2024年中考数学二轮题型突破练习题型6 几何最值（专题训练）（教师版）

PAGE题型六几何最值（专题训练）1．（2023·四川宜宾·统考中考真题）如图，SKIPIF1<0和SKIPIF1<0是以点SKIPIF1<0为直角顶点的等腰直角三角形，把SKIPIF1<0以SKIPIF1<0为中心顺时针旋转，点SKIPIF1<0为射线SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的交点．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．以下结论：①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0；③当点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0的延长线上时，SKIPIF1<0；④在旋转过程中，当线段SKIPIF1<0最短时，SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0．其中正确结论有（）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】D【分析】证明SKIPIF1<0即可判断①，根据三角形的外角的性质得出②，证明SKIPIF1<0得出SKIPIF1<0，即可判断③；以SKIPIF1<0为圆心，SKIPIF1<0为半径画圆，当SKIPIF1<0在SKIPIF1<0的下方与SKIPIF1<0相切时，SKIPIF1<0的值最小，可得四边形SKIPIF1<0是正方形，在SKIPIF1<0中SKIPIF1<0SKIPIF1<0，然后根据三角形的面积公式即可判断④．【详解】解：∵SKIPIF1<0和SKIPIF1<0是以点SKIPIF1<0为直角顶点的等腰直角三角形，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故①正确；设SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，故②正确；当点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0的延长线上时，如图所示

∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，故③正确；④如图所示，以SKIPIF1<0为圆心，SKIPIF1<0为半径画圆，

∵SKIPIF1<0，∴当SKIPIF1<0在SKIPIF1<0的下方与SKIPIF1<0相切时，SKIPIF1<0的值最小，SKIPIF1<0∴四边形SKIPIF1<0是矩形，又SKIPIF1<0，∴四边形SKIPIF1<0是正方形，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0取得最小值时，SKIPIF1<0SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0故④正确，故选：D．【点睛】本题考查了旋转的性质，相似三角形的性质，勾股定理，切线的性质，垂线段最短，全等三角形的性质与判定，正方形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．2.如图，在矩形纸片ABCD中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，点E是AB的中点，点F是AD边上的一个动点，将SKIPIF1<0沿EF所在直线翻折，得到SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的长的最小值是SKIPIF1<0SKIPIF1<0A．SKIPIF1<0 B．3 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【详解】以点E为圆心，AE长度为半径作圆，连接CE，当点SKIPIF1<0在线段CE上时，SKIPIF1<0的长取最小值，如图所示，根据折叠可知：SKIPIF1<0．在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的最小值SKIPIF1<0．故选D．3.如图，△ABC中，AB＝AC＝10，tanA＝2，BE⊥AC于点E，D是线段BE上的一个动点，则SKIPIF1<0的最小值是()【答案】B【详解】如图，作DH⊥AB于H，CM⊥AB于M．∵BE⊥AC，∴∠AEB=90°，∵tanA=SKIPIF1<0=2，设AE=a，BE=2a，则有：100=a2+4a2，∴a2=20，∴a=2SKIPIF1<0或-2SKIPIF1<0（舍弃），∴BE=2a=4SKIPIF1<0，∵AB=AC，BE⊥AC，CM⊥AB，∴CM=BE=4SKIPIF1<0（等腰三角形两腰上的高相等））∵∠DBH=∠ABE，∠BHD=∠BEA，∴SKIPIF1<0，∴DH=SKIPIF1<0BD，∴CD+SKIPIF1<0BD=CD+DH，∴CD+DH≥CM，∴CD+SKIPIF1<0BD≥4SKIPIF1<0，∴CD+SKIPIF1<0BD的最小值为4SKIPIF1<0．故选B．4.如图，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，点O是AB的三等分点，半圆O与AC相切，M，N分别是BC与半圆弧上的动点，则MN的最小值和最大值之和是（）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】B【详解】如图，设⊙O与AC相切于点D，连接OD，作SKIPIF1<0垂足为P交⊙O于F，此时垂线段OP最短，PF最小值为SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0∵点O是AB的三等分点，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵⊙O与AC相切于点D，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴MN最小值为SKIPIF1<0，如图，当N在AB边上时，M与B重合时，MN经过圆心，经过圆心的弦最长，MN最大值SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,∴MN长的最大值与最小值的和是6．故选B．6．（2023·山东东营·统考中考真题）如图，正方形SKIPIF1<0的边长为4，点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别在边SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平分SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，分别交SKIPIF1<0，SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是线段SKIPIF1<0上的一个动点，过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0垂足为SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，有下列四个结论：①SKIPIF1<0垂直平分SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0；③SKIPIF1<0；④SKIPIF1<0．其中正确的是（

