茂名市2023-2024学年高三第三次模拟考试数学试卷含解析

茂名市2023-2024学年高三第三次模拟考试数学试卷注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知底面为正方形的四棱锥，其一条侧棱垂直于底面，那么该四棱锥的三视图可能是下列各图中的（）A． B． C． D．2．已知函数，若时，恒成立，则实数的值为（）A． B． C． D．3．函数的图象大致是（）A． B．C． D．4．如图所示点是抛物线的焦点，点、分别在抛物线及圆的实线部分上运动，且总是平行于轴，则的周长的取值范围是（）A． B． C． D．5．函数在上的最大值和最小值分别为（）A．，-2 B．，-9 C．-2，-9 D．2，-26．若函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，若函数在区间上单调递增，则的最大值为（）．A． B． C． D．7．复数（）A． B． C．0 D．8．已知，，，若，则（）A． B． C． D．9．设复数满足，则（）A． B． C． D．10．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为A． B． C．2 D．11．如图，双曲线的左，右焦点分别是直线与双曲线的两条渐近线分别相交于两点.若则双曲线的离心率为（）A． B．C． D．12．甲乙丙丁四人中，甲说：我年纪最大，乙说：我年纪最大，丙说：乙年纪最大，丁说：我不是年纪最大的，若这四人中只有一个人说的是真话，则年纪最大的是（）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．设全集，，，则______.14．三对父子去参加亲子活动，坐在如图所示的6个位置上，有且仅有一对父子是相邻而坐的坐法有________种（比如：B与D、B与C是相邻的，A与D、C与D是不相邻的）.15．已知集合，若，则__________．16．已知三棱锥的四个顶点都在球O的球面上，，，，，E，F分别为，的中点，，则球O的体积为______.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知椭圆（）的离心率为，且经过点.（1）求椭圆的方程；（2）过点作直线与椭圆交于不同的两点，，试问在轴上是否存在定点使得直线与直线恰关于轴对称？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.18．（12分）已知函数，.（1）证明：函数的极小值点为1；（2）若函数在有两个零点，证明：.19．（12分）在中，角的对边分别为，已知．（1）求角的大小；（2）若，求的面积．20．（12分）已知，均为正项数列，其前项和分别为，，且，，，当，时，，.（1）求数列，的通项公式；（2）设，求数列的前项和.21．（12分）已知函数.（1）当时，求函数的值域；（2）的角的对边分别为且，，求边上的高的最大值.22．（10分）如图，矩形和梯形所在的平面互相垂直，，，.（1）若为的中点，求证：平面；（2）若，求四棱锥的体积.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】试题分析：通过对以下四个四棱锥的三视图对照可知，只有选项C是符合要求的.考点：三视图2、D【解析】

通过分析函数与的图象，得到两函数必须有相同的零点，解方程组即得解.【详解】如图所示，函数与的图象，因为时，恒成立，于是两函数必须有相同的零点，所以，解得．故选：D【点睛】本题主要考查函数的图象的综合应用和函数的零点问题，考查不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.3、C【解析】

根据函数奇偶性可排除AB选项；结合特殊值，即可排除D选项.【详解】∵，，∴函数为奇函数，∴排除选项A，B；又∵当时，，故选：C.【点睛】本题考查了依据函数解析式选择函数图象，注意奇偶性及特殊值的用法，属于基础题.4、B【解析】

根据抛物线方程求得焦点坐标和准线方程，结合定义表示出；根据抛物线与圆的位置关系和特点，求得点横坐标的取值范围，即可由的周长求得其范围.【详解】抛物线，则焦点，准线方程为，根据抛物线定义可得，圆，圆心为，半径为，点、分别在抛物线及圆的实线部分上运动，解得交点横坐标为2.点、分别在两个曲线上，总是平行于轴，因而两点不能重合，不能在轴上，则由圆心和半径可知，则的周长为，所以，故选：B.【点睛】本题考查了抛物线定义、方程及几何性质的简单应用，圆的几何性质应用，属于中档题.5、B【解析】

由函数解析式中含绝对值，所以去绝对值并画出函数图象，结合图象即可求得在上的最大值和最小值.【详解】依题意，，作出函数的图象如下所示；由函数图像可知，当时，有最大值，当时，有最小值.故选：B.【点睛】本题考查了绝对值函数图象的画法，由函数图象求函数的最值，属于基础题.6、C【解析】

