2024年中考数学二轮复习 压轴题 专项培优练习11（含答案）

2024年中考数学二轮复习压轴题专项培优练习11LISTNUMOutlineDefault\l3如图，抛物线y=ax2+bx+4交x轴于A(﹣3，0)，B(4，0)两点，与y轴交于点C，连接AC，BC．点P是第一象限内抛物线上的一个动点，点P的横坐标为m．(1)求此抛物线的表达式；(2)过点P作PM⊥x轴，垂足为点M，PM交BC于点Q．试探究点P在运动过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点Q的坐标，若不存在，请说明理由；(3)过点P作PN⊥BC，垂足为点N．请用含m的代数式表示线段PN的长，并求出当m为何值时PN有最大值，最大值是多少？LISTNUMOutlineDefault\l3如图，抛物线y=﹣eq\f(3,5)x2＋bx＋c与x轴交于点A和点B(5，0)，与y轴交于点C(0，﹣3)，连接AC，BC，点E是对称轴上的一个动点．(1)求抛物线的解析式；(2)当S△BCE＝2S△ABC时，求点E的坐标；(3)在抛物线上是否存在点P，使△BPE是以BE为斜边的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．LISTNUMOutlineDefault\l3如图，在平面直角坐标系中，已知直线y＝2x＋8与x轴交于点A、与y轴交于点B，抛物线y＝﹣x2＋bx＋c经过点A、B．(1)求抛物线的表达式；(2)P是抛物线上一点，且位于直线AB上方，过点P作PM∥y轴、PN∥x轴，分别交直线AB于点M、N．①当MN＝eq\f(1,2)AB时，求点P的坐标；②联结OP交AB于点C，当点C是MN的中点时，求的值．LISTNUMOutlineDefault\l3定义：如果抛物线C1的顶点在抛物线C2上，同时，抛物线C2的顶点在抛物线C1上，则称抛物线C1与C2关联．例如，如图，抛物线y＝x2的顶点(0，0)在抛物线y＝﹣x2＋2x上，抛物线y＝﹣x2＋2x的顶点(1，1)也在抛物线y＝x2上，所以抛物线y＝x2与y＝﹣x2＋2x关联．(1)已知抛物线C1：y＝(x＋1)2﹣2，分别判断抛物线C2：y＝﹣x2＋2x＋1和抛物线C3：y＝2x2＋2x＋1与抛物线C1是否关联；(2)抛物线M1：y＝eq\f(1,8)(x＋1)2﹣2的顶点为A，动点P的坐标为(t，2)，将抛物线M1绕点P(t，2)旋转180°得到抛物线M2，若抛物线M1与M2关联，求抛物线M2的解析式；(3)抛物线M1：y＝eq\f(1,8)(x＋1)2﹣2的顶点为A，点B是与M1关联的抛物线的顶点，将线段AB绕点A按顺时针方向旋转90°得到线段AB1，若点B1恰好在y轴上，请直接写出点B1的纵坐标．LISTNUMOutlineDefault\l3如图(1)，抛物线y＝ax2＋bx＋6与x轴交于点A(﹣6，0)、B(2，0)，与y轴交于点C，抛物线对称轴交抛物线于点M，交x轴于点N．点P是抛物线上的动点，且位于x轴上方．(1)求抛物线的解析式．(2)如图(2)，点D与点C关于直线MN对称，若∠CAD＝∠CAP，求点P的坐标．(3)直线BP交y轴于点E，交直线MN于点F，猜想线段OE、FM、MN三者之间存在的数量关系，并证明．