重难点03 相似三角形（解析版）-2024中考数学查缺补漏

重难点03相似三角形考点一：比例学习比例、比例线段的性质等知识是学习三角形相似的基础，数学中考中很多省市也会把这个考点单独出题考察，特别是黄金分割和平行线分线段成比例的基本性质，都是经常出现的小题，但这类题一般难度不大，掌握好易错点，再仔细计算即可！题型01比例与比例线段易错点：4个数成比例时，对应数据可正可负；线段成比例时，对应数据只能是正数，特别是比例中项的计算中，更要注意线段正负的问题；【中考真题练】1．若＝，则ab＝（）A．6 B． C．1 D．【分析】直接利用比例的性质，内项之积等于外项之积即可得出答案．【解答】解：∵＝，∴ab＝6．故选：A．2．（2023•甘孜州）若，则＝1．【分析】根据比例的性质解答即可．【解答】解：∵，∴＝﹣1＝2﹣1＝1．故答案为：1．3．小慧同学在学习了九年级上册“4.1比例线段”3节课后，发现学习内容是一个逐步特殊化的过程，请在横线上填写适当的数值，感受这种特殊化的学习过程．【分析】由＝2，得到a＝2c，因此＝，得到b＝c，故＝＝，＝＝，所以＝＝．【解答】解：当＝2时，＝＝，理由如下：∵＝2，∴a＝2c，∴＝，∴b＝c，∴＝＝，＝＝，∴＝＝．故答案为：2．【中考模拟练】1．（2024•凉州区一模）下列各组数中，成比例的是（）A．1，﹣2，﹣3，﹣6 B．1，4，2，﹣8 C．5，6，2，3 D．，，1，【分析】根据比例的性质解决此题．【解答】解：A．由﹣2×（﹣3）≠1×（﹣6），得1，﹣2，﹣3，﹣6不成比例，故A不符合题意．B．由4×2≠1×（﹣8），得1，4，2，﹣8不成比例，故B不符合题意．C．由6×2≠5×3，得5，6，2，3不成比例，故C不符合题意．D．由，得，，1，成比例，故D符合题意．故选：D．2．（2024•汝南县一模）如果2a＝5b，那么下列比例式中正确的是（）A．＝ B．＝ C．＝ D．＝【分析】利用比例的性质对各选项进行判断．【解答】解：∵2a＝5b，∴＝，＝．故选：C．3．（2023•望江县模拟）下列各组中的四条线段成比例的是（）A．3cm、5cm、6cm、9cm B．3cm、5cm、8cm、9cm C．3cm、9cm、10cm、30cm D．3cm、6cm、7cm、9cm【分析】根据比例线段的定义和比例的性质，利用每组数中最大和最小数的积与另两个数之积是否相等进行判断．【解答】解：A.3×9≠5×6，所以四条线段不成比例，故A选项不符合题意；B.3×9≠5×8，所以四条线段不成比例，故B选项不符合题意；C.3×30＝9×10，所以四条线段成比例，故C选项符合题意；D.3×9≠6×7，所以四条线段不成比例，故D选项不符合题意．故选：C．4．（2024•凉州区一模）已知＝，则＝．【分析】根据比例的性质，可得a、b间的关系，根据分式的性质，可得答案．【解答】解：由比例的性质，得b＝a．＝＝＝＝，故答案为：．5．（2024•锦江区校级模拟）＝．【分析】依据比例基本性质中的等比性质，即可得到分式的值．【解答】解：∵＝＝＝，∴由等比性质可得＝，故答案为：．6．（2024•山阳县一模）如图，在小提琴的设计中蕴含着数学知识，AC，BC，AB各部分长度满足BC2＝AC•AB，若小提琴的总长度AB为59cm，则琴身BC的长为cm．【分析】把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC＝AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点．依据黄金分割的定义进行计算即可．【解答】解：∵BC2＝AC•AB，∴，∴BC＝×59＝．故答案为：．题型02黄金分割易错点：一个线段的黄金分割点有2个，黄金分割比=，0.618是黄金分割比的近似值。题目中没有要求时，一般都要用原值；【中考真题练】1．（2023•绵阳）黄金分割由于其美学性质，受到摄影爱好者和艺术家的喜爱，摄影中有一种拍摄手法叫黄金构图法．其原理是：如图，将正方形ABCD的底边BC取中点E，以E为圆心，线段DE为半径作圆，其与底边BC的延长线交于点F，这样就把正方形ABCD延伸为矩形ABFG，称其为黄金矩形．若CF＝4a，则AB＝（）A．（﹣1）a B．（﹣2）a C．（+1）a D．（+2）a【分析】设AB＝x，根据正方形的性质可得AB＝BC＝x，然后根据黄金矩形的定义可得＝，从而可得＝，最后进行计算即可解答．【解答】解：设AB＝x，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝x，∵矩形ABFG是黄金矩形，∴＝，∴＝，解得：x＝（2+2）a，经检验：x＝（2+2）a是原方程的根，∴AB＝（2+2）a，故选：D．2．（2023•济南）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°，以点C为圆心，以BC为半径作弧交AC于点D，再分别以B，D为圆心，以大于BD的长为半径作弧，两弧相交于点P，作射线CP交AB于点E，连接DE．以下结论不正确的是（）A．∠BCE＝36° B．BC＝AE C． D．【分析】根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可得∠ABC＝∠ACB＝72°，再根据题意可得：CP平分∠ACB，从而可得∠BCE＝∠ACE＝36°，然后利用等量代换可得∠A＝∠ACE＝36°，从而可得AE＝CE，再利用三角形的外角性质可得∠B＝∠CEB＝72°，从而可得CB＝CE，进而可得AE＝CE＝CB，最后根据黄金三角形的定义可得＝，从而可得＝，再利用三角形的面积可得＝＝，从而进行计算即可解答．【解答】解：∵AB＝AC，∠BAC＝36°，∴∠ABC＝∠ACB＝＝72°，由题意得：CP平分∠ACB，∴∠BCE＝∠ACE＝∠ACB＝36°，∴∠A＝∠ACE＝36°，∴AE＝CE，∵∠CEB＝∠A+∠ACE＝72°，∴∠B＝∠CEB＝72°，∴CB＝CE，∴AE＝CE＝CB，∵△BCE是顶角为36°的等腰三角形，∴△BCE是黄金三角形，∴＝，∴＝，∴＝＝，∴＝＝，故A、B、D不符合题意，C符合题意；故选：C．3．（2023•达州）如图，乐器上的一根弦AB＝80cm，两个端点A，B固定在乐器面板上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，支撑点D是靠近点A的黄金分割点，则支撑点C，D之间的距离为（80﹣160）cm．（结果保留根号）【分析】根据黄金分割的定义，进行计算即可解答．【解答】解：∵点C是靠近点B的黄金分割点，AB＝80cm，∴AC＝AB＝×80＝（40﹣40）cm，∵点D是靠近点A的黄金分割点，AB＝80cm，∴DB＝AB＝×80＝（40﹣40）cm，∴CD＝AC+BD﹣AB＝2（40﹣40）﹣80＝（80﹣160）cm，∴支撑点C，D之间的距离为（80﹣160）cm，故答案为：（80﹣160）．4．（2023•黄石）关于x的一元二次方程x2+mx﹣1＝0，当m＝1时，该方程的正根称为黄金分割数．宽与长的比是黄金分割数的矩形叫做黄金矩形，希腊的巴特农神庙采用的就是黄金矩形的设计；我国著名数学家华罗庚的优选法中也应用到了黄金分割数．（1）求黄金分割数；（2）已知实数a，b满足：a2+ma＝1，b2﹣2mb＝4，且b≠﹣2a，求ab的值；（3）已知两个不相等的实数p，q满足：p2+np﹣1＝q，q2+nq﹣1＝p，求pq﹣n的值．【分析】（1）依据题意，将m＝1代入然后解一元二次方程x2+x﹣1＝0即可得解；（2）依据题意，将b2﹣2mb＝4变形为（﹣）2+m•（﹣）﹣1＝0，从而可以看作a，﹣是一元二次方程x2+mx﹣1＝0的两个根，进而可以得解；（3）依据题意，将已知两式相加减后得到，两个关系式，从而求得pq，进而可以得解．【解答】解：（1）由题意，将m＝1代入x2+mx﹣1＝0得，x2+x﹣1＝0，∴x1，2＝＝．∵黄金分割数大于0，∴黄金分割数为．（2）∵b2﹣2mb＝4，∴b2﹣2mb﹣4＝0．∴（﹣）2+m•（﹣）﹣1＝0．又b≠﹣2a，∴a，﹣是一元二次方程x2+mx﹣1＝0的两个根．∴a•（﹣）＝﹣1．∴ab＝2．