）

A．①② B．②③④ C．①③④ D．①③【答案】D【分析】根据正方形的性质和三角形全等即可证明SKIPIF1<0，通过等量转化即可求证SKIPIF1<0，利用角平分线的性质和公共边即可证明SKIPIF1<0，从而推出①的结论；利用①中的部分结果可证明SKIPIF1<0推出SKIPIF1<0，通过等量代换可推出③的结论；利用①中的部分结果和勾股定理推出SKIPIF1<0和SKIPIF1<0长度，最后通过面积法即可求证④的结论不对；结合①中的结论和③的结论可求出SKIPIF1<0的最小值，从而证明②不对.【详解】解：SKIPIF1<0为正方形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.SKIPIF1<0平分SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0垂直平分SKIPIF1<0，故①正确.由①可知，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由①可知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.故③正确.SKIPIF1<0为正方形，且边长为4，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0.由①可知，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.由图可知，SKIPIF1<0和SKIPIF1<0等高，设高为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.故④不正确.由①可知，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0关于线段SKIPIF1<0的对称点为SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0最小即为SKIPIF1<0，如图所示，

由④可知SKIPIF1<0的高SKIPIF1<0即为图中的SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.故②不正确.综上所述，正确的是①③.故选：D.【点睛】本题考查的是正方形的综合题，涉及到三角形相似，最短路径，三角形全等，三角形面积法，解题的关键在于是否能正确找出最短路径以及运用相关知识点.7.如图，四边形ABCD是菱形，AB=4，且∠ABC=∠ABE=60°，G为对角线BD（不含B点）上任意一点，将△ABG绕点B逆时针旋转60°得到△EBF，当AG+BG+CG取最小值时EF的长（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【详解】解：如图，∵将△ABG绕点B逆时针旋转60°得到△EBF，∴BE=AB=BC，BF=BG，EF=AG，∴△BFG是等边三角形．∴BF=BG=FG，．∴AG+BG+CG=FE+GF+CG．根据“两点之间线段最短”，∴当G点位于BD与CE的交点处时，AG+BG+CG的值最小，即等于EC的长，过E点作EF⊥BC交CB的延长线于F，∴∠EBF=180°-120°=60°，∵BC=4，∴BF=2，EF=2SKIPIF1<0，在Rt△EFC中，∵EF2+FC2=EC2，∴EC=4SKIPIF1<0．∵∠CBE=120°，∴∠BEF=30°，∵∠EBF=∠ABG=30°，∴EF=BF=FG，∴EF=SKIPIF1<0CE=SKIPIF1<0，故选：D．8．（2023·浙江台州·统考中考真题）如图，SKIPIF1<0的圆心O与正方形的中心重合，已知SKIPIF1<0的半径和正方形的边长都为4，则圆上任意一点到正方形边上任意一点距离的最小值为（

）．

A．SKIPIF1<0 B．2 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】设正方形四个顶点分别为SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0并延长，交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，由题意可得，SKIPIF1<0的长度为圆上任意一点到正方形边上任意一点距离的最小值，求解即可．【详解】解：设正方形四个顶点分别为SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0并延长，交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0，如下图：

