2024年中考数学二轮复习 压轴题 专项培优练习03（含答案）

2024年中考数学二轮复习压轴题专项培优练习03LISTNUMOutlineDefault\l3已知抛物线L1：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交于点A(﹣1，0)，点B(3，0)，与y轴交于点C(0，3)．(1)求抛物线L的表达式；(2)若点P是直线y＝x＋1上的一个动点，将抛物线L进行平移得到抛物线L'，点B的对应点为点Q，是否存在以A、B、P、Q四个点为顶点的四边形是菱形？若存在，求出抛物线的平移方式；若不存在，请说明理由．LISTNUMOutlineDefault\l3如图，抛物线y＝ax2＋bx﹣3交x轴于点A(﹣1，0)、B(3，0)，与y轴交于C点，直线y＝kx(k＜0)交线段BC下方抛物线于D点，交BC于E点(1)分别求出a、b的值；(2)求出线段BC的函数关系式，并写出自变量取值范围；(3)探究是否有最大值，若存在，请求出此时k值，若不存在，请说明理由．LISTNUMOutlineDefault\l3如图所示，已知抛物线y＝﹣eq\f(1,2)x2﹣eq\f(3,2)x＋c与x轴交于A、B两点，与y轴的正半轴交于点C，点A在点B的左侧，且满足tan∠CABtan∠CBA＝1．(1)求A、B两点的坐标；(2)若点P是抛物线y＝﹣eq\f(1,2)x2﹣eq\f(3,2)x＋c上一点，且△PAC的内切圆的圆心正好落在x轴上，求点P的坐标；(3)若M为线段AO上任意一点，求MC＋eq\f(\r(5),5)AM的最小值．LISTNUMOutlineDefault\l3如图，已知抛物线m：y=ax2﹣6ax＋c(a＞0)的顶点A在x轴上，并过点B(0，1)，直线n：y=﹣eq\f(1,2)x＋eq\f(7,2)与x轴交于点D，与抛物线m的对称轴l交于点F，过B点的直线BE与直线n相交于点E(﹣7，7)．(1)求抛物线m的解析式；(2)P是l上的一个动点，若以B，E，P为顶点的三角形的周长最小，求点P的坐标；(3)抛物线m上是否存在一动点Q，使以线段FQ为直径的圆恰好经过点D？若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由．LISTNUMOutlineDefault\l3如图，已知抛物线y=ax2+bx+c图象经过A(﹣1,0)，B(5,0)，C(0，﹣2)，连接AC，BC.(1)求抛物线解析式；(2)在对称轴上找一点P，使P，B，C构成的三角形为直角三角形，求点P的坐标；(3)在抛物线上找一点Q，使∠QBA=∠ABC，求点Q的坐标.LISTNUMOutlineDefault\l3如图，已知二次函数y=﹣x2+bx+c(b，c为常数)的图象经过点A(3，1)，点C(0，4)，顶点为点M，过点A作AB∥x轴，交y轴于点D，交该二次函数图象于点B，连结BC．(1)求该二次函数的解析式及点M的坐标；(2)若将该二次函数图象向下平移m(m＞0)个单位，使平移后得到的二次函数图象的顶点落在△ABC的内部(不包括△ABC的边界)，求m的取值范围；(3)点P是直线AC上的动点，若点P，点C，点M所构成的三角形与△BCD相似，请直接写出所有点P的坐标(直接写出结果，不必写解答过程)．LISTNUMOutlineDefault\l3已知二次函数y=ax2﹣2ax＋c(a＜0)的最大值为4，且抛物线过点(3.5，﹣2.25)，点P(t，0)是x轴上的动点，抛物线与y轴交点为C，顶点为D．(1)求该二次函数的解析式，及顶点D的坐标；(2)求|PC﹣PD|的最大值及对应的点P的坐标；(3)设Q(0，2t)是y轴上的动点，若线段PQ与函数y=a|x|2﹣2a|x|＋c的图象只有一个公共点，求t的取值．LISTNUMOutlineDefault\l3如图1，在平面直角坐标系中，点A(﹣8，0)、B(2，0)，C为y轴正半轴上点，sin∠CAB＝eq\f(3,5)，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A、B、C三点.(1)求点C的坐标及抛物线的函数关系式；(2)连接AC，点D在线段AC上方的抛物线上，过点D作DH⊥x轴于点H，交AC于点E，连接DC、AD，设点D的横坐标为m.①当m为何值时，△DEC恰好是以DE为底边的等腰三角形？②若△ACD和△ABC面积满足S△ACD＝eq\f(3,5)S△ABC，求点D的坐标；(3)如图2，M为OA中点，设P为线段AC上一点(不含端点)，连接MP，动点G从点M出发，沿线段MP以每秒1个单位的速度运动到P，再沿着线段PC以每秒eq\f(5,3)个单位的速度运动到C后停止.若点G在整个运动过程中用时最少，请求出最少时间和此时点P的坐标.