（3）由题意，令p2+np﹣1＝q①，q2+nq﹣1＝p②，∴①+②得，（p2+q2）+n（p+q）﹣2＝p+q，（p+q）2﹣2pq+n（p+q）﹣2＝p+q．又①﹣②得，（p2﹣q2）+n（p﹣q）＝﹣（p﹣q），∵p，q为两个不相等的实数，∴p﹣q≠0，∴（p+q）+n＝﹣1．∴p+q＝﹣n﹣1．又（p+q）2﹣2pq+n（p+q）﹣2＝p+q．∴（﹣n﹣1）2﹣2pq+n（﹣n﹣1）﹣2＝﹣n﹣1．∴n2+2n+1﹣2pq﹣n2﹣n﹣2＝﹣n﹣1．∴pq＝n．∴pq﹣n＝0．【中考模拟练】1．（2024•东昌府区一模）如图，线段AB上的点C满足关系式：AC2＝BC•AB，且AB＝2，则AC的长为（）A．或 B． C． D．【分析】根据黄金分割的定义进行计算，即可解答．【解答】解：∵AC2＝BC•AB，∴点C是AB的黄金分割点，∴AC＝AB＝×2＝﹣1，故选：C．2．（2024•昆明模拟）黄金分割是一个跨越数学、自然、艺术和设计领域的概念，各个领域中无处不在．黄金分割是指将一个整体分为两部分，其中较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值，其比值为，通常人们把这个数叫做黄金分割数．请估计的值在（）A．0和之间 B．和1之间 C．1和之间 D．和2之间【分析】由题意可知，因为，所以，所以，进而可得．即在和1之间．【解答】解：由题意可知，∵，∴，∴，∴．即在和1之间．故选：B．3．（2024•安州区二模）如图，以线段AB为边作正方形ABCD，取AD的中点E，连接BE，延长DA至F，使得EF＝BE，以AF为边作正方形AFGH，则点H即是线段AB的黄金分割点．若记正方形AFGH的面积为S1，矩形HICB的面积为S2，则S1与S2的大小关系是（）A．S1＞S2 B．S1＜S2 C．S1＝S2 D．不能确定【分析】设正方形ABCD的边长为2a，根据勾股定理求出BE，求出EF，求出AF，再根据面积公式求出S1与S2即可．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠EAB＝90°，设正方形ABCD的边长为2a，∵E为AD的中点，∴AE＝a，在Rt△EAB中，由勾股定理得：，∵EF＝BE，∴，∴，即，∴，，即S1＝S2，故选：C．4．（2024•大渡口区模拟）已知C是线段AB的黄金分割点（AC＞BC），则AC：AB＝（）A．﹣1）：2 B．+1）：2 C．）：2 D．）：2【分析】把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值（）叫做黄金比．【解答】解：根据黄金分割的定义，知AC：AB＝（﹣1）：2．故选：A．5．（2024•高新区校级二模）“黄金分割”给人以美感，它在建筑、艺术等领域有着广泛的应用．秦兵马俑被誉为“世界第八大奇迹”，兵马俑的眼睛到下巴的距离与头顶到下巴的距离之比约为，若如图所示的兵马俑头顶到下巴的距离为0.3m，则该兵马俑的眼睛到下巴的距离为m．【分析】设该兵马俑的眼睛到下巴的距离为xm，根据题意可得：＝，然后进行计算即可解答．【解答】解：设该兵马俑的眼睛到下巴的距离为xm，由题意得：＝，解得：x＝，∴该兵马俑的眼睛到下巴的距离为m，故答案为：．题型03平行线分线段成比例【中考真题练】1．（2023•吉林）如图，在△ABC中，点D在边AB上，过点D作DE∥BC，交AC于点E．若AD＝2，BD＝3，则的值是（）A． B． C． D．【分析】由DE∥BC，利用平行线分线段成比例，可得出＝，再代入AD＝2，BD＝3，AB＝AD+BD，即可求出结论．【解答】解：∵DE∥BC，∴＝＝＝＝．故选：A．2．（2023•常州）小明按照以下步骤画线段AB的三等分点：画法图形（1）以A为端点画一条射线；（2）用圆规在射线上依次截取3条等长线段AC、CD、DE，连接BE；（3）过点C、D分别画BE的平行线，交线段AB于点M、N．M、N就是线段AB的三等分点．这一画图过程体现的数学依据是（）A．两直线平行，同位角相等 B．两条平行线之间的距离处处相等 C．垂直于同一条直线的两条直线平行 D．两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例【分析】根据平行线分线段成比例定理解答即可．【解答】解：∵CM∥DN∥BE，∴AC：CD：DE＝AM：MN：NB，∵AC＝CD＝DE，∴AM＝MN＝NB，∴这一画图过程体现的数学依据是两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例，故选：D．3．（2023•北京）如图，直线AD，BC交于点O，AB∥EF∥CD，若AO＝2，OF＝1，FD＝2，则的值为．【分析】根据题意求出AF，再根据平行线分线段成比例定理计算即可．【解答】解：∵AO＝2，OF＝1，∴AF＝AO+OF＝2+1＝3，∵AB∥EF∥CD，∴＝＝，故答案为：．4．（2023•岳阳）如图，在⊙O中，AB为直径，BD为弦，点C为的中点，以点C为切点的切线与AB的延长线交于点E．（1）若∠A＝30°，AB＝6，则的长是π（结果保留π）；（2）若＝，则＝．【分析】（1）连接OC，根据圆周角定理可得∠BOC＝60°，利用弧长公式即可求出的长；（2）连接OC，根据垂径定理得到OC⊥BD，再由切线得到EC∥BD，利用平行线分线段成比例得出，再根据勾股求出EC＝2x，代入比例式即可解决问题．【解答】解：（1）如图，连接OC，∵∠A＝30°，AB＝6，∴∠BOC＝60°，OB＝3，∴的长＝＝π；故答案为：π；（2）如图，连接OC，∵点C为的中点，∴＝，∴OC⊥BD，又∵EC是⊙O的切线，∴OC⊥EC，∴EC∥BD，∵＝，∴，设EB＝x，则AB＝3x，BO＝OC＝x，EO＝x，AE＝4x，∴EC＝＝＝2x，∴＝＝．故答案为：．【中考模拟练】1．（2024•大渡口区模拟）如图，AD∥BE∥CF，若DE＝7，DF＝21，AB＝6，则AC的长度是（）A．12 B．18 C．15 D．【分析】利用平行分线段成比例定理解决问题即可．【解答】解：∵AD∥BE∥CF，∴＝，∴＝，∴AC＝18．故选：B．2．（2024•香坊区一模）如图，在△ABC中，D，E，F分别是边AB，AC，BC上的点，DE∥BC，EF∥AB，且BF：FC＝3：4，AB＝14，则EF的长为（）A．5 B．6 C．7 D．8【分析】根据EF∥AB，可得＝＝，＝，根据比例的性质即可求解．【解答】解：∵EF∥AB，BF：FC＝3：4，∴＝＝，＝，∴＝，∴＝，∵AB＝14，∴EF＝8，故选：D．3．（2024•新安县一模）如图，AB∥CD∥EF，AF与BE相交于点G，且DG＝2，DF＝10，＝，则AG的长为（）A．2 B．3 C．4 D．5【分析】三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．依据平行线分线段成比例定理，即可得出AG的长．【解答】解：∵AB∥CD∥EF，∴＝，又∵DG＝2，DF＝10，＝，∴＝，∴AG＝4．故选：C．4．（2024•沭阳县模拟）如图，在△ABC中，D在AC边上，AD：DC＝1：2，O是BD的中点，连接AO并延长交BC于点E，若BE＝1，则EC的长为（）A．2 B．2.5 C．3 D．4【分析】过D点作DF∥CE交AE于F，如图，先由DF∥BE，根据平行线分线段成比例得到DF＝BE＝3，再由DF∥CE得到比例式，然后利用比例的性质求CE的长．【解答】解：过D点作DF∥CE交AE于F，如图，∵DF∥BE，∴，∵O是BD的中点，∴OB＝OD，∴DF＝BE＝1，∵DF∥CE，∴，∵AD：DC＝1：2，∴AD：AC＝1：3，∴，∴CE＝3DF＝3×1＝3．故选：C．5．（2024•海宁市校级模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的高线，点E，F分别在AC，CD上，且∠1＝∠2．（1）求证：AD∥EF．（2）当CE：AE＝3：5，CF＝6时，求BC的长．【分析】（1）根据等腰三角形的三线合一得到BD＝DC，∠1＝∠CAD，根据同位角相等，两直线平行证明EF∥AD；（2）根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算求出DF，进而求出BC．