则SKIPIF1<0的长度为圆上任意一点到正方形边上任意一点距离的最小值，由题意可得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0由勾股定理可得：SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，故选：D.【点睛】此题考查了圆与正多边形的性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握圆与正多边形的性质，确定出圆上任意一点到正方形边上任意一点距离的最小值的位置．9．（2023·四川泸州·统考中考真题）如图，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是正方形SKIPIF1<0的边SKIPIF1<0的三等分点，SKIPIF1<0是对角线SKIPIF1<0上的动点，当SKIPIF1<0取得最小值时，SKIPIF1<0的值是___________．

【答案】SKIPIF1<0【分析】作点F关于SKIPIF1<0的对称点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0取得最小值，过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0的垂线段，交SKIPIF1<0于点K，根据题意可知点SKIPIF1<0落在SKIPIF1<0上，设正方形的边长为SKIPIF1<0，求得SKIPIF1<0的边长，证明SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，即可解答．【详解】解：作点F关于SKIPIF1<0的对称点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0的垂线段，交SKIPIF1<0于点K，

由题意得：此时SKIPIF1<0落在SKIPIF1<0上，且根据对称的性质，当P点与SKIPIF1<0重合时SKIPIF1<0取得最小值，设正方形SKIPIF1<0的边长为a，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0四边形SKIPIF1<0是正方形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，

SKIPIF1<0，SKIPIF1<0当SKIPIF1<0取得最小值时，SKIPIF1<0的值是为SKIPIF1<0，故答案为：SKIPIF1<0．【点睛】本题考查了四边形的最值问题，轴对称的性质，相似三角形的证明与性质，正方形的性质，正确画出辅助线是解题的关键．10．（2023·辽宁·统考中考真题）如图，线段SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0是线段SKIPIF1<0上的动点，将线段SKIPIF1<0绕点SKIPIF1<0顺时针旋转SKIPIF1<0得到线段SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0的上方作SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，连接SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0最小时，SKIPIF1<0的面积为___________．

【答案】SKIPIF1<0【分析】连接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0交于点P，由直角三角形的性质及等腰三角形的性质可得SKIPIF1<0垂直平分SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为定角，可得点F在射线SKIPIF1<0上运动，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0最小，由含30度角直角三角形的性质即可求解．【详解】解：连接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0交于点P，如图，∵SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0是等边三角形，∴SKIPIF1<0；∵线段SKIPIF1<0绕点SKIPIF1<0顺时针旋转SKIPIF1<0得到线段SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0垂直平分SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴点F在射线SKIPIF1<0上运动，∴当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0最小，此时SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0；∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴由勾股定理得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0；

