图3，点C在EF上，点A在直线EF，GH之间（不含在EF，GH上），点B在GH下方，AB，BC分别与GH交于点P，Q．设∠FCB=n°，是否存在正整数m和n，使得∠APH=m∠FCB．若存在，请求出m和n的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)50°(2)45°(3)存在，m=2，n=70；m=4，n=42；m=5，n=35【分析】（1）先求出∠ACD=70°，再利用两直线平行同旁内角互补求出∠CAH的度数，根据∠2=∠CAH−∠CAB即可得出结果；（2）利用平行线性质得到∠DCE=∠COP，∠POQ=∠OQH，∠ECQ=∠CQH，CD平分∠ACE，QO平分∠CQH，得到∠POQ=12∠ECQ，∠COP=（3）根据四边形的内角和360°及平行线的性质得出关于m和n的关系式，根据题意得出m的范围，在范围内找到m和n都是正整数的所有可能的情况．【详解】（1）解：∠ACD=∠ACB−∠1=90°−20°=70°，∵EF∥∴∠ACD+∠CAH=180°，∴∠CAH=180°−∠ACD=110°，∴∠2=∠CAH−∠CAB=110°−60°=50°；（2）如图，过点O作OP∥

∵EF∥∴EF∥∴∠DCE=∠COP，∠POQ=∠OQH，∠ECQ=∠CQH，∵CD平分∠ACE，QO平分∠CQH，∴∠DCE=12∠ACE∴∠POQ=12∠ECQ∴∠COQ=∠COP+∠POQ====45°；（3）∵∠ACB=90°，∠A=60°，∴∠APQ+∠CQP=360°−∠CB−∠A=210°，∵EF∥∴∠FCB=∠CQP=n°，∴∠APQ+∠CQP=∠APQ+n°=210°，∵∠APH=m∠FCB，∴∠APH=mn°，∴mn°+n°=210°，∴n°=210°∵∠APH<180°，∴30°<n°<90°，∴30<n<90，又∵m，n是正整数，∴存在符合要求的正整数m和n，分别为：当m=1时，n=210当m=2时，n=210当m=3时，n=210当m=4时，n=210当m=5时，n=210当m=6时，n=210【点睛】本题考查平行线的性质，利用平行线的性质、角平分线的定义、四边形的内角和等知识把问题解决，其中作平行线、分类讨论是解决本题的关键．【题型2平行线中两点或多拐点问题】1．（2023下·山东德州·七年级统考期末）已知AB∥CD，AM平分∠BAP，∠PCM=2∠MCD，2∠M−∠P=10°，则∠PCD=．【答案】30°/30度【分析】作PQ∥AB于Q，作MN∥AB于N，则AB∥PQ∥MN∥CD，设∠MCD=x，则∠PCM=2x，∠PCD=3x，再根据角平分线的定义可得∠BAM=12∠BAP，设∠BAM=y，则∠BAP=2y，然后根据平行线的性质可得∠APQ=∠BAP=2y，∠AMN=∠BAM=y，∠CPQ=∠PCD=3x，∠CMN=∠MCD=x，从而可得∠APC=2y−3x,∠AMC=y−x，代入2∠AMC−∠APC=10°【详解】解：如图，作PQ∥AB于Q，作MN∥AB于N，则AB∥PQ∥MN∥CD，设∠MCD=x，则∠PCM=2x，∠PCD=∠MCD+∠PCM=3x，∵AM平分∠BAP，∴∠BAM=1设∠BAM=y，则∠BAP=2y，∵AB∥PQ，∴∠APQ=∠BAP=2y，∠AMN=∠BAM=y，∵PQ∥MN∥CD，∴∠CPQ=∠PCD=3x，∠CMN=∠MCD=x，∴∠APC=∠APQ−∠CPQ=2y−3x，∠AMC=∠AMN−∠CMN=y−x，又∵2∠AMC−∠APC=10°，∴2y−x解得x=10°，则∠PCD=3x=3×10°=30°，故答案为：30°．【点睛】本题考查了平行公理推论、平行线的性质等知识点，通过作辅助线，构造平行线是解题关键．2．（浙江省宁波市镇海区2021-2022学年七年级下学期期末数学试题）已知直线l1∥l2，l3和l1，l2分别交于C，D点，点A，B分别在线l1，l2上，且位于l(1)如图1，点P在线段CD上，∠1=25°，∠2=40°，求∠APB的度数．