考研数学一(无穷级数)模拟试卷9(题后含答案及解析)

考研数学一（无穷级数）模拟试卷9(题后含答案及解析)题型有：1.选择题2.填空题3.解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1．设常数α＞2，则级数A．发散．B．条件收敛．C．绝对收敛．D．敛散性与α有关．正确答案：C解析：由于设常数p满足1＜p＜α－1，则有由正项级数比较判别法的极限形式知级数收敛，进而知当α＞2时绝对收敛，即(C)正确．知识模块：无穷级数2．设a＞0为常数，则级数A．发散．B．条件收敛．C．绝对收敛．D．敛散性与a有关．正确答案：B解析：用分解法．分解级数的一般项因条件收敛，因此(un+wn)条件收敛．选(B)．知识模块：无穷级数填空题3．设f(x)是周期为2的周期函数，它在区间(－1，1]上定义为则f(x)的傅里叶级数在x=1处收敛于___________；正确答案：3／2解析：根据收敛定理，f(x)的傅里叶级数在x=1处收敛于[f(1－0)+f(－1+0)]=3／2．知识模块：无穷级数4．设函数f(x)=x2，0≤x＜1，而S(x)=bnsin(nπx)，－∞＜x＜+∞，其中bn=2f(x)sin(nπx)dx，n=1，2，3，…，则S=___________．正确答案：一1／4解析：由S(x)的形式可知：S(x)是奇函数．又f(x)在x=连续，所以知识模块：无穷级数解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。5．判定下列级数的敛散性：正确答案：(Ⅰ)因而级数发散，故原级数发散．(Ⅱ)因，而级数发散，故原级数发散．(Ⅲ)使用比值判别法．因＜1，故原级数收敛．涉及知识点：无穷级数6．判定下列级数的敛散性，当级数收敛时判定是条件收敛还是绝对收敛：正确答案：(Ⅰ)由于，而级数收敛，利用比较判别法即知收敛，所以此级数绝对收敛．(Ⅱ)由于当n充分大时，0＜＞0．所以此级数为交错级数，且满足莱布尼兹判别法的两个条件，这说明原级数(n→∞)，所以，级数条件收敛．(Ⅲ)注意到因为从而级数绝对收敛，但级数是条件收敛的，故原级数条件收敛．涉及知识点：无穷级数7．求下列函数项级数的收敛域正确答案：(Ⅰ)注意=1，对级数的通项取绝对值，并应用根值判别法，则当＜1．即x＞0时，原级数绝对收敛；当＞1．即x＜0时，原级数发散(x=－1除外)，因为一般项不是无穷小量；当x=0时，原级数为收敛的交错级数．因此，级数的收敛域为[0，+∞)．(Ⅱ)使用比值判别法，则有这就说明：当｜x｜＞1时，级数收敛，而且绝对收敛；然而，当｜x｜≤1(x≠－1)时，比值判别法失效．但是，当｜x｜＜1时，=1；当x=1时，un(x)=(n=1，2，…)，都不满足级数收敛的必要条件．所以，级数的收敛域为｜x｜＞1．涉及知识点：无穷级数8．求下列幂级数的收敛域：正确答案：(Ⅰ)=3，故收敛半径R=1／3．当x=1／3时，原幂级数为，是一个收敛的交错级数；当x=－1／3时，原幂级数为的收敛域为(－1／3，1／3]．(Ⅱ)使用根值法．由于故原级数的收敛半径R=+∞，即收敛区间也是收敛域为(－∞，+∞)．涉及知识点：无穷级数9．求幂级数的收敛域及其和函数．正确答案：容易求得其收敛域为(－1，1)．为求其和函数S(x)，在它的收敛区间(－1，1)内先进行逐项求导，即得又因为S(0)=0，因此注意原级数在x=－1处收敛，又ln(1－x)在x=－1处连续，所以S(x)=－ln(1－x)，x∈[－1，1)．涉及知识点：无穷级数10．设f(x)=sinax，－π≤x≤π，a＞0，将其展开为以2π为周期的傅里叶级数．正确答案：由于f(x)为奇函数，所以其展开式应为正弦级数．如果a不是自然数，则故f(x)=sinax=sinnx．－π＜x＜π，在x=±π时，右端为0，即其傅里叶级数收敛于[sinaπ+sin(－aπ)]=0．当a为自然数时，根据三角函数系的正交性有f(x)=sinax=sinnx，n=a，－π≤x≤π．涉及知识点：无穷级数11．判定下列级数的敛散性：正确答案：(Ⅰ)本题可采用比值判别法．由于=所以，当p＜e时，级数收敛；当p＞e时，该级数发散；当p=e时，比值判别法失效．注意到数列是单调递增趋于e的，所以当p=e时，＞1，即{un}单调递增不是无穷小量，所以该级数也是发散的．