由题意利用函数的图象变换规律，正弦函数的单调性，求出的最大值．【详解】解：把函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，若函数在区间，上单调递增，在区间，上，，，则当最大时，，求得，故选：C．【点睛】本题主要考查函数的图象变换规律，正弦函数的单调性，属于基础题．7、C【解析】略8、B【解析】

由平行求出参数，再由数量积的坐标运算计算．【详解】由，得，则，，，所以．故选：B．【点睛】本题考查向量平行的坐标表示，考查数量积的坐标运算，掌握向量数量积的坐标运算是解题关键．9、D【解析】

根据复数运算，即可容易求得结果.【详解】.故选：D.【点睛】本题考查复数的四则运算，属基础题.10、A【解析】由给定的三视图可知，该几何体表示一个底面为一个直角三角形，且两直角边分别为和，所以底面面积为高为的三棱锥，所以三棱锥的体积为，故选A．11、A【解析】

易得，过B作x轴的垂线，垂足为T，在中，利用即可得到的方程.【详解】由已知，得，过B作x轴的垂线，垂足为T，故，又所以，即，所以双曲线的离心率.故选：A.【点睛】本题考查双曲线的离心率问题，在作双曲线离心率问题时，最关键的是找到的方程或不等式，本题属于容易题.12、C【解析】

分别假设甲乙丙丁说的是真话，结合其他人的说法，看是否只有一个说的是真话，即可求得年纪最大者，即可求得答案.【详解】①假设甲说的是真话，则年纪最大的是甲，那么乙说谎，丙也说谎，而丁说的是真话，而已知只有一个人说的是真话，故甲说的不是真话，年纪最大的不是甲；②假设乙说的是真话，则年纪最大的是乙，那么甲说谎，丙说真话，丁也说真话，而已知只有一个人说的是真话，故乙说谎，年纪最大的也不是乙；③假设丙说的是真话，则年纪最大的是乙，所以乙说真话，甲说谎，丁说的是真话，而已知只有一个人说的是真话，故丙在说谎，年纪最大的也不是乙；④假设丁说的是真话，则年纪最大的不是丁，而已知只有一个人说的是真话，那么甲也说谎，说明甲也不是年纪最大的，同时乙也说谎，说明乙也不是年纪最大的，年纪最大的只有一人，所以只有丙才是年纪最大的，故假设成立，年纪最大的是丙.综上所述，年纪最大的是丙故选：C.【点睛】本题考查合情推理，解题时可从一种情形出发，推理出矛盾的结论，说明这种情形不会发生，考查了分析能力和推理能力，属于中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】

先求出集合，，然后根据交集、补集的定义求解即可．【详解】解：，或；∴；∴．故答案为：．【点睛】本题主要考查集合的交集、补集运算，属于基础题．14、192【解析】

根据题意，分步进行分析：①，在三对父子中任选1对，安排在相邻的位置上，②，将剩下的4人安排在剩下的4个位置，要求父子不能坐在相邻的位置，由分步计数原理计算可得答案．【详解】根据题意，分步进行分析：①，在三对父子中任选1对，有3种选法，由图可得相邻的位置有4种情况，将选出的1对父子安排在相邻的位置，有种安排方法；②，将剩下的4人安排在剩下的4个位置，要求父子不能坐在相邻的位置，有种安排方法，则有且仅有一对父子是相邻而坐的坐法种；故答案为：【点睛】本题考查排列、组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题．15、1【解析】

分别代入集合中的元素，求出值，再结合集合中元素的互异性进行取舍可解.【详解】依题意，分别令，，，由集合的互异性，解得，则.故答案为：【点睛】本题考查集合元素的特性：确定性、互异性、无序性．确定集合中元素，要注意检验集合中的元素是否满足互异性．16、【解析】

可证，则为的外心，又则平面即可求出，的值，再由勾股定理求出外接球的半径，最后根据体积公式计算可得.【详解】解：，，，因为为的中点，所以为的外心，因为，所以点在内的投影为的外心，所以平面，平面，所以，所以，又球心在上，设，则，所以，所以球O体积，.故答案为：【点睛】本题考查多面体外接球体积的求法，考查空间想象能力与思维能力，考查计算能力，属于中档题．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)(2)见解析【解析】