(2)如图2，当点P在直线l3上运动时，试判断∠APB，∠1，∠2【答案】(1)65°(2)当P在l1的上方时，∠2＝∠1+∠APB，当P在线段CD上时，∠APB=∠1+∠2；当P在l2【分析】（1）过点P作PE∥l1，根据l1∥l2可知PE（2）分三种情况讨论：当P在l1的上方时，当P在线段CD上时，由（1）可得：∠APB=∠1+∠2；当P在l2的下方时，过P作PE∥AC，依据【详解】（1）证明：如图1，过点P作PE∥∵l1∴PE∥∴∠1=∠APE，∠2=∠BPE．又∵∠APB=∠APE+∠BPE，∴∠APB=∠1+∠2∵∠1=25°，∠2=40°，∴∠APB=20°+45°=65°；（2）解：∠2=∠1+∠APB．理由如下：当P在l1的上方时，如图2，过P作PE∵l1∴PE∥∴∠2=∠BPE，∠1=∠APE，∵∠BPE=∠APE+∠APB，∴∠2=∠1+∠APB．当P在线段CD上时，由（1）可得：∠APB=∠1+∠2；当P在l2的下方时，如图2，过P作PE∵l1∴PE∥∴∠2=∠BPE，∠1=∠APE，∵∠APE=∠BPE+∠APB，∴∠1=∠2+∠APB．【点睛】本题考查的是平行线的性质，平行公理的应用，根据题意作出辅助线，构造出平行线是解答此题的关键．3．（2023下·北京西城·七年级北京师大附中校考阶段练习）请阅读小明同学在学习平行线这章知识点时的一段笔记，然后解决问题．小明：老师说在解决有关平行线的问题时，如果无法直接得到角的关系，就需要借助辅助线来帮助解答，今天老师介绍了一个“美味”的模型“猪蹄模型”．即已知：如图1，AB∥CD，E为AB、CD之间一点，连接AE，CE得到求证：∠AEC=∠A+∠C小明笔记上写出的证明过程如下:证明：过点E作EF∵∠1=∠A∵AB∥CD∴EF∴∠2=∠C∴∠AEC=∠1+∠2∴∠AEC=∠A+∠C请你利用“猪蹄模型”得到的结论或解题方法，完成下面的两个问题．(1)如图，若AB∥CD，∠E=60(2)如图，AB∥CD，BE平分∠ABG，CF平分∠DCG，∠G=∠H+27【答案】(1)240(2)51【分析】（1）作EM∥AB，FN∥CD，如图，根据平行线的性质得EM∥AB∥FN∥（2）分别过G、H作AB的平行线MN和RS，根据平行线的性质和角平分线的性质可用∠ABG和∠DCG分别表示出∠H和∠G，从而可找到∠H和∠G的关系，结合条件可求得∠H=51【详解】（1）作EM∥AB，FN∴EM∴∠B=∠1，∠2=∠3，∠4+∠C=∴∠B+∠CFE+∠C=∠1+∠3+∠4+∠C=∠BEF+∠4+∠C=∠BEF+180∵∠BEF=60∴∠B+∠CFE+∠C=60（2）如图，分别过G、H作AB的平行线MN和RS，∵BE平分∠ABG，CF平分∠DCG，∴∠ABE=12∠ABG∵AB∴AB∴∠RHB=∠ABE=12∠ABG∴∠NGB+∠ABG=∠MGC+∠DCG=180∴∠BHC=180∠BGC=∴∠BGC=360∵∠BGC=∠BHC+27∴180∘∴∠BHC=51【点睛】本题考查了平行线的性质和判定的应用，能运用平行线的性质和判定进行推理是解此题的关键，注意：①两直线平行，同位角相等，②两直线平行，内错角相等，③两直线平行，同旁内角互补，反之亦然．4．（2023下·广东汕头·七年级统考期末）已知：如图，直线AB、CD被直线MN所截，∠1=∠2．(1)如图①，MN分别与AB、CD交于点O1、O2，O1H平分∠BO1N，O(2)如图②，点E在AB与CD之间的直线MN上，P、Q分别在直线AB、CD上，连接PE、EQ，PF平分∠BPE，QF平分∠EQD．（Ⅰ）若∠PEQ=60°，求∠PFQ的度数；（Ⅱ）请猜想∠PEQ和∠PFQ之间的数量关系，并证明你的结论．【答案】(1)O1(2)（I）150°；（II）∠PEQ+2∠PFQ=360°，证明见解析【分析】（1）等量代换得到∠1=∠O1O2D，推出AB∥CD，可得∠BO（2）（I）过E作l1∥AB，过F作l2∥AB，得到内错角相等，即∠4=∠8，∠5=∠10，∠6=∠9，∠7=∠11，可得∠8+∠10=∠4+∠5=∠PEQ=60°，再根据角平分线的定义得到∠BPE=2∠9，∠EQD=2∠11，进一步推出∠6+∠7=150°，即可得解；（II）同理推出∠BPE=2∠9=2∠6，【详解】（1）解：O1∵∠1=∠2，∠2=∠O∴∠1=∠O∴AB∥∴∠BO∵O1H平分∠BO1N∴∠O2O∴∠O2O∴∠O∴O1（2）（Ⅰ）过E作l1∥AB，则l1∥CD，过