总之，级数当p＜e时收敛，p≥e时发散．(Ⅱ)本题适宜采用根值判别法．由于=0，所以原级数收敛．这里用到=0．涉及知识点：无穷级数12．判别下列级数的敛散性：正确答案：(Ⅰ)利用比较判别法的极限形式．由于级数发散，而且当n→∞时所以原级数也发散．(Ⅱ)仍利用比较判别法的极限形式．先改写用泰勒公式确定的阶．由于所以收敛．(Ⅲ)注意到0≤收敛，所以原级数也收敛．(Ⅳ)因为函数f(x)=单调递减，所以再采用极限形式的比较判别法，即将=0，所以，级数收敛．再由上面导出的不等式0＜un≤，所以原级数也收敛．涉及知识点：无穷级数13．考察级数2，其中an=，p为常数．(Ⅰ)证明：(n=2，3，4，…)；(Ⅱ)证明：级数当P＞2时收敛，当P≤2时发散．正确答案：(Ⅰ)将改写成(Ⅱ)容易验证比值判别法对级数失效，因此需要用适当放大缩小法与比较原理来讨论它的敛散性．题(Ⅰ)已给出了{an}上下界的估计．由注意当p＞2即当p＞2时收敛，当p≤2时发散．涉及知识点：无穷级数14．判别级数的敛散性，其中{xn}是单调递增而且有界的正数数列．正确答案：首先因为{xn}是单调递增的有界正数数列，所以0≤1－现考察原级数的部分和数列{Sn}，由于又{xn}有界，即｜xn｜≤M(M＞0为常数)，故所以{Sn}也是有界的．由正项级数收敛的充要条件知原级数收敛．涉及知识点：无穷级数15．判别下列级数的敛散性(包括绝对收敛或条件收敛)：正确答案：(Ⅰ)由于，而且级数发散，所以原级数不是绝对收敛的．原级数是交错级数，易知=0×1=0．为考察的单调性，令f(x)＞0(当x充分大时)这说明级数满足莱布尼兹判别法的两个条件，所以该级数收敛，并且是条件收敛的．(Ⅱ)由于sin(nπ+所以此级数是交错级数．又由于=1．而且发散，这说明原级数不是绝对收敛的．由于sinx在第一象限是单调递增函数，而是单调减少的，所以，sin随着n的增加而单调递减．又显然=0，这说明原级数满足莱布尼兹判别法的两个条件，从而它是收敛的．结合前面的讨论，知其为条件收敛．涉及知识点：无穷级数16．判别级数(p＞0)的收敛性(包括绝对收敛或条件收敛)．正确答案：为判断其是否绝对收敛，采用极限形式的比较判别法，由于所以，当p＞1时，级数绝对收敛；而当p≤1时，该级数不绝对收敛．下面介绍几种方法讨论0＜p≤l时，是否条件收敛．方法1°考察部分和Sn的极限是否存在．先考虑部分和数列的偶数项，即亦即S2n＞，这就说明{S2n}是单调递减有下界的，所以其极限存在，设S2n=S．又由于=S，亦即级数的部分和数列收敛，所以该级数收敛．特别，这说明0所以原级数收敛．因此0＜p≤1时该级数条件收敛．方法3°原级数=注意，奇偶项互换后的新级数是显然，一般项un是单调下降趋于零的．于是，由莱布尼兹判别法知，新级数收敛．因为→0(n→∞)，所以原级数收敛．方法4°用泰勒公式((1+x)α=1+αx+o(x)，x→0)将一般项分解．于是当0＜p≤1时正项级数cn收敛(绝对收敛)．因此原级数条件收敛．解析：对于交错级数先要讨论其是否绝对收敛．这里un≥un+1不总是成立的，也就是说莱布尼兹判别法的条件不满足．这样，当其不是绝对收敛时，莱布尼兹判别法也不能使用，可考虑直接用定义讨论其收敛性或利用收敛级数的性质．知识模块：无穷级数17．判断如下命题是否正确：设无穷小un～vn(n→∞)，若级数un收敛，则vn也收敛．证明你的判断．正确答案：对于正项级数，比较判别法的极限形式就是：un与vn同时收敛或同时发散．本题未限定vn一定收敛．比如，取则即un～vn(n→∞)．级数un是收敛的，然而级数vn是不收敛的．这个例子说明：对正项级数的比较判别法的极限形式不能用于判定任意项级数的条件收敛性．要注意变号级数与正项级数的区别．涉及知识点：无穷级数18．确定下列函数项级数的收敛域：正确答案：(Ⅰ)使用比较判别法．当x≤1时，由于发散，而当n≥2时，也发散．当x＞1时，取p∈(1，x)，由于所以的收敛域为(1，+∞)．(Ⅱ)当x＞0时，由于满足莱布尼兹判别法的两个条件，因此是收敛的．而当x≤0时，因该级数通项不趋于零，所以是发散的．故级数的收敛域为(0，+∞)．涉及知识点：无穷级数19．求下列幂级数的收敛域或收敛区间：(Ⅰ)xn－1；(Ⅱ)x2n；(Ⅲ)anxn的收敛半径R=3；(只求收敛区间)(Ⅳ)an(x－3)n，其中x=0时收敛，x=6时发散．