【解答】（1）证明：∵AB＝AC，AD是BC边上的高线，∴BD＝DC，∠1＝∠CAD，∵∠1＝∠2，∴∠CAD＝∠2，∴EF∥AD；（2）解：∵EF∥AD，∴＝，∵CE：AE＝3：5，CF＝6，∴＝，解得：FD＝10，∴CD＝CF+DF＝10+6＝16，∴BC＝2CD＝32．考点二：相似三角形相似三角形是中考数学中非常重要的一个考点，出题难度跨度很大，当然，单独出题时，相似三角形的性质、判定、应用大多以基础和中等题为主。题型01相似三角形的判定与性质解题大招01：相似三角形性质的主要应用方向有：①求角的度数；②求或证明比值关系；③证线段等积式；④求面积或面积比；解题大招02：相似三角形的对应边成比例是求线段长度的重要方法，也是动点问题中得到函数关系式的重要手段；解题大招03：判定三角形相似的思路：（1）有平行截线——用平行线的性质，找等角（2）有一对等角，找（3）有两边对应成比例，找夹角相等（4）直角三角形，找（5）等腰三角形，找【中考真题练】1．（2023•重庆）若两个相似三角形周长的比为1：4，则这两个三角形对应边的比是（）A．1：2 B．1：4 C．1：8 D．1：16【分析】根据相似三角形的性质：相似三角形周长的比等于相似比，求解即可．【解答】解：∵两个相似三角形周长的比为1：4，∴这两个三角形对应边的比为1：4，故选：B．2．（2023•恩施州）如图，在△ABC中，DE∥BC分别交AC，AB于点D，E，EF∥AC交BC于点F，，BF＝8，则DE的长为（）A． B． C．2 D．3【分析】由DE∥BC，EF∥AC，得四边形EFCD是平行四边形，DE＝CF，设DE＝CF＝x，由△AED∽△ABC，＝可得＝，即可解得答案．【解答】解：∵DE∥BC，EF∥AC，∴四边形EFCD是平行四边形，∴DE＝CF，设DE＝CF＝x，∵BF＝8，∴BC＝BF+CF＝8+x，∵DE∥BC，∴△AED∽△ABC，∴＝，∵＝，∴＝，∴＝，即＝，解得x＝，故选：A．3．（2023•徐州）如图，在△ABC中，∠B＝90°，∠A＝30°，BC＝2，D为AB的中点．若点E在边AC上，且，则AE的长为（）A．1 B．2 C．1或 D．1或2【分析】由直角三角形的性质可求AC＝2BC＝4，AB＝2，∠C＝60°，分两种情况讨论，由三角形中位线定理和相似三角形的性质可求解．【解答】解：在△ABC中，∠B＝90°，∠A＝30°，BC＝2，∴AC＝2BC＝4，AB＝2，∠C＝60°，∵点D是AB的中点，∴AD＝，∵，∴DE＝1，如图，当∠ADE＝90°时，∵∠ADE＝∠ABC，，∴△ADE∽△ABC，∴，∴AE＝2，如图，当∠ADE≠90°时，取AC的中点H，连接DH，∵点D是AB中点，点H是AC的中点，∴DH∥BC，DH＝BC＝1，∴∠AHD＝∠C＝60°，DH＝DE＝1，∴∠DEH＝60°，∴∠ADE＝∠A＝30°，∴AE＝DE＝1，故选：D．4．如图，在▱ABCD中，F是AD上一点，CF交BD于点E，CF的延长线交BA的延长线于点G，EF＝1，EC＝3，则GF的长为（）A．4 B．6 C．8 D．10【分析】根据平行四边形的性质得出AD∥BC，AB∥CD，AD＝BC，于是推出△DEF∽△BEC，△DFC∽△AFG，先求出DF与BC的比值，继而得出DF与AF的比值，再根据相似三角形对应边成比例即可求出GF的长．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，AD＝BC，∵AD∥BC，∴△DEF∽△BEC，∴，∵EF＝1，EC＝3，∴，即，∴，∵AB∥CD，∴△DFC∽△AFG，∴，∵EF＝1，EC＝3，∴CF＝4，∴，∴GF＝8，故选：C．5．（2023•德州）如图，A，B，C，D是⊙O上的点，AB＝AD，AC与BD交于点E，AE＝3，EC＝5，BD＝4，⊙O的半径为（）A．6 B． C．5 D．2【分析】连接DC，易得△ADE∽△ACD，即可求出AD，连接OA，由垂径定理可得AO⊥BD，再根据勾股定理即可求解．【解答】解：连接DC，AO，OD，如图：∵AB＝AD，∴∠ADE＝∠ACD，∴△ADE∽△ACD，∴，即，解得AD＝2，∵AB＝AD，即A是的中点，∴AO⊥BD，BH＝DH＝2，在Rt△ADH中，AH2＝AD2﹣DH2，∴AH＝＝2，∴OH＝OD﹣2，在Rt△ODH中，OD2＝OH2+DH2，∴OD2＝（OD﹣2）2+（2）2，解得OD＝6．故选：A．6．（2023•绍兴）如图，在△ABC中，D是边BC上的点（不与点B，C重合）．过点D作DE∥AB交AC于点E；过点D作DF∥AC交AB于点F，N是线段BF上的点，BN＝2NF，M是线段DE上的点，DM＝2ME．若已知△CMN的面积，则一定能求出（）A．△AFE的面积B．△BDF的面积 C．△BCN的面积D．△DCE的面积【分析】如图所示，连接ND，证明△FBD∽△EDC，得出＝，由已知得出，则，又∠NFD＝∠MEC，则△NFD∽△MEC，进而得出∠MCD＝∠NDB，可得MC∥ND，结合题意得出，即可求解．【解答】解：如图所示，连接ND，∵DE∥AB，DF∥AC，∴∠ECD＝∠FDB，∠FBD＝∠EDC，∠BFD＝∠A，∠A＝DEC．∴△FBD∽△EDC，∠NFD＝∠MEC．∴＝，∵DM＝2ME，BN＝2NF，∴，ME＝DE，∴∴，又∵∠NFD＝∠MEC，∴△NFD∽△MEC．∴∠ECM＝∠FDN．∵∠FDB＝∠ECD，∴∠MCD＝∠NDB．∴MC∥ND．∴S△MNC＝S△MDC．∵DM＝2ME，∴．故选：D．7．（2023•江西）《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的ABC）．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度．如图，点A，B，Q在同一水平线上，∠ABC和∠AQP均为直角，AP与BC相交于点D．测得AB＝40cm，BD＝20cm，AQ＝12m，则树高PQ＝6m．【分析】根据题意可知：△ABC∽△AQP，从而可以得到，然后代入数据计算，即可得到PQ的长．【解答】解：由题意可得，BC∥PQ，AB＝40cm，BD＝20cm，AQ＝12m，∴△ABD∽△AQP，∴，即，解得QP＝6，∴树高PQ＝6m，故答案为：68．（2023•怀化）在平面直角坐标系中，△AOB为等边三角形，点A的坐标为（1，0）．把△A0B按如图所示的方式放置，并将△AOB进行变换：第一次变换将△AOB绕着原点O顺时针旋转60°，同时边长扩大为△AOB边长的2倍，得到△A1OB1；第二次旋转将△A1OB1绕着原点O顺时针旋转60°，同时边长扩大为△A1OB1边长的2倍，得到△A2OB2，…．依次类推，得到△A2023OB2023，则△A2023OB2023的边长为22023，点A2023的坐标为（22022，﹣22022×）．【分析】利用等边三角形的性质，探究规律后，利用规律解决问题．【解答】解：由题意OA＝1＝20，OA1＝2＝21，OA2＝4＝22，OA3＝8＝23，…OAn＝2n，∴△A2023OB2023的边长为22023，∵2023÷6＝337…1，∴A2023与A1都在第四象限，坐标为（22022，﹣22022×）．故答案为：22023，（22022，﹣22022×）．9．（2023•无锡）如图，平行四边形ABCD中，E、F分别为BC、CD的中点，AF与DE相交于点G，则DG：EG＝2：3．【分析】延长AF、BC交于点H，由平行四边形的性质及E、F分别为BC、CD的中点，得CB∥AD，BE＝CE，CF＝DF，则CB＝AD＝2CE，再证明△HCF∽△ADF，得＝＝1，则HC＝AD＝CB＝2CE，所以HE＝3CE，再证明△ADG∽△HEG，得＝＝，于是得到问题的答案．【解答】解：延长AF、BC交于点H，∵四边形ABCD是平行四边形，E、F分别为BC、CD的中点，∴CB∥AD，BE＝CE，CF＝DF，∴CB＝AD＝2CE，∵HC∥AD，∴△HCF∽△ADF，∴＝＝1，∴HC＝AD＝CB＝2CE，∴HE＝HC+CE＝2CE+CE＝3CE，∵AD∥HE，∴△ADG∽△HEG，∴＝＝＝，∴DG：EG＝2：3，故答案为：2：3．