∴∠4=∠8，∠5=∠10，∠6=∠9，∠7=∠11，∴∠8+∠10=∠4+∠5=∠PEQ=60°，∵PF平分∠BPE，QF平分∠EQD，∴∠BPE=2∠9，∠EQD=2∠11，∵2∠9=180°−∠8，2∠11=180°−∠10，∴2∠9+2∠11=360°−(∠8+∠10)=300°，∴∠9+∠11=150°，∴∠6+∠7=150°，∴∠PFQ=150°．（Ⅱ）∠PEQ+2∠PFQ=360°，理由如下：同（Ⅰ）可得∠4=∠8，∠5=∠10，∠6=∠9，∠7=∠11，∵PF平分∠BPE，QF平分∠EQD，∴∠BPE=2∠9=2∠6，∠EQD=2∠11=2∠7，∵∠8+2∠9=180°，∠10+2∠11=180°，∴∠4+2∠6+∠5+2∠7=360°，即(∠4+∠5)+2(∠6+∠7)=360°，∴∠PEQ+2∠PFQ=360°．【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，（2）比较复杂，需要添加辅助线，产生较多的角，要能理清角之间的关系．5．（2023下·湖北武汉·七年级统考期末）如图1，已知直线PQ分别与直线AB,CD交于点P和点Q，AB⊥PQ，CD⊥PQ．

(1)求证：AB∥CD；(2)如图2，P，Q两点分别沿直线AB和CD向左平移相同的单位长度得到E，F两点，点G在直线PQ上运动，EM平分∠AEG，点H在直线EM上，连接FH,GF的延长线交EM于点N，FN平分∠CFH．①若∠CFH<90°，2∠EHF+∠EGF=255°，求∠CFH的大小；②当点G在AB,CD之间时，直接写出∠ENF，∠EGF，∠EHF之间的数量关系．【答案】(1)见解析(2)①50°；②∠EGF−∠EHF+3∠ENF=180°【分析】（1）根据内错角相等，两直线平行即可证明；（2）①过点H作HK∥AB，过点G作GI∥AB，设∠AEM=∠GEM=x，∠CFN=∠HFN=y，根据平行可表示出∠EHF和∠EGF，即可求出；②过点H作HK∥AB，过点G作GI∥AB，过点N作NJ∥AB，设∠AEM=∠GEM=x，∠CFN=∠HFN=y，由①得：∠EGF=∠EGI+∠FGI=180°−2x+y，分别表示出∠ENF，∠EGF，∠EHF即可【详解】（1）证明：∵AB⊥PQ，CD⊥PQ，∴∠APQ=∠PQD=90°，

∴AB∥CD.（2）解：①∵EM平分∠AEG，FN平分∠CFH，∴设∠AEM=∠GEM=x，∠CFN=∠HFN=y

过点H作HK∥AB，如图，

∴∠EHK=∠AEM=x，∵AB∥CD，∴HK∥CD，∴∠KHF=∠CFH=2y，∴∠EHF=∠EHK+∠KHF=x+2y

过点G作GI∥AB，∴∠EGI=180°−∠AEG=180°−2x，∵AB∥CD，GI∥CD，∴∠FGI=∠CFN=y，∴∠EGF=∠EGI−∠FGI=180°−2x−y.

∵2∠EHF+∠EGF=255°，∴2x+2y解得：y=25°，

∴∠CFH=2y=50°.

