2024年中考数学二轮复习 二次函数压轴题 专项提升练习06（含答案）

2024年中考数学二轮复习二次函数压轴题专项提升练习06LISTNUMOutlineDefault\l3如图，抛物线y＝ax2＋eq\f(3,2)x＋c与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，已知A，C两点坐标分别是A(1，0)，C(0，﹣2)，连接AC，BC．(1)求抛物线的表达式和AC所在直线的表达式；(2)将△ABC沿BC所在直线折叠，得到△DBC，点A的对应点D是否落在抛物线的对称轴上？若点D在对称轴上，请求出点D的坐标；若点D不在对称轴上，请说明理由；(3)若点P是抛物线位于第三象限图象上的一动点，连接AP交BC于点Q，连接BP，△BPQ的面积记为S1，△ABQ的面积记为S2，求的值最大时点P的坐标．LISTNUMOutlineDefault\l3如图，抛物线y＝x2＋bx＋c经过点A(﹣1，0)，B(0，﹣2)，并与x轴交于点C，点M是抛物线对称轴l上任意一点(点M，B，C三点不在同一直线上).(1)求该抛物线所表示的二次函数的表达式；(2)在抛物线上找出两点P1，P2，使得△MP1P2与△MCB全等，并求出点P1，P2的坐标；(3)在对称轴上是否存在点Q，使得∠BQC为直角，若存在，作出点Q(用尺规作图，保留作图痕迹)，并求出点Q的坐标.LISTNUMOutlineDefault\l3如图，抛物线y＝ax2＋bx＋4经过点A(﹣2，0)，点B(4，0)，与y轴交于点C，过点C作直线CD∥x轴，与抛物线交于点D，作直线BC，连接AC．(1)求抛物线的函数表达式，并用配方法求抛物线的顶点坐标；(2)E是抛物线上的点，求满足∠ECD＝∠ACO的点E的坐标；(3)点M在y轴上，且位于点C的上方，点N在直线BC上，点P为直线BC上方抛物线上一点，若以点C，M，N，P为顶点的四边形是菱形，求菱形的边长．LISTNUMOutlineDefault\l3如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于点A(﹣2,0)，B(4,0)，与直线y＝eq\f(3,2)x＋3交于y轴上的点C，直线y＝﹣eq\f(3,2)x＋3与x轴交于点D．(1)求该抛物线的解析式；(2)点P是抛物线上第一象限内的一一个动点，连接PC、PD，当△PCD的面积最大时，求点P的坐标；(3)将抛物线的对称轴向左平移3个长度单位得到直线l，点E是直线SKIPIF1<0上一点，连接OE、BE，若直线l上存在使sin∠BEO最大的点E，请直接写出满足条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由．LISTNUMOutlineDefault\l3如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴分别相交于A、B两点，与y轴相交于点C，下表给出了这条抛物线上部分点(x，y)的坐标值：x…﹣10123…y…03430…(1)求出这条抛物线的解析式及顶点M的坐标；(2)PQ是抛物线对称轴上长为1的一条动线段(点P在点Q上方)，求AQ＋QP＋PC的最小值；(3)如图2，点D是第四象限内抛物线上一动点，过点D作DF⊥x轴，垂足为F，△ABD的外接圆与DF相交于点E．试问：线段EF的长是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．LISTNUMOutlineDefault\l3如图，抛物线y＝ax2＋bx﹣eq\f(20,9)，交y轴于点A，交x轴于B(﹣1，0)，C(5，0)两点，抛物线的顶点为D，连接AC，CD．(1)求直线AC的函数表达式；(2)求抛物线的函数表达式及顶点D的坐标；(3)过点D作x轴的垂线交AC于点G，点H为线段CD上一动点，连接GH，将△DGH沿GH翻折到△GHR(点R，点G分别位于直线CD的两侧)，GR交CD于点K，当△GHK为直角三角形时．①请直接写出线段HK的长为；②将此Rt△GHK绕点H逆时针旋转，旋转角为α(0°＜α＜180°)，得到△MHN，若直线MN分别与直线CD，直线DG交于点P，Q，当△DPQ是以PQ为腰的等腰三角形时，请直接写出点P的纵坐标为．LISTNUMOutlineDefault\l3已知：在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a交x轴于A、B两点(点A在点B的左边)，交y轴负半轴于点C．(1)则点A的坐标为，点B的坐标为．(2)如图1，过点A的直线y＝ax＋a交y轴正半轴于点F，交抛物线于点D，过点B作BE∥y轴交AD于E，求证：AF＝DE．(3)如图2，直线DE：y＝kx＋b与抛物线只有一个交点D，与对称轴交于点E，对称轴上存在点F，满足DF＝FE．若a＝1，求点F坐标．LISTNUMOutlineDefault\l3如图，在平面直角坐标系中，直线y=kx﹣4k＋4与抛物线y=eq\f(1,4)x2﹣x交于A、B两点.(1)直线总经过定点，请直接写出该定点的坐标；(2)点P在抛物线上，当k=﹣eq\f(1,2)时，解决下列问题：①在直线AB下方的抛物线上求点P，使得△PAB的面积等于20；②连接OA，OB，OP，作PC⊥x轴于点C，若△POC和△ABO相似，请直接写出点P的坐标.