10．（2023•广东）边长分别为10，6，4的三个正方形拼接在一起，它们的底边在同一直线上（如图），则图中阴影部分的面积为15．【分析】根据相似三角形的性质，利用相似比求出梯形的上底和下底，用面积公式计算即可．【解答】解：如图，∵BF∥DE，∴△ABF∽△ADE，∴＝，∵AB＝4，AD＝4+6+10＝20，DE＝10，∴＝，∴BF＝2，∴GF＝6﹣2＝4，∵CK∥DE，∴△ACK∽△ADE，∴＝，∵AC＝4+6＝10，AD＝20，DE＝10，∴＝，∴CK＝5，∴HK＝6﹣5＝1，∴阴影梯形的面积＝（HK+GF）•GH＝（1+4）×6＝15．故答案为：15．11．（2023•常德）如图1，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6，D是AB上一点，且AD＝2，过点D作DE∥BC交AC于E，将△ADE绕A点顺时针旋转到图2的位置．则图2中的值为．【分析】利用勾股定理求得线段AC的长度，利用平行线的性质和相似三角形的判定与性质得到，由旋转的性质得到∠DAB＝∠EAC，再利用相似三角形的判定与性质得到．【解答】解：∵∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6，∴AC＝＝＝10．∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴．∵将△ADE绕A点顺时针旋转到图2的位置，∴∠DAB＝∠EAC，∴△ADB∽△AEC，∴．故答案为：．12．（2023•湘潭）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD是斜边BC上的高．（1）证明：△ABD∽△CBA；（2）若AB＝6，BC＝10，求BD的长．【分析】（1）根据已知条件得出∠BDA＝∠BAC，又∠B为公共角，于是得出△ABD∽△CBA；（2）根据相似三角形的性质即可求出BD的长．【解答】（1）证明：∵AD是斜边BC上的高，∴∠BDA＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠BDA＝∠BAC，又∵∠B为公共角，∴△ABD∽△CBA；（2）解：由（1）知△ABD∽△CBA，∴，∴，∴BD＝3.6．13．（2023•上海）如图，在梯形ABCD中AD∥BC，点F，E分别在线段BC，AC上，且∠FAC＝∠ADE，AC＝AD．（1）求证：DE＝AF；（2）若∠ABC＝∠CDE，求证：AF2＝BF•CE．【分析】（1）证明△ACF≌△DAE（ASA），即可解决问题；（2）证明△ABF∽△CDE，得AF•DE＝BF•CE，结合（1）AF＝DE，即可解决问题．【解答】证明：（1）∵AD∥BC，∴∠ACF＝∠DAC∵∠FAC＝∠ADE，AC＝AD，∴△ACF≌△DAE（ASA），∴AF＝DE；（2）∵△ACF≌△DAE，∴∠AFC＝∠DEA，∴∠AFB＝∠DEC，∵∠ABC＝∠CDE，∴△ABF∽△CDE，∴＝，∴AF•DE＝BF•CE，∵AF＝DE，∴AF2＝BF•CE．14．（2023•泰安）如图，△ABC和△CDE均是等腰直角三角形，EF⊥AD；（1）当AF＝DF时，求∠AED；（2）求证：△EHG∽△ADG；（3）求证：．【分析】（1）可推出AC是ED的垂直平分线，从而得出AE＝AD，根据题意得出AE＝ED，从而得出△ADE是等边三角形，从而得出结果；（2）可证得∠EGH＝∠AGD＝90°，∠DAG＝∠GEH，从而得出结论；（3）根据（2）得出比例式＝，进而得出＝，根据等比的性质得出结论．【解答】（1）解：∵△ABC和△CDE均是等腰直角三角形，∴∠ECD＝90°，∠ACB＝45°，EC＝DC，∴∠ACD＝∠ECD﹣∠ACB＝90°﹣45°＝45°，∴AC垂直平分ED，∴AE＝AD，∵EF⊥AD，∴AE＝ED，∴AD＝AE＝ED，∴∠AED＝60°；（2）证明：由（1）得：AC⊥ED，∴∠AGD＝∠AGE＝90°，∵EF⊥AD，∴∠AFE＝90°，∴∠AGE＝∠AFE，∵∠EHG＝∠AHF，∴∠DAG＝∠GEH，∴△EHG∽△ADG；（3）证明：由（2）知：△EHG∽△ADG，∴＝，∵AD＝AE，∴，∵∠ECD＝90°，EG＝DG，∴CG＝EG＝DG，∴＝，∴．【中考模拟练】1．（2024•揭东区一模）如图，正方形ABCD中，E为AB的中点，AF⊥DE于点O，则等于（）A． B． C． D．【分析】先证明△AOE∽△DOA，得出AO：DO＝AE：AD，再由AE＝AB＝AD，即可得出结论．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠BAD＝90°，∴∠DAO+∠EAO＝90°，∵E为AB的中点，∴AE＝AB＝AD，∵AF⊥DE，∴∠AOE＝∠DOA＝90°，∴∠DAO+∠ADO＝90°，∴∠EAO＝∠ADO，∴△AOE∽△DOA，∴．故选：A．2．（2024•萧县一模）如图，在正方形ABCD中，E，F分别是边AB，BC上的点，且DE⊥EF，若，则＝（）A．1 B． C． D．【分析】设BF＝a，则CF＝3a，证明△DEA∽△EFB，推出AE⋅BE＝4a2，设AE＝x，则BE＝4a﹣x，构建一元二次方程，解方程即可求解．【解答】解：∵，∴设BF＝a，则CF＝3a，∴AD＝AB＝BC＝4a，∵DE⊥EF，∴∠DEF＝90°，∵四边形ABCD是正方形，∴∠A＝∠B＝90°，∴∠DEA＝90°﹣∠FEB＝∠EFB，∴△DEA∽△EFB，∴，即，∴AE⋅BE＝4a2，∵AE+BE＝4a，设AE＝x，则BE＝4a﹣x，∴x（4a﹣x）＝4a2，整理得（x﹣2a）2＝0，解得x＝2a，∴AE＝2a，BE＝2a，∴，故选：A．3．（2024•平房区一模）如图，DE∥BC，EF∥AB，AC分别交DE、EF于点G、K，下列结论错误的是（）A． B． C． D．【分析】利用平行线分线段成比例定理，平行四边形的性质和相似三角形的判定与性质对每个选项进行判断即可．【解答】解：A．∵DE∥BC，∴＝，故本选项正确，不符合题意；B．∵EF∥AB，∴△ADG∽△KEG，∴＝，故本选项错误，符合题意；C∵EF∥AB，∴△ADG∽△KEG，∴＝，故本选项正确，不符合题意；D．∵DE∥BC，∴△GEK∽△CFK，，故本选项正确，不符合题意，故选：B．4．（2024•石狮市模拟）如图，在△ABC中，点D在AB边上，DE∥BC，交AC于点E．若，且△ABC的面积为9，则△ADE的面积为1．【分析】根据DE∥BC，可以求证△ADE∽△ABC，即可求得△ADE与△ABC面积的比值，即可解题．【解答】解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC且相似比为1；3，∴△ADE与△ABC的面积比为，∵△ABC的面积为9，∴△ADE的面积为1，故答案为：1．5．（2024•交城县一模）如图，在菱形ABCD中，AB＝4，∠C＝120°，AE⊥BC于点E，对角线BD交AE于点F，则AF的长为.【分析】由已知条件和菱形的性质易求AE和BE的长，易证△ADF∽△EBF，由相似三角形的性质即可求出AF的长．【解答】解：∵在菱形ABCD中，AB＝4，∠C＝120°，∴AD＝AB＝4，∠ABE＝60°，AD∥BC，∴∠BAE＝30°，∴BE＝AB＝2，∴AE＝＝2，∵AD∥BC，∴△ADF∽△EBF，∴＝，设AF＝x，则＝，解得：x＝，∴AF＝，故答案为：．6．（2024•黄浦区二模）如图，D是等边△ABC边BC上点，BD：CD＝2：3，作AD的垂线交AB、AC分别于点E、F，那么AE：AF＝．【分析】过点D作GD⊥AD，交AB于点G，交AC的延长线于点H，DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N，设BD＝2m，则CD＝3m，BC＝5m，利用等边三角形的性质和含30°角的直角三角形的性质，勾股定理表示出线段BM，CN，DM，DN的长度，利用相似三角形的判定与性质求得线段AG，AH的长度，最后利用平行线的判定与性质，相似三角形的判定与性质解答即可得出结论．