②∠EGF−∠EHF+3∠ENF=180°

过点H作HK∥AB，过点G作GI∥AB，过点N作NJ∥AB，设∠AEM=∠GEM=x，∠CFN=∠HFN=y，由①得：∠EGF=∠EGI+∠FGI=180°−2x+y∴∠ENF=180°−∠EGF−∠GEM=x−y，∴∠HNF=180°−∠ENF=180°−(x−y)，∴∠EHF=180°−∠HNF−∠HFN=x−2y，∴∠EGF−∠EHF+3∠ENF=180°.【点睛】本题考查了相交线与平行线，题目较为复杂，灵活运用所学知识是关键．6．（2023下·湖北·七年级统考期末）如图1，点A是直线HD上一点，C是直线GE上一点，B是直线HD、GE之间的一点，

(1)求证：AD∥(2)如图2，作∠BCF=∠BCG，CF与∠BAH的角平分线交于点F．若α+β=40°，求∠B+∠F的度数；(3)如图3，CR平分∠BCG，BN平分∠ABC，BM∥CR，已知∠BAH=50°，则∠NBM=______（直接写出结果）．【答案】(1)见解析(2)120°(3)25°【分析】（1）过B点作BM∥HD，可求得∠CBM=∠BCG，从而可证BM∥GE，即可证明AD∥CE；（2）过B点作BM∥GE，过F点作FN∥HD，先证明∠GCF=2α=∠NFC，∠HAB=2β=∠ABM，再根据平行线的性质即可求解；（3）根据已知条件可导出∠BAH=∠ABC−∠BCG=2∠NBC−∠MBC=2∠NBM，变形即可求得【详解】（1）证明：如图所示，过B点作BM∥HD，

∴∠HAB=∠ABM，∵∠ABM+∠CBM=∠ABC，∠HAB+∠BCG=∠ABC，∠HAB=∠ABM，∴∠CBM=∠BCG，∴BM∥GE，∴BM∥HD∥GE，∴AD∥（2）解：如图，过B点作BM∥GE，过F点作FN∥HD，

则HD∥FN∥BM∥GE，∴∠NFC=∠GCF，∠ABM=∠HAB，∵∠BCF=∠BCG，AF是∠BAH的角平分线，∴∠HAF=∠BAF=β，∠CBM=∠BCG=α，∠GCF=2α=∠NFC，∠HAB=2β=∠ABM∴∠AFN=∠HAF=β，∠CBM=∠BCG=α，∵∠AFC=∠AFN+NFC，∠ABC=∠ABM+∠CBM，∴∠AFC=β+2α，∠ABC=α+2β，∴∠ABC+∠AFC=β+2α+α+2β=3β+α即∠B+∠F的度数为120°；（3）解：∵∠HAB+∠BCG=∠ABC，∴∠HAB=∠ABC−∠BCG，∵BM∥CR，∴∠BCR=∠MBC，∵CR平分∠BCG，BN平分∠ABC，∠BCR=∠MBC，∴∠BAH=∠ABC−∠BCG=2∠NBC−∠MBC∴∠NBM=1故答案为：25°．【点睛】本题考查了角平分线的定义、平行线的判定及性质，熟练掌握上述知识点是解题的关键．7．（2023下·湖北·七年级统考期末）如图，AB∥

(1)如图1，请探索∠A，∠E，∠C三个角之间的数量关系，并说明理由；(2)已知∠A=16°．①如图2．若∠F=100°，求∠C+∠E的度数；②如图3．若∠AEF和∠DCF的平分线交于点G，请直接写出∠EGC与∠F的数量关系．【答案】(1)∠AEC=180°−∠C+∠A，理由见解析；(2)①276°；②12【分析】（1）过点E作EF∥（2）①分别过点E、F作EM∥AB,FN∥AB，利用平行线的性质求解即可；分别过点E、F作EM∥【详解】（1）解：∠E=180°−∠C+∠A，理由如下：过点E作EF∥

则AB∴∠A=∠AEF，∠C+∠CEF=180°又∵∠AEC=∠AEF+∠CEF，∴∠AEC=180°−∠C+∠A；（2）解：①分别过点E、F作EM∥

则AB∥∴∠A=∠AEM，∠MEF+∠EFN=180°，∠NFC+∠DCF=180°又∵∠AEF=∠AEM+∠MEF，∠EFC=∠EFN+∠CFN∴∠AEF+∠C=∠A+180°−∠EFN+180°−∠NFC=∠A+360°−∠EFC=276°∴∠AEF+∠C=276°；②分别过点E、F作EM∥AB,FN∥AB，过点

