2024年中考数学二轮复习 压轴题 专项培优练习10（含答案）

2024年中考数学二轮复习压轴题专项培优练习10LISTNUMOutlineDefault\l3已知抛物线L：y＝﹣x2＋4x＋a(a≠0)．(1)抛物线L的对称轴为直线．(2)当抛物线L上到x轴的距离为3的点只有两个时，求a的取值范围．(3)当a＜0时，直线x＝a、x＝﹣3a与抛物线L分别交于点A、C，以线段AC为对角线作矩形ABCD，且AB⊥y轴．若抛物线L在矩形ABCD内部(包含边界)最高点的纵坐标等于2，求矩形ABCD的周长．(4)点M的坐标为(4，﹣1)，点N的坐标为(﹣1，﹣1)，当抛物线L与线段MN有且只有一个公共点，直接写出a的取值范围．LISTNUMOutlineDefault\l3如图，二次函数y=﹣x2+bx+c的图象与x轴交于点A(﹣1，0)，B(2，0)，与y轴相交于点C.(1)求二次函数的解析式；(2)若点E是第一象限的抛物线上的一个动点，当四边形ABEC的面积最大时，求点E的坐标，并求出四边形ABEC的最大面积；(3)若点M在抛物线上，且在y轴的右侧.⊙M与y轴相切，切点为D.以C，D，M为顶点的三角形与△AOC相似，请直接写出点M的坐标.LISTNUMOutlineDefault\l3如图，在直角坐标系中，抛物线经过点A(0，4)，B(1，0)，C(5，0)，其对称轴与x轴相交于点M． (1)求抛物线的解析式和对称轴； (2)在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使△PAB的周长最小？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；(3)连接AC，在直线AC的下方的抛物线上，是否存在一点N，使△NAC的面积最大？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． LISTNUMOutlineDefault\l3已知抛物线y=﹣x2﹣2x+a（a≠0）与y轴相交于A点,顶点为M，直线y=eq\f(1,2)x﹣a分别与x轴、y轴相交于B，C两点，并且与直线MA相交于N点．（1）若直线BC和抛物线有两个不同交点，求a的取值范围，并用a表示交点M,A的坐标；（2）将△NAC沿着y轴翻转,若点N的对称点P恰好落在抛物线上,AP与抛物线的对称轴相交于点D,连接CD,求a的值及△PCD的面积；（3）在抛物线y=﹣x2﹣2x+a（a＞0）上是否存在点P,使得以P,A,C,N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．LISTNUMOutlineDefault\l3如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2＋bx＋3与x轴交于点A(﹣4，0)，B(﹣1，0)两点．(1)求抛物线的解析式；(2)在y轴左侧的抛物线上有一动点D．①如图(a)，直线y=x＋3与抛物线交于点Q、C两点，过点D作直线DF⊥x轴，交QC于点F，请问是否存在这样的点D，使点D到直线CQ的距离与点C到直线DF的距离之比为：1？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．②如图(b)，若四边形ODAE是以OA为对角线的平行四边形，当▱ODAE的面积S为何值时，满足条件的点D恰好有3个？请直接写出此时S的值以及相应的D点坐标．LISTNUMOutlineDefault\l3如图，抛物线y=ax2+bx(a≠0)经过经过点A(2，0)，点B(3，3)，BC⊥x轴于点C，连接OB，等腰直角三角形DEF的斜边EF在x轴上，点E的坐标为(﹣4，0)，点F与原点重合．(1)求抛物线的解析式；(2)△DEF以每秒1个单位长度的速度沿x轴正方向移动，运动时间为t秒，当点D落在BC边上时停止运动，①求点D落在抛物线上时点D的坐标；②设△DEF与△OBC的重叠部分的面积为S，求出S关于t的函数关系式．LISTNUMOutlineDefault\l3如图，已知抛物线y＝x2﹣x﹣2交x轴于A、B两点，将该抛物线位于x轴下方的部分沿x轴翻折，其余部分不变，得到的新图象记为“图象W”，图象W交y轴于点C．