LISTNUMOutlineDefault\l3\s0答案LISTNUMOutlineDefault\l3解：(1)∵抛物线y＝ax2＋eq\f(3,2)x＋c过点A(1，0)，C(0，﹣2)，∴，解得：．∴抛物线的表达式为y＝eq\f(1,2)x2＋eq\f(3,2)x﹣2．设直线AC的表达式为y＝kx＋b，则，解得：．∴直线AC的表达式为y＝2x﹣2．(2)点D不在抛物线的对称轴上，理由是：∵抛物线的表达式为y＝eq\f(1,2)x2＋eq\f(3,2)x﹣2，∴点B坐标为(﹣4，0)．∵OA＝1，OC＝2，∴．又∵∠AOC＝∠COB＝90°，∴△AOC∽△COB．∴∠ACO＝∠CBO．∴∠ACO＋∠BCO＝∠OBC＋∠BCO＝90°，∴AC⊥BC．∴将△ABC沿BC所在直线折叠，点D一定落在直线AC上，延长AC至D，使DC＝AC，过点D作DE⊥y轴交y轴于点E，如图1．又∵∠ACO＝∠DCE，∴△ACO≌△DCE(AAS)．∴DE＝AO＝1，则点D横坐标为﹣1，∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣eq\f(3,2)．故点D不在抛物线的对称轴上．(3)设过点B、C的直线表达式为y＝px＋q，∵C(0，﹣2)，B(﹣4，0)，∴，解得：．∴过点B、C的直线解析式为y＝﹣eq\f(1,2)x﹣2．过点A作x轴的垂线交BC的延长线于点M，点M坐标为(1，﹣eq\f(5,2))，过点P作x轴的垂线交BC于点N，垂足为H，如图2．设点P坐标为(m，eq\f(1,2)m2＋eq\f(3,2)m﹣2)，则点N坐标为(m，﹣eq\f(1,2)m﹣2)，∴PN＝﹣eq\f(1,2)m﹣2﹣(eq\f(1,2)m2＋eq\f(3,2)m﹣2)＝﹣eq\f(1,2)m2﹣2m，∵PN∥AM，∴△AQM∽△PQN．∴．若分别以PQ、AQ为底计算△BPQ和△BAQ的面积(同高不等底)，则△BPQ与△BAQ的面积比为，即．∴＝＝．∵﹣eq\f(1,5)＜0，∴当m＝﹣2时，的最大值为，此时点P坐标为(﹣2，﹣3)．LISTNUMOutlineDefault\l3解：(1)把A(﹣1，0)，B(0，﹣2)代入抛物线y＝x2＋bx＋c中得：，解得：，∴抛物线所表示的二次函数的表达式为：y＝x2﹣x﹣2；(2)如图1，P1与A重合，P2与B关于l对称，∴MB＝P2M，P1M＝CM，P1P2＝BC，∴△P1MP2≌△CMB，∵y＝x2﹣x﹣2＝(x﹣eq\f(1,2))2﹣eq\f(9,4)，此时P1(﹣1，0)，∵B(0，﹣2)，对称轴：直线x＝eq\f(1,2)，∴P2(1，﹣2)；如图2，MP2∥BC，且MP2＝BC，此时，P1与C重合，∵MP2＝BC，MC＝MC，∠P2MC＝∠BP1M，∴△BMC≌△P2P1M，∴P1(2，0)，由点B向右平移eq\f(1,2)个单位到M，可知：点C向右平移eq\f(1,2)个单位到P2，当x＝eq\f(5,2)时，y＝(eq\f(5,2)﹣eq\f(1,2))2﹣eq\f(9,4)＝eq\f(7,4)，∴P2(eq\f(5,2)，eq\f(7,4))；如图3，构建▱MP1P2C，可得△P1MP2≌△CBM，此时P2与B重合，由点C向左平移2个单位到B，可知：点M向左平移2个单位到P1，∴点P1的横坐标为﹣