LISTNUMOutlineDefault\l3已知抛物线C：y＝ax2＋bx＋c(a＞0，c＜0)的对称轴为x＝4，C为顶点，且A(2，0)，C(4，﹣2).【问题背景】求出抛物线C的解析式．【尝试探索】如图2，作点C关于x轴的对称点C′，连接BC′，作直线x＝k交BC′于点M，交抛物线C于点N．①连接ND，若四边形MNDC′是平行四边形，求出k的值．②当线段MN在抛物线C与直线BC′围成的封闭图形内部或边界上时，请直接写出线段MN的长度的最大值．【拓展延伸】如图4，作矩形HGOE，且E(﹣3，0)，H(﹣3，4)，现将其沿x轴以1个单位每秒的速度向右平移，设运动时间为t，得到矩形H′G′O′E′，连接AC′，若矩形H′G′O′E′与直线AC′和抛物线C围成的封闭图形有公共部分，请求出t的取值范围．LISTNUMOutlineDefault\l3如图，已知点A(1，0)，B(3，0)，D(2，﹣1)，C是y轴上的点，且OC＝3．(1)过点A作AM⊥BC，垂足为M，连接AD、BD，求证：四边形ADBM为正方形；(2)若过A、B、C三点的抛物线对称轴上有一动点P，当PC﹣PB的值最大时，求出点P的坐标；(3)设Q为线段OC上的一动点，问：AQ＋eq\f(\r(10),10)QC是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．LISTNUMOutlineDefault\l3如图，抛物线y＝ax2＋bx＋2交x轴于点A(﹣3，0)和点B(1，0)，交y轴于点C．已知点D的坐标为(﹣1，0)，点P为第二象限内抛物线上的一个动点，连接AP、PC、CD．(1)求这个抛物线的表达式．(2)点P为第二象限内抛物线上的一个动点，求四边形ADCP面积的最大值．(3)①点M在平面内，当△CDM是以CM为斜边的等腰直角三角形时，求出满足条件的所有点M的坐标；②在①的条件下，点N在抛物线对称轴上，当∠MNC＝45°时，求出满足条件的所有点N的坐标．

LISTNUMOutlineDefault\l3\s0答案LISTNUMOutlineDefault\l3解：(1)由二次函数交点式表达式得：y=a(x+3)(x﹣4)=a(x2﹣x﹣12)，即：﹣12a=4，解得：a=﹣eq\f(1,3)，则抛物线的表达式为y=﹣eq\f(1,3)x2+eq\f(1,3)x+4；(2)存在，理由：点A、B、C的坐标分别为(﹣3，0)、(4，0)、(0，4)，则AC=5，AB=7，BC=4eq\r(2)，∠OAB=∠OBA=45°，将点B、C的坐标代入一次函数表达式：y=kx+b并解得：y=﹣x+4…①，同理可得直线AC的表达式为：y=eq\f(4,3)x+4，设直线AC的中点为M(﹣eq\f(3,2)，4)，过点M与CA垂直直线的表达式中的k值为﹣eq\f(3,4)，同理可得过点M与直线AC垂直直线的表达式为：y=﹣eq\f(3,4)x+eq\f(7,8)…②，①当AC=AQ时，如图1，则AC=AQ=5，设：QM=MB=n，则AM=7﹣n，由勾股定理得：(7﹣n)2+n2=25，解得：n=3或4(舍去4)，故点Q(1，3)；②当AC=CQ时，