(1)写出图象W位于线段AB上方部分对应的函数关系式；(2)若直线y＝﹣x＋b与图象W有三个交点，请结合图象，直接写出b的值；(3)P为x轴正半轴上一动点，过点P作PM∥y轴交直线BC于点M，交图象W于点N，是否存在这样的点P，使△CMN与△OBC相似？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．LISTNUMOutlineDefault\l3如图，已知直线y=﹣eq\f(3,2)x+eq\f(9,2)与x轴、y轴分别交于B、C两点，抛物线y＝ax2＋3x＋c经过B、C两点，与x轴的另一个交点为A，点E的坐标为(0,eq\r(3))．(1)求抛物线的函数表达式；(2)点E，F关于抛物线的对称轴直线l对称，Q点是对称轴上一动点，在抛物线上是否存在点P，使得以E、F、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

LISTNUMOutlineDefault\l3\s0答案LISTNUMOutlineDefault\l3解：(1)∵y＝﹣x2＋4x＋a＝﹣(x﹣2)2＋4＋a，∴抛物线的对称轴为直线x＝2，故答案为：x＝2；(2)∵抛物线开口向下，∴y＝﹣3与抛物线有两个不同的交点，∵抛物线L上到x轴的距离为3的点只有两个，∴﹣3＜4＋a＜3，即﹣7＜a＜﹣1；(3)由题意可知A(a，﹣a2＋5a)，B(﹣3a，﹣a2＋5a)，C(﹣3a，﹣9a2﹣11a)，D(a，﹣9a2﹣11a)，由题意可得﹣9a2﹣11a＝2，解得a＝﹣1或a＝﹣eq\f(2,9)，当a＝﹣eq\f(2,9)时，AB＝﹣4a＝eq\f(8,9)，AD＝﹣9a2﹣11a＋a2﹣5a＝﹣8a2﹣16a＝，∴矩形ABCD的周长＝2×(＋)＝；当a＝﹣1时，AB＝4，AD＝8，∴矩形ABCD的周长＝2×(4＋8)＝24；综上所述：矩形ABCD的周长为24或；(4)当a＞0时，界点(﹣1，﹣5＋a)在点N处或下方满足条件，此时﹣5＋a≤﹣1，所以0＜a≤4当a＜0时，若界点(4，a)在x轴下方，MN上方，且界点(﹣1，﹣5＋a)在点N处或其下方满足条件，解得﹣1＜a＜0，若顶点(2，4＋a)与MN相切，满足条件，此时4＋a＝﹣1，解得a＝﹣5．综上，﹣1＜a≤4且a≠0或a＝﹣5．LISTNUMOutlineDefault\l3解：(1)∵二次函数y=﹣x2+bx+c的图象与x轴相交于点A(﹣1，0)，B(2，0)，∴，∴，∴二次函数的解析式为y=﹣x2+x+2.(2)如图1.∵二次函数的解析式为y=﹣x2+x+2与y轴相交于点C，∴C(0，2).设E(a，b)，且a＞0，b＞0.∵A(﹣1，0)，B(2，0)，∴OA=1，OB=2，OC=2.则S四边形ABEC=eq\f(1,2)×1×2+eq\f(1,2)(2+b)×a+eq\f(1,2)(2﹣a)×b=1+a+b，∵点E(a，b)是第一象限的抛物线上的一个动点，∴b=﹣a2+a+2，∴S四边形ABEC=﹣a2+2a+3=﹣(a﹣1)2+4，当a=1时，b=2，∴当四边形ABEC的面积最大时，点E的坐标为(1，2)，且四边形ABEC的最大面积为4.(3)点M的坐标为(eq\f(1,2)，eq\f(9,4))，(eq\f(3,2)，eq\f(5,4))，(3，﹣4)，理由如下：如图2设M(m，n)，且m＞0.∵点M在二次函数的图象上，∴n=﹣m2+m+2.∵⊙M与y轴相切，切点为D，∴∠MDC=90°.∵以C，D，M为顶点的三角形与△AOC相似，∴==，或==2.①当n＞2时，=eq\f(1,2)或=2，解得m1=0(舍去)，m2=eq\f(1,2)，或m3=0(舍去)，m4=﹣1(舍去).②同理可得，当n＜2时，m1=0(舍去)，m2=eq\f(3,2)，或m3=0(舍去)，m4=3.