eq\f(3,2)，当x＝﹣eq\f(3,2)时，y＝(﹣eq\f(3,2)﹣eq\f(1,2))2﹣eq\f(9,4)＝4﹣eq\f(9,4)＝eq\f(7,4)，∴P1(﹣eq\f(3,2)，eq\f(7,4))，P2(0，﹣2)；(3)如图3，存在，作法：以BC为直径作圆交对称轴l于两点Q1、Q2，则∠BQ1C＝∠BQ2C＝90°；过Q1作DE⊥y轴于D，过C作CE⊥DE于E，设Q1(eq\f(1,2)，y)(y＞0)，易得△BDQ1∽△Q1EC，∴，∴＝，y2＋2y﹣eq\f(3,4)＝0，解得：y1＝﹣1﹣eq\f(\r(7),2)(舍)，y2＝﹣1＋eq\f(\r(7),2)，∴Q1(eq\f(1,2)，﹣1＋eq\f(\r(7),2))，同理可得：Q2(eq\f(1,2)，﹣1﹣eq\f(\r(7),2))；综上所述，点Q的坐标是：(eq\f(1,2)，﹣1＋eq\f(\r(7),2))，或(eq\f(1,2)，﹣1﹣eq\f(\r(7),2)).LISTNUMOutlineDefault\l3解：(1)∵抛物线y＝ax2＋bx＋c的图象经过点A(﹣2，0)，点B(4，0)，∴得，∴解得，∴抛物线解析式为y＝﹣x2＋x＋4，∵，∴抛物线的顶点坐标为(1,eq\f(9,2))；(2)如图1，设满足条件的点在抛物线上：①当点E位于直线CD下方时，过点E作EF⊥直线CD，垂足为F．则F(t，4)，CF＝t，，根据题意，当∠ECD＝∠ACO时，tan∠ACO＝tan∠ECD，即，∴，解得t1＝0(舍去)，t2＝3，∴；②当点E'位于直线CD上方时，过点E'作E'F'⊥直线CD，垂足为F'．则F'(s，4)，CF'＝s，E'F'＝﹣eq\f(1,2)s2＋s＋4﹣4＝﹣eq\f(1,2)s2＋s，根据题意，当∠ECD＝∠ACO时，tan∠ACO＝tan∠ECD，即，∴，解得s1＝0(舍去)，s2＝1．∴E’(1,eq\f(9,2))，所以，点E的坐标为(3,eq\f(5,2))或(1,eq\f(9,2))；(3)①CM为菱形的边，如图2，在第一象限内取点P′，过点P′作P′N′∥y轴，交BC于N′，过点P′作P′M′∥BC，交y轴于M′，∴四边形CM′P′N′是平行四边形，∵四边形CM′P′N′是菱形，∴P′M′＝P′N′，过点P′作P′Q′⊥y轴，垂足为Q′，∵OC＝OB，∠BOC＝90°，∴∠OCB＝45°，∴∠P′M′C＝45°，设点P′(m，﹣eq\f(1,2)m2＋m＋4)，在Rt△P′M′Q′中，P′Q′＝m，P′M′＝eq\r(2)m，∵B(4，0)，C(0，4)，∴直线BC的解析式为y＝﹣x＋4，∵P′N′∥y轴，∴N′(m，﹣m＋4)，∴P′N′＝﹣eq\f(1,2)m2＋m＋4﹣(﹣m＋4)＝﹣eq\f(1,2)m2＋2m，∴eq\r(2)m＝﹣eq\f(1,2)m2＋2m，∴m＝0(舍)或m＝4﹣2eq\r(2)，菱形CM′P′N′的边长为eq\r(2)(4﹣2eq\r(2))＝4eq\r(2)﹣4．②CM为菱形的对角线，如图3，在第一象限内抛物线上取点P，过点P作PM∥BC，交y轴于点M，连接CP，过点M作MN∥CP，交BC于N，∴四边形CPMN是平行四边形，连接PN交CM于点Q，∵四边形CPMN是菱形，∴PQ⊥CM，∠PCQ＝∠NCQ，∵∠OCB＝45°，∴∠NCQ＝45°，∴∠PCQ＝45°，∴∠CPQ＝∠PCQ＝45°，∴PQ＝CQ，设点P(n，﹣eq\f(1,2)n2＋n＋4)，∴CQ＝n，OQ＝n＋4，∴n＋4＝﹣eq\f(1,2)n2＋n＋4，∴n＝0(舍)，∴此种情况不存在．