如图1，CQ=5，则BQ=BC﹣CQ=4eq\r(2)﹣5，则QM=MB=，故点Q(，)；③当CQ=AQ时，联立①②并解得：x=12.5(舍去)；故点Q的坐标为：Q(1，3)或(，)；(3)设点P(m，﹣eq\f(1,3)m2+eq\f(1,3)m+4)，则点Q(m，﹣m+4)，∵OB=OC，∴∠ABC=∠OCB=45°=∠PQN，PN=PQsin∠PQN=eq\f(\r(2),2)(﹣eq\f(1,3)m2+eq\f(1,3)m+4+m﹣4)=﹣eq\f(1,6)eq\r(2)m2+eq\f(7,6)eq\r(2)m，∵﹣eq\f(1,6)eq\r(2)＜0，∴PN有最大值，当m=eq\f(7,2)时，PN的最大值为：．LISTNUMOutlineDefault\l3解：(1)∵抛物线y=﹣eq\f(3,5)x2＋bx＋c经过B(5，0)，C(0，﹣3)，∴，解得：，∴该抛物线的解析式为y＝﹣eq\f(3,5)x2＋eq\f(18,5)x﹣3；(2)∵y＝﹣eq\f(3,5)x2＋eq\f(18,5)x﹣3，∴抛物线对称轴为直线x＝3，∵点A与B(5，0)关于直线x＝3对称，∴A(1，0)，∴AB＝5﹣1＝4，∴S△ABC＝eq\f(1,2)×4×3＝6，设E(3，m)，对称轴交BC于点F，设直线BC的解析式为y＝kx＋d，则，解得：，∴直线BC的解析式为y＝eq\f(3,5)x﹣3，∴F(3，﹣eq\f(6,5))，∴EF＝|m＋eq\f(6,5)|，∴S△BCE＝eq\f(1,2)EF×OB＝eq\f(5,2)|m＋eq\f(6,5)|，∵S△BCE＝2S△ABC，∴eq\f(5,2)|m＋eq\f(6,5)|＝12，解得：m＝eq\f(18,5)或﹣6，∴点E的坐标为(3，eq\f(18,5))或(3，﹣6)；(3)设E(3，m)，P(n，﹣eq\f(3,5)n2＋eq\f(18,5)n﹣3)，①当点P在x轴上方时，如图2，过点P作对称轴的垂线，垂足为F，过点B作BG⊥PF于点G，∵△BPE是以BE为斜边的等腰直角三角形，∴∠BPE＝90°，PB＝PE，∴∠BPG＋∠EPF＝90°，∵∠G＝∠PFE＝90°，∴∠BPG＋∠PBG＝90°，∴∠PBG＝∠EPF，∴△BPG≌△PEF(AAS)，∴BG＝PF，PG＝EF，∴，解得：，，当n＝0时，P(0，﹣3)；当n＝eq\f(13,3)时，BG＝PF＝n﹣3＝eq\f(13,3)﹣3＝eq\f(4,3)，∴P(eq\f(13,3)，eq\f(4,3))；②当点P在x轴下方时，如图2，过点P作x轴的垂线，垂足为H，过点E作EK⊥PH于点K，∵△BPE是以BE为斜边的等腰直角三角形，∴∠BPE＝90°，PB＝PE，∴∠BPH＋∠EPK＝90°，∵∠K＝∠PHB＝90°，∴∠BPH＋∠PBH＝90°，∴∠PBH＝∠EPK，∴△BPH≌△PEK(AAS)，∴BH＝PK，PH＝EK，∴eq\f(3,5)n2﹣eq\f(18,5)n＋3＝n﹣3，解得：n＝6或n＝eq\f(5,3)(舍去)，∴P(6，3)；综上所述，点P的坐标为(0，﹣3)或(eq\f(13,3)，eq\f(4,3))或(6，3)．