则GH∥∴∠EGH=∠MEG，∠HGC=∠DCG，∴∠MEG=∠AEG−∠AEM=∠AEG−∠A，由①可得：∠AEF+∠C=∠A+360°−∠EFC；∵∠AEF和∠DCF的平分线交于点G，∴∠AEG=∠GEF=12∴∠AEG+∠DCG=由题意可得：∠EGC=∠EGH+∠HGC=∠AEG−∠A+∠DCG=180°−1∴12【点睛】此题考查了平行线的性质以及角平分线的定义，解题的关键是熟练掌握平行线的有关性质．8．（2023下·江苏宿迁·七年级统考期末）已知：AB∥CD，点E、F分别在直线AB、CD上，点O在直线AB、CD之间，且

(1)如图1，若∠AEO＝150°，求(2)如图2，射线EG平分∠AEO，连接FG，若∠EGF＝135°，∠GFO与(3)如图3，EG在∠AEO内，∠AEG=23∠OEG，FH在∠OFD内，∠OFH=35∠OFD，点M、N分别为射线EG、FH上的动点，且点M、N在直线AB、CD之间，其中∠EMN＝【答案】(1)∠OFD=60°(2)见解析(3)27<n<60【分析】（1）过点O作AB∥OH，易得AB∥（2）延长EG交CD于Z,由于EG平分∠AEO，所以∠AEG=∠OEG，根据此条件表示∠GFO与∠CFG，可求出两角的关系；（3）过点O作AB∥OK∥MP∥NQ，设∠AEG=2x，∠OFH=3y，借助∠MNF=∠MNG+∠FNG，求出n，m之间的关系，利用已知条件n＞m，求出【详解】（1）解：证明：过点O作AB∥OH，

∵AB∥∴AB∥∴∠AEO+∠EOH＝180°,又∵∠AEO＝150°，∴∠EOH＝30°,∴∠OFD=∠HOF＝（2）解：∠GFO与∠CFG相等，理由如下：延长EG交CD于Z，如下图所示：

∵AB∥CD，∴∵∠EGF＝135°，且∴∠CFG=∠CZG−∠ZGF=135°−∠AEG，又∵∠EOF＝∴在四边形EOFG中，∠GFO=360°−∠EGF−∠EOF−∠OEG=135°−∠OEG，∵EG平分∠AEO，∴∠AEG=∠OEG,∴∠CFG=∠GFO．（3）解：设∠AEG=2x，由于∠AEG=23∠OEG∴∠BEO=180°−5x，设∠OFH=3y，由于∠OFH=35∠OFD过点O作AB∥OK∥MP∥NQ，如下图所示：