LISTNUMOutlineDefault\l3\s0答案LISTNUMOutlineDefault\l3解：(1)由题意得：，解得：．∴抛物线L的表达式为y＝﹣x2＋2x＋3；(2)存在以A、B、P、Q四个点为顶点的四边形是菱形．理由：∵点A(﹣1，0)，点B(3，0)，∴AB＝4．如图，当四边形ABQP为菱形时，过点P作PC⊥x轴于点C，令x＝0，则y＝1，∴D(0，1)，∴OD＝1，令y＝0，则x＋1＝0，∴x＝﹣1，∴A(﹣1，0)．∴OA＝1．∴OA＝OD，∴∠DAO＝45°．∵PC⊥x轴，∴PC＝AC．∵四边形ABQP为菱形，∴PA＝AB＝4．∴PC＝AC＝PA•sin45°＝4×eq\f(\r(2),2)＝2eq\r(2)，∴P(2eq\r(2)﹣1，2eq\r(2))，Q(3＋2eq\r(2)，2eq\r(2))．抛物线的平移方式为：先将抛物线向右平移2eq\r(2)个单位，再向上平移2eq\r(2)个单位；同理，当点P在第三象限时，P(﹣2eq\r(2)﹣1，﹣2eq\r(2))，Q(3﹣2eq\r(2)，﹣2eq\r(2))，此时，抛物线的平移方式为：先将抛物线向左平移2eq\r(2)个单位，再向下平移2eq\r(2)个单位；如图，当四边形APBQ为菱形时，∵OA＝OD＝1，∴∠DAO＝45°．∵四边形APBQ为菱形，∴∠BAQ＝∠DAO＝45°，∴∠PAQ＝90°，∴四边形APBQ为正方形，∴P(1，2)，Q(1，﹣2)．此时，抛物线的平移方式为：先将抛物线向左平移2个单位，再向下平移2个单位；如图，当四边形ABPQ为菱形时，∵OA＝OD＝1，∴∠DAO＝45°．∵四边形APBQ为菱形，∴∠PAQ＝∠DAO＝45°，∴∠BAQ＝90°，∴四边形ABPQ为正方形，∴P(3，4)，Q(﹣1，4)．此时，抛物线的平移方式为：先将抛物线向左平移4个单位，再向上平移4个单位．LISTNUMOutlineDefault\l3解：(1)∵抛物线y＝ax2＋bx﹣3交x轴于点A(﹣1，0)、B(3，0)，则，解得；(2)∵a＝1，b＝﹣2，∴抛物线解析式为y＝x2﹣2x﹣3，令x＝0，则y＝﹣3，∴C(0，﹣3)，设线段BC所在的直线的函数解析式为y＝kx＋b1(k≠0)，则，解得，∴线段BC的函数解析式为y＝x﹣3(0≤x≤3)；(3)存在，理由：过点D作DF∥y轴，交BC于点F，如图：∵OC∥DF，∴△OEC∽△DFE，∴＝＝，设点D为(m，m2﹣2m﹣3)，则点F(m，m﹣3)，∴DF＝m﹣3﹣(m2﹣2m﹣3)＝﹣m2＋3m，∴＝＝＝﹣(m﹣)2＋，∵﹣eq\f(1,3)＜0，∴当m＝eq\f(3,2)时，有最大值，此时点D(eq\f(3,2)，﹣eq\f(15,4))，∴k＝﹣eq\f(5,2)．LISTNUMOutlineDefault\l3解：(1)设点A、B的横坐标分别为x1，x2，令y＝0可得﹣eq\f(1,2)x2﹣eq\f(3,2)x＋c＝0，∴x1x2＝﹣2c，∵tan∠CABtan∠CBA＝1，∴OC2＝OAOB＝(﹣x1)x2＝2C，即c2＝2c，解得c1＝0(舍去)，c2＝2，∴抛物线y＝﹣eq\f(1,2)x2﹣eq\f(3,2)x＋2，令y＝0解得，x1＝﹣4，x2＝1，故点A(﹣4，0)，点B(1，0)；(2)△PAC的内切圆圆心正好落在x轴上，则x轴为∠CAP的角平分线，作点C关于x轴的对称点C'(0，﹣2)，设直线AC'的解析式为y＝kx＋b，