综上，菱形的边长为4eq\r(2)﹣4．LISTNUMOutlineDefault\l3解：(1)用交点式函数表达式得：SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0．则函数的表达式为SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，设点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0有最大值，此时点SKIPIF1<0；(3)如图，经过点SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的圆SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0相切于点SKIPIF1<0，此时，SKIPIF1<0最大，过圆心SKIPIF1<0作SKIPIF1<0轴于点SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0的坐标为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；同样当点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0轴的下方时，其坐标为SKIPIF1<0；故点SKIPIF1<0的坐标为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．LISTNUMOutlineDefault\l3解：(1)根据表格可得出A(﹣1，0)，B(3，0)，C(0，3)，设抛物线解析式为y＝a(x＋1)(x﹣3)，将C(0，3)代入，得：3＝a(0＋1)(0﹣3)，解得：a＝﹣1，∴y＝﹣(x＋1)(x﹣3)＝﹣x2＋2x＋3＝﹣(x﹣1)2＋4，∴该抛物线解析式为y＝﹣x2＋2x＋3，顶点坐标为M(1，4)；(2)如图1，将点C沿y轴向下平移1个单位得C′(0，2)，连接BC′交抛物线对称轴x＝1于点Q′，过点C作CP′∥BC′，交对称轴于点P′，连接AQ′，∵A、B关于直线x＝1对称，∴AQ′＝BQ′，∵CP′∥BC′，P′Q′∥CC′，∴四边形CC′Q′P′是平行四边形，∴CP′＝C′Q′，Q′P′＝CC′＝1，在Rt△BOC′中，BC′＝eq\r(13)，∴AQ′＋Q′P′＋P′C＝BQ′＋C′Q′＋Q′P′＝BC′＋Q′P′＝eq\r(13)＋1，此时，C′、Q′、B三点共线，BQ′＋C′Q′的值最小，∴AQ＋QP＋PC的最小值为eq\r(13)＋1；(3)线段EF的长为定值1.如图2，连接BE，设D(t，﹣t2＋2t＋3)，且t＞3，∵EF⊥x轴，∴DF＝﹣(﹣t2＋2t＋3)＝t2﹣2t﹣3，∵F(t，0)，∴BF＝OF﹣OB＝t﹣3，AF＝t﹣(﹣1)＝t＋1，∵四边形ABED是圆内接四边形，∴∠DAF＋∠BED＝180°，∵∠BEF＋∠BED＝180°，∴∠DAF＝∠BEF，∵∠AFD＝∠EFB＝90°，∴△AFD∽△EFB，∴＝，∴＝，∴EF＝＝＝1，∴线段EF的长为定值1．