【解答】解：过点D作GD⊥AD，交AB于点G，交AC的延长线于点H，DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N，如图，∵BD：CD＝2：3，∴设BD＝2m，则CD＝3m，∴BC＝5m．∵△ABC为等边三角形，∴AB＝AC＝BC＝5m，∠B＝∠ACB＝60°，∵DM⊥AB，DN⊥AC，∴∠BDM＝NCD＝30°，∴BM＝BD＝m，CN＝CD＝m，∴DM＝m，DN＝m．∴AM＝AB﹣BM＝4m，AN＝AC﹣CN＝m．∴AD＝＝m．∵AD⊥DG，DM⊥AB，∴△AMD∽△ADG，∴．∴AG＝＝m．同理：△ADN∽△AHD，∴，∴AH＝m．∵EF⊥AD，GH⊥AD，∴EF∥GH，∴△AEF∽△AGH，∴＝．故答案为：．7．（2024•东安县一模）如图，在△ABC中，D是AB上一点，连接CD，点E在CD上，连接BE，已知BD＝BE，且∠ACB＝∠BED．（1）求证：△BEC∽△CDA；（2）若BD＝4，DE＝3，BC＝5，求CE的长．【分析】（1）先根据等边对等角得到∠BDE＝∠BED，则可证明∠BEC＝∠ADC，再证明∠EBC＝∠ACD，即可证明△BEC∽△CDA；（2）先证明△CBD∽△ABC，求出AB＝，进而得到AD＝，由（1）得＝，即＝，解之即可得到答案．【解答】（1）证明：∵BD＝BE，∴∠BDE＝∠BED，∵∠BDE+∠ADC＝180°＝∠BED+BEC，∴∠BEC＝∠ADC，∵∠ACB＝∠BED，∠BED＝∠EBC+∠BCE，∠ACB＝∠ACD+∠BCE，∴∠EBC＝∠ACD，∴△BEC∽△CDA；（2）解：∵BD＝BE，∴∠BDE＝∠BED，∵∠ACB＝∠BED，∴∠BDC＝∠ACB，∵∠CBD＝∠ABC，∴△CBD∽△ABC，∴＝，即＝，∴AB＝，∴AD＝AB−BD＝−4＝，由（1）得＝，即＝，整理得CE2+3CE−9＝0，解得CE＝（边长为正值，舍去负值）．8．（2024•开原市一模），如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB是⊙O的直径，点F在AB上，连接CF并延长，交⊙O于点D，连接BD，作BE⊥CD，垂足为E．（1）求证：△DBE∽△ABC；（2）若AF＝2，求ED的长．【分析】（1）由圆的基本性质得∠ACB＝∠DEB，∠CAB＝∠D，即可求证；（2）过点C做CG⊥AB于点G，由勾股定理得AB＝＝5，由三角函数得cos∠BAC＝，AG＝AC⋅cos∠BAC，由相似三角形的性质得，即可求解．【解答】（1）证明：∵AB为直径，∴∠ACB＝90°，∵BE⊥CD，∴∠DEB＝90°∴∠ACB＝∠DEB，∵＝，∴∠CAB＝∠D，∴△DBE∽△ABC；（2）解：如图，过点C做CG⊥AB于点G，∵∠ACB＝90°，AC＝，BC＝2，∴AB＝＝＝5，cos∠BAC＝，∵CG⊥AB，∴AG＝AC⋅cos∠BAC＝×＝1，∵AF＝2，∴FG＝AG＝1，∴AC＝FC，∴∠CAF＝∠CFA，∴∠BFD＝∠D，∴BD＝BF＝AB−AF＝5−2＝3，∵△DBE∽△ABC，∴，∴＝，∴ED＝．9．（2024•凉州区校级一模）已知，如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠BCD＝90°，对角线AC、BD相交于点E，且AC⊥BD．（1）求证：CD2＝BC•AD；（2）点F是边BC上一点，连接AF，与BD相交于点G，如果∠BAF＝∠DBF，求证：．【分析】（1）首先根据已知得出∠ACD＝∠CBD，以及∠ADC＝∠BCD＝90°，进而求出△ACD∽△DBC，即可得出答案；（2）首先证明△ABG∽△DBA，进而得出＝，再利用△ABG∽△DBA，得出＝，则AB2＝BG•BD，进而得出答案．【解答】证明：（1）∵AD∥BC，∠BCD＝90°，∴∠ADC＝∠BCD＝90°，又∵AC⊥BD，∴∠ACD+∠ACB＝∠CBD+∠ACB＝90°，∴∠ACD＝∠CBD，∴△ACD∽△DBC，∴＝，即CD2＝BC×AD；（2）方法一：∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠DBF，∵∠BAF＝∠DBF，∴∠ADB＝∠BAF，∵∠ABG＝∠DBA，∴△ABG∽△DBA，∴＝，∴＝，又∵△ABG∽△DBA，∴＝，∴AB2＝BG•BD，∴＝＝＝，方法二：∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠DBF，∵∠BAF＝∠DBF，∴∠ADB＝∠BAF，∵∠ABG＝∠DBA，∴△ABG∽△DBA，∴＝（）2＝，而＝，∴＝．10．（2024•惠城区模拟）把Rt△ABC和Rt△DEF按如图（1）摆放（点C与E重合），点B、C（E）、F在同一条直线上．已知：∠ACB＝∠EDF＝90°，∠DEF＝45°，AC＝8cm，BC＝6cm，EF＝10cm．如图（2），△DEF从图（1）的位置出发，以1cm/s的速度沿CB向△ABC匀速移动，在△DEF移动的同时，点P从△ABC的顶点A出发，以2cm/s的速度沿AB向点B匀速移动；当点P移动到点B时，点P停止移动，△DEF也随之停止移动．DE与AC交于点Q，连接PQ，设移动时间为t（s）．（1）用含t的代数式表示线段AP和AQ的长，并写出t的取值范围；（2）连接PE，设四边形APEQ的面积为y（cm2），试探究y的最大值；（3）当t为何值时，△APQ是等腰三角形．【分析】（1）根据题意以及直角三角形性质表达出CQ、AQ，从而得出结论，（2）作PG⊥x轴，将四边形的面积表示为S△ABC﹣S△BPE﹣S△QCE即可求解，（3）根据题意以及三角形相似对边比例性质即可得出结论．【解答】（1）解：AP＝2t（cm）∵∠EDF＝90°，∠DEF＝45°，∴∠CQE＝45°＝∠DEF，∴CQ＝CE＝t（cm），∴AQ＝8﹣t（cm），t的取值范围是：0≤t≤5；（2）过点P作PG⊥x轴于G，可求得AB＝10（cm），SinB＝，PB＝（10﹣2t）（cm），EB＝（6﹣t）（cm），∴PG＝PBSinB＝（10﹣2t）（cm）∴y＝S△ABC﹣S△PBE﹣S△QCE＝＝∴当（在0≤t≤5内），y有最大值，y最大值＝（cm2）（3）若AP＝AQ，则有2t＝8﹣t解得：（s）若AP＝PQ，如图①：过点P作PH⊥AC，则AH＝QH＝（cm），PH∥BC∴△APH∽△ABC，∴，即，解得：（s）若AQ＝PQ，如图②：过点Q作QI⊥AB，则AI＝PI＝AP＝t（cm）∵∠AIQ＝∠ACB＝90°∠A＝∠A，∴△AQI∽△ABC∴即，解得：（s）综上所述，当或或时，△APQ是等腰三角形．题型02相似三角形的应用解题大招：相似三角形在实际生活中的应用：建模思想：建立相似三角形的模型（二）常见题目类型：1.利用投影、平行线、标杆等构造相似三角形求解2.测量底部可以到达的物体的高度3.测量底部不可以到达的物体的高度4.测量河的宽度【中考真题练】1．如图，不等臂跷跷板AB的一端A碰到地面时，另一端B到地面的高度为60cm；当AB的一端B碰到地面时，另一端A到地面的高度为90cm，则跷跷板AB的支撑点O到地面的高度OH是（）A．36cm B．40cm C．42cm D．45cm【分析】过点B作BC⊥AH，垂足为C，再证明A字模型相似△AOH∽△ABC，从而可得＝，过点A作AD⊥BH，垂足为D，然后证明A字模型相似△ABD∽△OBH，从而可得＝，最后进行计算即可解答．【解答】解：如图：过点B作BC⊥AH，垂足为C，∵OH⊥AC，BC⊥AC，∴∠AHO＝∠ACB＝90°，∵∠BAC＝∠OAH，∴△AOH∽△ABC，∴＝，∴＝，如图：过点A作AD⊥BH，垂足为D，∵OH⊥BD，AD⊥BD，∴∠OHB＝∠ADB＝90°，∵∠ABD＝∠OBH，∴△ABD∽△OBH，∴＝，∴＝，∴+＝+，∴+＝，∴+＝1，解得：OH＝36，∴跷跷板AB的支撑点O到地面的高度OH是36cm，故选：A．2．（2023•湖州）某数学兴趣小组测量校园内一棵树的高度，采用以下方法：如图，把支架（EF）放在离树（AB）适当距离的水平地面上的点F处，再把镜子水平放在支架（EF）上的点E处，然后沿着直线BF后退至点D处，这时恰好在镜子里看到树的顶端A，再用皮尺分别测量BF，DF，EF，观测者目高（CD）的长，利用测得的数据可以求出这棵树的高度．