将点A(﹣4，0)，C'(0，﹣2)代入，得，解得，∴直线AC'的解析式为y＝x﹣2，联立抛物线与直线得，解得，，故点P坐标(2，﹣3)；(3)过点A作直线AD，使sin∠OAD＝eq\f(\r(5),5)，过点M作ME⊥AD于点E，如图，在Rt△MAE中，sin∠OAD＝eq\f(\r(5),5)，∴ME＝eq\f(\r(5),5)AM，∴MC＋eq\f(\r(5),5)AM＝MC＋ME，当点M、C、E三点共线时，MC＋ME最小为CE，∵∠OMC＝∠EMA．∠MEA＝∠COM，∴∠EAM＝∠OCM，在Rt△OCM中，sin∠OCM＝sin∠OAD＝eq\f(\r(5),5)，OC＝2，∴tan∠OCM＝eq\f(1,2)，cos∠OAD＝eq\f(2\r(5),5)，∴OM＝1，CM＝eq\r(5)，∴AM＝4﹣1＝3，在Rt△AEM中，sin∠OAD＝eq\f(\r(5),5)，AM＝3，∴EM＝3sin∠OAD＝eq\f(3\r(5),5)，∴MC＋ME＝eq\f(3\r(5),5)＋eq\r(5)＝eq\f(8\r(5),5)．故MC＋eq\f(\r(5),5)AM的最小值eq\f(8\r(5),5)．LISTNUMOutlineDefault\l3解：(1)∵抛物线y=ax2﹣6ax＋c(a＞0)的顶点A在x轴上∴配方得y=a(x﹣3)2﹣9a＋1，则有﹣9a＋1=0，解得a=eq\f(1,9)∴A点坐标为(3，0)，抛物线m的解析式为y=eq\f(1,9)x2﹣eq\f(2,3)x＋1；(2)∵点B关于对称轴直线x=3的对称点B′为(6，1)∴连接EB′交l于点P，如图所示设直线EB′的解析式为y=kx＋b，把(﹣7，7)(6，1)代入得解得，则函数解析式为y=﹣x＋把x=3代入解得y=，∴点P坐标为(3，)；(3)∵y=﹣eq\f(1,2)x＋eq\f(7,2)与x轴交于点D，∴点D坐标为(7，0)，∵y=﹣eq\f(1,2)x＋eq\f(7,2)与抛物线m的对称轴l交于点F，∴点F坐标为(3，2)，求得FD的直线解析式为y=﹣eq\f(1,2)x＋eq\f(7,2)，若以FQ为直径的圆经过点D，可得∠FDQ=90°，则DQ的直线解析式的k值为2，设DQ的直线解析式为y=2x＋b，把(7，0)代入解得b=﹣14，则DQ的直线解析式为y=2x﹣14，设点Q的坐标为(a，eq\f(1,9)a2﹣eq\f(2,3)a＋1)，把点Q代入y=2x﹣14得eq\f(1,9)a2﹣eq\f(2,3)a＋=2a﹣14解得a1=9，a2=15．∴点Q坐标为(9，4)或(15，16)．LISTNUMOutlineDefault\l3解：(1)y=0.4x2﹣1.6x﹣2；(2)P(2，﹣1+eq\r(7))，P(2，﹣1﹣eq\r(7))，P(2,7.5)，P(2，﹣7)；(3)Q(4，﹣2)，(6,2.8).LISTNUMOutlineDefault\l3解：(1)把点A(3，1)，点C(0，4)代入二次函数y=﹣x2+bx+c得，解得∴二次函数解析式为y=﹣x2+2x+4，配方得y=﹣(x﹣1)2+5，∴点M的坐标为(1，5)；(2)设直线AC解析式为y=kx+b，把点A(3，1)，C(0，4)代入得，解得∴直线AC的解析式为y=﹣x+4，如图所示，对称轴直线x=1与△ABC两边分别交于点E、点F把x=1代入直线AC解析式y=﹣x+4解得y=3，则点E坐标为(1，3)，点F坐标为(1，1)∴1＜