LISTNUMOutlineDefault\l3解：(1)∵直线y＝2x＋8与x轴交于点A、与y轴交于点B，∴令x＝0，则y＝8，令y＝0，则x＝﹣4，∴B(0，8)，A(﹣4，0)，∵抛物线y＝﹣x2＋bx＋c经过点A、B，∴，∴，∴抛物线的表达式为：y＝﹣x2﹣2x＋8；(2)①∵P是抛物线上一点，且位于直线AB上方，过点P作PM∥y轴、PN∥x轴，分别交直线AB于点M、N，∴PM⊥PN，∠PNM＝∠BAO，∴∠MPN＝∠AOB＝90°，∴△PMN∽△OBA，∴，设点M的横坐标为m(﹣4＜m＜0)，则M(m，2m＋8)，P(m，﹣m2﹣2m＋8)，∴PM＝﹣m2﹣2m＋8﹣(2m＋8)＝﹣m2﹣4m，∵B(0，8)，A(﹣4，0)，∴OA＝4，OB＝8，∵MN＝eq\f(1,2)AB，∴，∴＝，解得m1＝m2＝﹣2，∴P(﹣2，8)；②如图，连接OP交AB于点C，∵PN∥x轴，P(m，﹣m2﹣2m＋8)，∴点N的纵坐标为﹣m2﹣2m＋8，令y＝﹣m2﹣2m＋8，则2x＋8＝﹣m2﹣2m＋8，解得：x＝﹣eq\f(1,2)m2﹣m，N(﹣eq\f(1,2)m2﹣m，﹣m2﹣2m＋8)，∵点C是MN的中点，M(m，2m＋8)，∴C(﹣eq\f(1,4)m2，﹣eq\f(1,2)m2＋8)，由①知：∠MPN＝90°，又点C是MN的中点，∴PC＝CM＝CN，∴∠CPN＝∠CNP，∠CPM＝∠CMP，∵PM∥y轴、PN∥x轴，∴∠BOC＝∠CPM，∠OBC＝∠CMP，∠OAC＝∠CNP，∠AOC＝∠CPN，∴∠BOC＝∠OBC，∠OAC＝∠AOC，∴AC＝OC，BC＝OC，∴AC＝BC，∴点C是AB的中点，∴C(﹣2，4)，∴﹣eq\f(1,4)m2＝﹣2，解得：m＝±2eq\r(2)，∵﹣4＜m＜0，∴m＝﹣2eq\r(2)，∴PM＝﹣m2﹣4m＝﹣(﹣2eq\r(2))2﹣4×(﹣2eq\r(2))＝8eq\r(2)﹣8，∵PM∥y轴，∴△PCM∽△OCB，∴＝＝eq\r(2)﹣1，故的值为eq\r(2)﹣1．LISTNUMOutlineDefault\l3解：(1)∵抛物线C1：y＝(x＋1)2﹣2的顶点坐标为M(﹣1，﹣2)，∴当x＝﹣1时，y＝﹣x2＋2x＋1＝﹣1﹣2＋1＝﹣2，∴C1的顶点在抛物线C2上；∵抛物线C2：y＝﹣x2＋2x＋1＝﹣(x﹣1)2＋2，其顶点坐标为(1，2)，当x＝1时，y＝(x＋1)2﹣2＝22﹣2＝2，∴C2的顶点在抛物线C1上；∴抛物线C1、C2是关联的；∵抛物线C3：y＝2x2＋2x＋1的顶点坐标为M(﹣eq\f(1,2)，eq\f(1,2))，∴当x＝﹣eq\f(1,2)时，y＝(x＋1)2﹣2＝eq\f(1,4)﹣2＝﹣eq\f(7,4)，∴抛物线C1与C3不关联；综上，抛物线C1、C2是关联的；抛物线C1与C3不关联；(2)抛物线M1：y＝eq\f(1,8)(x＋1)2﹣2的顶点M的坐标为(﹣1，﹣2)，∵动点P的坐标为(t，2)，∴点P在直线y＝2上，作M关于P的对称点N，分别过点M、N作直线y＝2的垂线，垂足为E，F，则ME＝NF＝4，∴点N的纵坐标为6，当y＝6时，eq\f(1,8)(x＋1)2﹣2＝6，解得：x1＝7，x2＝﹣9，①设抛物M2的解析式为：y＝a(x﹣7)2＋6，∵点M(﹣1，﹣2)在抛物线M2上，∴﹣2＝a(﹣1﹣7)2＋6，∴a＝﹣eq\f(1,8)．