故答案为：SKIPIF1<0．【点睛】本题考查了等腰三角形性质，含30度直角三角形的性质，斜边中线性质，勾股定理，线段垂直平分线的判定，勾股定理，旋转的性质，确定点F的运动路径是关键与难点．11.如图，SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0内部的一个动点，且满足SKIPIF1<0，则线段SKIPIF1<0长的最小值为________.【答案】2：【详解】∵∠PAB+∠PBA=90°∴∠APB=90°∴点P在以AB为直径的弧上（P在△ABC内）设以AB为直径的圆心为点O，如图接OC，交☉O于点P，此时的PC最短∵AB=6，∴OB=3∵BC=4∴SKIPIF1<0∴PC=5-3=212.如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC上一点，且BE=1，F为AB边上的一个动点，连接EF，以EF为边向右侧作等边△EFG，连接CG，则CG的最小值为．【分析】同样是作等边三角形，区别于上一题求动点路径长，本题是求CG最小值，可以将F点看成是由点B向点A运动，由此作出G点轨迹：考虑到F点轨迹是线段，故G点轨迹也是线段，取起点和终点即可确定线段位置，初始时刻G点在SKIPIF1<0位置，最终G点在SKIPIF1<0位置（SKIPIF1<0不一定在CD边），SKIPIF1<0即为G点运动轨迹．CG最小值即当CG⊥SKIPIF1<0的时候取到，作CH⊥SKIPIF1<0于点H，CH即为所求的最小值．根据模型可知：SKIPIF1<0与AB夹角为60°，故SKIPIF1<0⊥SKIPIF1<0．过点E作EF⊥CH于点F，则HF=SKIPIF1<0=1，CF=SKIPIF1<0，所以CH=SKIPIF1<0，因此CG的最小值为SKIPIF1<0．13.如图，矩形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0是矩形SKIPIF1<0内一动点，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为_____．【答案】SKIPIF1<0【详解】SKIPIF1<0为矩形，SKIPIF1<0又SKIPIF1<0SKIPIF1<0点SKIPIF1<0到SKIPIF1<0的距离与到SKIPIF1<0的距离相等，即点SKIPIF1<0线段SKIPIF1<0垂直平分线SKIPIF1<0上，连接SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0与点SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0的值最小，且SKIPIF1<0SKIPIF1<0故答案为：SKIPIF1<014.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝5，点P是AC上的动点，连接BP，以BP为边作等边△BPQ，连接CQ，则点P在运动过程中，线段CQ长度的最小值是______．【答案】54【详解】解：如图，取AB的中点E，连接CE，PE．

∵∠ACB=90°，∠A=30°，

∴∠CBE=60°，

∵BE=AE，

∴CE=BE=AE，

∴△BCE是等边三角形，

∴BC=BE，

∵∠PBQ=∠CBE=60°，

∴∠QBC=∠PBE，

∵QB=PB，CB=EB，

∴△QBC≌△PBE（SAS），

∴QC=PE，

∴当EP⊥AC时，QC的值最小，

在Rt△AEP中，∵AE=52，∠A=30°，

∴PE=12AE=54，

∴CQ的最小值为故答案为：515.如图，在正方形ABCD中，AB＝8，AC与BD交于点O，N是AO的中点，点M在BC边上，且BM＝6．P为对角线BD上一点，则PM﹣PN的最大值为．【答案】2【分析】作以BD为对称轴作N的对称点N'，连接PN'，MN'，依据PM﹣PN＝PM﹣PN'≤MN'，可得当P，M，N'三点共线时，取“＝”，再求得SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0，即可得出PM∥AB∥CD，∠CMN'＝90°，再根据△N'CM为等腰直角三角形，即可得到CM＝MN'＝2．【解答】解：如图所示，作以BD为对称轴作N的对称点N'，连接PN'，MN'，根据轴对称性质可知，PN＝PN'，∴PM﹣PN＝PM﹣PN'≤MN'，当P，M，N'三点共线时，取“＝”，∵正方形边长为8，∴AC＝SKIPIF1<0AB＝SKIPIF1<0，∵O为AC中点，∴AO＝OC＝SKIPIF1<0，∵N为OA中点，∴ON＝SKIPIF1<0，∴ON'＝CN'＝SKIPIF1<0，∴AN'＝SKIPIF1<0，∵BM＝6，∴CM＝AB﹣BM＝8﹣6＝2，∴SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0∴PM∥AB∥CD，∠CMN'＝90°，∵∠N'CM＝45°，∴△N'CM为等腰直角三角形，∴CM＝MN'＝2，即PM﹣PN的最大值为2，故答案为：2．【点评】本题主要考查了正方形的性质以及最短路线问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．16.如图，SKIPIF1<0是等边三角形，SKIPIF1<0，N是SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0边上的中线，M是SKIPIF1<0上的一个动点，连接SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值是________．【答案】SKIPIF1<0【分析】根据题意可知要求BM+MN的最小值，需考虑通过作辅助线转化BM，MN的值，从而找出其最小值，进而根据勾股定理求出CN，即可求出答案．【解析】解：连接CN，与AD交于点M，连接BM．（根据两点之间线段最短；点到直线垂直距离最短），SKIPIF1<0是SKIPIF1<0边上的中线即C和B关于AD对称，则BM+MN=CN，则CN就是BM+MN的最小值．∵SKIPIF1<0是等边三角形，SKIPIF1<0，N是SKIPIF1<0的中点，