已知CD⊥BD于点D，EF⊥BD于点F，AB⊥BD于点B，BF＝6米，DF＝2米，EF＝0.5米，CD＝1.7米，则这棵树的高度（AB的长）是4.1米．【分析】过点E作水平线交AB于点G，交CD于点H，根据镜面反射的性质求出△CHE∽△AGE，再根据对应边成比例解答即可．【解答】解：过点E作水平线交AB于点G，交CD于点H，如图，∵DB是水平线，CD，EF，AB都是铅垂线，∴DH＝EF＝GB＝0.5米，EH＝DF＝2米，EG＝FB＝6米，∴CH＝CD﹣DH＝1.7﹣0.5＝1.2（米），又根据题意，得∠CHE＝∠AGE＝90°，∠CEH＝∠AEG，∴△CHE∽△AGE，∴，即，解得：AG＝3.6米，∴AB＝AG+GB＝3.6+0.5＝4.1（米）．故答案为：4.1．3．（2023•潍坊）在《数书九章》（宋•秦九韶）中记载了一个测量塔高的问题：如图所示，AB表示塔的高度，CD表示竹竿顶端到地面的高度，EF表示人眼到地面的高度，AB、CD、EF在同一平面内，点A、C、E在一条水平直线上．已知AC＝20米，CE＝10米，CD＝7米，EF＝1.4米，人从点F远眺塔顶B，视线恰好经过竹竿的顶端D，可求出塔的高度．根据以上信息，塔的高度为18.2米．【分析】过点F作FG⊥CD，垂足为G，延长FG交AB于点H，根据题意可得：FH⊥AB，AH＝CG＝EF＝1.4米，AC＝GH＝20米，CE＝FG＝10米，从而可得∠DGF＝∠BHF＝90°，DG＝5.6米，然后证明A字模型相似三角形△FDG∽△FBH，从而利用相似三角形的性质求出BH的长，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答．【解答】解：过点F作FG⊥CD，垂足为G，延长FG交AB于点H，由题意得：FH⊥AB，AH＝CG＝EF＝1.4米，AC＝GH＝20米，CE＝FG＝10米，∴∠DGF＝∠BHF＝90°，∵CD＝7米，∴DG＝CD﹣CG＝7﹣1.4＝5.6（米），∵∠DFG＝∠BFH，∴△FDG∽△FBH，∴＝，∴＝，∴BH＝16.8，∴AB＝BH+AH＝16.8+1.4＝18.2（米），∴塔的高度为18.2米，故答案为：18.2．4．（2023•攀枝花）拜寺口双塔，分为东西两塔，位于宁夏回族自治区银川市贺兰县拜寺口内，是保存最为完整的西夏佛塔，已有近1000年历史，是中国佛塔建筑史上不可多得的艺术珍品．某数学兴趣小组决定采用我国古代数学家赵爽利用影子对物体进行测量的原理，来测量东塔的高度．东塔的高度为AB，选取与塔底B在同一水平地面上的E、G两点，分别垂直地面竖立两根高为1.5m的标杆EF和GH，两标杆间隔EG为46m，并且东塔AB、标杆EF和GH在同一竖直平面内．从标杆EF后退2m到D处（即ED＝2m），从D处观察A点，A、F、D在一直线上；从标杆GH后退4m到C处（即CG＝4m），从C处观察A点，A、H、C三点也在一直线上，且B、E、D、G、C在同一直线上，请你根据以上测量数据，帮助兴趣小组求出东塔AB的高度．【分析】设BD＝xm，则BC＝（x+48）m，通过证明△ABD∽△EFD，得到，即，同理得到，则可建立方程，解方程即可得到答案．【解答】解：设BD＝xm，则BC＝BD+DG+CG＝x+46﹣2+4＝（x+48）m，∵AB⊥BC，EF⊥BC，∴AB∥EF，∴△ABD∽△FED，∴，即，同理可证△ABC∽△HGC，∴，即，∴，解得x＝48，经检验，x＝48是原方程的解，∴＝，∴AB＝36m，∴该古建筑AB的高度为36m．5．（2023•南京）如图，玻璃桌面与地面平行，桌面上有一盏台灯和一支铅笔，点光源O与铅笔AB所确定的平面垂直于桌面．在灯光照射下，AB在地面上形成的影子为CD（不计折射），AB∥CD．（1）在桌面上沿着AB方向平移铅笔，试说明CD的长度不变．（2）桌面上一点P恰在点O的正下方，且OP＝36cm，PA＝18cm，AB＝18cm，桌面的高度为60cm．在点O与AB所确定的平面内，将AB绕点A旋转，使得CD的长度最大．①画出此时AB所在位置的示意图；②CD的长度的最大值为80cm．【分析】（1）设AB平移到EF，EF在地面上形成的影子为MN．利用平行相似即可；（2）①以A为圆心，AB长为半径画圆，当OQ与⊙A相切于H时，此时CD最大为CQ．②先证明△GHA～△GPO，再利用勾股定理求出AG＝30，由，即可求出CD的长度的最大值．【解答】解：（1）设AB平移到EF，EF在地面上形成的影子为MN．∵AB∥CD，∴△OAB～△OCD，△OEF～△OMN，△OEB～△OMD，∴，，，∴，∵EF＝AB，∴MN＝CD，∴沿着AB方向平移时，CD长度不变．（2）①以A为圆心，AB长为半径画圆，当OQ与⊙A相切于H时，此时CD最大为CQ．此时AB所在位置为AH．②∵∠HGA＝∠PGO，∠AHG＝∠OPG＝90°，∴△GHA～△GPO，∴，∴设GA＝x，则GO＝2x，在Rt△OPG中，OP2+PG2＝OG2，∴362+（18+x）2＝（2x）2，∴x2﹣12x﹣540＝0，∴x1＝30，x2＝﹣18（舍去），∴AG＝30，由①，∴，∴CQ＝80，即CD的长度的最大值为80cm．【中考模拟练】1．（2024•剑河县校级模拟）如图①，是生活中常见的人字梯，也称折梯，用于在平面上方空间进行工作的一类登高工具，因其使用时，左右的梯杆及地面构成一个等腰三角形，看起来像一个“人”字，因而把它形象的称为“人字梯”．如图②，是其工作示意图，AB＝AC，拉杆EF∥BC，AE＝，EF＝0.35米，则两梯杆跨度B、C之间距离为（）A．2米 B．2.1米 C．2.5米 D．米【分析】证得△AEF∽△ABC，根据相似三角形的性质即可求出BC．【解答】解：∵EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∴＝∵AE＝，EF＝0.35米，∴＝，∴BC＝2.1，即两梯杆跨度B、C之间距离为2.1米，故选：B．2．（2024•甘井子区一模）《孙子算经》有首数学歌谣，意思是：有一根竹竿不知道有多长，直立后量出它在太阳下的影子长一丈五尺，同时直立一根一尺五寸的小标杆（如图所示），它的影长五寸（提示：1丈＝10尺，1尺＝10寸），则竹竿的长为（）A．四丈 B．四丈五尺 C．五丈 D．五丈四尺【分析】根据相似三角形的对应边成比例得出方程求解即可．【解答】解：如图，由题意可知，△ABC∽△DEF，BC＝15尺，DE＝1.5尺，EF＝0.5尺，∴，∴，解得AB＝45，即竹竿的长为四丈五尺，故选：B．3．（2024•应县一模）如图，这是一把折叠椅子及其侧面的示意图，线段AE和BD相交于点C，点F在AE的延长线上，测得AC＝30cm，BC＝40cm，CD＝24cm，EC＝18cm，若∠BAC＝60°，则∠DEF的度数为（）A．120° B．125° C．130° D．135°【分析】根据已知易得：＝＝，从而可得△ACB∽△ECD，然后利用相似三角形的性质可得∠BAC＝∠DEC＝60°，从而利用平角定义进行计算，即可解答．【解答】解：∵AC＝30cm，BC＝40cm，CD＝24cm，EC＝18cm，∴＝＝，＝＝，∴＝，∵∠ACB＝∠DCE，∴△ACB∽△ECD，∴∠BAC＝∠DEC＝60°，∴∠DEF＝180°﹣∠DEC＝120°，故选：A．4．（2024•深圳模拟）如图是凸透镜成像示意图，CD是蜡烛AB通过凸透镜MN所成的虚像．已知蜡烛的高AB为5.4cm，蜡烛AB离凸透镜MN的水平距离OB为6cm，该凸透镜的焦距OF为10cm，AE∥OF，则像CD的高为（）A．15cm B．14.4cm C．13.5cm D．9cm【分析】先证△CAE∽△COF得出，再证△OAB∽△OCD，根据相似三角形的对应边成比例得出，即可求出CD的长．【解答】解：由题意得，AB∥MN，AE∥OF，AB∥CD，∴四边形ABOE是平行四边形，∴AE＝OB＝6cm，∵AE∥OF，∴△CAE∽△COF，∴，∴，∴，∵AB∥CD，∴△OAB∽△OCD，∴，∴，∴CD＝13.5cm，故选：C．5．（2024•化德县校级模拟）如图，在测量旗杆高度的数学活动中，小达同学在脚下放了一面镜子，然后向后退，直到他刚好在镜子中看到旗杆的顶部．