综上，满足条件的点M的坐标为(eq\f(1,2)，eq\f(9,4))，(eq\f(3,2)，eq\f(5,4))，(3，﹣4).LISTNUMOutlineDefault\l3解：(1)根据已知条件可设抛物线的解析式为y=a(x﹣1)(x﹣5)，把点A(0，4)代入上式得：a=0.8，∴y=0.8(x﹣1)(x﹣5)=0.8x2﹣4.8x+4=0.8(x﹣3)2﹣4.8，∴抛物线的对称轴是：x=3；(2)P点坐标为(3，1.6)．理由如下：∵点A(0，4)，抛物线的对称轴是x=3，∴点A关于对称轴的对称点A′的坐标为(6，4)如图1，连接BA′交对称轴于点P，连接AP，此时△PAB的周长最小．设直线BA′的解析式为y=kx+b，把A′(6，4)，B(1，0)代入得6k+b=4,k+b=0，解得k=0.8,b=﹣0.8，∴y=0.8x﹣0.8，∵点P的横坐标为3，∴y=0.8×3﹣0.8=1.6，∴P(3，1.6)．(3)在直线AC的下方的抛物线上存在点N，使△NAC面积最大．设N点的横坐标为t，此时点N(t，0.8t2﹣4.8t+4)(0＜t＜5)，如图2，过点N作NG∥y轴交AC于G；作AD⊥NG于D，由点A(0，4)和点C(5，0)可求出直线AC的解析式为：y=﹣0.8x+4，把x=t代入得：y=﹣0.8t+4，则G(t，﹣eq\f(4,5)t+4)，此时：NG=﹣eq\f(4,5)t+4﹣(eq\f(4,5)t2﹣4.8t+4)=﹣eq\f(4,5)t2+4t，∵AD+CF=CO=5，∴S△ACN=S△ANG+S△CGN=eq\f(1,2)AM×NG+eq\f(1,2)NG×CF=eq\f(1,2)NG×OC=eq\f(1,2)×(﹣eq\f(4,5)t2+4t)×5=﹣2t2+10t=﹣2(t﹣2.5)2+12.5，∴当t=2.5时，△CAN面积的最大值为12.5，由t=2.5，得：y=0.8t2﹣4.8t+4=﹣3，∴N(2.5，﹣3)．LISTNUMOutlineDefault\l3解：（1）由题意得，，整理得2x2+5x﹣4a=0．∵△=25+32a＞0，解得a＞﹣．∵a≠0，∴a＞﹣且a≠0．令x=0，得y=a，∴A（0，a）．由y=﹣（x+1）2+1+a得，M（﹣1，1+a）．（2）设直线MA的解析式为y=kx+b（k≠0），∵A（0，a），M（﹣1，1+a），∴，解得，∴直线MA的解析式为y=﹣x+a，联立得，，解得，∴N（eq\f(4,3)a，﹣eq\f(1,3)a）．∵点P是点N关于y轴的对称点，∴P（﹣eq\f(4,3)a，﹣eq\f(1,3)a）．代入y=﹣x2﹣2x+a得，﹣eq\f(1,3)a=﹣eq\f(16,9)a2+eq\f(8,3)a+a，解得a=eq\f(9,4)或a=0（舍去）．∴A（0，eq\f(9,4)），C（0，﹣eq\f(9,4)），M（﹣1，eq\f(13,4)），|AC|=eq\f(9,2)，∴S△PCD=S△PAC﹣S△ADC=eq\f(1,2)|AC|•|xp|﹣eq\f(1,2)|AC|•|x0|=eq\f(1,2)•eq\f(9,2)•（3﹣1）=eq\f(9,2)；（3）①当点P在y轴左侧时，∵四边形APCN是平行四边形，∴AC与PN互相平分，N（eq\f(4,3)a，﹣eq\f(1,3)a），∴P（﹣eq\f(4,3)a，eq\f(1,3)a）；代入y=﹣x2﹣2x+a得，eq\f(1,3)a=﹣eq\f(16,9)a2+eq\f(8,3)a+a，解得a=eq\f(15,8)，∴P1（﹣eq\f(5,2)，eq\f(5,8)）．②当点P在y轴右侧时，∵四边形ACPN是平行四边形，∴NP∥AC且NP=AC，∵N（eq\f(4,3)a，﹣eq\f(1,3)a），A（0，a），C（0，﹣a），∴P（eq\f(4,3)a，﹣eq\f(7,3)a）．代入y=﹣x2﹣2x+a得，﹣eq\f(7,3)a=﹣eq\f(16,9)a2﹣eq\f(8,3)a+a，解得a=eq\f(3,8)，∴P2（eq\f(1,2)，﹣eq\f(7,8)）．综上所述，当点P1（﹣eq\f(5,2)，eq\f(5,8)）和P2（eq\f(1,2)，﹣eq\f(7,8)）时，A、C、P、N能构成平行四边形．LISTNUMOutlineDefault\l3解：(1)将点A(﹣4，0)、B(﹣1，0)代入抛物线y=ax2＋bx＋3中，得：，解得：．