∴AC=AB=6,AN=SKIPIF1<0AB=3,SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0.即BM+MN的最小值为SKIPIF1<0．故答案为：SKIPIF1<0.【点睛】本题考查的是轴对称-最短路线问题，涉及到等边三角形的性质，勾股定理，轴对称的性质，等腰三角形的性质等知识点的综合运用．17.如图，在中，∠ACB=90°，BC=12，AC=9，以点C为圆心，6为半径的圆上有一个动点D．连接AD、BD、CD，则2AD+3BD的最小值是．【分析】首先对问题作变式2AD+3BD=SKIPIF1<0，故求SKIPIF1<0最小值即可．考虑到D点轨迹是圆，A是定点，且要求构造SKIPIF1<0，条件已经足够明显．当D点运动到AC边时，DA=3，此时在线段CD上取点M使得DM=2，则在点D运动过程中，始终存在SKIPIF1<0．问题转化为DM+DB的最小值，直接连接BM，BM长度的3倍即为本题答案．18.如图，四边形ABCD中，AB∥CD，∠ABC＝60°，AD＝BC＝CD＝4，点M是四边形ABCD内的一个动点，满足∠AMD＝90°，则点M到直线BC的距离的最小值为_____．【答案】SKIPIF1<0【解析】【分析】取AD的中点O，连接OM，过点M作ME⊥BC交BC的延长线于E，点点O作OF⊥BC于F，交CD于G，则OM+ME≥OF．求出OM，OF即可解决问题．【详解】解：取AD的中点O，连接OM，过点M作ME⊥BC交BC的延长线于E，点点O作OF⊥BC于F，交CD于G，则OM+ME≥OF．∵∠AMD＝90°，AD＝4，OA＝OD，∴OM＝SKIPIF1<0AD＝2，∵AB∥CD，∴∠GCF＝∠B＝60°，∴∠DGO＝∠CGE＝30°，∵AD＝BC，∴∠DAB＝∠B＝60°，∴∠ADC＝∠BCD＝120°，∴∠DOG＝30°＝∠DGO，∴DG＝DO＝2，∵CD＝4，∴CG＝2，∴OG＝2SKIPIF1<0，GF＝SKIPIF1<0，OF＝3SKIPIF1<0，∴ME≥OF﹣OM＝3SKIPIF1<0﹣2，∴当O，M，E共线时，ME的值最小，最小值为3SKIPIF1<0﹣2．【点睛】本题考查解直角三角形，垂线段最短，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．19.如图，四边形SKIPIF1<0是菱形，SKIPIF1<0B=6，且∠ABC=60°，M是菱形内任一点，连接AM，BM，CM，则AM+BM+CM的最小值为________．【答案】SKIPIF1<0【详解】将△BMN绕点B顺时针旋转60度得到△BNE，∵BM=BN，∠MBN=∠CBE=60°，∴MN=BM∵MC=NE∴AM+MB+CM=AM+MN+NE．当A、M、N、E四点共线时取最小值AE．∵AB=BC=BE=6，∠ABH=∠EBH=60°，∴BH⊥AE，AH=EH，∠BAH=30°，∴BH=SKIPIF1<0AB=3，AH=SKIPIF1<0BH=SKIPIF1<0，∴AE=2AH=SKIPIF1<0．故答案为SKIPIF1<0．20.如图，在矩形ABCD中，E为AB的中点，P为BC边上的任意一点，把SKIPIF1<0沿PE折叠，得到SKIPIF1<0，连接CF．若AB＝10，BC＝12，则CF的最小值为_____．【答案】8【解析】【分析】点F在以E为圆心、EA为半径的圆上运动，当E、F、C共线时时，此时FC的值最小，根据勾股定理求出CE，再根据折叠的性质得到BE＝EF＝5即可．【详解】解：如图所示，点F在以E为圆心EA为半径的圆上运动，当E、F、C共线时时，此时CF的值最小，根据折叠的性质，△EBP≌△EFP，∴EF⊥PF，EB＝EF，∵E是AB边的中点，AB＝10，∴AE＝EF＝5，∵AD＝BC＝12，∴CE＝SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0＝13，∴CF＝CE﹣EF＝13﹣5＝8．故答案为8．【点睛】本题考查了折叠的性质、全等三角形的判定与性质、两点之间线段最短的综合运用，灵活应用相关知识是解答本题的关键．21.如图所示，SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0为SKIPIF1<0内一点，SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0分别在SKIPIF1<0上，求SKIPIF1<0周长的最小值_____．【答案】SKIPIF1<0周长的最小值为8【详解】如图，作P关于OA、OB的对称点SKIPIF1<0，连结SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，SKIPIF1<0交OA、OB于M、N，此时SKIPIF1<0周长最小，根据轴对称性质可知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为等边三角形，SKIPIF1<0即SKIPIF1<0周长的最小值为8.22．（2023·四川自贡·统考中考真题）如图1，一大一小两个等腰直角三角形叠放在一起，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别是斜边SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0．