正确答案：(Ⅰ)xn有相同的收敛半径，可以用求收敛半径公式即(11．3)式计算收敛半径．首先计算(Ⅱ)这是缺项幂级数即幂级数的系数有无限多个为0(a2n－1=0，n=1，2，…)，所以不能直接用求收敛半径公式，求收敛半径R．一般有两种方法：方法1°它是函数项级数，可直接用根值判别法．由于因此R=方法2°作变量替换t=x2，原级数变成tn，对此级数用求收敛半径R的公式：因此，此级数发散．所以原级数的收敛域为(Ⅲ)，由幂级数收敛性的特点知，nan(x－1)n+1与an(x－1)n有相同的收敛半径R=3．因而其收敛区间为(－2，4)．(Ⅳ)考察antn，由题设t=－3时它收敛收敛半径R≥3，又t=3时其发散R≤3．因此R=3，antn的收敛域是[－3，3)，原级数的收敛域是[0，6)．涉及知识点：无穷级数20．求下列幂级数的和函数并指出收敛域：(Ⅰ)xn；(Ⅱ)n(n+1)xn．正确答案：(Ⅰ)为求其和函数，先进行代数运算，使其能够通过逐项求导与逐项积分等手段变成几何级数求和．设并令S1(x)=xn，则=－4ln(1－x)，(－1≤x＜1)，(利用ln(1+t)的展开式)所以S(x)=S1(x)－S2(x)+S3(x)=ln(1－x)=ln(1－x)，x∈(－1，1)，x≠0．当x=0时，上面的运算不能进行，然而从原级数看S(0)=a0=1，同时，也容易看出S(x)==1．这就说明S(x)在x=0处还是连续的，这一点也正是幂级数的和函数必须具备的性质．(Ⅱ)令S(x)=n(n+1)xn－1=xφ(x)，而于是S(x)=xφ(x)=，x∈(－1，1)．涉及知识点：无穷级数21．将下列函数展成麦克劳林级数并指出展开式成立的区间：(Ⅰ)ln(1+x+x2)；(Ⅱ)arctan正确答案：(Ⅰ)由于ln(1+x+x2)=ln=ln(1－x3)－ln(1－x)，利用公式(11．14)，并分别以(－x3)与(－x)代替其中的x，就有ln(1－x3)=，(－1＜－x3≤1即－1≤x＜1)；ln(1－x)=，(－1＜－x≤1即－1≤x＜1)，于是(Ⅱ)由于，利用公式(11．16)，并以x2代替其中的x，就有(－1)nx2n，－1＜x2＜1即－1＜x＜1．上式两端再进行积分，注意到arctanf′(t)dt即得注意函数arctan在点x=－1处也收敛，从而上式在端点x=－1处也成立．即涉及知识点：无穷级数22．将下列函数在指定点处展开为泰勒级数：(Ⅰ)，在x=1处；(Ⅱ)ln(2x2+x－3)，在x=3处．正确答案：(Ⅰ)f(x)=其中＜1即－1＜x＜3．在上述展式中就是以代替(11．16)式中的x．类似地，有所以f(x)=(x－1)n，－1＜x＜3．(Ⅱ)由于ln(2x2+x－3)=ln(2x+3)(x－1)=ln(2x+3)+ln(x－1)，对于右端两项应用公式(11．14)，得所以ln(2x2+x－3)=ln2+2ln3+(x－3)n，其中1＜x≤5．解析：使用间接法在指定点x0处作泰勒展开，就要用x－x0，或者x－x0的倍数与方幂等代替原来的x．知识模块：无穷级数23．将下列函数f(x)展开成x的幂级数并求f(n)(0)：(Ⅰ)f(x)=g(x)，其中g(x)=(Ⅱ)f(x)=dt．正确答案：(Ⅰ)因=1，故(Ⅱ)应用公式(11．12)，有(－∞＜x＜+∞)．逐项积分得(－∞＜x＜+∞)．由此又得f(2n)(0)=0(n=1，2，3，…)，涉及知识点：无穷级数24．求级数的和．正确答案：根据已经熟悉的事实：=e，可以得到涉及知识点：无穷级数25．求下列级数的和：正确答案：(Ⅰ)S==S1+S2．S2为几何级数，其和为2／3．S1可看作幂级数(－1)nn(n－1)xn在x=1／2处的值．记从而(Ⅱ)令S=，先分解成直接利用ln(1+x)的展开式得涉及知识点：无穷级数26．设周期为2π的函数f(x)=的傅里叶级数为(ancosnx+bnsinnx)，(Ⅰ)求系数a0，并证明an=0，(n≥1)；(Ⅱ)求傅里叶级数的和函数g(x)(－π≤x≤π)，及g(2π)的值．正确答案：(Ⅰ)根据定义注意：奇函数xcosnx在对称区间上的积为零．从另一个角度看，f(x)－为奇函数，而(ancosnx+bnsinnx)实际上就是f(x)－a0／2的傅里叶级数，所以an=0．(Ⅱ)根据收敛定理，和函数g(x)=另外，g(2π)=g(0)=π．涉及