（1）由题得a,b,c的方程组求解即可（2）直线与直线恰关于轴对称，等价于的斜率互为相反数，即，整理.设直线的方程为，与椭圆联立，将韦达定理代入整理即可.【详解】(1)由题意可得，，又，解得，.所以，椭圆的方程为(2)存在定点，满足直线与直线恰关于轴对称.设直线的方程为，与椭圆联立，整理得，.设，，定点.(依题意则由韦达定理可得，，.直线与直线恰关于轴对称，等价于的斜率互为相反数.所以，，即得.又，，所以，，整理得，.从而可得，，即，所以，当，即时，直线与直线恰关于轴对称成立.特别地，当直线为轴时，也符合题意.综上所述，存在轴上的定点，满足直线与直线恰关于轴对称.【点睛】本题考查椭圆方程，直线与椭圆位置关系，熟记椭圆方程简单性质，熟练转化题目条件，准确计算是关键，是中档题.18、（1）见解析（2）见解析【解析】

(1)利用导函数的正负确定函数的增减.(2)函数在有两个零点，即方程在区间有两解，令通过二次求导确定函数单调性证明参数范围.【详解】解：（1）证明：因为，当时，，，所以在区间递减；当时，，所以，所以在区间递增；且，所以函数的极小值点为1（2）函数在有两个零点，即方程在区间有两解，令，则令，则，所以在单调递增，又，故存在唯一的，使得，即，所以在单调递减，在区间单调递增，且，又因为，所以，方程关于的方程在有两个零点，由的图象可知，，即.【点睛】本题考查利用导数研究函数单调性,确定函数的极值,利用二次求导,零点存在性定理确定参数范围,属于难题.19、（1）；（2）【解析】

(1)利用正弦定理边化角,再利用二倍角的正弦公式与正弦的和角公式化简求解即可.(2)由(1)有,根据正弦定理可得,进而求得的值,再根据三角形的面积公式求解即可.【详解】（1）由,得,得,由正弦定理得,显然,同时除以,得.所以.所以.显然,所以,解得.又,所以.（2）若,由正弦定理得,得,解得.又,所以.【点睛】本题主要考查了正余弦定理与面积公式在解三角形中的运用,需要根据题意用正弦定理进行边角互化,再根据三角恒等变换进行化简求解等.属于中档题.20、（1），（2）【解析】

（1），所，两式相减，即可得到数列递推关系求解通项公式，由，整理得，得到，即可求解通项公式；（2）由（1）可知，，即可求得数列的前项和.【详解】（1）因为，所，两式相减，整理得，当时，，解得，所以数列是首项和公比均为的等比数列，即，因为，整理得，又因为，所以，所以，即，因为，所以数列是以首项和公差均为1的等差数列，所以；（2）由（1）可知，，，即.【点睛】此题考查求数列的通项公式，以及数列求和，关键在于对题中所给关系合理变形，发现其中的关系，裂项求和作为一类常用的求和方法，需要在平常的学习中多做积累常见的裂项方式.21、（1）.（2）【解析】

（1）由题意利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的定义域和值域，得出结论.（2）由题意利用余弦定理､三角形的面积公式､基本不等式求得的最大值，可得边上的高的最大值.【详解】解：（1）∵函数，当时，，.（2）中，，∴.由余弦定理可得，当且仅当时，取等号，即的最大值为3.再根据，故当取得最大值3时，取得最大值为.【点睛】本题考查降幂公式、两角和的正弦公式，考查正弦函数的性质，余弦定理，三角形面积公式，所用公式较多，选用恰当的公式是解题关键，本题属于中档题．22、(1)见解析(2)【解析】

（1）设EC与DF交于点N，连结MN，由中位线定理可得MN∥AC，故AC∥平面MDF；（2）取CD中点为G，连结BG，EG，则可证四边形ABGD是矩形，由面面垂直的性质得出BG⊥平面CDEF，故BG⊥DF，又DF⊥BE得出DF⊥平面BEG，从而得出DF⊥EG，得出Rt△DEG～Rt△EFD，列出比例式求出DE，代入体积公式即可计算出体积．【详解】（1）证明：设与交于点，连接，在矩形中，点为中点，∵为的中点，∴，又∵平面，平面，∴平面.（2）取中点为，连接，，平面平面，平面平面，平面，，∴平面，同理平面，∴的长即为四棱锥的高，在梯形中，，