LISTNUMOutlineDefault\l3解：(1)设直线AC的函数表达式为：y＝kx＋c，∵抛物线y＝ax2＋bx﹣eq\f(20,9)，交y轴于点A，∴A(0，﹣eq\f(20,9))，将A(0，﹣eq\f(20,9))，C(5，0)分别代入y＝kx＋c，得：，解得：，∴直线AC的函数表达式为：y＝eq\f(4,9)x﹣eq\f(20,9)，(2)∵抛物线y＝ax2＋bx﹣eq\f(20,9)经过B(﹣1，0)，C(5，0)两点，∴，解得：，∴抛物线的解析式为y＝eq\f(4,9)x2﹣x﹣eq\f(20,9)，∵y＝eq\f(4,9)x2﹣eq\f(16,9)x﹣eq\f(20,9)＝eq\f(4,9)(x﹣2)2﹣4，∴顶点D的坐标为(2，﹣4)；(3)①如图1，∵△GHK为直角三角形，且点R，点G分别位于直线CD的两侧，∴∠GHK＝90°或∠HGK＝90°或∠GKH＝90°，当∠GHK＝90°时，∠GHD＝90°，点R落在直线DC上，不符合题意，当∠HGK＝90°时，∠DGH＝∠HGK＝90°，点R，点G位于直线CD的同侧，不符合题意，当∠GKH＝90°时，点R，点G分别位于直线CD的两侧，符合题意，∴∠GKH＝90°，∠DGH＝∠RGH，过点H作HL⊥DG于点L，则HL＝HK，∵D(2，﹣4)，DG⊥x轴，∴G(2，﹣eq\f(4,3))，F(2，0)，∴DG＝﹣eq\f(4,3)﹣(﹣4)＝eq\f(8,3)，CF＝5﹣2＝3，DF＝4，∴CD＝5，∵∠DFC＝∠GKH＝90°，∠GDK＝∠CDF，∴△GDK∽△CDF，∴＝＝，即＝＝，∴GK＝，DK＝，∵S△GKH＋S△GDH＝S△GDK，∴××HK＋××HL＝××，故答案为：eq\f(4,5)；②∵△DPQ是以PQ为腰的等腰三角形，∴PQ＝DQ或PQ＝DP，当PQ＝DQ时，如图2，由旋转知：点H到PQ、DQ的距离相等，∴QH⊥DP，DH＝HP，由①知HL＝HK＝eq\f(4,5)，∵HL∥CF，∴＝，即＝，∴DL＝，∴L的纵坐标为﹣4＝﹣，即H的纵坐标为﹣，∵H为D、P的中点，∴P的纵坐标为﹣，当PQ＝DP时，如图3，点P为DQ的垂直平分线与CD的交点，∵H(，﹣)，∴经过点H平行MN的直线为y＝﹣eq\f(4,3)x＋eq\f(4,5)，∵点H到直线MN的距离为eq\f(4,5)，∴直线MN的解析式为y＝﹣eq\f(4,3)x﹣eq\f(8,15)，∵直线CD的解析式为y＝eq\f(4,3)x﹣eq\f(20,3)，∴P(，﹣)；综上所述，点P的纵坐标为﹣或﹣．LISTNUMOutlineDefault\l3解：(1)令y＝0，得ax2﹣2ax﹣3a＝0即x2﹣2x﹣3＝0得x1＝3，x2＝﹣1∴A(﹣1，0)B(3，0)(2)过E，D分别作x轴，y轴的平行线，交于H．令ax＋a＝ax2﹣2ax﹣3a得ax2﹣3ax﹣4a＝0，∴x2﹣3x﹣4＝0∴x1＝4，x2＝﹣1∴xD＝4∴EH＝AO＝1＝∠AOF＝∠EHD，∠FAO＝∠DEH∴△FAO≌△DEH∴AF＝DE(3)令x^{2}﹣2x﹣3＝kx＋b得x2﹣(2＋k)x﹣3﹣b＝0(2＋k)2＋4(3＋b)＝0∴＝＝∴∴＝∴，∴＝＝∴＝＝