∴抛物线的解析式为y=eq\f(3,4)x2＋eq\f(15,4)x＋3．(2)①假设存在，设点D的坐标为(m，eq\f(3,4)m2＋eq\f(15,4)m＋3)(m＜0)．联立，解得：或．∴点C的坐标为(0，3)．直线CQ的解析式为y=x＋3可变形为x﹣y＋3=0，直线DF的解析式为x=m，点D到直线CQ的距离d1==；点C到直线DF的距离d2=|0﹣m|=﹣m．∵d1：d2=eq\r(2)：1，∴=﹣eq\r(2)m，解得：m1=﹣6eq\f(1,3)，m2=0(舍去)，m3=﹣1，即点D的坐标为(﹣6eq\f(1,3)，9eq\f(1,3))或(﹣1，0)．∴存在这样的点D，使点D到直线CQ的距离与点C到直线DF的距离之比为eq\r(2)：1，此时点D的坐标为(﹣6eq\f(1,3)，9eq\f(1,3))或(﹣1，0)．②∵抛物线的解析式为y=eq\f(3,4)x2＋eq\f(15,4)x＋3=eq\f(3,4)(x＋eq\f(5,2))2﹣，∴该抛物线的顶点坐标为(﹣eq\f(5,2)，﹣)．设点D到x轴的距离为h，又∵点C的坐标为(0，3)，＜3，∴当0＜h＜时，满足题意的点D有4个；当h=时，满足题意的点D有3个；当＜h＜3时，满足题意的点D有2个；当h≥3时，满足题意的点D有1个．∴h=，此时S=AO•h=4×=．(i)将y=﹣代入y==eq\f(3,4)x2＋eq\f(15,4)x＋3中得：eq\f(3,4)x2＋eq\f(15,4)x＋3=﹣，解得：x=﹣eq\f(5,2)，此时点D的坐标为(﹣eq\f(5,2)，﹣)；(ii)将y=代入y=eq\f(3,4)x2＋eq\f(15,4)x＋3中得：eq\f(3,4)x2＋eq\f(15,4)x＋3=，解得：x1=﹣，x2=﹣，此时点D的坐标为(﹣，)或(﹣，)．综上可知：当▱ODAE的面积S为时，满足条件的点D恰好有3个，此时点D的坐标为(﹣eq\f(5,2)，﹣)、(﹣，)和(﹣，)．LISTNUMOutlineDefault\l3解：(1)根据题意得：，解得a=1，b=﹣2，故抛物线解析式是y=x2﹣2x；(2)①∵点E的坐标为(﹣4，0)，∴EF=4，∵△DEF是等腰直角三角形，∴点D的纵坐标为2，当点D在抛物线上时：x2﹣2x=2，解得：x1=1+eq\r(3)，x2=1﹣eq\r(3)，∴点D落在抛物线上时点D的坐标为：(1+eq\r(3)，2)或(1﹣eq\r(3)，2)；②有3种情况：(Ⅰ)当0≤t≤3时，△DEF与△OBC重叠部分为等腰直角三角形，如图1：S=eq\f(1,4)t2；(Ⅱ)当3＜t≤4时，△DEF与△OBC重叠部分是四边形，如图2：S=﹣eq\f(1,4)t2+3t﹣eq\f(9,2)；(Ⅲ)当4＜t≤5时，△DEF与△OBC重叠部分是四边形，如图3：S=﹣eq\f(1,2)t2+3t﹣eq\f(1,2)．LISTNUMOutlineDefault\l3解：(1)当x＝0时，y＝﹣2，∴C(0，2)，当y＝0时，x2﹣x﹣2＝0，(x﹣2)(x＋1)＝0，∴x1＝2，x2＝﹣1，∴A(﹣1，0)，B(2，0)，设图象W的解析式为：y＝a(x＋1)(x﹣2)，把C(0，2)代入得：﹣2a＝2，∴a＝﹣1，∴y＝﹣(x＋1)(x﹣2)＝﹣x2＋x＋2，∴图象W位于线段AB上方部分对应的函数关系式为：y＝﹣x2＋x＋2(﹣1＜x＜2)；(2)由图象得直线y＝﹣x＋b与图象W有三个交点时，存在两种情况：①当直线y＝﹣x＋b过点C时，与图象W有三个交点，此时b＝2；②当直线y＝﹣x＋b与图象W位于线段AB上方部分对应的函数图象相切时，如图1，﹣x＋b＝﹣x2＋x＋2，x2﹣2x＋b﹣2＝0，Δ＝(﹣2)2﹣4×1×(b﹣2)＝0，∴b＝3，综上，b的值是2或3；(3)∵OB＝OC＝2，∠BOC＝90°，∴△BOC是等腰直角三角形，如图2，CN∥OB，△CNM∽△BOC，∵PN∥y轴，∴P(1，0)；如图3，CN∥OB，△CNM∽△BOC，当y＝2时，x2﹣x﹣2＝2，x2﹣x﹣4＝0，∴x1＝，x2＝，∴P(，0)；如图4，当∠MCN＝90°时，△OBC∽△CMN，∴CN的解析式为：y＝x＋2，∴x＋2＝x2﹣x﹣2，∴x1＝1＋eq\r(5)