5﹣m＜3，解得2＜m＜4；(3)连接MC，作MG⊥y轴并延长交AC于点N，则点G坐标为(0，5)∵MG=1，GC=5﹣4=1∴MC=eq\r(2)，把y=5代入y=﹣x+4解得x=﹣1，则点N坐标为(﹣1，5)，∵NG=GC，GM=GC，∴∠NCG=∠GCM=45°，∴∠NCM=90°，由此可知，若点P在AC上，则∠MCP=90°，则点D与点C必为相似三角形对应点①若有△PCM∽△BDC，则有∵BD=1，CD=3，∴CP===，∵CD=DA=3，∴∠DCA=45°，若点P在y轴右侧，作PH⊥y轴，∵∠PCH=45°，CP=∴PH==把x=eq\f(1,3)代入y=﹣x+4，解得y=eq\f(11,3)，∴P1(eq\f(1,3),eq\f(11,3))；同理可得，若点P在y轴左侧，则把x=﹣eq\f(1,3)代入y=﹣x+4，解得y=eq\f(13,3)∴P2(﹣eq\f(1,3),eq\f(13,3))；②若有△PCM∽△CDB，则有∴CP==3eq\r(2)∴PH=3eq\r(2)÷eq\r(2)=3，若点P在y轴右侧，把x=3代入y=﹣x+4，解得y=1；若点P在y轴左侧，把x=﹣3代入y=﹣x+4，解得y=7∴P3(3，1)；P4(﹣3，7)．∴所有符合题意得点P坐标有4个，分别为P1(eq\f(1,3),eq\f(11,3))，P2(﹣eq\f(1,3),eq\f(13,3))，P3(3，1)，P4(﹣3，7)．LISTNUMOutlineDefault\l3解：(1)∵y=ax2﹣2ax＋c的对称轴为：x=﹣=1，∴抛物线过(1，4)和(eq\f(7,2)，﹣eq\f(9,4))两点，代入解析式得：，解得：a=﹣1，c=3，∴二次函数的解析式为：y=﹣x2＋2x＋3，∴顶点D的坐标为(1，4)；(2)∵C、D两点的坐标为(0，3)、(1，4)；由三角形两边之差小于第三边可知：|PC﹣PD|≤|CD|，∴P、C、D三点共线时|PC﹣PD|取得最大值，此时最大值.|CD|=eq\r(2)，由于CD所在的直线解析式为y=x＋3，将P(t，0)代入得t=﹣3，∴此时对应的点P为(﹣3，0)；(3)y=a|x|2﹣2a|x|＋c的解析式可化为：y=设线段PQ所在的直线解析式为y=kx＋b，将P(t，0)，Q(0，2t)代入得：线段PQ所在的直线解析式：y=﹣2x＋2t，∴①当线段PQ过点(0，3)，即点Q与点C重合时，线段PQ与函数y=有一个公共点，此时t=，当线段PQ过点(3，0)，即点P与点(3，0)重合时，t=3，此时线段PQ与y=有两个公共点，所以当≤t＜3时，线段PQ与y=有一个公共点，②将y=﹣2x＋2t代入y=﹣x2＋2x＋3(x≥0)得：﹣x2＋2x＋3=﹣2x＋2t，﹣x2＋4x＋3﹣2t=0，令△=16﹣4(﹣1)(3﹣2t)=0，t=eq\f(7,2)＞0，所以当t=eq\f(7,2)时，线段PQ与y=也有一个公共点，③当线段PQ过点(﹣3，0)，即点P与点(﹣3，0)重合时，线段PQ只与y=﹣x2﹣2x＋3(x＜0)有一个公共点，此时t=﹣3，所以当t≤﹣3时，线段PQ与y=也有一个公共点，综上所述，t的取值是eq\f(3,2)≤t＜3或t=eq\f(7,2)或t≤﹣3．LISTNUMOutlineDefault\l3解：(1)∵A(﹣8，0)，∴OA＝8，∵sin∠CAB＝eq\f(3,5)，∴OC＝6，AC＝10，即C(0，6).设抛物线的解析式为y＝ax2＋