∵AB∥∴AB∥∴∠KOF=∠OFD，∠EOK=∠BEO，∴∠EOF=∠BEO+∠OFD=90°，即180°−5x+5y=90°，∴x−y=18°，又∵∠EMN＝3n°，∴∠MNF=∠MNQ+∠FNQ，∠MNQ=∠PMN=∠EMN−∠EMP，∴∠MNF=∠MNQ+∠FNQ=3n°−2x+2y=180°−5m°，即m=216°−3n又∵n＞m，则n>216°−3n∵∠EMN=3n°<180°，∴n<60，综上，27<n<60．【点睛】本题主要考查平行线的性质，理清各个角之间的关系是解体的关键．9．（2023下·湖北武汉·七年级校联考期中）如图1，已知AB∥CD，∠B=30°(1)若∠E=50°，则∠F=________；(2)请判断∠BEF与∠EFD之间满足的数量关系？说明理由．(3)如图2，若EP平分∠BEF，FG平分∠EFD，反向延长FG交EP于P，求∠P的度数；【答案】(1)80°(2)∠EFD=∠BEF+30°，理由见解析(3)∠P=15°【分析】（1）如图，分别过点E，F作EM∥AB，FN∥AB，证明EM∥AB∥FN，可得∠EFN=∠MEF=50°−30°=20°，证明∠DFN=60°，从而可得答案；（2）如图，分别过点E，F作EM∥AB，FN∥AB，证明EM∥AB∥FN，可得∠B=∠BEM=30°，∠MEF=∠EFN，证明∠DFN=60°，可得∠EFD=∠MEF+60°，从而可得结论；（3）如图，过点F作FH∥EP，由（2）知，∠EFD=∠BEF+30°，设∠BEF=2x°，则∠EFD=2x+30°，证明∠PEF=12∠BEF=x°，∠EFG=12【详解】（1）如图，分别过点E，F作EM∥AB，FN∥AB，∴EM∥AB∥FN，∴∠B=∠BEM=30°，∠MEF=∠EFN，∵∠MEF=50°，∴∠EFN=∠MEF=50°−30°=20°，又∵AB∥CD，AB∥FN，∴CD∥FN，∴∠D+∠DFN=180°，又∵∠D=120°，∴∠DFN=60°，∴∠EFD=20°+60°=80°；（2）数量关系为∠EFD=∠BEF+30°，证明：如图，分别过点E，F作EM∥AB，FN∥AB，∴EM∥AB∥FN，∴∠B=∠BEM=30°，∠MEF=∠EFN，又∵AB∥CD，AB∥FN，∴CD∥FN，∴∠D+∠DFN=180°，又∵∠D=120°，∴∠DFN=60°，∴∠BEF=∠MEF+30°，∠EFD=∠EFN+60°，∴∠EFD=∠MEF+60°，∴∠EFD=∠BEF+30°；（3）如图，过点F作FH∥EP，由（2）知，∠EFD=∠BEF+30°，设∠BEF=2x°，则∠EFD=2x+30∵EP平分∠BEF，GF平分∠EFD，∴∠PEF=12∠BEF=x°∵FH∥EP，∴∠PEF=∠EFH=x°，∠P=∠HFG，∴∠HFG=∠EFG−∠EFH=15°，∴∠P=15°．【点睛】本题考查的是平行公理的应用，平行线的性质，角平分线的定义，熟练的利用平行线的性质探究角度的大小关系是解本题的关键.10．（2023下·浙江杭州·七年级校联考期中）同一平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系.如图，已知EM∥BN，点A在EM、BN内部，我们过点A作EM或BN的平行线AP，则有AP∥EM∥BN，故∠E=∠EAP，∠B=∠BAP，故∠EAB=∠EAP+∠BAP，即∠EAB=∠E+∠B．(1)现将点A移至如图2的位置，以上结论是否仍然成立？若成立，说明理由；若不成立，则∠E、∠A、∠B之间有何数量关系？请证明你的结论．(2)如图3，∠AEM与∠ABN的角平分线相交于点F；①若∠A=120°，∠AEM=140°，则∠EFD=______．②试探究∠EFD与∠A的数量关系，并说明你的理由．(3)如图4，∠AEM与∠ABN的角平分线相交于点F，过点F作FG⊥EF交BN于点G，若∠A=∠BFG，则∠EFB=______．【答案】(1)结论不成立，应该是∠BAE+∠E+∠B=360°，理由见解析(2)①60°；②∠EFD=(3)30°【分析】（1）由平行线的性质可得∠E+∠EAP=180°，∠B+∠BAP=180°，即可求解；（2）①由角平分线的性质可得∠DEF=12∠AEM=70°，∠DBC=12∠ABC=50°，由平行线的性质可得∠PFE=∠DEF=70°，∠PFB=∠FBC=50°，即可求解，②由角平分线的性质可得∠DEF=1（3）由角平分线的性质可得∠HAE=∠AEM，∠HAB=∠ABN，∠PFE=∠FEM，∠PFB=∠FBG，由角的数量关系可求解．【详解】（1）解：结论不成立，应该是∠BAE+∠E+∠B=360°，理由如下：如图2，过点A作AP∥EM，∵AP∥EM，EM∥BN，∴EM∥AP∥BN，∴∠E+∠EAP=180°，∠B+∠BAP=180°，∴∠E+∠EAB+∠B=360°；（2）①如图3，过点F作PF∥EM，∵∠A=120°，∠AEM=140°，∠AEM+∠EAB+∠ABC=360°，∴∠ABC=100°，∵∠AEM与∠ABN的角平分线相交于点F，∴∠DEF=12∠AEM=70°∵PF∥EM，EM∥BN，∴PF∥EM∥BN，∴∠PFE=∠DEF=70°，∠PFB=∠FBC=50°，∴∠BFE=120°，∴∠EFD=60°；②∵∠AEM+∠EAB+∠ABC=360°∴∠AEM+∠ABC=360°−∠EAB，∵∠AEM与∠ABN的角平分线相交于点F，∴∠DEF=12∠AEM∵PF∥EM，EM∥BN，∴PF∥EM∥BN，∴∠PFE=∠DEF，∠PFB=∠FBC，∴∠EFD=180°−∠EFP−∠PFB=180°−1（3）如图4，过点F作PF∥EM，过点A作AH∥EM，∵∠AEM与∠ABN的角平分线相交于点F，∴∠FEM=12∠AEM∵PF∥EM，AH∥EM，EM∥BN，∴PF∥EM∥AH∥BN，∴∠HAE=∠AEM，∠HAB=∠ABN，∠PFE=∠FEM，∠PFB=∠FBG，∴∠BAE=∠ABG−∠AEM，∠BFE=∠FBG−∠FEM，∵∠BAE=∠BFG，∵EF⊥FG，∴∠BFE+∠BFG=90°，∴∠ABG−∠AEM+∠FBG−∠FEM=90°，∴3∠FBG−3∠FEM=90°，