(1)将SKIPIF1<0绕顶点SKIPIF1<0旋转一周，请直接写出点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0距离的最大值和最小值；(2)将SKIPIF1<0绕顶点SKIPIF1<0逆时针旋转SKIPIF1<0（如图SKIPIF1<0），求SKIPIF1<0的长．【答案】(1)最大值为SKIPIF1<0，最小值为SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线，得出SKIPIF1<0的值，进而根据题意求得最大值与最小值即可求解；（2）过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0的延长线于点SKIPIF1<0，根据旋转的性质求得SKIPIF1<0，进而得出SKIPIF1<0，进而可得SKIPIF1<0，勾股定理解SKIPIF1<0，即可求解．【详解】（1）解：依题意，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0在SKIPIF1<0的延长线上时，SKIPIF1<0的距离最大，最大值为SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0在线段SKIPIF1<0上时，SKIPIF1<0的距离最小，最小值为SKIPIF1<0；

（2）解：如图所示，过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0的延长线于点SKIPIF1<0，

∵SKIPIF1<0绕顶点SKIPIF1<0逆时针旋转SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，勾股定理，旋转的性质，含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握旋转的性质，勾股定理是解题的关键．23.在正方形ABCD中，点E为对角线AC（不含点A）上任意一点，AB=SKIPIF1<0；（1）如图1，将△ADE绕点D逆时针旋转90°得到△DCF，连接EF；①把图形补充完整（无需写画法）；②求SKIPIF1<0的取值范围；(2)如图2，求BE+AE+DE的最小值．【答案】（1）①补图见解析；②SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0【详解】（1）①如图△DCF即为所求；②∵四边形ABCD是正方形，∴BC＝AB＝2SKIPIF1<0，∠B＝90°，∠DAE＝∠ADC＝45°，∴AC＝SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0AB＝4，∵△ADE绕点D逆时针旋转90°得到△DCF，∴∠DCF＝∠DAE＝45°，AE＝CF，∴∠ECF＝∠ACD＋∠DCF＝90°，设AE＝CF＝x，EF2＝y，则EC＝4−x，∴y＝（4−x）2＋x2＝2x2−8x＋160（0＜x≤4）．即y＝2（x−2）2＋8，∵2＞0，∴x＝2时，y有最小值，最小值为8，当x＝4时，y最大值＝16，∴8≤EF2≤16．（2）如图中，将△ABE绕点A顺时针旋转60°得到△AFG，连接EG，DF．作FH⊥AD于H．由旋转的性质可知，△AEG是等边三角形，∴AE＝EG，∵DF≤FG＋EG＋DE，BE＝FG，∴AE＋BE＋DE的最小值为线段DF的长．在Rt△AFH中，∠FAH＝30°，AB＝SKIPIF1<0=AF，∴FH＝SKIPIF1<0AF＝SKIPIF1<0，AH＝SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0，在Rt△DFH中，DF＝SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0，∴BE＋AE＋ED的最小值为SKIPIF1<0．24．（2023·湖北随州·统考中考真题）1643年，法国数学家费马曾提出一个著名的几何问题：给定不在同一条直线上的三个点A，B，C，求平面上到这三个点的距离之和最小的点的位置，意大利数学家和物理学家托里拆利给出了分析和证明，该点也被称为“费马点”或“托里拆利点”，该问题也被称为“将军巡营”问题．(1)下面是该问题的一种常见的解决方法，请补充以下推理过程：（其中①处从“直角”和“等边”中选择填空，②处从“两点之间线段最短”和“三角形两边之和大于第三边”中选择填空，③处填写角度数，④处填写该三角形的某个顶点）当SKIPIF1<0的三个内角均小于SKIPIF1<0时，如图1，将SKIPIF1<0绕，点C顺时针旋转SKIPIF1<0得到SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，