∴抛物线M2的解析式为：y＝﹣eq\f(1,8)(x﹣7)2＋6；②设抛物M2的解析式为：y＝a(x＋9)2＋6，∵点M(﹣1，﹣2)在抛物线M2上，∴﹣2＝a(﹣1＋9)2＋6，∴a＝﹣eq\f(1,8)．∴抛物线M2的解析式为：y＝﹣eq\f(1,8)(x＋9)2＋6；(3)若A为抛物线M1：y＝eq\f(1,8)(x＋1)2﹣2的顶点，∴A(﹣1，﹣2)，当点B1恰好在y轴上，过A作x轴的平行线AN交y轴于N，过B作BM⊥AN于M，如图，∴AN＝1，∵BA⊥B1A，∴∠BAM＋∠B1AN＝90°，∵∠BAM＋∠ABM＝90°，∴∠ABM＝∠B′AN，∵AB＝AB′，∴△ABM≌△B1AN(AAS)，∴BM＝AN＝1，AM＝B1N，∴B点的纵坐标为﹣1，把y＝﹣1代入y＝eq\f(1,8)(x＋1)2﹣2，解得：x＝﹣1＋2eq\r(2)或x＝﹣1﹣2eq\r(2)，∴B1(0，2eq\r(2)﹣2)或(0，﹣2﹣2eq\r(2))，∴点B1的纵坐标是(0，2eq\r(2)﹣2)或(0，﹣2﹣2eq\r(2))．LISTNUMOutlineDefault\l3解：(1)∵二次函数y＝ax2＋bx＋6的图象过点A(﹣6，0)、点B(2，0)，∴，解得，∴抛物线的解析式为y＝﹣0.5x2﹣2x＋6；(2)如图1，连接CD，设AP与y轴交点为Q，∵抛物线与y轴交于点C，∴C(0，6)，∵点D与点C关于直线MN对称，直线MN是抛物线的对称轴，∴D(﹣4，6)，M(﹣2，8)，N(﹣2，0)，CD∥AB，∵C(0，6)，A(﹣6，0)，∴AO＝CO，CD＝4，∴∠BAC＝∠ACO＝45°，∴∠QCA＝∠DCA，∵∠CAD＝∠CAQ，AC＝AC，∴△DCA≌△QCA(ASA)，∴CQ＝CD＝4，∴Q(0，2)，设直线AP的解析式为y＝kx＋2，把点A坐标代入解析式得：﹣6k＋2＝0，解得：k＝eq\f(1,3)，∴直线AP的解析式为y＝eq\f(1,3)x＋2，∵点P为直线AP与抛物线的交点，∴，解得：或(舍去)，∴P(，)；(3)∵∠BOE＝∠BNF＝90°，∠OBE＝∠NBF，∴△BOE∽△BNF，∴＝，∵OB＝2，BN＝4，∴＝，即2OE＝NF．分类讨论：①如图2，此时FN＝FM＋MN，∴FM＋MN＝2OE；②如图3，此时FN＋FM＝MN，∴FM＋2OE＝MN．LISTNUMOutlineDefault\l3解：【问题背景】A(2，0)，对称轴为x＝4，则点B(6，0)，则抛物线的表达式为：y＝a(x﹣2)(x﹣6)，将点C的坐标代入上式得：﹣2＝a(4﹣2)(4﹣6)，解得：a＝eq\f(1,2)，故抛物线的表达式为：y=eq\f(1,2)x2-4x+6…①；【尝试探索】①点C′(4，2)，由点B、C′的坐标可得，直线BC′的表达式为：y＝﹣x＋6…②，四边形MNDC′是平行四边形，则MN＝DC′＝2，设点N的坐标为：(x，eq\f(1,2)k2﹣4k＋6)，则点M(k，﹣k＋6)，即|eq\f(1,2)k2﹣4k＋6﹣(﹣k＋6)|＝2，解得：k＝3±eq\r(13)或3±eq\r(5)，故k的值为：eq\r(13)+3或3-eq\r(13)或eq\r(5)+3或3-eq\r(5).