若眼睛距离地面AB＝1.5米，同时量得BC＝2米，CD＝10米，则旗杆高度DE为（）A．7.5米 B．米 C．7米 D．9.5米【分析】根据镜面反射的性质，△ABC∽△EDC，再根据相似三角形对应边成比例列式求解即可．【解答】解：∵AB⊥BD，DE⊥BD，∴∠ABC＝∠EDC＝90°，∵∠ACB＝∠DCE，∴△ABC∽△EDC，∴，，∴DE＝7.5，故选：A．6．（2024•新昌县一模）如图1是某一遮阳篷支架从闭合到完全展开的一个过程，当遮阳篷支架完全闭合时，支架的若干支杆可看作共线．图2是遮阳篷支架完全展开时的一个示意图，支杆MN固定在垂直于地面的墙壁上，支杆CE与水平地面平行，且G，F，B三点共线，在支架展开过程中四边形ABCD始终是平行四边形，展开时∠GHB为90度．（1）若遮阳棚完全展开时，CE长2米，在与水平地面呈60°的太阳光照射下，CE在地面的影子有2米（影子完全落在地面）．（2）长支杆与短支杆的长度比（即CE与AD的长度比）是+1．【分析】（1）过C作与水平地面呈60°的直线KC交MN的延长线于K，分别过K、E作KS∥CE，ES∥CK可得四边形CESK是平行四边形，然后根据平行四边形的性质求得KS的长即可．（2）由题意可知：CB＝FB＝GF，GH＝HB，则FH⊥GB，进而证明△MOK∽△FOH，再证明GH＝GF，最后找到CE与AD的长度比即可．【解答】解：（1）过C作与水平地面呈60°的直线KC交MN的延长线于K，分别过K、E作KS∥CE，ES∥CK，∴四边形CESK是平行四边形，∴KS＝CE＝2，即CE在地面上影子的长为2米．故答案为：2．（2）连结FH，设DE＝a，CD＝b，由题意可知：BC＝a，BF＝a，GF＝a，BH＝b，GH＝b，在△GHB中，HB＝GH，GF＝FB，∴FH⊥GB，又∵MK⊥GB，∴MK∥FH，∴△MOK∽△FOH．∵FK＝MH，∴OH＝OF，∴∠OFH＝∠OHF，又∵∠GFH＝90°，即∠GFO+∠OFH＝90°，∴∠GFO+∠OHF＝90°，又∵∠FGO+∠OHF＝90°，∴∠GFO＝∠FGO，即OG＝OF，∴OH＝OF＝OG，∴∠FGH＝45°，∴GH＝GF．即：b＝a，∴＝＝＝+1，∴CE：AD＝+1．故答案为：+1．7．（2024•长沙模拟）如图，在某小区内拐角处的一段道路上，有一儿童在C处玩耍，一辆汽车从被楼房遮挡的拐角另一侧的A处驶来（CM⊥DM，BD⊥DM，BC与DM相交于点O），已知OM＝4米，CO＝5米，DO＝3米，AO＝米，则汽车从A处前行的距离AB＝5.75米时，才能发现C处的儿童．【分析】先在Rt△△CMO中，利用勾股定理求出CM的长，再证明8字模型相似三角形△BDO∽△CMO，从而利用相似三角形的性质可得BD＝2.25m，然后在Rt△AOD中，根据勾股定理求出AD的长，进行计算即可解答．【解答】解：在Rt△CMO中，MO＝4m，CO＝5m，∴CM＝＝＝3m，∵∠BOD＝∠MOC，∠BDO＝∠CMO＝90°，∴△BDO∽△CMO，∴，∴，∴BD＝2.25m，在Rt△AOD中，OA＝米，∴AD＝＝8m，∴AB＝AD﹣BD＝8﹣2.25＝5.75（m），∴汽车从A处前行5.75米，才能发现C处的儿童，故答案为：5.75．8．（2024•灞桥区校级模拟）如图，为了估算河面的宽度，即EP的长，在离河岸D点2米远的B点，立一根长为1米的标杆AB，在河对岸的岸边有一块高为2.5米的安全警示牌MF，警示牌的顶端M在河里的倒影为点N，即PM＝PN，两岸均高出水平面1.25米，即DE＝FP＝1.25米，经测量此时A、D、N三点在同一直线上，并且点M、F、P、N共线，点B、D、F共线，若AB、DE、MF均垂直于河面EP，求河宽EP是多少米？【分析】延长AB交EP的反向延长线于点H，由△ABD∽△AHO求得OH，再由△AHO∽△NPO求得OP，即可解决问题，【解答】解：延长AB交EP的反向延长线于点H，则四边形BDEH是矩形，∴BH＝DE＝1.25，BD∥EH，∴AH＝AB+BH＝AB+DE＝1+1.25＝2.25，∵BD∥OH，∴△ABD∽△AHO，∴＝，∴＝，∴HO＝4.5，∵PM＝PN，MF＝2.5米，FP＝1.25米，∴PN＝MF+FP＝3.75（米），∵AH⊥EP，PN⊥EP，∴AH∥PN，∴△AHO∽△NPO，∴＝，∴＝，∴PO＝7.5，∴PE＝PO+OE＝7.5+（4.5﹣2）＝10（米），答：河宽EP是10米．9．（2024•鄞州区模拟）国旗上的每颗星都是标准五角星，圆圆对五角星进行了较深入的研究：延长正五边形的各边直到不相邻的边相交，得到一个标准五角星．如图，正五边形ABCDE的边BA、DE的延长线相交于点F，∠EAF的平分线交EF于点M．（1）求证：AE2＝EF•EM；（2）若AF＝1，求AE的长．【分析】（1）根据正五边形的性质可得∠BAE＝∠AED＝108°，从而利用平角定义可得∠FAE＝∠AEF＝72°，进而利用三角形内角和定理可得∠F＝36°，然后利用角平分线的定义可得∠FAM＝∠MAE＝36°，从而可得∠F＝∠MAE，进而可证△AEM∽△FEA，最后利用相似三角形的性质进行计算，即可解答；（2）设AE＝x，利用（1）的结论可得：∠F＝∠FAM＝36°，从而可得FM＝AM，在利用（1）的结论可得：∠FAE＝∠AEF＝72°，从而可得FA＝FE＝1，然后利用三角形的外角性质可得∠AME＝∠AEF＝72°，从而可得AM＝AE，进而可得AM＝AE＝FM＝x，再利用线段的和差关系可得ME＝1﹣x，最后利用（1）的结论可得：AE2＝EF•EM，从而可得x2＝1•（1﹣x），进行计算即可解答．【解答】（1）证明：∵五边形ABCDE是正五边形，∴∠BAE＝∠AED＝108°，∴∠FAE＝180°﹣∠BAE＝72°，∠AEF＝180°﹣∠AED＝72°，∴∠F＝180°﹣∠FAE﹣∠AEF＝36°，∵AM平分∠FAE，∴∠FAM＝∠MAE＝∠FAE＝36°，∴∠F＝∠MAE，∵∠AEM＝∠AEF，∴△AEM∽△FEA，∴，∴AE2＝EF•EM；（2）解：设AE＝x，由（1）可得：∠F＝∠FAM＝36°，∴FM＝AM，由（1）可得：∠FAE＝∠AEF＝72°，∴FA＝FE＝1，∵∠AME＝∠F+∠FAM＝72°，∴∠AME＝∠AEF＝72°，∴AM＝AE，∴AM＝AE＝FM＝x，∴ME＝EF﹣FM＝1﹣x，由（1）可得：AE2＝EF•EM，∴x2＝1•（1﹣x），解得x＝或x＝（舍去），∴AE＝，∴AE的长为．题型03位似变换【中考真题练】1．（2023•浙江）如图，在直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别为A（1，2），B（2，1），C（3，2），现以原点O为位似中心，在第一象限内作与△ABC的位似比为2的位似图形△A′B′C′，则顶点C′的坐标是（）A．（2，4） B．（4，2） C．（6，4） D．（5，4）【分析】根据位似变换的性质解答即可．【解答】解：∵△ABC与△A′B′C′位似，△A′B′C′与△ABC的相似比为2：1，∴△ABC与△A′B′C′位似比为1：2，∵点C的坐标为（3，2），∴点C′的坐标为（3×2，2×2），即（6，4），故选：C．2．（2023•烟台）如图，在直角坐标系中，每个网格小正方形的边长均为1个单位长度，以点P为位似中心作正方形PA1A2A3，正方形PA4A5A6，…，按此规律作下去，所作正方形的顶点均在格点上，其中正方形PA1A2A3的顶点坐标分别为P（﹣3，0），A1（﹣2，1），A2（﹣1，0），A3（﹣2，﹣1），则顶点A100的坐标为（）A．（31，34） B．（31，﹣34） C．（32，35） D．（32，0）【分析】根据位似变换的概念、点的坐标的变化情况找出点的横纵坐标的变化规律，根据规律解答即可．【解答】解：由题意可知：点A1（﹣2，1），点A4（﹣1，2），点A7（0，3），∵1＝3×0+1，4＝3×1+1，7＝3×2+1，……，100＝3×33+1，﹣2＝0﹣2，﹣1＝1﹣2，0＝2﹣2，1＝0+1，2＝1+1，3＝2+1，∴顶点A100的坐标为（33﹣2，33+1），即（31，34），故选：A．3．