由SKIPIF1<0，可知SKIPIF1<0为①三角形，故SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，由②可知，当B，P，SKIPIF1<0，A在同一条直线上时，SKIPIF1<0取最小值，如图2，最小值为SKIPIF1<0，此时的P点为该三角形的“费马点”，且有SKIPIF1<0③；已知当SKIPIF1<0有一个内角大于或等于SKIPIF1<0时，“费马点”为该三角形的某个顶点．如图3，若SKIPIF1<0，则该三角形的“费马点”为④点．(2)如图4，在SKIPIF1<0中，三个内角均小于SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，已知点P为SKIPIF1<0的“费马点”，求SKIPIF1<0的值；

(3)如图5，设村庄A，B，C的连线构成一个三角形，且已知SKIPIF1<0．现欲建一中转站P沿直线向A，B，C三个村庄铺设电缆，已知由中转站P到村庄A，B，C的铺设成本分别为a元/SKIPIF1<0，a元/SKIPIF1<0，SKIPIF1<0元/SKIPIF1<0，选取合适的P的位置，可以使总的铺设成本最低为___________元．（结果用含a的式子表示）【答案】(1)①等边；②两点之间线段最短；③SKIPIF1<0；④A．(2)SKIPIF1<0(3)SKIPIF1<0【分析】（1）根据旋转的性质和两点之间线段最短进行推理分析即可得出结论；（2）根据（1）的方法将SKIPIF1<0绕，点C顺时针旋转SKIPIF1<0得到SKIPIF1<0，即可得出可知当B，P，SKIPIF1<0，A在同一条直线上时，SKIPIF1<0取最小值，最小值为SKIPIF1<0，在根据SKIPIF1<0可证明SKIPIF1<0，由勾股定理求SKIPIF1<0即可，（3）由总的铺设成本SKIPIF1<0，通过将SKIPIF1<0绕，点C顺时针旋转SKIPIF1<0得到SKIPIF1<0，得到等腰直角SKIPIF1<0，得到SKIPIF1<0，即可得出当B，P，SKIPIF1<0，A在同一条直线上时，SKIPIF1<0取最小值，即SKIPIF1<0取最小值为SKIPIF1<0，然后根据已知和旋转性质求出SKIPIF1<0即可．【详解】（1）解：∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0为等边三角形；∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，由两点之间线段最短可知，当B，P，SKIPIF1<0，A在同一条直线上时，SKIPIF1<0取最小值，最小值为SKIPIF1<0，此时的P点为该三角形的“费马点”，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0；∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴三个顶点中，顶点A到另外两个顶点的距离和最小．又∵已知当SKIPIF1<0有一个内角大于或等于SKIPIF1<0时，“费马点”为该三角形的某个顶点．∴该三角形的“费马点”为点A，故答案为：①等边；②两点之间线段最短；③SKIPIF1<0；④SKIPIF1<0．（2）将SKIPIF1<0绕，点C顺时针旋转SKIPIF1<0得到SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，由（1）可知当B，P，SKIPIF1<0，A在同一条直线上时，SKIPIF1<0取最小值，最小值为SKIPIF1<0，

∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，又∵SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，由旋转性质可知：SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0最小值为SKIPIF1<0，（3）∵总的铺设成本SKIPIF1<0∴当SKIPIF1<0最小时，总的铺设成本最低，将SKIPIF1<0绕，点C顺时针旋转SKIPIF1<0得到SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0由旋转性质可知：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，当B，P，SKIPIF1<0，A在同一条直线上时，SKIPIF1<0取最小值，即SKIPIF1<0取最小值为SKIPIF1<0，

过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0，垂足为SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0总的铺设成本SKIPIF1<0（元）故答案为：SKIPIF1<0【点睛】本题考查了费马点求最值问题，涉及到的知识点有旋转的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，以及两点之间线段最短等知识点，读懂题意，利用旋转作出正确的辅助线是解本题的关键．25．（2023·重庆·统考中考真题）在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0为线段SKIPIF1<0上一动点，连接SKIPIF1<0．

(1)如图1，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求线段SKIPIF1<0的长．(2)如图2，以SKIPIF1<0为边在SKIPIF1<0上方作等边SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中点，连接SKIPIF1<0并延长，交SKIPIF1<0的延长线于点SKIPIF1<0．若SKIPIF1<0，求证：SKIPIF1<0．(3)在SKIPIF1<0取得最小值的条件下，以SKIPIF1<0为边在SKIPIF1<0右侧作等边SKIPIF1<0．点SKIPIF1<0为SKIPIF1<0所在直线上一点，将SKIPIF1<0沿SKIPIF1<0所在直线翻折至SKIPIF1<0所在平面内得到SKIPIF1<0．连接SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，连接SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0取最大值时，连接SKIPIF1<0，将SKIPIF1<0沿SKIPIF1<0所在直线翻折至SKIPIF1<0所在平面内得到SKIPIF1<0，请直接写出此时SKIPIF1<0的值．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)见解析(3)SKIPIF1<0【分析】（1）解SKIPIF1<0，求得SKIPIF1<0，根据SKIPIF1<0即可求解；（2）延长SKIPIF1<0使得SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，根据SKIPIF1<0，得出SKIPIF1<0四点共圆，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，得出SKIPIF1<0，结合已知条件得出SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，即可得证；（3）在SKIPIF1<0取得最小值的条件下，即SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，根据题意得出点SKIPIF1<0在以SKIPIF1<0为圆心，SKIPIF1<0为半径的圆上运动，取SKIPIF1<0的中点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中位线，SKIPIF1<0在半径为SKIPIF1<0的SKIPIF1<0上运动，当SKIPIF1<0取最大值时，即SKIPIF1<0三点共线时，此时如图，过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，则四边形SKIPIF1<0是矩形，得出SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中位线，同理可得SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中位线，SKIPIF1<0是等边三角形，将SKIPIF1<0沿SKIPIF1<0所在直线翻折至SKIPIF1<0所在平面内得到SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，勾股定理求得SKIPIF1<0，进而即可求解．【详解】（1）解：在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0；（2）证明：如图所示，延长SKIPIF1<0使得SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，

∵SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中点则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0是等边三角形，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0四点共圆，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0；（3）解：如图所示，

在SKIPIF1<0取得最小值的条件下，即SKIPIF1<0