∴∠FBG−∠FEM=30°，∴∠EFB=30°．【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，解题的关键是正确添加辅助线．11．（2023下·江苏·七年级专题练习）(1)探究：如图1，AB∥CD，点G、H分别在直线AB、CD上，连接PG、PH，当点P在直线GH的左侧时，试说明(2)变式：如图2，将点P移动到直线GH的右侧，其他条件不变，试探究∠GPH、∠AGP、∠CHP之间的关系，并说明理由；(3)(问题迁移)如图3，AB∥CD，点P在AB的上方，问∠GPH、∠AGP、(4)(联想拓展)如图4所示，在(2)的条件下，已知∠GPH=α，∠PGB的平分线和∠PHD的平分线交于点Q，用含有α的式子表示∠GQH的度数．【答案】(1)见解析；(2)∠AGP+∠GPH+∠CHP=360°，理由见解析；(3)∠GPH=∠AGP−∠CHP，理由见解析；(4)∠GQH=12【分析】（1）如图所示：过点P作PE∥AB，则PE∥CD，根据平行线的性质得出（2）过点P作PF∥AB，∠AGP+∠GPF=180°，根据（1）的方法得出∠GPH=∠GPF+∠FPH，继而得出（3）过点P作PM∥AB，根据平行线的性质得出∠GPH=∠MPG−∠MPH，即可得出（4）过点P作PN∥AB，过点Q作OQ∥AB，则PN∥CD，OQ∥CD，得出∠NPH=∠PHD，∠OQH=∠QHD，根据∠GPH=∠NPH−∠NPG，∠GQH=∠OQH−∠OQD，根据角平分线的定义得出∠QGB=12∠PGB，∠QHD=【详解】解：（1）如图所示：过点P作PE∥∴∠AGP=∠GPE，∵AB∥∴PE∥∴∠CHP=∠HPE，∵∠GPH=∠GPE+∠HPE，∴∠GPH=∠AGP+∠CHP；（2）∠AGP+∠GPH+∠CHP=360°，理由如下：如图所示：过点P作PF∥∴∠AGP+∠GPF=180°，∵AB∥∴PF∥∴∠FPH+∠CHP=180°，∴∠AGP+∠GPF+∠FPH+∠CHP=360°，∵∠GPH=∠GPF+∠FPH，∴∠AGP+∠GPH+∠CHP=360°；（3）∠GPH=∠AGP−∠CHP，理由如下：如图所示：过点P作PM∥∴∠AGP=∠MPG，∵AB∥∴PM∥∴∠CHP=∠MPH，∵∠GPH=∠MPG−∠MPH，∴∠GPH=∠AGP−∠CHP；（4）如图所示：过点P作PN∥AB，过点Q作∴∠NPG=∠PGB，∠OQG=∠QGB，∵AB∥∴PN∥∴∠NPH=∠PHD，∠OQH=∠QHD，∵∠GPH=∠NPH−∠NPG，∠GQH=∠OQH−∠OQD，∴∠GPH=∠PHD−∠PGB，∠GQH=∠QHD−∠QGB，∵∠PGB的平分线和∠PHD的平分线交于点Q，∴∠QGB=12∠PGB，∠QHD=12∴∠GQH=∠QHD−∠QGB=12∠PHD−12∠PGB=12(∠PHD−∠PGB)=1∴∠GQH=12α【点睛】本题考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，掌握平行线的性质与判定是解题的关键．【题型3平行线中在生活上的拐点问题】1．（2023下·广西百色·七年级统考期中）请阅读以下“预防近视”知识卡读书、写字、看书姿势要端正．一般人正常的阅读角度约为俯角（如图视线BC与水平线BA的夹角∠ABC)40度．在学习和工作中，要保持读写姿势端正，可概括为“三个一”，包括：眼与书本的距离1尺；身体与桌子距离1拳；握笔时，手指离笔尖1寸．书本与课桌的角度要保持在30度至45度．已知如图，桌面和水平面平行，CD与书本所在平面重合，根据卡片内容，请判断正常情况下，坐姿正确且座椅高度适合时，视线BC和书本所在平面所成角度∠BCD不可能为以下哪个角度（）