②联立①②并解得：x＝0或6，故抛物线C与直线BC′围成的封闭图形对应的k值取值范围为：0≤k≤6，MN＝(﹣k＋6)﹣(eq\f(1,2)k2﹣4k＋6)＝﹣eq\f(1,2)k2＋3k，∵-eq\f(1,2)<00，故MN有最大值，最大值为eq\f(9,2)；【拓展延伸】由点A、C′的坐标得，直线AC′表达式为：y＝x﹣2…③，联立①③并解得：x＝2或8，即封闭区间对应的x取值范围为：2≤x≤8，(Ⅰ)当t＝2时，矩形过点A，此时矩形H′G′O′E′与直线AC′和抛物线C围成的封闭图形有公共部分，(Ⅱ)当H′E′与对称轴右侧抛物线有交点时，此时y＝H′E′＝4，即eq\f(1,2)x2﹣4x＋6＝4，解得：x＝4±eq\r(3)(舍去4﹣2eq\r(3))，即x＝4＋2eq\r(3)，则t＝3＋4＋2eq\r(3)＝7＋2eq\r(3)，故t的取值范围为：2≤t≤2eq\r(3)．LISTNUMOutlineDefault\l3解：(1)由点A、D的坐标得，AD＝eq\r(2)，同理可得，BD＝eq\r(2)，而AB＝3﹣1＝2，故AB2＝AD2＋BD2，故△ABD为等腰直角三角形，由B、C的坐标知，OB＝OC，则∠CBO＝45°，则∠DBM＝∠CBO＋∠ABD＝90°＝∠ADB＝∠AMB，故四边形ADBM为矩形，而AD＝BD，∴四边形ADBM为正方形；(2)∵OC＝3，故点C(0，3)，设抛物线的表达式为y＝ax2＋bx＋c，将点A、B、C的坐标代入抛物线表达式得：，解得，故抛物线的表达式为y＝﹣x2﹣2x＋3；点B关于抛物线对称轴的对称点为点A．连接CA交对称轴于点P，则点P为所求点，理由：PC﹣PB＝PC﹣PA＝AC为最大值，由点A、C的坐标得，直线AC的表达式为y＝﹣3x＋3，而抛物线的对称轴为直线x＝eq\f(1,2)(1＋3)＝2，当x＝2时，y＝﹣3x＋3＝﹣3，故点P的坐标为(2，﹣3)；(3)存在，理由：在x轴取点A′(﹣1，0)，连接A′C，过点A作AH⊥A′C于点H，交y轴于点Q，则点Q是所求点，理由：由点A′、C的坐标得，OA′＝1，OC＝3，则CA′＝eq\r(10)，则sin∠HCQ＝＝，则AQ＋CQ×eq\f(\r(10),10)＝AH＝AQ＋CQsin∠HCQ＝AH为最小，∵tanCA′O＝3，则tan∠HAA′＝eq\f(1,3)，而直线AH过点A(1，0)，故其表达式为y＝﹣eq\f(1,3)(x﹣1)，令x＝0，则y＝eq\f(1,3)，故点Q的坐标为(0，eq\f(1,3))，则CQ＝3﹣eq\f(1,3)＝eq\f(8,3)由点A、Q的坐标得，AQ＝eq\f(1,3)eq\r(10)，∴AQ＋eq\f(\r(10),10)QC的最小值＝eq\f(3,5)eq\r(10)．LISTNUMOutlineDefault\l3解：(1)∵抛物线y＝ax2＋bx＋2交x轴于点A(﹣3，0)和点B(1，0)，∴抛物线的表达式为：y＝a(x＋3)(x﹣1)＝a(x2＋2x﹣3)＝ax2＋2ax﹣3a，即﹣3a＝2，解得：a＝﹣eq\f(2,3)，故抛物线的表达式为：y＝﹣eq\f(2,3)x2﹣eq\f(4,3)x＋2；(2)连接OP，设点P(x，﹣eq\f(