在方格图中，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形．在如图所示的平面直角坐标系中，格点△ABC、△DEF成位似关系，则位似中心的坐标为（）A．（﹣1，0） B．（0，0） C．（0，1） D．（1，0）【分析】根据位似中心的定义作答．【解答】解：如图：△ABC与△DEF的对应顶点的连线相交于点（﹣1，0），则位似中心的坐标为（﹣1，0）．故选：A．4．（2023•鄂州）如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△A1B1C1位似，原点O是位似中心，且＝3．若A（9，3），则A1点的坐标是（3，1）．【分析】根据位似变换的性质计算，得到答案．【解答】解：∵△ABC与△A1B1C1位似，且原点O为位似中心，且＝3，点A（9，3），∴×9＝3，×3＝1，即A1点的坐标是（3，1），故答案为：（3，1）．5．（2023•长春）如图，△ABC和△A'B'C'是以点O为位似中心的位似图形，点A在线段OA′上．若OA：AA′＝1：2，则△ABC与△A'B'C'的周长之比为1：3．【分析】根据题意求出OA：OA′＝1：3，根据相似三角形的性质求出AC：A′C′，根据相似三角形的性质计算即可．【解答】解：∵OA：AA′＝1：2，∴OA：OA′＝1：3，∵△ABC和△A′B′C′是以点O为位似中心的位似图形，∴AC∥A′C′，△ABC∽△A′B′C′，∴△AOC∽△A′OC′，∴AC：A′C′＝OA：OA′＝1：3，∴△ABC与△A′B′C′的周长比为1：3，故答案为：1：3．6．（2023•辽宁）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点坐标分别是O（0，0），A（1，0），B（2，3），C（﹣1，2），若四边形OA′B′C′与四边形OABC关于原点O位似，且四边形OA′B′C′的面积是四边形OABC面积的4倍，则第一象限内点B′的坐标为（4，6）．【分析】根据四边形OA′B′C′的面积是四边形OABC面积的4倍，可得四边形OA′B′C′与四边形OABC的位似比是2：1，进而得出各对应点位置，进而得第一象限内点B′的坐标．【解答】解：∵四边形OA′B′C′与四边形OABC关于原点O位似，且四边形OA′B′C′的面积是四边形OABC面积的4倍，∴四边形OA′B′C′与四边形OABC的位似比是2：1，∵点B（2，3），∴第一象限内点B′的坐标为（4，6）．故答案为：（4，6）．【中考模拟练】1．（2024•凉州区一模）如图：△AOB与△A1OB1是以原点为位似中心的位似图形，且位似比为1：3，点B的坐标为（﹣1，2），则点B1的坐标为（）A．（2，﹣4） B．（﹣2，4） C．（3，﹣6） D．（3，6）【分析】直接利用位似图形的性质结合相似三角形的性质得出答案．【解答】解：∵△AOB与△A1OB1是以原点为位似中心的位似图形，且位似比为1：3，点B的坐标为（﹣1，2），∴点B1的坐标为[﹣1×（﹣3），2×（﹣3）]，即（3，﹣6）．故选：C．2．（2024•鞍山模拟）如图，正方形网格图中的△ABC与△A′B′C是位似关系图，则位似中心是（）A．点R B．点P C．点Q D．点O【分析】根据位似变换的性质，连接AA′，BB′，CC′，交点即为位似中心，据此解答．【解答】解：如图：∴点O是位似中心．故选：D．3．（2024•酒泉一模）如图，四边形ABCD与四边形A′B′C′D′位似，点O是它们的位似中心，若OA：OA′＝2：3，则CD：C′D′的值为（）A．1：2 B．2：3 C．2：5 D．4：9【分析】根据位似变换的概念得到CD∥C′D′，得到△OCD∽△OC′D′，根据相似三角形的性质解答即可．【解答】解：∵四边形ABCD与四边形A′B′C′D′位似，∴CD∥C′D′，∴△OCD∽△OC′D′，∴＝＝，故选：B．4．（2024•郸城县一模）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为1：3，点A、B、E在x轴上，若正方形BEFG的边长为3，则D点坐标为（）A．（，1） B．（，1） C．（，） D．（，）【分析】根据位似图形的概念得到AD∥BG，得到△OAD∽△OBG，根据相似三角形的性质求出OA，进而求出D点坐标．【解答】解：∵正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，相似比为1：3，正方形BEFG的边长为3，∴正方形ABCD的边长为1，AD∥BG，∴△OAD∽△OBG，∴＝，即＝，解得：OA＝，∴D点坐标为（，1），故选：B．5．（2023•新化县模拟）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点，边OA在x轴上，OC在y轴上，如果矩形OA′B′C与矩形OABC关于点O位似，且矩形OA′B′C′的面积等于矩形OABC面积的，那么点B′的坐标是（）A．（3，2） B．（﹣2，﹣3） C．（2，3）或（﹣2，﹣3） D．（3，2）或（﹣3，﹣2）【分析】根据位似图形的概念得到矩形OA'B'C'∽矩形OABC，根据相似多边形的性质求出相似比，根据位似图形与坐标的关系计算，得到答案．【解答】解：∵矩形OA'B'C'与矩形OABC关于点O位似，∴矩形OA'B'C'∽矩形OABC，∵矩形OA'B'C'的面积等于矩形OABC面积的，∴矩形OA'B'C'与矩形OABC的相似比为，∵点B的坐标为（6，4），∴点B'的坐标为（6×，4×）或（﹣6×，﹣4×），即（3，2）或（﹣3，﹣2）．故选：D．6．（2024•新荣区一模）如图，A是反比例函数y＝（x＞0）图象上一点，点B、D在y轴正半轴上，△ABD是△COD关于点D的位似图形，且△ABD与△COD的位似比是1：3，△ABD的面积为1，则该反比例函数的表达式为．【分析】根据△ABD是△COD关于点D的位似图形，且△ABD与△COD的位似比是1：3，得出，进而得出假设BD＝x，AE＝4x，DO＝3x，AB＝y，根据△ABD的面积为1，求出xy＝2即可得出答案．【解答】解：过A作AE⊥x轴，∵△ABD是△COD关于点D的位似图形，且△ABD与△COD的位似是1：3，∴＝，∴OE＝AB，∴，假设BD＝x，AB＝y∴DO＝3x，AE＝4x，CO＝3y，∵△ABD的面积为1，∴xy＝1，∴xy＝2，∴AB•AE＝4xy＝8，该反比例函数的表达式为：y＝，故答案为：y＝．考点三：相似形综合相似三角形出综合题时，经常是相似的性质与其他几何图形的综合，特别是和其他如函数、特殊四边形、圆等考点一起出题时，基本都是填空压轴题和简答题压轴题。题型01相似形综合题【中考真题练】1．（2023•德阳）如图，⊙O的直径AB＝10，DE是弦，AB⊥DE，＝，sin∠BAC＝，AD的延长线与CB的延长线相交于点F，DB的延长线与OE的延长线相交于点G，连接CG．下列结论中正确的个数是（）①∠DBF＝3∠DAB；②CG是⊙O的切线；③B，E两点间的距离是；④DF＝．A．1 B．2 C．3 D．4【分析】连接AE，BE，OC，利用圆周角定理，垂径定理，圆的切线的判定与性质直角三角形的边角关系定理，勾股定理，相似三角形的判定与性质对每个结论进行逐一判断即可得出结论．【解答】解：①连接AE，BE，如图，∵⊙O的直径AB＝10，DE是弦，AB⊥DE，∴，∵＝，∴，∴，∴∠CAE＝∠EAB＝∠BAD，∴∠CAD＝3∠DAB．∵∠DBF为圆内接四边形ADBC的外角，∴∠DBF＝∠CAD＝3∠DAB．∴①的结论正确；②连接OC，∵，∴OE垂直平分BC，∴GC＝GB．在△OCG和△OBG中，，∴△OCG≌△OBG（SSS），∴∠OCG＝∠OBG．由题意GB与⊙O相交，∴∠OBG为钝角，∴∠OCG为钝角，∴OC与GC不垂直，∴CG不是⊙O的切线．∴②的结论不正确；③∵AB为⊙O的直径，∴∠BCA＝90°，∴AC⊥BC．设DE交BO于点H，∵OE⊥BC，AC⊥BC，∴OE∥AC，∴∠EOB＝∠CAB，∴sin∠EOB＝sin∠BAC＝，∴，∴EH＝3，∴OH＝＝4，∴BH＝OB﹣OH＝1，∴BE＝＝．∴③的结论正确；④∵AB为⊙O的直径，∴∠BCA＝90°，∵sin∠BA