A．74° B．78° C．84° D．88°【答案】D【分析】过C作CF∥AB，由平行线的性质得∠DCF=∠EDC，∠BCF=∠ABC=40°，由30°<∠DCF<45°，可得70°<∠BCD<85°，即可得到结论．【详解】解：由题意得AB∥CD，∠ABC=40°，30°<∠EDC<45°，

∴∠BCF=∠ABC=40°，过C作CF∥AB，∴CF∥ED，∴∠DCF=∠EDC，∴30°<∠DCF<45°，∴30°+40°<∠DCF+∠BCF<45°+40°，∴70°<∠BCD<85°．故选：D．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，正确作出辅助线是解决问题的关键．2．（2023下·江苏苏州·七年级苏州市立达中学校校考期中）图1中所示是学校操场边的路灯，图2为路灯的示意图，支架AB、BC为固定支撑杆，灯体是CD，其中AB垂直地面于点A，过点C作射线CE与地面平行（即CE∥l），已知两个支撑杆之间的夹角∠ABC=140°，灯体CD与支撑杆BC之间的夹角∠DCB=80°，则∠DCE的度数为

【答案】30°/30度【分析】过点B作BF∥CE．先利用平行线的性质和垂直的定义、角的和差关系求出【详解】解：过点B作BF∥∵CE∥∴BF∥∴∠ABF=∠1=90°．∵∠ABC=140°，∴∠CBF=140°−90°=50°．∵BF∥∴∠ECB=∠CBF=50°．∴∠DCE=∠DCB−∠BCE=80°−50°=30°．故答案为：30°．

【点睛】本题主要考查了平行线的性质，掌握平行线的性质和角的和差关系是解决本题的关键．3．（2023下·江苏泰州·七年级统考期末）如图1是一盏可折叠台灯．图2、图3是其平面示意图，支架AB、BC为固定支撑杆，支架OC可绕点C旋转调节．已知灯体顶角∠DOE=52°，顶角平分线OP始终与OC垂直．

(1)如图2，当支架OC旋转至水平位置时，OD恰好与BC平行，求支架BC与水平方向的夹角∠θ的度数；(2)若将图2中的OC绕点C顺时针旋转15°到如图3的位置，求此时OD与水平方向的夹角∠OQM的度数．【答案】(1)64°(2)49°【分析】（1）利用角平分线定义可得∠DOP=12∠DOE=26°，由垂直定义可得∠COP=90°（2）过点C作CG∥MN，过点O作【详解】（1）解：如图2，∵∠DOE=52°，OP平分∠DOE，∴∠DOP=1∵OP⊥OC，∴∠COP=90°，∴∠COD=∠COP+∠DOP=90°+26°=116°，∵OD∥∴∠C=180°−∠COD=180°−116°=64°，∵OC∥∴∠COF=∠C=64°，即∠θ=64°；（2）如图3，过点C作CG∥MN，过点O作

则∠COF=∠OCG=15°，∵∠COD=116°，∴∠FOQ=∠COD+∠COF=116°+15°=131°，∵CG∥MN，∴OF∥∴∠OQM+∠FOQ=180°，∴∠OQM=180°−∠FOQ=180°−131°=49°．【点睛】本题考查了平行线性质等，适当添加辅助线，构造平行关系是解题关键．4．（2023下·湖南常德·七年级统考期末）如图1是一个由齿轮、轴承、托架等元件构成的手动变速箱托架，其主要作用是动力传输．如图2是手动变速箱托架工作时某一时刻的示意图，已知AB∥CD，CG∥EF，∠BAG=150°，【答案】130°【分析】过点F作FM∥CD，因为AB∥CD，所以AB∥CD∥FM，再根据平行线的性质可以求出【详解】解：如图，过点F作FM∥∵AB∥∴AB∥∴∠DEF+∠EFM=180°，∠MFA+∠BAG=180°，∴∠MFA=180°−∠BAG=180°−150°=30°．∵CG∥∴∠EFA=∠AGC=80°．∴∠EFM=∠EFA−∠MFA=80°−30°=50°．∴∠DEF=180°−∠EFM=180°−50°=130°．【点睛】